Bảng tích phân phức tạp. phản đạo hàm
Trong tài liệu trước đó, vấn đề tìm đạo hàm đã được xem xét và Các ứng dụng khác nhau: tính hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị, giải bài toán tối ưu hóa, nghiên cứu hàm đơn điệu và cực trị. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
Bức tranh 1.
Bài toán tìm vận tốc tức thời $v(t)$ bằng cách sử dụng đạo hàm dọc theo một đường đi đã biết trước đó, biểu thị bằng hàm $s(t)$, cũng đã được xem xét.
Hình 2.
Bài toán nghịch đảo cũng rất phổ biến, khi bạn cần tìm đường đi $s(t)$ mà một điểm trong thời gian $t$ đi qua, biết vận tốc của điểm $v(t)$. Nếu chúng ta nhớ lại, tốc độ tức thời $v(t)$ được tìm thấy dưới dạng đạo hàm của hàm đường $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Điều này có nghĩa là để giải bài toán nghịch đảo, tức là tính đường đi, bạn cần tìm một hàm có đạo hàm sẽ bằng hàm tốc độ. Nhưng chúng ta biết rằng đạo hàm của đường đi là tốc độ, đó là: $s’(t) = v(t)$. Vận tốc bằng gia tốc nhân với thời gian: $v=at$. Dễ dàng xác định rằng hàm đường dẫn mong muốn sẽ có dạng: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh. Giải pháp hoàn chỉnh sẽ có dạng: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, trong đó $C$ là một hằng số. Tại sao điều này là như vậy sẽ được thảo luận thêm. Bây giờ, hãy kiểm tra tính đúng đắn của lời giải được tìm thấy: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
Điều đáng chú ý là việc tìm đường đi dựa trên tốc độ là ý nghĩa vật lý phản đạo hàm.
Hàm kết quả $s(t)$ được gọi là nguyên hàm của hàm $v(t)$. Khá thú vị và tên khác thường, không phải nó. Nó chứa đựng rất nhiều ý nghĩa giải thích bản chất Khái niệm này và dẫn tới sự hiểu biết của nó. Bạn sẽ nhận thấy rằng nó có chứa hai từ “đầu tiên” và “hình ảnh”. Họ nói cho chính họ. Nghĩa là, đây là hàm đầu tiên của đạo hàm mà chúng ta có. Và bằng cách sử dụng đạo hàm này, chúng ta đang tìm kiếm hàm lúc đầu là "đầu tiên", "hình ảnh đầu tiên", tức là phản đạo hàm. Đôi khi nó còn được gọi là hàm nguyên thủy hoặc nguyên hàm.
Như chúng ta đã biết, quá trình tìm đạo hàm được gọi là vi phân. Và quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân. Hoạt động tích hợp là nghịch đảo của hoạt động vi phân. Các ngược lại cũng đúng.
Sự định nghĩa. Nguyên hàm của hàm $f(x)$ trên một khoảng nhất định là hàm $F(x)$ có đạo hàm bằng hàm này $f(x)$ với tất cả $x$ từ khoảng đã chỉ định: $F' (x)=f(x)$.
Ai đó có thể có câu hỏi: $F(x)$ và $f(x)$ đến từ đâu trong định nghĩa, nếu ban đầu chúng ta đang nói về $s(t)$ và $v(t)$. Vấn đề là $s(t)$ và $v(t)$ là những trường hợp đặc biệt của các ký hiệu hàm có trong trường hợp này nghĩa cụ thể, nghĩa là nó lần lượt là hàm của thời gian và hàm của tốc độ. Tương tự với biến $t$ - nó biểu thị thời gian. Và $f$ và $x$ lần lượt là biến thể truyền thống của tên gọi chung của một hàm và một biến. Đáng trả tiền Đặc biệt chú ý theo ký hiệu của nguyên hàm $F(x)$. Trước hết, $F$ là vốn. Chất chống dẫn xuất được chỉ định bằng chữ in hoa. Thứ hai, các chữ cái giống nhau: $F$ và $f$. Nghĩa là, đối với hàm $g(x)$ nguyên hàm sẽ được ký hiệu là $G(x)$, với $z(x)$ – là $Z(x)$. Bất kể ký hiệu nào, các quy tắc tìm hàm nguyên hàm luôn giống nhau.
Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ là nguyên hàm của hàm $f(x)=\cos5x$.
Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa, hay đúng hơn là $F'(x)=f(x)$, và tìm đạo hàm của hàm $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Điều này có nghĩa $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ là nguyên hàm của $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Ví dụ 2. Tìm hàm số nào tương ứng với các nguyên hàm sau: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Để tìm các hàm cần tìm, hãy tính đạo hàm của chúng:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Ví dụ 3. Nguyên hàm của $f(x)=0$ sẽ là bao nhiêu?
Hãy sử dụng định nghĩa. Hãy nghĩ xem hàm số nào có thể có đạo hàm bằng $0$. Nhắc lại bảng đạo hàm, chúng ta thấy rằng bất kỳ hằng số nào cũng sẽ có đạo hàm như vậy. Chúng ta thấy rằng nguyên hàm mà chúng ta đang tìm kiếm là: $F(x)= C$.
Lời giải thu được có thể được giải thích về mặt hình học và vật lý. Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị $y=F(x)$ nằm ngang tại mỗi điểm của đồ thị này và do đó, trùng với trục $Ox$. Về mặt vật lý, nó được giải thích là do một điểm có tốc độ bằng 0, vẫn giữ nguyên, tức là quãng đường nó đã đi không thay đổi. Dựa trên điều này, chúng ta có thể xây dựng định lý sau.
Định lý. (Dấu hiệu hằng số của hàm số). Nếu trên một khoảng nào đó $F’(x) = 0$ thì hàm $F(x)$ trên khoảng này là hằng số.
Ví dụ 4. Xác định những hàm số nào là nguyên hàm của a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, trong đó $a$ là một số nào đó.
Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, chúng ta kết luận rằng để giải bài toán này chúng ta cần tính đạo hàm của dữ liệu chúng ta có ở dạng ban đầu. chức năng khác nhau. Khi tính toán, hãy nhớ rằng đạo hàm của một hằng số, nghĩa là của bất kỳ số nào, đều bằng 0.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
Chúng ta thấy gì? Một số hàm khác nhau là nguyên hàm của cùng một hàm. Điều này gợi ý rằng bất kỳ hàm số nào cũng có vô số nguyên hàm và chúng có dạng $F(x) + C$, trong đó $C$ là một hằng số tùy ý. Nghĩa là, phép toán tích phân mang tính đa giá trị, không giống như phép toán vi phân. Dựa trên điều này, chúng ta hãy xây dựng một định lý mô tả tính chất chính của nguyên hàm.
Định lý. (Tính chất chính của phản dẫn xuất). Giả sử các hàm $F_1$ và $F_2$ là nguyên hàm của hàm $f(x)$ trên một khoảng nào đó. Khi đó, đối với tất cả các giá trị từ khoảng này, đẳng thức sau là đúng: $F_2=F_1+C$, trong đó $C$ là một hằng số nào đó.
Thực tế về sự hiện diện của vô số nguyên hàm có thể được giải thích về mặt hình học. Bằng cách sử dụng phép dịch song song dọc theo trục $Oy$, người ta có thể thu được từ nhau đồ thị của hai nguyên hàm bất kỳ của $f(x)$. Đây là ý nghĩa hình học của nguyên hàm.
Điều rất quan trọng là phải chú ý đến thực tế là bằng cách chọn hằng số $C$, bạn có thể đảm bảo rằng đồ thị nguyên hàm đi qua một điểm nhất định.
Hình 3.
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, đồ thị của hàm số này đi qua điểm $(3; 1)$.
Trước tiên chúng ta hãy tìm tất cả các nguyên hàm của $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm số C mà đồ thị $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ sẽ đi qua điểm $(3; 1)$. Để làm điều này, chúng ta thay tọa độ của điểm vào phương trình đồ thị và giải nó để tìm $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Chúng ta thu được một đồ thị $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, tương ứng với nguyên hàm $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Bảng phản dẫn xuất
Một bảng các công thức tìm nguyên hàm có thể được biên soạn bằng cách sử dụng các công thức tìm đạo hàm.
| Chức năng | chất chống dẫn xuất |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của bảng theo cách sau: với mỗi bộ nguyên hàm ở cột bên phải, hãy tìm đạo hàm sẽ cho ra các hàm tương ứng ở cột bên trái.
