Rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare

Elementar Următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A ~ B.

Canonic O matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2, respectiv 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.

Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate pentru un sistem de ecuații algebrice liniare:

Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate

Lăsa sistem comun Apoi, există numere astfel încât . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă un rând (coloană) este șters sau adăugat din sistemul rândurilor sale (coloanelor), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .

Adecvarea

Lăsa . Să luăm unele minore de bază în matrice. Din moment ce, atunci va fi și baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei. Prin urmare, coloana de termeni liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.

Consecințe

Numărul de variabile principale sisteme egal cu rangul sistemului.

Comun sistem va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Sistem omogen de ecuații

Oferi15 . 2 Sistem omogen de ecuații

este întotdeauna comună.

Dovada. Pentru acest sistem, mulțimea numerelor , , , este o soluție.

În această secțiune vom folosi notația matricială a sistemului: .

Oferi15 . 3 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este, de asemenea, o soluție.

Dovada. Lăsați-le să servească drept soluții pentru sistem. Apoi și. Lăsa . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Fie un număr arbitrar, . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Consecinţă15 . 1 Dacă un sistem omogen de ecuații liniare are o soluție diferită de zero, atunci are infinite de soluții diferite.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu diverse numere, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluțiile forme de sisteme sistem fundamental de soluții, dacă coloane formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.

Un număr r se numește rangul matricei A dacă:
1) în matricea A există un minor de ordinul r, diferit de zero;
2) toți minorii de ordin (r+1) și mai mari, dacă există, sunt egali cu zero.
În caz contrar, rangul unei matrice este cel mai mare ordin minor, altul decât zero.
Denumiri: rangA, r A sau r.
Din definiție rezultă că r este un număr întreg pozitiv. Pentru o matrice nulă, rangul este considerat zero.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi rangul matricei. În acest caz, soluția este salvată în format Word și Excel. vezi exemplu de solutie.

Instrucțiuni. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Definiție . Fie dată o matrice de rang r. Orice minor al unei matrice care este diferit de zero și are ordinul r se numește de bază, iar rândurile și coloanele componentelor sale sunt numite rânduri și coloane de bază.
Conform acestei definiții, o matrice A poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei de identitate E este n (numărul de rânduri).

Exemplul 1. Având în vedere două matrice, și minorii lor , . Care dintre ele poate fi considerată cea de bază?
Soluţie. Minor M 1 =0, deci nu poate fi o bază pentru niciuna dintre matrice. Minor M 2 =-9≠0 și are ordinul 2, ceea ce înseamnă că poate fi luat ca bază a matricelor A sau / și B, cu condiția ca acestea să aibă ranguri egale cu 2. Deoarece detB=0 (ca determinant cu două coloane proporționale), atunci rangB=2 și M 2 pot fi luate ca bază minoră a matricei B. Rangul matricei A este 3, datorită faptului că detA=-27≠ 0 și, prin urmare, ordinea bazei minore a acestei matrice trebuie să fie egală cu 3, adică M 2 nu este o bază pentru matricea A. Rețineți că matricea A are o singură bază minoră, egală cu determinantul matricei A.

Teoremă (despre baza minoră). Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Corolare din teoremă.

1. Fiecare matrice (r+1) coloană (rând) de rang r este dependentă liniar.
2. Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul rândurilor (coloanelor) sale, atunci rândurile (coloanelor) sale sunt dependente liniar. Dacă rangA este egal cu numărul de rânduri (coloane) sale, atunci rândurile (coloanele) sunt liniar independente.
3. Determinantul unei matrice A este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) ale acesteia sunt dependente liniar.
4. Dacă adăugați un alt rând (coloană) la un rând (coloană) al unei matrice, înmulțit cu orice număr, altul decât zero, atunci rangul matricei nu se va schimba.
5. Dacă tăiați un rând (coloană) dintr-o matrice, care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci rangul matricei nu se va schimba.
6. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale acesteia.
7. Numărul maxim de rânduri liniar independente este același cu numărul maxim de coloane liniar independente.

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice .
Soluţie. Pe baza definiției rangului matricei, vom căuta un minor de ordinul cel mai înalt, diferit de zero. Mai întâi, să transformăm matricea într-o formă mai simplă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei cu (-2) și adăugați-l la al doilea, apoi înmulțiți-l cu (-1) și adăugați-l la al treilea.

