Ridicarea unei matrice la o putere. Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice

Operația de ridicare la puterea n poate fi aplicată formal matricilor pătrate. Pentru a face acest lucru, n trebuie să fie un număr întreg. Rezultatul acestei operațiuni este prezentat în tabel. 9.1. Puteți introduce operatorul pentru ridicarea unei matrice m la puterea n în același mod ca și pentru o cantitate scalară: făcând clic pe butonul Ridicare la putere din panoul Calculator sau apăsând tasta<А>. După ce apare substituentul, ar trebui să introduceți valoarea gradului n în el.

Tabelul 9.1. Rezultatele ridicării unei matrice la o putere

0 matrice de identitate a dimensiunii matricei M

1 matricea M însăși

1 M -1 - matricea inversă a lui M

2,3,...MM, (MM)M, ...

2, -3, ... M -1 M -1 , (M -1 M -1)M -1 , ...

Câteva exemple de ridicare a matricilor la puteri sunt prezentate în Lista 9.15.

Lista 9.15. Exemple de ridicare a unei matrice pătrate la o putere întreagă

Vectorizarea matricelor

Algebra vectorială a lui Mathcad include un operator oarecum neobișnuit numit operator de vectorizare. Acest operator este destinat, de regulă, să lucreze cu matrice. Vă permite să efectuați același tip de operație pe toate elementele unui tablou (adică, matrice sau vector), simplificând astfel programarea buclelor. De exemplu, uneori doriți să înmulțiți fiecare element al unui vector cu elementul corespunzător al altui vector. Nu există o astfel de operație direct în Mathcad, dar poate fi realizată cu ușurință folosind vectorizarea (Listarea 9.16). Pentru aceasta:

· Introduceți expresia vectorială așa cum se arată în a doua linie a listei (rețineți că în această formă simbolul de înmulțire denotă operatorul de produs scalar al vectorilor).

· Deplasați cursorul astfel încât liniile de intrare să evidențieze întreaga expresie care trebuie vectorizată (Fig. 9.3).

Introduceți operatorul de vectorizare făcând clic pe butonul Vectorize din panoul Matrix (Fig. 9.3) sau folosind o comandă rapidă de la tastatură +<->.

· Introduce<=>pentru a obține rezultatul.

Orez. 9.3. Operator de vectorizare

Lista 9.16. Utilizarea vectorizării pentru a multiplica elementele unui vector

Operatorul de vectorizare poate fi utilizat numai cu vectori și matrice de aceeași dimensiune.

Majoritatea funcțiilor Mathcad nespecifice nu necesită vectorizare pentru a efectua aceeași operație pe toate elementele vectorului. De exemplu, argumentul funcții trigonometrice prin definiție este un scalar. Dacă încercați să calculați sinusul unei mărimi vectoriale, Mathcad va vectoriza în mod implicit, calculând sinusul fiecărui element și producând vectorul corespunzător ca rezultat. Un exemplu este prezentat în Lista 9.17.

Lista 9.17. Vectorizarea este opțională pentru majoritatea funcțiilor Mathcad

Operații simbolice cu matrici

Toți operatorii de matrice și vectori discutați mai sus pot fi utilizați în calcul simbolic. Puterea operațiilor simbolice constă în capacitatea de a le efectua nu numai pe anumite numere, ci și pe variabile. Câteva exemple sunt prezentate în Lista 9.18.

Lista 9.18. Exemple de operații simbolice pe vectori și matrice

Simțiți-vă liber să utilizați procesorul de simboluri ca referință matematică puternică. De exemplu, când doriți să vă amintiți o definiție din domeniul algebrei liniare (de exemplu, regulile de înmulțire și inversare a matricei sunt afișate în primele rânduri din Listarea 9.18).

Funcții matrice

Să enumerăm principalele funcții încorporate concepute pentru a face lucrul cu vectori și matrice mai ușor. Ele sunt necesare pentru a crea matrici, a îmbina și a selecta părți ale matricelor, pentru a obține proprietățile de bază ale matricelor etc.

Funcții de creare a matricei

Cel mai vizual mod de a crea o matrice sau un vector este de a folosi primul buton din bara de instrumente Matrix. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, în special atunci când programați proiecte complexe, este mai convenabil să creați matrice folosind funcții încorporate.