Một số quy tắc tìm nguyên hàm
Như bạn đã biết, nhiều chức năng có nhiều hơn cái nhìn phức tạp, thay vì những giá trị được chỉ ra trong bảng nguyên hàm và có thể biểu thị bất kỳ sự kết hợp tùy ý nào giữa tổng và tích của các hàm từ bảng này. Và ở đây câu hỏi được đặt ra: làm thế nào để tính nguyên hàm của các hàm đó. Ví dụ: từ bảng chúng ta biết cách tính nguyên hàm $x^3$, $\sin x$ và $10$. Ví dụ, làm thế nào người ta có thể tính nguyên hàm $x^3-10\sin x$? Nhìn về phía trước, điều đáng chú ý là nó sẽ bằng $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, $G(x)$ cho $g(x)$, thì với $f(x)+g(x)$ nguyên hàm sẽ là bằng $ F(x)+G(x)$.
2. Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và $a$ là một hằng số, thì với $af(x)$ nguyên hàm là $aF(x)$.
3. Nếu với $f(x)$ nguyên hàm là $F(x)$, $a$ và $b$ là hằng số, thì $\frac(1)(a) F(ax+b)$ là nguyên hàm cho $f (ax+b)$.
Sử dụng các quy tắc thu được, chúng ta có thể mở rộng bảng nguyên hàm.
| Chức năng | chất chống dẫn xuất |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Trên trang này bạn sẽ tìm thấy:
1. Trên thực tế, bảng nguyên hàm - có thể tải xuống từ định dạng PDF và in ấn;
2. Video cách sử dụng bảng này;
3. Một loạt ví dụ về tính nguyên hàm từ nhiều sách giáo khoa và bài kiểm tra khác nhau.
Trong video này, chúng tôi sẽ phân tích nhiều bài toán mà bạn cần tính nguyên hàm của các hàm, thường khá phức tạp nhưng quan trọng nhất là chúng không phải là hàm lũy thừa. Tất cả các hàm tóm tắt trong bảng đề xuất ở trên đều phải thuộc lòng, giống như đạo hàm. Không có chúng, việc nghiên cứu sâu hơn về tích phân và ứng dụng của chúng để giải các bài toán thực tế là không thể.
Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu về nguyên thủy và chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn một chút. Nếu lần trước chúng ta chỉ xem xét nguyên hàm của hàm lũy thừa và các cách xây dựng phức tạp hơn một chút thì hôm nay chúng ta sẽ xem xét lượng giác và nhiều hơn thế nữa.
Như tôi đã nói trong bài học trước, nguyên hàm, không giống như đạo hàm, không bao giờ được giải “ngay lập tức” bằng cách sử dụng bất kỳ quy tắc tiêu chuẩn nào. Hơn nữa, tin xấu là, không giống như đạo hàm, nguyên hàm có thể không được xem xét chút nào. Nếu chúng ta viết tuyệt đối hàm ngẫu nhiên và chúng ta cố gắng tìm đạo hàm của nó thì khả năng rất cao là chúng ta sẽ thành công, nhưng nguyên hàm gần như không bao giờ được tính trong trường hợp này. Nhưng cũng có Tin tốt: Có một lớp hàm khá lớn được gọi là hàm cơ bản, các nguyên hàm của chúng rất dễ tính toán. Và trên thực tế, tất cả các cấu trúc phức tạp hơn được đưa ra trong tất cả các loại bài kiểm tra, bài kiểm tra và bài kiểm tra độc lập đều được tạo thành từ các hàm cơ bản này thông qua phép cộng, phép trừ và các hành động đơn giản khác. Nguyên mẫu của các hàm như vậy từ lâu đã được tính toán và tổng hợp thành các bảng đặc biệt. Hôm nay chúng ta sẽ làm việc với những hàm và bảng này.
