Giải tích phân bằng phương pháp đổi biến. Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định

MỘT các cách chuyển tích phân về dạng bảng Chúng tôi đã liệt kê cho bạn:

phương pháp thay thế biến;

phương pháp tích hợp từng phần;

Phương pháp tích hợp trực tiếp

phương pháp biểu diễn tích phân không xác định bằng bảng tính tích phân của các phân số hữu tỉ;

phương pháp biểu diễn tích phân không xác định thông qua tích phân bảng cho tích phân của biểu thức vô tỷ;

cách biểu diễn tích phân bất định thông qua dạng bảng đối với tích phân của hàm lượng giác.

Tích phân không xác định của hàm lũy thừa

Tích phân không xác định của hàm số mũ

Nhưng tích phân không xác định của logarit không phải là tích phân bảng; thay vào đó, công thức là dạng bảng:

Tích phân bất định của hàm lượng giác: Tích phân sin, cos và tang

Tích phân không xác định với hàm lượng giác nghịch đảo

Dẫn tới xem dạng bảng hoặc phương pháp tích hợp trực tiếp. Sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau của tích phân, tích phân được rút gọn thành tích phân mà áp dụng được các quy tắc tích phân cơ bản và có thể sử dụng bảng tích phân cơ bản.

Ví dụ

Bài tập. Tìm tích phân

Giải pháp. Hãy sử dụng các tính chất của tích phân và chuyển tích phân này về dạng bảng.

Trả lời.

Về mặt kỹ thuật phương pháp thay thế biến V. không xác định, không thể thiếuđược thực hiện theo hai cách:

– Cộng một hàm vào dấu vi phân. – Thực tế là thay đổi biến.

Cộng một hàm vào dấu vi phân

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.

Hãy phân tích hàm tích phân. Ở đây chúng ta có một phân số và mẫu số là một hàm tuyến tính (với “x” lũy thừa bậc một). Chúng ta nhìn vào bảng tích phân và tìm ra điều giống nhau nhất: .

Ta đưa hàm số dưới dấu vi phân:

Những người cảm thấy khó khăn trong việc tìm ra phân số nào để nhân với nhau có thể nhanh chóng tiết lộ sự khác biệt trong bản nháp: . Vâng, hóa ra điều này có nghĩa là để không có gì thay đổi, tôi cần nhân tích phân với . Tiếp theo chúng ta sử dụng công thức dạng bảng:

Bài kiểm tra: Hàm tích phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân đã được tìm thấy chính xác.

Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định.

Để làm ví dụ, tôi lấy tích phân mà chúng ta đã xem ở đầu bài. Như chúng tôi đã nói, để giải tích phân, chúng tôi thích công thức bảng , và tôi muốn chuyển toàn bộ vấn đề sang cô ấy.

Ý tưởng đằng sau phương pháp thay thế là thay thế một biểu thức phức tạp (hoặc một số hàm) bằng một chữ cái. TRONG trong trường hợp này nó tự gợi ý: Chữ cái phổ biến thứ hai để thay thế là chữ cái . Về nguyên tắc, bạn có thể sử dụng các chữ cái khác, nhưng chúng tôi vẫn sẽ tuân thủ truyền thống.

Vì thế: Nhưng khi chúng tôi thay thế nó, chúng tôi chỉ còn lại ! Có lẽ, nhiều người đã đoán rằng nếu quá trình chuyển đổi được thực hiện sang một biến mới, thì trong tích phân mới, mọi thứ sẽ được biểu thị bằng chữ cái và không có chỗ cho vi phân ở đó cả. Kết luận hợp lý là cần thiết biến thành một biểu thức nào đó chỉ phụ thuộc vào.

Hành động như sau. Sau khi chúng tôi đã chọn được người thay thế, trong ví dụ này. . chúng ta cần tìm sự khác biệt. Với sự khác biệt, tôi nghĩ mọi người đều đã thiết lập được tình bạn.

Kể từ đó

Sau khi phân loại vi phân, tôi khuyên bạn nên viết lại kết quả cuối cùng càng ngắn gọn càng tốt: Bây giờ, theo quy tắc tỷ lệ, chúng ta biểu thị kết quả chúng ta cần:

Sau cùng: Như vậy: Và đây đã là tích phân dạng bảng nhất (dĩ nhiên bảng tích phân cũng đúng cho biến ).

Cuối cùng, tất cả những gì còn lại là tiến hành thay thế ngược lại. Chúng ta hãy nhớ điều đó.

Sẵn sàng.