Definirea elementelor matricei folosind o funcție

· matrice(M,N,f) - crearea unei matrice de dimensiunea M*N, fiecare element i, j al cărui element este f(i, j) (Listatul 9.19);

o M - numărul de linii;

o N - numărul de coloane;

o f (i, j) - funcție.

Lista 9.19. Crearea unei matrice

Pentru a crea matrice, există încă două funcții specifice, utilizate în principal pentru prezentarea rapidă și eficientă a oricăror dependențe sub formă de grafice tridimensionale (cum ar fi o suprafață sau o curbă spațială). Toate argumentele lor, cu excepția primului (funcții), sunt opționale. Să luăm în considerare prima dintre funcții.

CreateSpace(F(sau f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - creează o matrice imbricată reprezentând coordonatele x, y și z ale unei curbe spațiale parametrice, funcţie dată R;

F(t) este o funcție vectorială a trei elemente, definită parametric în raport cu un singur argument t;
f1(t) ,f2(t), f3(t) - funcții scalare;
t0 - limita inferioară t (implicit -5);
t1 - limita superioară t (implicit 5);
tgrid - numărul de puncte ale grilei după variabila t (implicit 2o);
fmap este o funcție vectorială cu trei argumente care specifică o transformare de coordonate.

Orez. 9.4. Utilizarea funcției CreateSpace cu un set diferit de parametri

Un exemplu de utilizare a funcției CreateSpace este prezentat în Fig. 9.4. Rețineți că nu a fost nevoie de niciun efort pentru a reprezenta graficul în spirală. cod suplimentar, cu excepția definirii dependenței parametrice în funcția vectorială F.

Funcția de creare a matricei pentru o diagramă de suprafață 3D este proiectată exact în același mod, cu excepția faptului că definirea suprafeței necesită două variabile mai degrabă decât una. Un exemplu de utilizare a acestuia este ilustrat în Fig. 9.5.

Orez. 9.5. Utilizarea funcției CreateMesh cu un set diferit de parametri

· CreateMesh(F(sau g, sau f1, f2, f3) , s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - creează o matrice imbricată reprezentând coordonatele x, y și z ale suprafeței parametrice specificat de funcția F;

F(s,t) este o funcție vectorială a trei elemente, definită parametric în raport cu două argumente s și t;
g (s, t) - funcție scalară;
f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) - funcții scalare;
s0, t0 - limitele inferioare ale argumentelor s, t (implicit -5);
s1, t1 - limitele superioare ale argumentelor s, t (implicit 5);
sgrid, tgrid - numărul de puncte ale grilei bazat pe variabilele s și t (implicit 20);
fmap este o funcție vectorială cu trei elemente de trei argumente care specifică o transformare de coordonate.

Exemple de matrice imbricate care sunt create de funcțiile CreateMesh și CreateSpace sunt prezentate în Lista 9.20. Fiecare matrice a celor trei matrice imbricate care formează matricea definește coordonatele x, y și z ale punctelor de pe suprafață sau, respectiv, curbă.

Lista 9.20. Rezultatul funcțiilor CreateMesh și CreateSpace (Fig. 9.4 - 9.5)

Crearea matricilor tip special

Este ușor să creați matrici în Mathcad anumit tip folosind una dintre funcțiile încorporate. Exemple de utilizare a acestor funcții sunt prezentate în Lista 9.21.

· identitate (N) - matrice de identitate de mărime N*N;

· diag(v) - matrice diagonală, pe a cărei diagonală se află elementele vectorului v;

· geninv(A) - crearea unei matrice inversă (în stânga) a matricei A;

· rref (A) - transformarea matricei sau vectorului A în formă treptat;

N - întreg;
v - vector;
A este o matrice de numere reale.

Mărimea N*M a matricei A pentru funcția geninv trebuie să fie astfel încât N>M.

Lista 9.21. Crearea de matrici de tip special

NOTĂ

În Mathcad 14 și 15, vectorizarea poate fi efectuată nu numai în calcule numerice, ci și în calcule simbolice (analitice).

Majoritatea funcțiilor Mathcad nespecifice nu necesită vectorizare pentru a efectua aceeași operație pe toate elementele vectorului. De exemplu, argumentul funcțiilor trigonometrice este, prin definiție, un scalar. Dacă încercați să calculați exponentul unei mărimi vectoriale, Mathcad va vectoriza în mod implicit, ridicând fiecare element la puterea e și producând vectorul corespunzător ca rezultat (Listarea 7.13).