Nhưng chúng ta sẽ bắt đầu, như mọi khi, bằng một sự lặp lại: hãy nhớ nguyên hàm là gì, tại sao có vô số nguyên hàm và cách định nghĩa chúng hình thức chung. Để làm điều này, tôi đã chọn ra hai vấn đề đơn giản.
Giải các ví dụ dễ
Ví dụ số 1
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ và nói chung sự hiện diện của $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ngay lập tức gợi ý cho chúng ta rằng nguyên hàm cần thiết của hàm số có liên quan đến lượng giác. Và, thực sự, nếu nhìn vào bảng, chúng ta sẽ thấy rằng $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ không hơn gì $\text(arctg)x$. Vì vậy, hãy viết nó ra:
Để tìm được, bạn cần viết ra những điều sau:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Ví dụ số 2
Ở đây cũng vậy Chúng ta đang nói vềồ hàm lượng giác. Nếu chúng ta nhìn vào bảng thì quả thực đây là điều sẽ xảy ra:
Chúng ta cần tìm trong toàn bộ tập hợp các nguyên hàm đi qua điểm đã cho:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Cuối cùng chúng ta hãy viết nó ra:
Nó đơn giản mà. Vấn đề duy nhất là để tính nguyên hàm chức năng đơn giản, các bạn cần học bảng nguyên hàm. Tuy nhiên sau khi nghiên cứu bảng đạo hàm cho các bạn thì tôi nghĩ việc này sẽ không thành vấn đề.
Giải các bài toán chứa hàm số mũ
Để bắt đầu, hãy viết các công thức sau:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Chúng ta hãy xem tất cả điều này hoạt động như thế nào trong thực tế.
Ví dụ số 1
Nếu nhìn vào nội dung trong ngoặc, chúng ta sẽ nhận thấy rằng trong bảng nguyên hàm không có biểu thức nào cho $((e)^(x))$ nằm trong một hình vuông, vì vậy hình vuông này phải được mở rộng. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các công thức nhân viết tắt:
Hãy tìm nguyên hàm của mỗi số hạng:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Bây giờ hãy tập hợp tất cả các số hạng vào một biểu thức duy nhất và lấy nguyên hàm tổng quát:
Ví dụ số 2
Lần này độ lớn hơn nên công thức nhân rút gọn sẽ khá phức tạp. Vì vậy, hãy mở ngoặc:
Bây giờ chúng ta hãy thử lấy nguyên hàm của công thức của chúng ta từ cách xây dựng này:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp hay siêu nhiên trong nguyên hàm của hàm số mũ. Tất cả chúng đều được tính toán thông qua bảng, nhưng những sinh viên chú ý có thể sẽ nhận thấy rằng nguyên hàm $((e)^(2x))$ gần với $((e)^(x))$ hơn nhiều so với $((a )^(x ))$. Vì vậy, có thể có một số quy tắc đặc biệt hơn cho phép, khi biết nguyên hàm $((e)^(x))$, tìm được $((e)^(2x))$? Vâng, một quy tắc như vậy tồn tại. Và hơn nữa, nó là một phần không thể thiếu khi làm việc với bảng nguyên hàm. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích nó bằng cách sử dụng các biểu thức tương tự mà chúng ta vừa làm việc làm ví dụ.
Quy tắc làm việc với bảng nguyên hàm
Hãy viết lại hàm của chúng ta:
Trong trường hợp trước, chúng tôi đã sử dụng công thức sau để giải:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Nhưng bây giờ chúng ta hãy làm khác đi một chút: hãy nhớ $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ dựa trên cơ sở nào. Như tôi đã nói, vì đạo hàm $((e)^(x))$ không gì khác hơn $((e)^(x))$, do đó nguyên hàm của nó sẽ bằng $((e) ^ (x))$. Nhưng vấn đề là chúng ta có $((e)^(2x))$ và $((e)^(-2x))$. Bây giờ chúng ta hãy thử tìm đạo hàm của $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Hãy viết lại công trình của chúng ta một lần nữa:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Điều này có nghĩa là khi chúng ta tìm nguyên hàm $((e)^(2x))$, chúng ta nhận được kết quả sau:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Như bạn có thể thấy, chúng ta nhận được kết quả tương tự như trước, nhưng chúng ta không sử dụng công thức để tìm $((a)^(x))$. Bây giờ điều này có vẻ ngu ngốc: tại sao việc tính toán lại phức tạp khi có một công thức tiêu chuẩn? Tuy nhiên, trong những biểu thức phức tạp hơn một chút, bạn sẽ thấy rằng kỹ thuật này rất hiệu quả, tức là. sử dụng đạo hàm để tìm nguyên hàm.