Considerăm o matrice \(A\) de tip \((m,n)\). Fie, pentru certitudine, \(m \leq n\). Să luăm \(m\) rânduri și să alegem \(m\) coloane ale matricei \(A\), la intersecția acestor rânduri și coloane obținem o matrice pătrată de ordinul \(m\), al cărei determinant se numește comanda minora \(m\) matrice \(A\). Dacă acest minor este diferit de 0, se numește minor de bază iar ei spun că rangul matricei \(A\) este egal cu \(m\). Daca acest determinant este egal cu 0, atunci se aleg alte coloane \(m\), la intersectia lor exista elemente care formeaza un alt minor de ordin \(m\). Dacă minorul este 0, continuăm procedura. Dacă dintre toate posibilele minore de ordin \(m\) nu există zerouri, selectăm \(m-1\) rânduri și coloane din matricea \(A\), la intersecția lor o matrice pătrată de ordin \(m- 1\) apare, determinantul său se numește minor de ordinul \(m-1\) al matricei originale. Continuând procedura, căutăm un minor non-zero, trecând prin toți minorii posibili, coborându-le ordinea.

Definiție.

Se numește minorul diferit de zero al unei matrice date de ordinul cel mai înalt minor de bază din matricea originală, ordinea acesteia se numește rang matricele \(A\), rândurile și coloanele, la intersecția cărora există o bază minoră, se numesc rânduri și coloane de bază. Rangul unei matrice este notat cu \(rang(A)\).

Din această definiție rezultă proprietăți simple ale rangului unei matrice: este un număr întreg, iar rangul unei matrice non-nule satisface inegalitățile: \(1 \leq rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Cum se va schimba rangul matricei dacă un rând este șters? Adăugați o linie?

Verifică răspunsul

1) Rangul poate scădea cu 1.

2) Rangul poate crește cu 1.

Fie \(A\) o matrice de tip \((m,n)\). Luați în considerare coloanele matricei \(A\) - acestea sunt coloane cu numere \(m\) fiecare. Să le notăm \(A_1,A_2,...,A_n\). Fie \(c_1,c_2,...,c_n\) niște numere.

Definiție.

Coloana \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] se numește o combinație liniară de coloane \(A_1,A_2,...,A_n\), numere \( c_1,c_2 ,...,c_n\) se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Definiție.

Fie date \(p\) coloane \(A_1, A_2, ..., A_p\). Dacă există numere \(c_1,c_2,...,c_p\) astfel încât

1. nu toate aceste numere sunt egale cu zero,

2. combinația liniară \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) este egală cu coloana zero (adică o coloană ale cărei toate elementele sunt zero), atunci spunem că coloanele \( A_1, A_2, ..., A_p\) sunt dependente liniar. Dacă pentru un anumit set de coloane astfel de numere \(c_1,c_2,...,c_n\) nu există, coloanele se numesc liniar independente.

Exemplu. Luați în considerare 2 coloane

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] atunci pentru orice numere \(c_1,c_2\) avem: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Această combinație liniară este egală cu coloana zero dacă și numai dacă ambele numere \(c_1,c_2\) sunt egale cu zero. Astfel, aceste coloane sunt liniar independente.

Afirmație. Pentru ca coloanele să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.

Fie coloanele \(A_1,A_2,...,A_m\) să fie dependente liniar, adică. pentru unele constante \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), care nu sunt toate egale cu 0, este valabilă următoarele: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (în partea dreaptă este coloana zero). Fie, de exemplu, \(\lambda _1 \neq 0\). Apoi \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] i.e. prima coloană este o combinație liniară a celorlalte.

Pentru orice matrice diferită de zero \(A\) este adevărată următoarea:

1. Coloanele de bază sunt liniar independente.

2. Orice coloană matrice este o combinație liniară a coloanelor sale de bază.

(Același lucru este valabil și pentru șiruri).

Fie, pentru certitudine, \((m,n)\) tipul de matrice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) iar baza minoră este situată în primul \(r \) matrice de rânduri și coloane \(A\). Fie \(s\) orice număr între 1 și \(m\), \(k\) orice număr între 1 și \(n\). Luați în considerare un minor de următoarea formă: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] adică Am atribuit \(s-\)-a coloană și \(k-\)-lea rând minorului de bază. Prin definiția rangului unei matrice, acest determinant este egal cu zero (dacă alegem \(s\leq r\) sau \(k \leq r\), atunci acest minor are 2 coloane identice sau 2 rânduri identice, dacă \(s>r\) și \(k>r\) - prin definiția rangului, un minor de mărime mai mare decât \(r\) devine zero). Să extindem acest determinant de-a lungul ultimei linii, obținem: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Aici numerele \(A_(kp)\) sunt complementele algebrice ale elementelor din rândul de jos \(D\). Valorile lor nu depind de \(k\), deoarece sunt formate folosind elemente din primele \(r\) linii. În acest caz, valoarea \(A_(ks)\) este un minor de bază, diferit de 0. Să notăm \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Să rescriem (16) în notație nouă: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] sau, împărțind la \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Această egalitate este valabilă pentru orice valoare a lui \(k\), deci \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Deci, coloana \(s-\)-a este o combinație liniară a primelor coloane \(r\). Teorema este demonstrată.

