Matricea pătratică online. Unele proprietăţi ale operaţiilor pe matrice.Expresii matriceale

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Expresii matriceale

Și acum va exista o continuare a subiectului, în care vom lua în considerare nu numai material nou, ci și vom elabora acțiuni cu matrice.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice

Există destul de multe proprietăți care se referă la operațiuni cu matrice; în aceeași Wikipedia puteți admira rangurile ordonate ale regulilor corespunzătoare. Cu toate acestea, în practică, multe proprietăți sunt într-un anumit sens „moarte”, deoarece doar câteva dintre ele sunt folosite în rezolvarea problemelor reale. Scopul meu este să iau în considerare aplicarea practică a proprietăților pe exemple concrete, iar dacă aveți nevoie de o teorie riguroasă, vă rugăm să folosiți o altă sursă de informații.

Să ne uităm la câteva excepții de la regulă care vor fi necesare pentru îndeplinirea sarcinilor practice.

Dacă o matrice pătrată are o matrice inversă, atunci înmulțirea lor este comutativă:

O matrice de identitate este o matrice pătrată a cărei diagonala principală unitățile sunt localizate, iar elementele rămase sunt egale cu zero. De exemplu: , etc.

În acest caz, următoarea proprietate este adevărată: dacă o matrice arbitrară este înmulțită la stânga sau la dreapta cu matricea de identitate dimensiuni potrivite, atunci rezultatul este matricea originală:

După cum puteți vedea, aici are loc și comutativitatea înmulțirii matricei.

Să luăm o matrice, ei bine, să spunem, matricea din problema anterioară: .

Cei interesați pot verifica și se pot asigura că:

Matricea unitară pentru matrice este un analog al unității numerice pentru numere, ceea ce este deosebit de clar din exemplele tocmai discutate.

Comutativitatea unui factor numeric în raport cu înmulțirea matricei

Pentru matrice și numar real urmatoarea proprietate detine:

Adică, factorul numeric poate (și ar trebui) să fie mutat înainte, astfel încât să „nu interfereze” cu matricele de înmulțire.

Notă : în general, formularea proprietății este incompletă - „lambda” poate fi plasată oriunde între matrice, chiar și la sfârșit. Regula rămâne valabilă dacă se înmulțesc trei sau mai multe matrice.

Exemplul 4

Calculați produsul

Solutie:

(1) După proprietate mutați factorul numeric înainte. Matricele în sine nu pot fi rearanjate!

(2) – (3) Efectuați înmulțirea matricei.

(4) Aici puteți împărți fiecare număr la 10, dar apoi printre elementele matricei va apărea zecimale, ceea ce nu este bine. Totuși, observăm că toate numerele din matrice sunt divizibile cu 5, așa că înmulțim fiecare element cu .

Răspuns :

O mică șaradă pentru decizie independentă:

Exemplul 5

Calculați dacă

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Ce tehnică este importantă atunci când rezolvați astfel de exemple? Să ne dăm seama de numere in ultimul rand .

Să atașăm un alt vagon la locomotivă:

Cum se înmulțesc trei matrici?

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțind trei matrice? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Hmmm, ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi înmulțiți.

Rezultatele vor coincide cu siguranță, și în teorie această proprietate se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritmul de soluție este în doi pași: găsim produsul a două matrici, apoi găsim din nou produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

Răspuns :

Prima soluție este, desigur, mai familiară și standard, unde „totul pare să fie în ordine”. Apropo, referitor la comanda. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutări ale matricilor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că în caz general ESTE IMPOSIBIL SĂ INVERSĂ MATRICI. Deci, în al doilea paragraf, în al doilea pas, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz nu facem . Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar funcționa, dar cu matrice nu ar funcționa.

Proprietatea înmulțirii asociative este adevărată nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În soluția eșantion, calculele sunt efectuate în două moduri; analizați care cale este mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale se aplică și unui număr mai mare de factori.

Acum este momentul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început, iar întrebarea de pe ordinea de zi este:

Cum se cubează o matrice și puteri mai mari?

Aceste operații sunt, de asemenea, definite numai pentru matrice pătrată. Pentru a cuba o matrice pătrată, trebuie să calculați produsul:

De fapt este caz specialînmulţirea a trei matrici, conform proprietăţii de asociativitate a înmulţirii matricelor: . Și o matrice înmulțită cu ea însăși este pătratul matricei:

Astfel, obținem formula de lucru:

Adică, sarcina este efectuată în doi pași: mai întâi, matricea trebuie să fie pătrată, iar apoi matricea rezultată trebuie înmulțită cu matricea.