Lista 7.13. Vectorizarea argumentelor este opțională pentru majoritatea funcțiilor încorporate Mathcad

7.3. Calculul determinanților și inversarea matricelor pătrate

Să luăm în considerare câteva operații extrem de importante ale algebrei liniare legate de conceptul de determinant al unei matrice. În ciuda faptului că unele dintre ele sunt implementate și în Mathcad sub formă de operatori, aceștia necesită (când se efectuează calcule folosind algoritmi numerici) mult mai multă atenție decât operatorii menționați în cele două secțiuni anterioare.

7.3.1. Determinant al unei matrice pătrate

Determinantul unei matrice este notat de standard simbol matematic. Pentru a introduce operatorul pentru găsirea determinantului unei matrice, puteți face clic pe butonul Determinant din bara de instrumente Matrice (Listing 7.14) sau puteți tasta pe tastatură<|>(prin apăsarea tastelor +<\>). Ca rezultat al oricăreia dintre aceste acțiuni, apare un substituent în care să plaseze matricea. Pentru a calcula determinantul unei matrice deja introdus:

1. Mutați cursorul în document astfel încât să plasați matricea între liniile de intrare (rețineți că liniile de intrare sunt segmente verticale și orizontale de culoare albastră, formând un colț care indică zona de editare curentă).

2. Introduceți operatorul pentru găsirea determinantului unei matrice.

3. Introduceți un semn egal (sau ieșire simbolică) pentru a calcula determinantul (numeric sau, respectiv, analitic, după cum se arată în Listare).

ATENŢIE!

Nu confundați operatorii pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate și a lungimii unui vector. Începând cu Mathcad 12, a fost introdus controlul forțat al acțiunilor utilizatorului la introducerea acestor operatori pentru a evita confuzia (deoarece același simbol este folosit pentru aceștia).

două operaţii). Dacă încercați să calculați determinantul unei matrice folosind operatorul A introdus din panoul Calculator și nu din panoul Matrice, va fi afișat un mesaj de eroare, iar rezultatul calculului determinantului va apărea numai după ce utilizatorul sună meniul contextualși va confirma în ea că urmează să calculeze exact determinantul matricei. Același lucru este valabil și pentru lungimea vectorului dacă încercați să o introduceți nu din panoul Calculator, ci din panoul Matrix.

Lista 7.14. Calcularea determinantului unei matrice pătrate

7.3.2. Rangul matricei

Rangul unei matrice este cel mai mare număr natural k pentru care există un determinant diferit de zero de ordinul k al unei submatrici compuse din orice intersecție a k coloane și k rânduri ale matricei.

Pentru a calcula rangul în Mathcad, utilizați funcția de rang (Listing 7.15).

 rang(A) - rang matrice: A - matrice.

Lista 7.15. Calcularea rangului matricei

7.3.3. inversarea matricei pătrate

Căutare matrice inversă posibil dacă matricea este pătrată și determinantul ei nu este egal cu zero. Produsul matricei originale și inversul acesteia este, prin definiție, matricea de identitate. Pentru a introduce un operator de căutare cu matrice inversă, faceți clic pe butonul Invers din bara de instrumente Matrice. Listarea 7.16 arată un exemplu de găsire a inversului unei matrice și apoi de verificare a faptului că aceasta a fost calculată corect.

Lista 7.16. Calcularea matricei inverse

7.3.4. Ridicarea unei matrice pătrate la o putere

Operația exponențiației n poate fi aplicată formal matricilor pătrate. Pentru a face acest lucru, n trebuie să fie un număr întreg. Rezultatul acestei operațiuni este prezentat în tabel. 7.1. Puteți introduce operatorul pentru ridicarea unei matrice M la puterea n exact în același mod ca pentru o mărime scalară: prin apăsarea butonului Exponentiație(Ridicați la putere) în panoul Calculator sau apăsând tasta<^>. După ce apare substituentul, ar trebui să introduceți valoarea gradului n în el.

	Tabelul 7.1. Reguli pentru ridicarea unei matrice la o putere



	Matricea de identitate a dimensiunii matricei M

	Matricea M însăși

	M -1 - matrice, M invers

	Algebră liniară
		Tabelul 7.1 (sfârșit)


	2 ,3 , ...	M M, (M M) M,...

	–2 , –3 , ...	M-1 M-1 , (M-1 M-1 ) M-1 , ...

Exemple de ridicare a unei matrice la o putere sunt date în Lista 7.17.