Cometariu.

Din teorema minoră de bază rezultă că rangul unei matrice este egal cu numărul coloanelor sale liniar independente (care este egal cu numărul de rânduri liniar independente).

Corolarul 1.

Dacă determinantul este zero, atunci are o coloană care este o combinație liniară a celorlalte coloane.

Corolarul 2.

Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul de coloane, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.

Unele transformări de matrice nu își schimbă rangul. Astfel de transformări pot fi numite elementare. Faptele corespunzătoare pot fi ușor verificate folosind proprietățile determinanților și determinând rangul unei matrice.

1. Rearanjarea coloanelor.

2. Înmulțirea elementelor oricărei coloane cu un factor diferit de zero.

3. Adăugarea oricărei alte coloane la o coloană, înmulțită cu un număr arbitrar.

4. Trimiterea coloanei zero.

Același lucru este valabil și pentru șiruri.

Folosind aceste transformări, matricea poate fi transformată în așa-numita formă „trapezoidală” - o matrice cu doar zerouri sub diagonala principală. Pentru o matrice „trapezoidală”, rangul este numărul de elemente nenule de pe diagonala principală, iar baza minoră este minora a cărei diagonală coincide cu mulțimea elementelor nenule de pe diagonala principală a matricei transformate.

Exemplu. Luați în considerare matricea

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(matrice) \right). \] Îl vom transforma folosind transformările de mai sus. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Aici facem secvențial următorii pași: 1) rearanjați a doua linie în partea de sus, 2) scădeți prima linie din restul cu un factor adecvat, 3) scădeți a doua linie din a treia de 4 ori, adăugați a doua linie la a patra, 4) tăiați liniile zero - a treia și a patra. Matricea noastră finală a căpătat forma dorită: există numere diferite de zero pe diagonala principală și zerouri sub diagonala principală. După aceasta, procedura se oprește și numărul de elemente nenule de pe diagonala principală este egal cu rangul matricei. Minorul de bază este primele două rânduri și primele două coloane. La intersecția lor există o matrice de ordinul 2 cu un determinant diferit de zero. În același timp, mergând înapoi de-a lungul lanțului de transformări, puteți urmări de unde provine acest sau acel rând (acesta sau acea coloană) din matricea finală, adică. determinați rândurile și coloanele de bază din matricea originală. În acest caz, primele două rânduri și primele două coloane formează baza minoră.

Să fie dată o matrice:

.

Să selectăm în această matrice șiruri arbitrare și coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
, situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare pentru determinarea rangului unei matrice se numește metoda de limită (sau metoda de limită a minorilor).

Problema 1.4. Folosind metoda limitării minorilor, determinați rangul matricei
.

.

Luați în considerare marginile de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm marginea de ordinul trei.

.

Deci, cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când rezolvați Problema 1.4, puteți observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, se aplică următorul concept.

Definiția 1.14. O bază minoră a unei matrice este orice minoră diferită de zero a cărei ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema de bază minoră). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a comanda a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
Și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică
.

Dacă matrice
Și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se modifică din cauza transformărilor elementare.

Vom numi transformări matrice elementare
oricare dintre următoarele operații pe o matrice:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Rearanjarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii ale cărei elemente sunt toate zero;

Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricea
Și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o formă de reprezentare matricială atunci când în marginea minoră de ordinul cel mai înalt non-zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

.

Aici
, elemente de matrice
mergi la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că, prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, ne asigurăm că toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi procedați în același mod.

Problema 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

.

Pentru a facilita utilizarea algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Este evident că aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformarea coloanelor.










.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să vă amintiți teoria articolului, metodele de găsire a determinantului unei matrice și proprietățile determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul I
Și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi compus și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Și .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Și .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum putem construi toate minorele de ordinul k ale matricei A de ordinul p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al matricei.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . De asemenea, puteți găsi denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al treilea, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm de conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, folosirea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) ale unei matrice;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
• adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare unui alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
• Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal catre unul.

Dacă în liniile de la a doua la p-a există cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm exact în același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.