Exemplul 8

Construiți matricea într-un cub.

Aceasta este o mică problemă de rezolvat singur.

Ridicarea unei matrice la a patra putere se realizează într-un mod natural:

Folosind asociativitatea înmulțirii matriceale, obținem două formule de lucru. În primul rând: – acesta este produsul a trei matrici.

1) . Cu alte cuvinte, mai întâi găsim , apoi o înmulțim cu „fi” - obținem un cub și, în final, efectuăm din nou înmulțirea - va exista o a patra putere.

2) Dar există o soluție cu un pas mai scurtă: . Adică, în primul pas găsim un pătrat și, ocolind cubul, efectuăm înmulțirea

Sarcină suplimentară la Exemplul 8:

Ridicați matricea la a patra putere.

După cum am menționat, acest lucru se poate face în două moduri:

1) Deoarece cubul este cunoscut, atunci efectuăm înmulțirea.

2) Totuși, dacă în funcție de condițiile problemei se cere construirea unei matrice numai la a patra putere, atunci este avantajos să scurtați calea - găsiți pătratul matricei și utilizați formula.

Ambele soluții și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În mod similar, matricea este ridicată la a cincea și la puterile superioare. Din experiența practică pot spune că uneori dau peste exemple de ridicare la puterea a 4-a, dar nu-mi amintesc nimic despre puterea a cincea. Dar pentru orice eventualitate, voi da algoritmul optim:

1) găsiți;
2) găsiți;
3) ridicați matricea la puterea a cincea: .

Acestea sunt, probabil, toate proprietățile de bază ale operațiilor cu matrice care pot fi utile în probleme practice.

În a doua secțiune a lecției, este așteptată o mulțime la fel de colorată.

Expresii matriceale

Să repetăm ​​expresiile școlare obișnuite cu numere. O expresie numerică constă din numere, simboluri matematice și paranteze, de exemplu: . Când se calculează, se aplică prioritatea algebrică familiară: mai întâi, paranteze, apoi executat exponentiare/înrădăcinare, Apoi înmulțire/împărțireși nu în ultimul rând - adunare/scădere.

Dacă o expresie numerică are sens, atunci rezultatul evaluării sale este un număr, de exemplu:

Expresiile matriceale funcționează aproape în același mod! Cu diferența că personajele principale sunt matrici. Plus unele specifice operații cu matrice, cum ar fi transpunerea și găsirea matrice inversă.

Luați în considerare expresia matriceală , unde sunt unele matrice. În această expresie matriceală, trei termeni și operații de adunare/scădere sunt efectuate ultimii.

În primul termen, trebuie mai întâi să transpuneți matricea „fi”: , apoi efectuați înmulțirea și introduceți „doi” în matricea rezultată. Vă rugăm să rețineți că operația de transpunere are mai multe prioritate ridicată decât înmulțirea. Paranteze, ca în expresii numerice, schimbați ordinea acțiunilor: – aici se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi matricea rezultată este transpusă și înmulțită cu 2.

În al doilea termen, înmulțirea matricei este efectuată mai întâi, iar matricea inversă este găsită din produs. Dacă eliminați parantezele: , atunci trebuie mai întâi să găsiți matricea inversă și apoi să înmulțiți matricele: . Găsirea inversului unei matrice are, de asemenea, prioritate față de înmulțire.

Cu al treilea termen, totul este evident: ridicăm matricea într-un cub și introducem „cinci” în matricea rezultată.

Dacă o expresie matriceală are sens, atunci rezultatul evaluării sale este o matrice.

Toate sarcinile vor fi din cele reale teste, și vom începe cu cel mai simplu:

Exemplul 9

Matrici date . Găsi:

Rezolvare: ordinea acțiunilor este evidentă, se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi adunarea.

Adunarea nu poate fi efectuată deoarece matricele sunt de dimensiuni diferite.

Nu fi surprins; evident că acțiunile imposibile sunt adesea propuse în sarcini de acest tip.

Să încercăm să calculăm a doua expresie:

Totul este bine aici.

Răspuns: acțiunea nu poate fi efectuată, .