Lista 7.17. Ridicarea unei matrice pătrate la o putere întreagă

7.3.5. Norme matriceale

În algebra liniară se folosesc diverse norme vectoriale și matriceale (normă), care atribuie matricei o anumită caracteristică numerică scalară. Norma matricei reflectă ordinul de mărime al elementelor matricei. În diverse probleme specifice de algebrei liniare sunt utilizate tipuri diferite normal Mathcad are patru funcții încorporate pentru calcularea diferitelor norme de matrice pătrată:

 norm1(A) - normă în spaţiul L1;

 norm2(A) - norma în spaţiul L2;

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Expresii matriceale

Și acum va exista o continuare a subiectului, în care vom lua în considerare nu numai material nou, ci și vom lucra operatii cu matrici.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice

Există destul de multe proprietăți care se referă la operațiuni cu matrice, în aceeași Wikipedia puteți admira rândurile ordonate ale regulilor corespunzătoare. Cu toate acestea, în practică, multe proprietăți sunt într-un anumit sens „moarte”, deoarece doar câteva dintre ele sunt folosite în rezolvarea problemelor reale. Scopul meu este să iau în considerare aplicarea practică a proprietăților pe exemple concrete, iar dacă aveți nevoie de o teorie riguroasă, vă rugăm să folosiți o altă sursă de informații.

Să ne uităm la unele excepții de la regulă, care vor fi necesare pentru îndeplinirea sarcinilor practice.

Dacă o matrice pătrată are matrice inversă, atunci înmulțirea lor este comutativă:

Matrice de identitate se numeşte matrice pătrată a cărei diagonala principală unitățile sunt localizate, iar elementele rămase sunt egale cu zero. De exemplu: , etc.

în care următoarea proprietate este adevărată: dacă se înmulțește o matrice arbitrară stanga sau dreapta la matricea identitară dimensiuni potrivite, atunci rezultatul este matricea originală:

După cum puteți vedea, aici are loc și comutativitatea înmulțirii matricei.

Să luăm o matrice, ei bine, să spunem, matricea din problema anterioară: .

Cei interesați pot verifica și se pot asigura că:

Matricea unitară pentru matrice este un analog al unității numerice pentru numere, ceea ce este deosebit de clar din exemplele tocmai discutate.

Comutativitatea unui factor numeric în raport cu înmulțirea matricei

Pentru matrice și numar real urmatoarea proprietate detine:

Adică, factorul numeric poate (și ar trebui) să fie mutat înainte, astfel încât să „nu interfereze” cu matricele de înmulțire.

Notă : în general, formularea proprietății este incompletă - „lambda” poate fi plasată oriunde între matrice, chiar și la sfârșit. Regula rămâne valabilă dacă se înmulțesc trei sau mai multe matrice.

Exemplul 4

Calculați produsul

Soluţie:

(1) După proprietate mutați factorul numeric înainte. Matricele în sine nu pot fi rearanjate!

(2) – (3) Efectuați înmulțirea matricei.

(4) Aici puteți împărți fiecare număr la 10, dar apoi printre elementele matricei va apărea zecimale, ceea ce nu este bine. Totuși, observăm că toate numerele din matrice sunt divizibile cu 5, așa că înmulțim fiecare element cu .

Răspuns:

O mică șaradă pentru decizie independentă:

Exemplul 5

Calculați dacă

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Ce tehnică este importantă atunci când rezolvați astfel de exemple? Să ne dăm seama de numere in ultimul rand .

Să atașăm un alt vagon la locomotivă:

Cum se înmulțesc trei matrici?

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțind trei matrice? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Hmmm, ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi înmulțiți.

Rezultatele vor coincide cu siguranță, și în teorie această proprietate numită asociativitate a înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsim produsul a două matrici, apoi din nou găsim produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

Răspuns:

Prima soluție este, desigur, mai familiară și standard, unde „totul pare să fie în ordine”. Apropo, referitor la comanda. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutări ale matricilor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că V caz general ESTE IMPOSIBIL SA INVERSATI MATRICI. Deci, în al doilea paragraf, în al doilea pas, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz nu facem . Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar funcționa, dar cu matrice nu ar funcționa.

Proprietatea înmulțirii asociative este adevărată nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În soluția eșantion, calculele sunt efectuate în două moduri, analizează care cale este mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea asociativă a înmulțirii matricelor este valabilă și pentru mai multa cantitate multiplicatori.