Để khởi động, chúng ta hãy tìm nguyên hàm của $((e)^(2x))$ theo cách tương tự:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Khi tính toán, cách xây dựng của chúng tôi sẽ được viết như sau:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Chúng tôi nhận được kết quả giống hệt nhau nhưng lại đi theo một con đường khác. Chính con đường này, hiện có vẻ phức tạp hơn một chút đối với chúng ta, nhưng trong tương lai sẽ trở nên hiệu quả hơn cho việc tính các nguyên hàm phức tạp hơn và sử dụng bảng.
Ghi chú! Cái này rất tâm điểm: nguyên hàm, giống như đạo hàm, có thể được coi là một tập hợp theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, nếu tất cả các phép tính, phép tính đều bằng nhau thì đáp án sẽ giống nhau. Chúng ta vừa thấy điều này với ví dụ về $((e)^(-2x))$ - một mặt, chúng tôi đã tính nguyên hàm này “thông qua”, sử dụng định nghĩa và tính toán nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi, mặt khác, chúng tôi nhớ rằng $ ((e)^(-2x))$ có thể được biểu diễn dưới dạng $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ và chỉ sau đó chúng tôi mới sử dụng nguyên hàm của hàm $( (a)^(x))$. Tuy nhiên, sau tất cả những lần biến đổi, kết quả vẫn như mong đợi.
Và bây giờ chúng ta đã hiểu tất cả những điều này, đã đến lúc chuyển sang điều gì đó quan trọng hơn. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai cách xây dựng đơn giản, nhưng kỹ thuật sẽ được sử dụng khi giải chúng sẽ hiệu quả hơn và công cụ hữu ích, thay vì đơn giản là “chạy” giữa các nguyên hàm lân cận trong bảng.
Giải bài toán: tìm nguyên hàm của hàm số
Ví dụ số 1
Hãy chia số tiền có trong tử số thành ba phân số riêng biệt:
Đây là một quá trình chuyển đổi khá tự nhiên và dễ hiểu - hầu hết học sinh không gặp vấn đề gì với nó. Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi như sau:
Bây giờ chúng ta hãy nhớ công thức này:
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi sẽ nhận được như sau:
Để loại bỏ tất cả các phân số ba tầng này, tôi khuyên bạn nên làm như sau:
Ví dụ số 2
Không giống như phân số trước, mẫu số không phải là tích mà là tổng. Trong trường hợp này, chúng ta không thể chia phân số của mình thành tổng của một số phân số đơn giản nữa, nhưng bằng cách nào đó, chúng ta phải cố gắng đảm bảo rằng tử số chứa biểu thức gần giống với mẫu số. Trong trường hợp này, việc thực hiện khá đơn giản:
Ký hiệu này, trong ngôn ngữ toán học được gọi là “cộng số 0”, sẽ cho phép chúng ta chia phân số thành hai phần một lần nữa:
Bây giờ hãy tìm những gì chúng tôi đang tìm kiếm:
Đó là tất cả các tính toán. Mặc dù độ phức tạp rõ ràng lớn hơn so với bài toán trước, nhưng số lượng phép tính thậm chí còn nhỏ hơn.
Sắc thái của giải pháp
Và đây chính là khó khăn chính khi làm việc với nguyên hàm dạng bảng, điều này đặc biệt dễ nhận thấy trong nhiệm vụ thứ hai. Thực tế là để chọn một số phần tử có thể dễ dàng tính toán qua bảng, chúng ta cần biết chính xác những gì chúng ta đang tìm kiếm và chính việc tìm kiếm những phần tử này bao gồm toàn bộ phép tính nguyên hàm.
Nói cách khác, chỉ ghi nhớ bảng phản đạo hàm là chưa đủ - bạn cần có khả năng nhìn thấy thứ gì đó chưa tồn tại, nhưng tác giả và người biên soạn vấn đề này có ý nghĩa gì. Đó là lý do tại sao nhiều nhà toán học, giáo viên và giáo sư không ngừng tranh luận: “Lấy nguyên hàm hay tích phân là gì - nó chỉ là một công cụ hay là một nghệ thuật thực sự?” Thực ra, theo quan điểm cá nhân tôi, hội nhập không phải là một nghệ thuật chút nào - nó chẳng có gì cao siêu cả, nó chỉ là thực hành và thực hành nhiều hơn nữa mà thôi. Và để luyện tập, hãy giải ba ví dụ nghiêm túc hơn.
Chúng tôi đào tạo hội nhập trong thực tế
Nhiệm vụ số 1
Hãy viết các công thức sau:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Hãy viết như sau:
Vấn đề số 2
Hãy viết lại nó như sau:
Tổng nguyên hàm sẽ bằng:
Vấn đề số 3
Khó khăn của nhiệm vụ này là ở chỗ, không giống như chức năng trước đó không có biến $x$ nào ở trên cả, tức là Chúng tôi không rõ phải thêm hay bớt những gì để có được ít nhất thứ gì đó tương tự như những gì bên dưới. Tuy nhiên, trên thực tế, biểu thức này được coi là đơn giản hơn bất kỳ biểu thức nào từ các cấu trúc trước đó, bởi vì Chức năng này có thể được viết lại như sau:
Bây giờ bạn có thể hỏi: tại sao các hàm này lại bằng nhau? Hãy kiểm tra:
Hãy viết lại nó một lần nữa:
Hãy biến đổi biểu thức của chúng ta một chút:
Và khi tôi giải thích tất cả những điều này cho học sinh của mình, hầu như luôn nảy sinh cùng một vấn đề: với chức năng đầu tiên, mọi thứ ít nhiều rõ ràng, với chức năng thứ hai, bạn cũng có thể tìm ra nó bằng may mắn hoặc thực hành, nhưng bạn có loại ý thức thay thế nào cần phải có để giải quyết ví dụ thứ ba? Thực ra, đừng sợ hãi. Kỹ thuật mà chúng tôi đã sử dụng khi tính nguyên hàm cuối cùng được gọi là "phân rã hàm thành đơn giản nhất" và đây là một kỹ thuật rất nghiêm túc và một bài học video riêng sẽ được dành cho nó.
Trong khi chờ đợi, tôi đề xuất quay lại những gì chúng ta vừa nghiên cứu, cụ thể là hàm số mũ và phần nào làm phức tạp thêm các vấn đề với nội dung của chúng.
Các bài toán phức tạp hơn để giải hàm mũ phản đạo hàm
Nhiệm vụ số 1
Chúng ta hãy lưu ý những điều sau:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Để tìm nguyên hàm của biểu thức này, chỉ cần sử dụng công thức chuẩn - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Trong trường hợp của chúng ta, nguyên hàm sẽ như thế này:
Tất nhiên, so với thiết kế mà chúng ta vừa giải quyết, thiết kế này trông đơn giản hơn.
Vấn đề số 2
Một lần nữa, dễ dàng nhận thấy rằng hàm số này có thể dễ dàng được chia thành hai số hạng riêng biệt - hai phân số riêng biệt. Hãy viết lại:
Vẫn còn phải tìm nguyên hàm của từng số hạng này bằng cách sử dụng công thức được mô tả ở trên:
Bất chấp sự phức tạp rõ ràng hàm số mũ So với sức mạnh, khối lượng tính toán và tính toán tổng thể hóa ra đơn giản hơn nhiều.
Tất nhiên, đối với những học sinh có kiến thức, những gì chúng ta vừa thảo luận (đặc biệt là trong bối cảnh những gì chúng ta đã thảo luận trước đây) có thể chỉ là những cách diễn đạt cơ bản. Tuy nhiên, khi chọn hai bài toán này cho video bài học ngày hôm nay, tôi không đặt mục tiêu nói cho các bạn một kỹ thuật phức tạp và phức tạp khác - tất cả những gì tôi muốn cho các bạn thấy là bạn không nên ngại sử dụng các kỹ thuật đại số tiêu chuẩn để biến đổi các hàm gốc .
Sử dụng kỹ thuật "bí mật"
Để kết luận, tôi muốn xem xét một kỹ thuật thú vị khác, một mặt, vượt xa những gì chúng ta chủ yếu thảo luận hôm nay, nhưng mặt khác, trước hết, nó không phức tạp chút nào, tức là. ngay cả những học sinh mới bắt đầu cũng có thể thành thạo nó, và thứ hai, nó thường được tìm thấy trong tất cả các loại bài kiểm tra và bài kiểm tra. làm việc độc lập, I E. kiến thức về nó sẽ rất hữu ích ngoài kiến thức về bảng nguyên hàm.
Nhiệm vụ số 1
Rõ ràng, chúng ta có một cái gì đó rất giống với hàm lũy thừa. Chúng ta nên làm gì trong trường hợp này? Hãy nghĩ về điều này: $x-5$ không khác nhiều lắm so với $x$ - họ chỉ thêm $-5$. Hãy viết nó như thế này:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Hãy thử tìm đạo hàm của $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Điều này nghĩa là:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ đúng))^(\prime ))\]
Không có giá trị nào như vậy trong bảng, vì vậy hiện tại chúng ta đã tự rút ra công thức này bằng cách sử dụng công thức nguyên hàm tiêu chuẩn cho hàm lũy thừa. Hãy viết câu trả lời như thế này:
Vấn đề số 2
Nhiều học sinh khi nhìn vào giải pháp đầu tiên có thể nghĩ rằng mọi thứ rất đơn giản: chỉ cần thay thế $x$ trong hàm lũy thừa bằng một biểu thức tuyến tính, và mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Thật không may, mọi thứ không đơn giản như vậy, và bây giờ chúng ta sẽ thấy điều này.
Bằng cách tương tự với biểu thức đầu tiên, chúng tôi viết như sau:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Trở lại đạo hàm, chúng ta có thể viết:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Điều này ngay sau đây:
Sắc thái của giải pháp
Xin lưu ý: nếu về cơ bản không có gì thay đổi lần trước, thì trong trường hợp thứ hai, thay vì $-10$, $-30$ đã xuất hiện. Sự khác biệt giữa $-10$ và $-30$ là gì? Rõ ràng là theo hệ số $-3$. Câu hỏi: nó đến từ đâu? Nếu quan sát kỹ, bạn có thể thấy rằng nó được lấy bằng cách tính đạo hàm của một hàm phức - hệ số $x$ xuất hiện trong nguyên hàm bên dưới. Cái này rất quy tắc quan trọng, điều mà ban đầu tôi không định thảo luận trong video hướng dẫn ngày hôm nay, nhưng nếu không có nó thì việc trình bày nguyên hàm dạng bảng sẽ không đầy đủ.
Vậy hãy làm lại lần nữa. Hãy để có chức năng quyền lực chính của chúng tôi:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Bây giờ, thay vì $x$, hãy thay thế biểu thức $kx+b$. Điều gì sẽ xảy ra sau đó? Chúng ta cần tìm những điều sau đây:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
Dựa trên cơ sở nào chúng tôi khẳng định điều này? Rất đơn giản. Hãy tìm đạo hàm của cách xây dựng được viết ở trên:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Đây là biểu thức tương tự ban đầu tồn tại. Như vậy, công thức này cũng đúng, có thể dùng để bổ sung cho bảng nguyên hàm hoặc tốt hơn là chỉ cần ghi nhớ toàn bộ bảng.
Kết luận từ “bí mật: kỹ thuật:
- Trên thực tế, cả hai hàm số mà chúng ta vừa xem xét đều có thể quy về nguyên hàm được chỉ ra trong bảng bằng cách mở rộng bậc, nhưng nếu bằng cách nào đó chúng ta có thể ít nhiều giải quyết được bậc thứ tư, thì tôi sẽ không làm bậc chín ở đều dám tiết lộ.
- Nếu chúng ta mở rộng sức mạnh, chúng ta sẽ có được khối lượng tính toán lớn đến mức nhiệm vụ đơn giản sẽ vay từ chúng tôi một cách không đầy đủ một số lượng lớn thời gian.
- Đó là lý do tại sao những bài toán chứa các biểu thức tuyến tính như vậy không cần phải giải một cách “dài hơi”. Ngay khi bạn gặp một nguyên hàm khác với biểu thức trong bảng chỉ bởi sự có mặt của biểu thức $kx+b$ bên trong, hãy nhớ ngay công thức đã viết ở trên, thay thế nó vào nguyên hàm trong bảng của bạn và mọi thứ sẽ trở nên khác biệt hơn nhiều. nhanh hơn và dễ dàng hơn.
Đương nhiên, do tính phức tạp và nghiêm túc của kỹ thuật này, chúng ta sẽ quay lại xem xét nó nhiều lần trong các bài học video sau này, nhưng đó là tất cả cho ngày hôm nay. Tôi hy vọng bài học này sẽ thực sự giúp ích cho những học sinh muốn hiểu về nguyên hàm và tích phân.
Khóa học đại số ở trường bao gồm tích phân và vi phân. Để nghiên cứu tài liệu này bạn cần bảng đạo hàm và tích phân. Để hiểu cách sử dụng chúng, bạn cần xác định các thuật ngữ cơ bản.
Phát sinh f(x) – đặc tính cường độ thay đổi của hàm nguyên hàm F(x) tại một điểm bất kỳ trên đồ thị. Nó biểu thị tỷ lệ giới hạn của số gia của hàm và đối số của nó, có xu hướng bằng 0. Nếu một hàm có đạo hàm hữu hạn tại một điểm bất kỳ thì nó khả vi. Tính đạo hàm là vi phân.
tích phân∫ là nghịch đảo của đạo hàm, biểu thị kích thước diện tích của một phần nhất định của đồ thị. Quá trình tích phân là tìm hàm nguyên hàm.
Cùng một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm. Ví dụ: x^2. Các nguyên hàm chính của nó là x^3/3; x^3/3+1. Chữ số cuối cùng được ký hiệu là chữ C và công thức như sau:
Nếu C đại diện cho một giá trị tùy ý thì tích phân là không xác định, nếu cụ thể thì tích phân là xác định.
Bảng hàm đạo hàm và bảng tích phân sẽ giúp bạn đối phó nhanh chóng và chính xác với các nhiệm vụ toán học phức tạp. Chúng bao gồm các giá trị được sử dụng phổ biến nhất nên học sinh không cần phải ghi nhớ nhiều công thức.
Bảng hàm đạo hàm
ĐẾN vật liệu cần thiết luôn sẵn sàng, bạn có thể tải xuống bảng công thức đạo hàm . Nó chứa các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản:
- lượng giác;
- logarit;
- nghiêm trang;
- số mũ.
Ngoài ra còn có một điều đặc biệt bảng đạo hàm hàm phức tạp . Nó cũng chứa các công thức tính tích của các hàm, tổng và thương của chúng.
Bảng tích phân không xác định và xác định
Để hoàn thành nhanh chóng và chính xác các tác vụ tích hợp, bạn có thể tải về bảng tích phân, chứa tất cả các công thức được sử dụng nhiều nhất. Chúng bao gồm hai cột: cột đầu tiên chứa công thức toán học, thứ hai là văn bản giải thích.
Các bảng bao gồm tích phân cơ bản các chức năng sau:
- hợp lý;
- số mũ;
- logarit;
- không hợp lý;
- lượng giác;
- hyperbol.
Ngoài ra, bạn có thể tải xuống bảng tích phân không xác định.
Bảng cheat với bảng tích phân và đạo hàm
Nhiều giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ các công thức phức tạp. Cách dễ nhất để ghi nhớ là thực hành liên tục và để đảm bảo có sẵn những tài liệu cần thiết trong tay, bạn cần in chúng ra.
Bảng cheat với bảng phái sinh và tích phân sẽ giúp bạn nhanh chóng ghi nhớ tất cả các công thức cần thiết và vượt qua kỳ thi thành công. Để gọn nhẹ và dễ sử dụng, bạn cần chọn khổ A5 - nửa tờ giấy thông thường.