43. În loc să construim o secvență pentru una arbitrară, putem construi direct o secvență de puteri ale matricei. Aceasta are avantajul că, având putem obține folosind o singură înmulțire matriceală. Prin urmare, putem construi o secvență și obținem

Dacă toate sunt diferite, atunci gradul matricei este dominat de termen, astfel încât toate rândurile devin paralele și toate coloanele devin paralele.Rata de convergență este determinată de rata la care tinde spre zero. În consecință, este necesar un număr relativ mic de iterații chiar și atunci când sunt destul de slab separate.

În general, matricele secvențiale fie vor crește, fie vor scădea în dimensiune și chiar și cu calcule în virgulă mobilă, sunt posibile depășiri sau nule de mașină. Acest lucru poate fi ușor evitat prin înmulțirea fiecărei matrice cu o putere de două, astfel încât cel mai mare element din modul să fie de ordinul zero. Acest lucru nu introduce erori suplimentare de rotunjire. Numărul de iterații necesare pentru dispariția componentei cu acuratețea acceptată, atunci când se lucrează cu puteri ale matricei și, respectiv, cu metoda puterii simple, este determinat din inegalități

Dacă A nu conține niciun număr semnificativ de zerouri, atunci pătrarea matricei necesită timpi mai multă muncă decât simpla iterație. Prin urmare, pătrarea matricelor este benefică dacă

Pentru o anumită împărțire a valorilor proprii, pătratul este mai puțin avantajos pentru valori mari. Dimpotrivă, pentru o valoare fixă, pătratul este mai avantajos dacă valori propriiși slab despărțite. Dacă A este simetric, atunci toate puterile lui A sunt, de asemenea, simetrice, deci avem un câștig din simetrie atunci când creștem la o putere, dar într-un proces iterativ simplu nu există un câștig din simetrie.

De exemplu, cazul necesită 15 pași de pătrat sau aproximativ pașii unui proces simplu de alimentare pentru a distruge componentele cu precizie de lucru. În consecință, pătratul este mai profitabil pentru matrice de până la ordinul 2000, iar pentru o matrice de ordinul 100, pătratul este de aproape 20 de ori mai profitabil.

Cu toate acestea, această comparație a metodelor este oarecum discutabilă din două motive.

(i) Este puțin probabil să realizăm 28.000 de pași dintr-un proces simplu al legii puterii fără a folosi o metodă de accelerare a convergenței, iar metodele de accelerare a convergenței sunt dificil de aplicat procesului de pătrare a matricei.

(ii) Majoritatea matricelor de ordin mai mare de 50 întâlnite în practică conțin de obicei multe zerouri. Această proprietate se defectează atunci când este ridicată la o putere și, prin urmare, estimările noastre ale cantității munca necesaraîn două procese nu sunt reale.

Trebuie remarcat faptul că această operație poate fi efectuată numai matrici pătrate. Număr egal rânduri și coloane - condiție cerută a ridica o matrice la o putere. În timpul calculului, matricea va fi înmulțită cu ea însăși de numărul necesar de ori.

The calculator online este conceput pentru a efectua operația de ridicare a unei matrice la o putere. Datorită utilizării sale, nu numai că veți face față rapid acestei sarcini, dar veți obține și o idee clară și detaliată a progresului calculului în sine. Acest lucru va ajuta la consolidarea mai bună a materialului obținut în teorie. După ce ați văzut un algoritm detaliat de calcul în fața dvs., veți înțelege mai bine toate subtilitățile acestuia și, ulterior, veți putea evita greșelile în calculele manuale. În plus, nu strică niciodată să-ți verifici calculele, iar acest lucru este cel mai bine făcut aici.

Pentru a ridica o matrice la o putere online, veți avea nevoie de o serie actiuni simple. Mai întâi de toate, specificați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga acesteia. Apoi introduceți numerele în câmpul matricei. De asemenea, trebuie să indicați puterea la care este ridicată matricea. Și apoi tot ce trebuie să faceți este să faceți clic pe butonul „Calculați” din partea de jos a câmpului. Rezultatul obținut va fi de încredere și precis dacă ați introdus cu atenție și corect toate valorile. Împreună cu acesta, vi se va furniza o transcriere detaliată a soluției.

Cum se introduce formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, asta metoda universala va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului web motoare de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - bibliotecă specială JavaScript, care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind cod simplu puteți conecta rapid scriptul MathJax la site-ul dvs. web, care va fi încărcat automat de la server la distanta(lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și se încarcă automat ultimele versiuni MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru inserarea unor terțe părți Cod JavaScript, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în ea și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod consecvent suma nelimitata o singura data. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.