Acum este momentul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început, iar întrebarea de pe ordinea de zi este:

Cum se cubează o matrice și puteri mai mari?

Aceste operații sunt, de asemenea, definite numai pentru matrice pătrată. A construi matrice pătratăîntr-un cub, trebuie să calculați produsul:

De fapt este caz specialînmulţirea a trei matrici, conform proprietăţii de asociativitate a înmulţirii matricelor: . Și o matrice înmulțită cu ea însăși este pătratul matricei:

Astfel, obținem formula de lucru:

Adică, sarcina este efectuată în doi pași: mai întâi, matricea trebuie să fie pătrată, iar apoi matricea rezultată trebuie înmulțită cu matricea.

Exemplul 8

Construiți matricea într-un cub.

Aceasta este o mică problemă de rezolvat singur.

Ridicarea unei matrice la a patra putere se realizează într-un mod natural:

Folosind asociativitatea înmulțirii matriceale, obținem două formule de lucru. În primul rând: – acesta este produsul a trei matrici.

1) . Cu alte cuvinte, mai întâi găsim , apoi o înmulțim cu „fi” - obținem un cub și, în final, efectuăm din nou înmulțirea - va exista o a patra putere.

2) Dar există o soluție cu un pas mai scurtă: . Adică, în primul pas găsim un pătrat și, ocolind cubul, efectuăm înmulțirea

Sarcină suplimentară la Exemplul 8:

Ridicați matricea la a patra putere.

După cum am menționat, acest lucru se poate face în două moduri:

1) Deoarece cubul este cunoscut, atunci efectuăm înmulțirea.

2) Totuși, dacă în funcție de condițiile problemei se cere construirea unei matrice numai la a patra putere, atunci este avantajos să scurtați calea - găsiți pătratul matricei și utilizați formula.

Ambele soluții și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În mod similar, matricea este ridicată la a cincea și la puterile superioare. Din experiența practică pot spune că uneori dau peste exemple de ridicare la puterea a 4-a, dar nu-mi amintesc nimic despre puterea a cincea. Dar pentru orice eventualitate, voi da algoritmul optim:

1) găsiți;
2) găsiți;
3) ridicați matricea la puterea a cincea: .

Acestea sunt, probabil, toate proprietățile de bază ale operațiilor cu matrice care pot fi utile în probleme practice.

În a doua secțiune a lecției, este așteptată o mulțime la fel de colorată.

Expresii matriceale

Să repetăm expresiile școlare obișnuite cu numere. O expresie numerică constă din numere, simboluri matematice și paranteze, de exemplu: . Când se calculează, se aplică prioritatea algebrică familiară: mai întâi, paranteze, apoi executat exponentiare/înrădăcinare, Apoi înmulțire/împărțireși nu în ultimul rând - adunare/scădere.

Dacă o expresie numerică are sens, atunci rezultatul evaluării sale este un număr, De exemplu:

Expresii matriceale sunt aranjate aproape la fel! Cu diferența că personajele principale sunt matrici. Plus câteva operații specifice matricei, cum ar fi transpunerea și găsirea inversului unei matrice.

Sa luam in considerare expresie matriceală , unde sunt unele matrice. În această expresie matriceală, trei termeni și operații de adunare/scădere sunt efectuate ultimii.

În primul termen, trebuie mai întâi să transpuneți matricea „fi”: , apoi efectuați înmulțirea și introduceți „doi” în matricea rezultată. Rețineți că operatia de transpunere are mai mult prioritate ridicată decât înmulțirea. Paranteze, ca în expresii numerice, schimbați ordinea acțiunilor: – aici se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi matricea rezultată este transpusă și înmulțită cu 2.

În al doilea termen, înmulțirea matricei este efectuată mai întâi, iar matricea inversă este găsită din produs. Dacă eliminați parantezele: , atunci trebuie mai întâi să găsiți matricea inversă și apoi să înmulțiți matricele: . Găsirea inversului unei matrice are, de asemenea, prioritate față de înmulțire.

Cu al treilea termen, totul este evident: ridicăm matricea într-un cub și introducem „cinci” în matricea rezultată.

Dacă o expresie matriceală are sens, atunci rezultatul evaluării sale este o matrice.

Toate sarcinile vor fi din cele reale teste, și vom începe cu cel mai simplu:

Exemplul 9

Matrici date . Găsi: