Thực đơn
trang chủWindows 10

Tìm máy tính trực tuyến chức năng Odz. Logarit - hạn chế về cơ sở của biểu thức logarit và logarit phụ. Miền hàm số mũ và logarit

Hàm căn bậc hai chỉ được xác định cho các giá trị của "x" khi biểu thức căn thức là không âm: . Nếu nghiệm nằm ở mẫu số thì điều kiện rõ ràng là chặt chẽ: . Các phép tính tương tự có giá trị cho mọi nghiệm bậc chẵn dương: , tuy nhiên, gốc đã ở mức 4 trong nghiên cứu chức năng Tôi không nhớ.

Ví dụ 5


Giải pháp: biểu thức căn thức phải không âm:

Trước khi tiếp tục giải, hãy để tôi nhắc bạn về các quy tắc cơ bản để giải bất đẳng thức, được biết đến từ trường học.

Xin lưu ý Đặc biệt chú ý! Bây giờ chúng ta đang xét bất đẳng thức với một biến- nghĩa là, đối với chúng tôi chỉ có một chiều dọc theo trục. Xin đừng nhầm lẫn với bất đẳng thức của hai biến, trong đó toàn bộ mặt phẳng tọa độ có liên quan về mặt hình học. Tuy nhiên, cũng có những sự trùng hợp thú vị! Vì vậy, đối với bất đẳng thức các phép biến đổi sau là tương đương:

1) Các thuật ngữ có thể được chuyển từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân với một số dương.

3) Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với tiêu cực số thì bạn cần thay đổi dấu hiệu của sự bất đẳng thức. Ví dụ, nếu có “nhiều hơn” thì nó sẽ trở thành “ít hơn”; nếu nó “nhỏ hơn hoặc bằng” thì nó sẽ trở thành “lớn hơn hoặc bằng”.

Trong bất đẳng thức ta chuyển số “ba” sang bên phải với sự thay đổi dấu hiệu (quy tắc số 1):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với –1 (quy tắc số 3):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (quy tắc số 2):

Trả lời: lãnh địa:

Câu trả lời cũng có thể được viết bằng một cụm từ tương đương: “hàm được xác định tại .”
Về mặt hình học, vùng xác định được mô tả bằng cách tô bóng các khoảng tương ứng trên trục hoành. TRONG trong trường hợp này:

Một lần nữa tôi nhắc bạn về ý nghĩa hình học của miền định nghĩa - đồ thị của hàm số chỉ tồn tại trong vùng bóng mờ và không có ở .

Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định thuần túy phân tích miền định nghĩa là phù hợp, nhưng khi hàm rất phức tạp, bạn nên vẽ trục và ghi chú.

Ví dụ 6

Tìm miền xác định của hàm

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập.

Khi có một nhị thức bình phương hoặc tam thức dưới căn bậc hai, tình huống trở nên phức tạp hơn một chút và bây giờ chúng ta sẽ phân tích chi tiết kỹ thuật giải:

Ví dụ 7

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải hoàn toàn dương, tức là ta cần giải bất đẳng thức. Ở bước đầu tiên, chúng ta thử phân tích tam thức bậc hai:

Phân biệt đối xử là tích cực, chúng tôi đang tìm kiếm gốc:

Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm, nghĩa là một phần của parabol nằm bên dưới trục (bất đẳng thức) và một phần của parabol nằm trên trục (bất đẳng thức chúng ta cần).


Vì hệ số là , nên các nhánh của parabol hướng lên trên. Từ đó suy ra rằng bất đẳng thức được thỏa mãn trên các khoảng (các nhánh của parabol đi lên đến vô cùng) và đỉnh của parabol nằm trên khoảng bên dưới trục x, tương ứng với bất đẳng thức:

! Ghi chú: Nếu bạn không hiểu hết lời giải thích, vui lòng vẽ trục thứ hai và toàn bộ parabol! Nên quay lại bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản và hướng dẫn đào tạo Công thức nóng hổi khóa học nhà toán học.

Xin lưu ý rằng bản thân các điểm sẽ bị xóa (không được đưa vào nghiệm), vì bất đẳng thức của chúng ta là nghiêm ngặt.

Trả lời: lãnh địa:

Nói chung, nhiều bất đẳng thức (bao gồm cả bất đẳng thức đang xét) đều được giải quyết bằng phương pháp phổ quát. phương pháp khoảng, được biết đến lần nữa từ chương trình giáo dục. Nhưng trong trường hợp nhị thức vuông và tam thức, theo tôi, việc phân tích vị trí của parabol so với trục sẽ thuận tiện và nhanh hơn nhiều. Và chúng ta sẽ phân tích phương pháp chính - phương pháp khoảng - một cách chi tiết trong bài viết. Các số không của hàm. Khoảng thời gian cố định.

Ví dụ 8

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Mẫu nhận xét chi tiết về logic suy luận + cách giải thứ hai và một phép biến đổi quan trọng khác của bất đẳng thức mà nếu không biết học sinh sẽ đi khập khiễng bằng một chân..., ...hmm... có lẽ tôi phấn khích quá về chân, nhiều khả năng là ở một ngón chân. Ngón tay cái.

Có thể xác định hàm căn bậc hai trên toàn bộ trục số không? Chắc chắn. Toàn những gương mặt quen thuộc: . Hoặc một tổng tương tự có số mũ: . Thật vậy, với mọi giá trị của “x” và “ka”: , do đó bằng nhau và .. Ví dụ, hàm được xác định trên toàn bộ trục số. Tuy nhiên, hàm số có một điểm duy nhất vẫn chưa nằm trong phạm vi định nghĩa vì mẫu số được đặt bằng 0. Vì lý do tương tự cho chức năng điểm bị loại trừ.

Đối với một số khách truy cập trang web, các ví dụ được đề cập sẽ có vẻ cơ bản và thô sơ, nhưng đây không phải là ngẫu nhiên - thứ nhất, tôi cố gắng “mài giũa” tài liệu cho những người mới bắt đầu và thứ hai, tôi chọn những thứ thực tế cho các nhiệm vụ trong tương lai: nghiên cứu đầy đủ chức năng, Phát hiện miền định nghĩa của hàm hai biến và một số người khác. Mọi thứ trong toán học đều bám vào nhau. Mặc dù những người thích khó khăn cũng sẽ không bị thiếu thốn nhưng những nhiệm vụ nghiêm túc hơn sẽ được tìm thấy ở đây và trong bài học.
về phương pháp khoảng.

Bất kỳ biểu thức nào có biến đều có phạm vi giá trị hợp lệ riêng, nơi nó tồn tại. ODZ phải luôn được tính đến khi đưa ra quyết định. Nếu nó vắng mặt, bạn có thể nhận được một kết quả không chính xác.

Bài viết này sẽ chỉ ra cách tìm ODZ chính xác và sử dụng các ví dụ. Tầm quan trọng của việc chỉ ra DZ khi đưa ra quyết định cũng sẽ được thảo luận.

Yandex.RTB RA-339285-1

Giá trị biến hợp lệ và không hợp lệ

Định nghĩa này liên quan đến các giá trị được phép của biến. Khi chúng tôi giới thiệu định nghĩa, hãy xem nó sẽ dẫn đến kết quả gì.

Bắt đầu từ lớp 7 chúng ta bắt đầu làm việc với các con số và biểu thức số. Các định nghĩa ban đầu với các biến sẽ chuyển sang ý nghĩa của các biểu thức với các biến đã chọn.

Khi có các biểu thức với các biến được chọn, một số biến có thể không thỏa mãn. Ví dụ: một biểu thức có dạng 1: a, nếu a = 0 thì nó vô nghĩa vì không thể chia cho 0. Nghĩa là, biểu thức phải có các giá trị phù hợp trong mọi trường hợp và sẽ đưa ra câu trả lời. Nói cách khác, chúng có ý nghĩa với các biến hiện có.

Định nghĩa 1

Nếu có một biểu thức chứa các biến thì nó chỉ có ý nghĩa nếu giá trị có thể được tính bằng cách thay thế chúng.

Định nghĩa 2

Nếu có một biểu thức với các biến, thì sẽ không có ý nghĩa gì khi thay thế chúng, giá trị không thể tính được.

Nghĩa là, điều này ngụ ý một định nghĩa hoàn chỉnh

Định nghĩa 3

Các biến được chấp nhận hiện có là những giá trị mà biểu thức có ý nghĩa. Và nếu nó không có ý nghĩa thì chúng được coi là không thể chấp nhận được.

Để làm rõ điều trên: nếu có nhiều hơn một biến thì có thể có một cặp giá trị phù hợp.

ví dụ 1

Ví dụ, hãy xem xét một biểu thức có dạng 1 x - y + z, trong đó có ba biến. Ngược lại, bạn có thể viết nó dưới dạng x = 0, y = 1, z = 2, trong khi một mục khác có dạng (0, 1, 2). Các giá trị này được gọi là hợp lệ, có nghĩa là có thể tìm thấy giá trị của biểu thức. Chúng ta có được 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Từ đó ta thấy (1, 1, 2) không thể chấp nhận được. Sự thay thế dẫn đến chia cho 0, nghĩa là 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ là gì?

Phạm vi giá trị chấp nhận được là một yếu tố quan trọng khi đánh giá các biểu thức đại số. Vì vậy, cần chú ý đến điều này khi thực hiện tính toán.

Định nghĩa 4

khu vực ODZ là tập hợp các giá trị được phép cho một biểu thức nhất định.

Hãy xem xét một biểu thức ví dụ.

Ví dụ 2

Nếu chúng ta có biểu thức có dạng 5 z - 3 thì ODZ có dạng (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Khoảng giá trị chấp nhận được này thỏa mãn biến z cho biểu thức đã cho.

Nếu có các biểu thức có dạng z x - y thì rõ ràng x ≠ y, z nhận bất kỳ giá trị nào. Đây được gọi là biểu thức ODZ. Nó phải được tính đến để không bị chia cho 0 khi thay thế.

Phạm vi giá trị cho phép và phạm vi định nghĩa có cùng ý nghĩa. Chỉ cái thứ hai trong số chúng được sử dụng cho các biểu thức và cái thứ nhất được sử dụng cho các phương trình hoặc bất đẳng thức. Với sự trợ giúp của DL, biểu thức hoặc bất đẳng thức sẽ có ý nghĩa. Miền định nghĩa của hàm số trùng với khoảng giá trị cho phép của biến x đối với biểu thức f(x).

Làm thế nào để tìm ODZ? Ví dụ, giải pháp

Tìm ODZ có nghĩa là tìm thấy mọi thứ giá trị hợp lệ, phù hợp với một hàm số hoặc bất đẳng thức cho trước. Việc không đáp ứng các điều kiện này có thể dẫn đến kết quả không chính xác. Để tìm ODZ, thường cần phải thực hiện các phép biến đổi trong một biểu thức nhất định.

Có những biểu thức mà việc tính toán của chúng là không thể:

  • nếu có phép chia cho số 0;
  • lấy căn của số âm;
  • sự hiện diện của chỉ báo số nguyên âm – chỉ dành cho số dương;
  • tính logarit của số âm;
  • miền định nghĩa tiếp tuyến π 2 + π · k, k ∈ Z và cotang π · k, k ∈ Z;
  • tìm giá trị arcsine và arccosine của một số cho giá trị không thuộc [ - 1 ; 1] .

Tất cả điều này cho thấy tầm quan trọng của việc có ODZ.

Ví dụ 3

Tìm biểu thức ODZ x 3 + 2 x y − 4 .

Giải pháp

Bất kỳ số nào cũng có thể được lập phương. Biểu thức này không có phân số nên giá trị của x và y có thể là bất kỳ giá trị nào. Nghĩa là, ODZ là số bất kỳ.

Trả lời: x và y – bất kỳ giá trị nào.

Ví dụ 4

Tìm ODZ của biểu thức 1 3 - x + 1 0.

Giải pháp

Có thể thấy rằng có một phân số có mẫu số bằng 0. Điều này có nghĩa là với bất kỳ giá trị nào của x, chúng ta sẽ được chia cho 0. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức này được coi là không xác định, nghĩa là nó không có bất kỳ trách nhiệm pháp lý bổ sung nào.

Trả lời: ∅ .

Ví dụ 5

Tìm ODZ của biểu thức đã cho x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Giải pháp

Sự hiện diện của căn bậc hai có nghĩa là biểu thức này phải lớn hơn hoặc bằng 0. Nếu nó là tiêu cực, nó không có ý nghĩa. Điều này có nghĩa là cần phải viết bất đẳng thức dạng x + 2 · y + 3 ≥ 0. Đó là, đây là phạm vi mong muốn của các giá trị có thể chấp nhận được.

Trả lời: tập hợp x và y, trong đó x + 2 y + 3 ≥ 0.

Ví dụ 6

Xác định biểu thức ODZ có dạng 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Giải pháp

Theo điều kiện, chúng ta có một phân số nên mẫu số của nó không được bằng 0. Chúng ta nhận được x + 1 - 1 ≠ 0. Biểu thức căn thức luôn có ý nghĩa khi lớn hơn hoặc bằng 0, tức là x + 1 ≥ 0. Vì nó có logarit nên biểu thức của nó phải hoàn toàn dương, nghĩa là x 2 + 3 > 0. Cơ số của logarit cũng phải có giá trị dương và khác 1 thì ta cộng các điều kiện x + 8 > 0 và x + 8 ≠ 1. Theo đó, ODZ mong muốn sẽ có dạng:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Nói cách khác, nó được gọi là hệ bất đẳng thức một biến. Lời giải sẽ dẫn đến ký hiệu ODZ sau [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Trả lời: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Tại sao điều quan trọng là phải xem xét DPD khi thúc đẩy sự thay đổi?

Trong quá trình chuyển đổi danh tính, điều quan trọng là phải tìm ODZ. Có những trường hợp không tồn tại ODZ. Để hiểu liệu một biểu thức đã cho có nghiệm hay không, bạn cần so sánh VA của các biến của biểu thức ban đầu và VA của biểu thức kết quả.

Chuyển đổi nhận dạng:

  • có thể không ảnh hưởng đến DL;
  • có thể dẫn đến việc mở rộng hoặc bổ sung DZ;
  • có thể thu hẹp DZ.

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ 7

Nếu chúng ta có biểu thức có dạng x 2 + x + 3 · x thì ODZ của nó được xác định trên toàn bộ miền định nghĩa. Ngay cả khi đưa các thuật ngữ tương tự và đơn giản hóa cách diễn đạt thì ODZ vẫn không thay đổi.

Ví dụ 8

Nếu chúng ta lấy ví dụ về biểu thức x + 3 x − 3 x, thì mọi thứ sẽ khác. Chúng ta có một biểu thức phân số. Và chúng ta biết rằng việc chia cho 0 là không thể chấp nhận được. Khi đó ODZ có dạng (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Có thể thấy số 0 không phải là nghiệm nên ta thêm nó bằng dấu ngoặc đơn.

Hãy xem xét một ví dụ với sự hiện diện của một biểu thức căn bản.

Ví dụ 9

Nếu có x - 1 · x - 3, thì bạn nên chú ý đến ODZ, vì nó phải được viết dưới dạng bất đẳng thức (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Có thể giải bằng phương pháp khoảng, khi đó ta thấy ODZ sẽ có dạng (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞). Sau khi biến đổi x - 1 · x - 3 và áp dụng tính chất nghiệm, ta có thể bổ sung ODZ và viết được mọi bất phương trình dưới dạng hệ bất phương trình dạng x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Khi giải ra ta thấy [ 3 , + ∞) . Điều này có nghĩa là ODZ được viết hoàn toàn như sau: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Phải tránh những biến đổi làm thu hẹp DZ.

Ví dụ 10

Hãy xem xét một ví dụ về biểu thức x - 1 · x - 3, khi x = - 1. Khi thay thế, ta được - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Nếu chúng ta biến đổi biểu thức này và đưa nó về dạng x - 1 · x - 3, thì khi tính toán, chúng ta thấy rằng 2 - 1 · 2 - 3 biểu thức này vô nghĩa, vì biểu thức căn thức không được âm.

Cần phải tuân thủ các phép biến đổi giống hệt nhau để ODZ không thay đổi.

Nếu có những ví dụ mở rộng về nó thì nó sẽ được thêm vào DL.

Ví dụ 11

Hãy xem ví dụ về một phân số có dạng x x 3 + x. Nếu chúng ta hủy x, thì chúng ta nhận được 1 x 2 + 1. Sau đó ODZ mở rộng và trở thành (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Hơn nữa, khi tính toán, chúng ta đã làm việc với phân số tối giản thứ hai.

Với sự hiện diện của logarit, tình hình hơi khác một chút.

Ví dụ 12

Nếu có biểu thức dạng ln x + ln (x + 3) thì nó được thay thế bằng ln (x · (x + 3)), dựa trên tính chất của logarit. Từ đây chúng ta có thể thấy ODZ từ (0 , + ∞) đến (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Do đó, để xác định ODZ ln (x · (x + 3)) cần phải thực hiện các phép tính trên ODZ, tức là tập hợp (0, + ∞).

Khi giải luôn phải chú ý đến cấu trúc và kiểu biểu thức mà điều kiện đã cho. Nếu vùng định nghĩa được tìm thấy chính xác, kết quả sẽ dương.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định người nào đó hoặc kết nối với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

  • Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

  • Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
  • Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
  • Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
  • Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

  • Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục pháp lý và/hoặc dựa trên yêu cầu của công chúng hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
  • Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Làm sao ?
Ví dụ về giải pháp

Nếu thiếu thứ gì đó ở đâu đó, có nghĩa là có thứ gì đó ở đâu đó

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phần “Hàm số và Đồ thị”, và trạm tiếp theo trong hành trình của chúng ta là. Thảo luận tích cực Khái niệm này bắt đầu trong bài viết về bộ và tiếp tục trong bài học đầu tiên về đồ thị hàm số, trong đó tôi đã xem xét các hàm cơ bản và đặc biệt là các miền định nghĩa của chúng. Vì vậy, tôi khuyên những người giả nên bắt đầu với những điều cơ bản của chủ đề, vì tôi sẽ không tập trung vào một số điểm cơ bản nữa.

Giả sử rằng người đọc biết phạm vi định nghĩa của các hàm sau: tuyến tính, bậc hai, bậc ba, đa thức, hàm mũ, sin, cosin. Chúng được xác định trên (tập hợp tất cả các số thực). Đối với các tiếp tuyến, cung, cũng vậy, tôi tha thứ cho bạn =) - những đồ thị hiếm hơn không được ghi nhớ ngay lập tức.

Phạm vi định nghĩa tưởng chừng như là một điều đơn giản và một câu hỏi logic được đặt ra: bài viết sẽ nói về cái gì? TRÊN bài học này Tôi sẽ xem xét các vấn đề thường gặp khi tìm miền định nghĩa của hàm số. Hơn nữa, chúng tôi sẽ lặp lại bất đẳng thức một biến, kỹ năng giải của chúng cũng sẽ được yêu cầu trong các bài toán khác của toán học cao hơn. Nhân tiện, tài liệu này đều là tài liệu của trường nên sẽ hữu ích không chỉ cho học sinh mà còn cho cả học sinh. Tất nhiên, thông tin không mang tính chất bách khoa, nhưng đây không phải là những ví dụ “chết” xa vời mà là hạt dẻ rang, được lấy từ những công trình thực tế có thật.

Hãy bắt đầu với việc đi sâu vào chủ đề. Nói ngắn gọn về điều chính: chúng ta đang nói về hàm một biến. Miền định nghĩa của nó là nhiều ý nghĩa của "x", mà hiện hữu nghĩa của “người chơi”. Hãy xem xét một ví dụ giả định:

Miền định nghĩa của hàm này là hợp của các khoảng:
(dành cho ai quên: - biểu tượng thống nhất). Nói cách khác, nếu bạn lấy bất kỳ giá trị “x” nào từ khoảng , hoặc từ , hoặc từ , thì với mỗi “x” như vậy sẽ có một giá trị “y”.

Nói một cách đại khái, ở đâu có miền định nghĩa thì ở đó có đồ thị của hàm số. Nhưng nửa quãng và điểm “tse” không được đưa vào vùng định nghĩa và không có biểu đồ ở đó.

Làm thế nào để tìm miền của một hàm? Nhiều người nhớ đến vần điệu của trẻ em: “đá, giấy, kéo” và trong trường hợp này nó có thể được diễn giải một cách an toàn: “gốc, phân số và logarit”. Vì vậy, nếu bạn gặp một phân số, căn bậc hoặc logarit trên đường đời của mình, bạn nên hết sức cảnh giác ngay lập tức! Tangent, cotang, arcsine, arccosine ít phổ biến hơn nhiều và chúng ta cũng sẽ nói về chúng. Nhưng trước hết, những phác họa về cuộc đời của loài kiến:

Miền của hàm chứa phân số

Giả sử chúng ta được cho một hàm chứa một số phân số. Như bạn đã biết, bạn không thể chia cho 0: , vì vậy những Các giá trị “X” biến mẫu số về 0 không nằm trong phạm vi của hàm này.

Tôi sẽ không tập trung vào nhiều nhất chức năng đơn giản giống v.v., vì mọi người đều nhìn thấy rõ ràng những điểm không nằm trong phạm vi định nghĩa của họ. Hãy xem xét các phân số có ý nghĩa hơn:

ví dụ 1

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: Tử số không có gì đặc biệt nhưng mẫu số phải khác 0. Hãy đặt nó bằng 0 và cố gắng tìm ra những điểm "xấu":

Phương trình kết quả có hai gốc: . Giá trị dữ liệu không nằm trong phạm vi của chức năng. Thật vậy, thay thế hoặc vào hàm và bạn sẽ thấy mẫu số tiến về 0.

Trả lời: lãnh địa:

Mục nhập có nội dung như sau: “Miền định nghĩa là tất cả các số thực ngoại trừ tập hợp bao gồm các giá trị " Hãy để tôi nhắc bạn rằng ký hiệu dấu gạch chéo ngược trong toán học biểu thị phép trừ logic và dấu ngoặc nhọn biểu thị tập hợp. Câu trả lời có thể được viết tương đương như một công đoàn ba khoảng:

Bất cứ ai thích nó.

Tại các điểm chức năng chịu đựng nghỉ giải lao bất tận, và các đường thẳng được cho bởi các phương trình là Các asymptotes dọc cho đồ thị của hàm số này. Tuy nhiên, đây là một chủ đề hơi khác và tôi sẽ không tập trung vào vấn đề này thêm nữa.

Ví dụ 2

Tìm miền xác định của hàm

Nhiệm vụ này chủ yếu là nói và nhiều bạn sẽ gần như ngay lập tức tìm ra lĩnh vực cần xác định. Đáp án có ở cuối bài học.

Liệu một phân số có luôn là “xấu” không? KHÔNG. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ dòng số. Cho dù chúng ta lấy giá trị nào của “x”, mẫu số sẽ không về 0, hơn nữa, nó sẽ luôn dương: . Vì vậy, phạm vi của chức năng này là: .

Mọi chức năng như được xác định và tiếp diễn TRÊN .

Tình huống phức tạp hơn một chút khi mẫu số bị chiếm bởi một tam thức bậc hai:

Ví dụ 3

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: Hãy thử tìm những điểm mà tại đó mẫu số tiến tới 0. Đối với điều này chúng tôi sẽ quyết định phương trình bậc hai:

Phân biệt đối xử hóa ra là số âm, có nghĩa là không có nghiệm thực sự và hàm của chúng ta được xác định trên toàn bộ trục số.

Trả lời: lãnh địa:

Ví dụ 4

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án ở cuối bài. Tôi khuyên bạn đừng lười biếng với những vấn đề đơn giản, vì những hiểu lầm sẽ tích lũy với những ví dụ tiếp theo.

Miền của hàm có gốc

Hàm căn bậc hai chỉ được xác định cho các giá trị của "x" khi biểu thức căn thức là không âm: . Nếu nghiệm nằm ở mẫu số thì điều kiện rõ ràng là chặt chẽ: . Các phép tính tương tự có giá trị cho mọi nghiệm bậc chẵn dương: , tuy nhiên, gốc đã ở mức 4 trong nghiên cứu chức năng Tôi không nhớ.

Ví dụ 5

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải không âm:

Trước khi tiếp tục giải, hãy để tôi nhắc bạn về các quy tắc cơ bản để giải bất đẳng thức, được biết đến từ trường học.

Tôi đặc biệt chú ý! Bây giờ chúng ta đang xét bất đẳng thức với một biến- nghĩa là, đối với chúng tôi chỉ có một chiều dọc theo trục. Xin đừng nhầm lẫn với bất đẳng thức của hai biến, trong đó toàn bộ mặt phẳng tọa độ có liên quan về mặt hình học. Tuy nhiên, cũng có những sự trùng hợp thú vị! Vì vậy, đối với bất đẳng thức các phép biến đổi sau là tương đương:

1) Các điều khoản có thể được chuyển từ phần này sang phần khác bằng cách thay đổi (các điều khoản) của chúng dấu hiệu.

2) Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân với một số dương.

3) Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với tiêu cực số thì bạn cần thay đổi dấu hiệu của sự bất đẳng thức. Ví dụ, nếu có “nhiều hơn” thì nó sẽ trở thành “ít hơn”; nếu nó “nhỏ hơn hoặc bằng” thì nó sẽ trở thành “lớn hơn hoặc bằng”.

Trong bất đẳng thức, chúng ta chuyển số “ba” sang bên phải bằng cách đổi dấu (quy tắc số 1):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với –1 (quy tắc số 3):

Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức với (quy tắc số 2):

Trả lời: lãnh địa:

Câu trả lời cũng có thể được viết bằng một cụm từ tương đương: “hàm được xác định tại .”
Về mặt hình học, vùng xác định được mô tả bằng cách tô bóng các khoảng tương ứng trên trục hoành. Trong trường hợp này:

Một lần nữa tôi nhắc bạn về ý nghĩa hình học của miền định nghĩa - đồ thị của hàm số chỉ tồn tại trong vùng bóng mờ và không có ở .

Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định thuần túy phân tích miền định nghĩa là phù hợp, nhưng khi hàm rất phức tạp, bạn nên vẽ trục và ghi chú.

Ví dụ 6

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Khi có một nhị thức bình phương hoặc tam thức dưới căn bậc hai, tình huống trở nên phức tạp hơn một chút và bây giờ chúng ta sẽ phân tích chi tiết kỹ thuật giải:

Ví dụ 7

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: biểu thức căn thức phải hoàn toàn dương, tức là ta cần giải bất đẳng thức. Ở bước đầu tiên, chúng ta thử phân tích tam thức bậc hai:

Phân biệt đối xử là tích cực, chúng tôi tìm kiếm gốc:

Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm, nghĩa là một phần của parabol nằm bên dưới trục (bất đẳng thức) và một phần của parabol nằm trên trục (bất đẳng thức chúng ta cần).

Vì hệ số là , nên các nhánh của parabol hướng lên trên. Từ đó suy ra rằng bất đẳng thức được thỏa mãn trên các khoảng (các nhánh của parabol đi lên đến vô cùng) và đỉnh của parabol nằm trên khoảng bên dưới trục x, tương ứng với bất đẳng thức:

! Ghi chú: Nếu bạn không hiểu hết lời giải thích, vui lòng vẽ trục thứ hai và toàn bộ parabol! Nên quay lại bài viết và hướng dẫn Những công thức hot cho môn toán học đường.

Xin lưu ý rằng bản thân các điểm sẽ bị xóa (không được đưa vào nghiệm), vì bất đẳng thức của chúng ta là nghiêm ngặt.

Trả lời: lãnh địa:

Nói chung, nhiều bất đẳng thức (bao gồm cả bất đẳng thức đang xét) đều được giải quyết bằng phương pháp phổ quát. phương pháp khoảng, được biết đến một lần nữa từ chương trình giảng dạy của trường. Nhưng trong trường hợp nhị thức vuông và tam thức, theo tôi, việc phân tích vị trí của parabol so với trục sẽ thuận tiện và nhanh hơn nhiều. Và chúng ta sẽ phân tích phương pháp chính - phương pháp khoảng - một cách chi tiết trong bài viết. Các số không của hàm. Khoảng thời gian cố định.

Ví dụ 8

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Mẫu nhận xét chi tiết về logic suy luận + cách giải thứ hai và một phép biến đổi quan trọng khác của bất đẳng thức mà nếu không biết học sinh sẽ đi khập khiễng bằng một chân..., ...hmm... có lẽ tôi phấn khích quá về chân, nhiều khả năng là ở một ngón chân. Ngón tay cái.

Có thể xác định hàm căn bậc hai trên toàn bộ trục số không? Chắc chắn. Toàn những gương mặt quen thuộc: . Hoặc một tổng tương tự có số mũ: . Thật vậy, với mọi giá trị của “x” và “ka”: , do đó và .

Đây là một ví dụ ít rõ ràng hơn: . Ở đây phân biệt đối xử là âm (parabol không cắt trục x), trong khi các nhánh của parabol hướng lên trên, do đó có miền định nghĩa: .

Câu hỏi ngược lại: liệu miền định nghĩa của hàm có thể được trống? Có, và một ví dụ nguyên thủy ngay lập tức gợi ý , trong đó biểu thức căn thức âm đối với bất kỳ giá trị nào của “x” và miền định nghĩa: (biểu tượng tập hợp trống). Một hàm như vậy hoàn toàn không được xác định (tất nhiên, đồ thị cũng chỉ là ảo ảnh).

Với rễ lẻ vân vân. mọi thứ tốt hơn nhiều - ở đây biểu thức căn thức có thể âm. Ví dụ, một hàm được xác định trên toàn bộ dòng số. Tuy nhiên, hàm số có một điểm duy nhất vẫn chưa nằm trong phạm vi định nghĩa vì mẫu số được đặt bằng 0. Vì lý do tương tự cho chức năng điểm bị loại trừ.

Miền của hàm số với logarit

Hàm phổ biến thứ ba là logarit. Để làm ví dụ, tôi sẽ vẽ logarit tự nhiên, xảy ra ở khoảng 99 ví dụ trong số 100 ví dụ. Nếu một hàm nhất định chứa logarit, thì miền định nghĩa của nó chỉ nên bao gồm các giá trị “x” thỏa mãn bất đẳng thức. Nếu logarit ở mẫu số: , thì Ngoài ra một điều kiện được áp đặt (vì ).

Ví dụ 9

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: theo phương trình trên ta sẽ soạn và giải hệ:

Giải pháp đồ họa dành cho người giả:

Trả lời: lãnh địa:

Tôi sẽ dừng lại ở một lần nữa điểm kỹ thuật– Tôi không có thước đo và các vạch chia dọc theo trục không được đánh dấu. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để vẽ những bức vẽ như vậy vào một cuốn sổ trên giấy ca rô? Khoảng cách giữa các điểm có nên đo bằng ô theo đúng tỷ lệ không? Tất nhiên, nó hợp quy hơn và chặt chẽ hơn về tỷ lệ, nhưng một bản vẽ sơ đồ phản ánh cơ bản tình hình cũng khá có thể chấp nhận được.

Ví dụ 10

Tìm miền xác định của hàm

Để giải quyết vấn đề, bạn có thể sử dụng phương pháp của đoạn trước - phân tích vị trí của parabol so với trục x. Đáp án có ở cuối bài học.

Như bạn có thể thấy, trong lĩnh vực logarit, mọi thứ đều rất giống với tình huống có căn bậc hai: hàm (tam thức bình phương từ Ví dụ số 7) được xác định trên các khoảng và hàm (nhị phân bình phương từ Ví dụ số 6) trên khoảng . Thật xấu hổ khi nói rằng, các hàm kiểu được xác định trên toàn bộ dòng số.

Thông tin hữu ích : hấp dẫn chức năng điển hình, nó được xác định trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm. Theo tính chất của logarit, số “hai” có thể nhân bên ngoài logarit, nhưng để hàm số không thay đổi thì chữ “x” phải được đặt dưới dấu mô đun: . Đây là một cái khác cho bạn" công dụng thực tế» mô-đun =). Đây là điều bạn cần làm trong hầu hết các trường hợp khi phá dỡ thậm chí bằng cấp, ví dụ: . Ví dụ: nếu cơ số của bậc rõ ràng là dương thì không cần ký hiệu mô đun và chỉ cần đạt được là đủ. dấu ngoặc đơn: .

Để tránh sự lặp lại, hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Ví dụ 11

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: trong hàm này chúng ta có cả căn số và logarit.

Biểu thức căn thức phải không âm: , và biểu thức dưới dấu logarit phải hoàn toàn dương: . Vì vậy cần giải hệ:

Nhiều bạn biết rất rõ hoặc đoán bằng trực giác rằng giải pháp hệ thống phải thỏa mãn cho mỗi người tình trạng.

Xem xét vị trí của parabol so với trục, chúng ta đi đến kết luận rằng bất đẳng thức được thỏa mãn bởi khoảng (màu xanh lam):

Bất đẳng thức hiển nhiên tương ứng với nửa khoảng “đỏ”.

Vì phải đáp ứng cả hai điều kiện đồng thời, thì nghiệm của hệ là giao của các khoảng này. “Lợi ích chung” được đáp ứng trong hiệp một.

Trả lời: lãnh địa:

Bất đẳng thức điển hình, như được minh họa trong Ví dụ số 8, không khó giải quyết bằng phương pháp giải tích.

Miền định nghĩa được tìm thấy sẽ không thay đổi đối với " chức năng tương tự", ví dụ, đối với hoặc . Bạn cũng có thể thêm một số hàm liên tục, ví dụ: , hoặc như thế này: , hoặc thậm chí như thế này: . Như người ta nói, căn số và logarit là những thứ cứng đầu. Điều duy nhất là nếu một trong các hàm được “đặt lại” về mẫu số thì miền định nghĩa sẽ thay đổi (mặc dù trong trường hợp chungĐiêu nay không phải luc nao cung đung). Chà, trong lý thuyết matan về lời nói này... ồ... có những định lý.

Ví dụ 12

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Sử dụng bản vẽ là khá phù hợp vì chức năng này không phải là đơn giản nhất.

Một vài ví dụ nữa để củng cố tài liệu:

Ví dụ 13

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: hãy soạn và giải hệ phương trình:

Tất cả các hành động đã được thảo luận trong suốt bài viết. Hãy vẽ khoảng tương ứng với bất đẳng thức trên trục số và theo điều kiện thứ hai loại bỏ hai điểm:

Ý nghĩa hóa ra hoàn toàn không liên quan.

Trả lời: lãnh địa

Một cách chơi chữ toán học nhỏ trên một biến thể của ví dụ thứ 13:

Ví dụ 14

Tìm miền xác định của hàm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Ai bỏ lỡ thì bỏ lỡ ;-)

Phần cuối cùng của bài học được dành cho các chức năng hiếm hơn nhưng cũng có thể “hoạt động”:

Khu vực định nghĩa chức năng
với các tiếp tuyến, côtang, arcsin, arcsin

Nếu hàm nào đó bao gồm , thì từ miền định nghĩa của nó bị loại trừđiểm , Ở đâu Z– một tập hợp các số nguyên. Đặc biệt, như đã nêu trong bài viết Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản, hàm có các giá trị sau:

Đó là miền định nghĩa của tiếp tuyến: .

Chúng ta đừng giết quá nhiều:

Ví dụ 15

Tìm miền xác định của hàm

Giải pháp: trong trường hợp này, các điểm sau sẽ không nằm trong phạm vi định nghĩa:

Hãy ném số "hai" của vế trái vào mẫu số của vế phải:

Kết quả là :

Trả lời: lãnh địa: .

Về nguyên tắc, đáp án có thể được viết dưới dạng kết hợp của vô số khoảng, nhưng việc xây dựng sẽ rất cồng kềnh:

Giải pháp phân tích hoàn toàn đồng ý với biến đổi hình học của đồ thị: nếu đối số của một hàm được nhân với 2 thì đồ thị của nó sẽ co lại về trục hai lần. Lưu ý rằng chu kỳ của hàm đã giảm đi một nửa và điểm dừng tần số tăng gấp đôi. Nhịp tim nhanh.

Một câu chuyện tương tự với cotang. Nếu một số hàm bao gồm , thì các điểm sẽ bị loại khỏi miền định nghĩa của nó. Cụ thể, đối với chức năng chụp liên tục tự động, chúng tôi lấy các giá trị sau:

Nói cách khác:

Có đủ trong toán học một lượng nhỏ các hàm cơ bản có phạm vi định nghĩa bị giới hạn. Tất cả các hàm "phức tạp" khác chỉ là sự kết hợp và kết hợp của chúng.

1. Hàm phân số - hạn chế về mẫu số.

2. Căn bậc chẵn - hạn chế biểu hiện căn thức.

3. Logarit - hạn chế về cơ số của biểu thức logarit và logarit phụ.

3. Lượng giác tg(x) và ctg(x) - hạn chế của đối số.

Đối với tiếp tuyến:

4. Hàm lượng giác nghịch đảo.

arcsin cung cosin Arctang, Arctang

Tiếp theo, các ví dụ sau được giải quyết về chủ đề “Miền định nghĩa hàm”.

ví dụ 1 Ví dụ 2
Ví dụ 3 Ví dụ 4
Ví dụ 5 Ví dụ 6
Ví dụ 7 Ví dụ 8
Ví dụ 9 Ví dụ 10
Ví dụ 11 Ví dụ 12
Ví dụ 13 Ví dụ 14
Ví dụ 15 Ví dụ 16

Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 1

Tìm miền định nghĩa của bất kỳ hàm tuyến tính nào, tức là chức năng bậc một:

y = 2x + 3 - phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hàm và suy nghĩ xem chúng ta có thể thay thế những giá trị số nào vào phương trình thay cho biến x?

Hãy thử thay thế giá trị x=0

Vì y = 2 0 + 3 = 3 - ta có giá trị số, do đó hàm tồn tại với giá trị đã cho của biến x=0.

Hãy thử thay thế giá trị x=10

vì y = 2·10 + 3 = 23 - hàm tồn tại với giá trị đã cho của biến x=10.

Hãy thử thay thế giá trị x=-10

vì y = 2·(-10) + 3 = -17 - hàm tồn tại với giá trị cho trước của biến x = -10.

Phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng và đường thẳng không có điểm đầu cũng như điểm cuối nên tồn tại với mọi giá trị của x.


Lưu ý rằng cho dù chúng ta thay thế giá trị số nào vào hàm cho trước thay vì x thì chúng ta sẽ luôn nhận được giá trị số của biến y.

Do đó, hàm tồn tại với mọi giá trị x ∈ R, hoặc chúng ta viết nó như sau: D(f) = R

Các dạng viết đáp án: D(f)=R hoặc D(f)=(-∞:+∞)or x∈R hoặc x∈(-∞:+∞)

Hãy kết luận:

Với mọi hàm có dạng y = ax + b, miền định nghĩa là tập hợp số thực.

Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 2

Một chức năng của hình thức:

y = 10/(x + 5) - phương trình hyperbol

Khi xử lý hàm phân số, hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho 0. Do đó hàm sẽ tồn tại với mọi giá trị của x không

đặt mẫu số về 0. Hãy thử thay thế một số giá trị tùy ý của x.

Tại x = 0 ta có y = 10/(0 + 5) = 2 - hàm số tồn tại.

Với x = 10 ta có y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- chức năng tồn tại.

Tại x = -5 chúng ta có y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - hàm số không tồn tại tại điểm này.

Những thứ kia. Nếu như hàm đã cho phân số thì cần phải đánh đồng mẫu số bằng 0 và tìm điểm mà tại đó hàm số không tồn tại.

Trong trường hợp của chúng ta:

x + 5 = 0 → x = -5 - tại thời điểm này hàm đã cho không tồn tại.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Để rõ ràng, hãy mô tả nó bằng đồ họa:

Trên đồ thị, chúng ta cũng thấy rằng hyperbol càng gần đường thẳng x = -5 càng tốt, nhưng bản thân nó không đạt đến giá trị -5.

Ta thấy hàm số đã cho tồn tại ở mọi điểm trên trục thực, ngoại trừ điểm x = -5

Các hình thức ghi chép phản hồi: D(f)=R\(-5) hoặc D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) hoặc x ∈ R\(-5) hoặc x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Nếu hàm đã cho là phân số thì sự có mặt của mẫu số sẽ đặt ra điều kiện là mẫu số không bằng 0.


Ví dụ tìm miền định nghĩa của hàm số 3

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm miền định nghĩa của hàm số có nghiệm bậc chẵn:

Bởi vì Căn bậc hai chúng ta chỉ có thể trích xuất từ ​​một số không âm, do đó hàm dưới gốc không âm.

2x - 8 ≥ 0

Hãy giải một bất đẳng thức đơn giản:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Hàm đã chỉ định chỉ tồn tại với các giá trị tìm thấy của x ≥ 4 hoặc D(f)=)