Thiết kế cuối cùng của ví dụ được xem xét sẽ trông giống như thế này:

“

Hãy thay thế:

“

Biểu tượng này không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào, điều đó có nghĩa là chúng ta đã làm gián đoạn lời giải cho các giải thích trung gian.

Khi chuẩn bị một ví dụ vào vở, tốt hơn là đánh dấu sự thay thế ngược lại bằng bút chì đơn giản.

Chú ý! Trong các ví dụ sau, việc tìm vi phân sẽ không được mô tả chi tiết.

Và bây giờ là lúc nhớ lại giải pháp đầu tiên:

Sự khác biệt là gì? Không có sự khác biệt cơ bản. Nó thực sự là điều tương tự. Nhưng từ quan điểm thiết kế bài toán, phương pháp gộp hàm dưới dấu vi phân ngắn hơn nhiều. Câu hỏi phát sinh. Nếu phương pháp đầu tiên ngắn hơn thì tại sao lại sử dụng phương pháp thay thế? Thực tế là đối với một số tích phân, việc “khớp” hàm số với dấu của vi phân không phải là điều dễ dàng như vậy.

Tích hợp theo bộ phận. Ví dụ về giải pháp

Tích phân của logarit

ví dụ 1

Tìm tích phân không xác định.

Cổ điển. Đôi khi tích phân này có thể được tìm thấy trong các bảng, nhưng không nên sử dụng câu trả lời làm sẵn vì giáo viên bị thiếu vitamin mùa xuân và sẽ chửi thề nặng nề. Bởi vì tích phân đang được xem xét hoàn toàn không phải ở dạng bảng - nó được lấy theo từng phần. Chúng tôi quyết định:

Chúng tôi làm gián đoạn giải pháp để giải thích trung gian.

Ta sử dụng công thức tích phân từng phần:

Công thức được áp dụng từ trái sang phải

Chúng ta hãy nhìn vào bên trái: . Rõ ràng, trong ví dụ của chúng tôi (và trong tất cả các ví dụ khác mà chúng tôi sẽ xem xét), thứ gì đó cần được chỉ định là , và thứ gì đó cần được chỉ định là .

Trong tích phân thuộc loại đang xét choluôn được ký hiệu bằng logarit.

Về mặt kỹ thuật, việc thiết kế giải pháp được thực hiện như sau, chúng tôi ghi vào cột:

Nghĩa là, chúng ta ký hiệu logarit là và phần còn lại biểu thức tích phân.

Giai đoạn tiếp theo: tìm sự khác biệt:

Vi phân gần giống như đạo hàm; chúng ta đã thảo luận cách tìm nó trong các bài học trước.

Bây giờ chúng ta tìm thấy chức năng. Để tìm được chức năng bạn cần tích hợp bên phải bình đẳng thấp hơn:

Bây giờ chúng ta mở giải pháp của mình và xây dựng vế phải của công thức: . Nhân tiện, đây là mẫu của giải pháp cuối cùng kèm theo những ghi chú nhỏ.

Thay đổi một biến trong tích phân không xác định. Công thức chuyển đổi vi phân. Ví dụ về hội nhập Ví dụ về sự thay thế tuyến tính.

Phương pháp thay thế biến

Những thay đổi của biến có thể được sử dụng để tính các tích phân đơn giản và, trong một số trường hợp, để đơn giản hóa việc tính các tích phân phức tạp hơn.

Phương pháp thay thế biến là chúng ta từ bản gốc biến tích hợp, gọi nó là x, hãy chuyển sang một biến khác mà chúng ta ký hiệu là t. Trong trường hợp này, chúng tôi tin rằng các biến x và t có liên quan bởi một quan hệ nào đó x = x (t), hoặc t = t (x). Ví dụ: x = tôi không biết, x = tội lỗi, t = 2 x + 1, và như thế. Nhiệm vụ của chúng ta là chọn mối quan hệ giữa x và t sao cho tích phân ban đầu được rút gọn thành dạng bảng hoặc trở nên đơn giản hơn.

Công thức thay thế biến cơ bản

Hãy xem xét biểu thức đứng dưới dấu tích phân. Nó bao gồm tích của tích phân, mà chúng ta ký hiệu là f (x) và vi phân dx: . Chúng ta hãy chuyển sang một biến mới t bằng cách chọn một số quan hệ x = x (t). Khi đó chúng ta phải biểu diễn hàm f (x) và vi phân dx qua biến t.

Để biểu diễn hàm tích phân f (x) thông qua biến t các bạn chỉ cần thay quan hệ đã chọn x = x thay cho biến x (t).

Việc chuyển đổi vi phân được thực hiện như thế này:
.
Nghĩa là, vi phân dx bằng tích đạo hàm của x theo t và vi phân dt.

Sau đó
.

Trong thực tế, trường hợp phổ biến nhất là chúng ta thực hiện thay thế bằng cách chọn một biến mới làm hàm của biến cũ: t = t (x). Nếu chúng ta đoán rằng hàm tích phân có thể được biểu diễn dưới dạng
,
ở đâu t′ (x) là đạo hàm của t theo x, khi đó
.

Vì vậy, công thức thay thế biến cơ bản có thể được trình bày dưới hai dạng.
(1) ,
trong đó x là hàm của t.
(2) ,
trong đó t là hàm của x.

Lưu ý quan trọng

Trong bảng tích phân, biến tích phân thường được ký hiệu là x. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng biến tích phân có thể được biểu thị bằng bất kỳ chữ cái nào. Hơn nữa, bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được sử dụng làm biến tích phân.

Ví dụ, hãy xem xét tích phân bảng
.

Ở đây x có thể được thay thế bằng bất kỳ biến hoặc hàm nào khác của biến. Dưới đây là ví dụ về các tùy chọn có thể:
;
;
.

Trong ví dụ trước, bạn cần tính đến việc khi chuyển sang biến tích phân x, vi phân được biến đổi như sau:
.
Sau đó
.

Ví dụ này nắm bắt được bản chất của sự tích hợp bằng cách thay thế. Tức là chúng ta phải đoán rằng
.
Sau đó tích phân được rút gọn thành dạng bảng.
.

Bạn có thể tính tích phân này bằng cách thay đổi biến bằng công thức (2) . Đặt t = x 2+x. Sau đó
;
;

.

Ví dụ về tích phân bằng cách thay đổi biến

1) Hãy tính tích phân
.
Chúng tôi nhận thấy rằng (sin x)′ = cos x. Sau đó

.
Ở đây chúng ta đã sử dụng phép thay thế t = tội lỗi x.

2) Hãy tính tích phân
.
Chúng tôi nhận thấy rằng . Sau đó

.
Ở đây chúng tôi thực hiện tích phân bằng cách thay đổi biến t = arctan x.

3) Hãy hòa nhập
.
Chúng tôi nhận thấy rằng . Sau đó

. Ở đây, trong quá trình tích phân, biến t = x được thay thế 2 + 1 .

Thay thế tuyến tính

Có lẽ phổ biến nhất là sự thay thế tuyến tính. Đây là sự thay thế cho một biến có dạng
t = ax + b,
trong đó a và b là các hằng số. Với sự thay thế như vậy, sự khác biệt có liên quan bởi mối quan hệ
.

Ví dụ về tích hợp bằng cách thay thế tuyến tính

MỘT) Tính tích phân
.
Giải pháp.
.

B) Tìm tích phân
.
Giải pháp.
Hãy sử dụng các tính chất của hàm số mũ.
.
ln 2- đây là một hằng số. Chúng tôi tính toán tích phân.

.

C) Tính tích phân
.
Giải pháp.
Chúng ta hãy quy đổi đa thức bậc hai ở mẫu số của phân số thành tổng các bình phương.
.
Chúng tôi tính toán tích phân.

.

D) Tìm tích phân
.
Giải pháp.
Hãy biến đổi đa thức dưới gốc.

.
Chúng tôi tích hợp bằng phương pháp thay thế biến.

.
Trước đây chúng tôi đã nhận được công thức
.
Từ đây
.
Thay thế biểu thức này, chúng tôi nhận được câu trả lời cuối cùng.

Hãy chuyển sang xem xét trường hợp chung– Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định.

Ví dụ 5

Để làm ví dụ, tôi lấy tích phân mà chúng ta đã xem ở đầu bài. Như chúng tôi đã nói, để giải tích phân, chúng tôi thích công thức dạng bảng , và tôi muốn chuyển toàn bộ vấn đề sang cô ấy.

Ý tưởng đằng sau phương pháp thay thế là thay thế một biểu thức phức tạp (hoặc một số hàm) bằng một chữ cái.
Trong trường hợp này nó cầu xin:
Chữ cái thay thế phổ biến thứ hai là chữ cái .
Về nguyên tắc, bạn có thể sử dụng các chữ cái khác, nhưng chúng tôi vẫn sẽ tuân thủ truyền thống.

Vì thế:
Nhưng khi chúng tôi thay thế nó, chúng tôi chỉ còn lại ! Có lẽ, nhiều người đã đoán rằng nếu quá trình chuyển đổi được thực hiện sang một biến mới, thì trong tích phân mới, mọi thứ sẽ được biểu thị bằng chữ cái và không có chỗ cho vi phân ở đó cả.
Kết luận hợp lý là cần thiết biến thành một biểu thức nào đó chỉ phụ thuộc vào .

Hành động như sau. Sau khi chọn được giá trị thay thế, trong ví dụ này, chúng ta cần tìm vi phân. Với sự khác biệt, tôi nghĩ mọi người đều đã thiết lập được tình bạn.

Kể từ đó

Sau khi tháo rời bộ vi phân, tôi khuyên bạn nên viết lại kết quả cuối cùng càng ngắn gọn càng tốt:
Bây giờ, theo quy tắc tỷ lệ, chúng tôi thể hiện những gì chúng tôi cần:

Sau cùng:
Như vậy:

Và đây đã là tích phân dạng bảng nhất (dĩ nhiên bảng tích phân cũng đúng cho biến ).

Cuối cùng, tất cả những gì còn lại là tiến hành thay thế ngược lại. Chúng ta hãy nhớ điều đó.

Sẵn sàng.

Thiết kế cuối cùng của ví dụ được xem xét sẽ trông giống như thế này:

“

Hãy thay thế:

“

Biểu tượng này không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào, điều đó có nghĩa là chúng ta đã làm gián đoạn lời giải cho các giải thích trung gian.

Khi chuẩn bị một ví dụ vào vở, tốt hơn là đánh dấu sự thay thế ngược lại bằng bút chì đơn giản.

Chú ý! Trong các ví dụ sau, việc tìm vi phân sẽ không được mô tả chi tiết.

Và bây giờ là lúc nhớ lại giải pháp đầu tiên:

Sự khác biệt là gì? Không có sự khác biệt cơ bản. Nó thực sự là điều tương tự. Nhưng từ quan điểm thiết kế bài toán, phương pháp gộp hàm dưới dấu vi phân ngắn hơn nhiều.

Câu hỏi phát sinh. Nếu phương pháp đầu tiên ngắn hơn thì tại sao lại sử dụng phương pháp thay thế? Thực tế là đối với một số tích phân, việc “khớp” hàm số với dấu của vi phân không phải là điều dễ dàng như vậy.

Ví dụ 6

Tìm tích phân không xác định.

Hãy thay thế: (thật khó để nghĩ ra một sự thay thế khác ở đây)

Như bạn có thể thấy, nhờ việc thay thế, tích phân ban đầu đã được đơn giản hóa đáng kể - giảm xuống thành hàm lũy thừa thông thường. Đây là mục đích của phép thay thế - để đơn giản hóa tích phân.

Những người lười biếng ở trình độ cao cấp có thể dễ dàng giải tích phân này bằng cách gộp hàm số dưới dấu vi phân:

Một điều nữa là giải pháp như vậy rõ ràng không dành cho tất cả học sinh. Ngoài ra, trong ví dụ này, việc sử dụng phương pháp gộp hàm theo dấu vi phân làm tăng đáng kể nguy cơ bị nhầm lẫn trong một quyết định.

Ví dụ 7

Tìm tích phân không xác định. Thực hiện kiểm tra.

Ví dụ 8

Tìm tích phân không xác định.

Thay thế:
Vẫn còn phải xem nó sẽ biến thành gì

Được rồi, chúng tôi đã bày tỏ điều đó, nhưng phải làm gì với chữ “X” còn lại trong tử số?!
Đôi khi, khi giải tích phân, chúng ta gặp phải thủ thuật sau: chúng ta sẽ biểu diễn từ cùng một thay thế !

Ví dụ 9

Tìm tích phân không xác định.

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Đáp án có ở cuối bài học.

Ví dụ 10

Tìm tích phân không xác định.

Chắc chắn một số người nhận thấy rằng trong bảng tra cứu của tôi không có quy tắc thay thế biến. Điều này đã được thực hiện có chủ ý. Quy tắc này sẽ tạo ra sự nhầm lẫn trong cách giải thích và hiểu biết vì nó không xuất hiện rõ ràng trong các ví dụ trên.

Bây giờ là lúc nói về tiền đề cơ bản của việc sử dụng phương pháp thay thế biến: tích phân phải chứa một số chức năng và đạo hàm của nó : (chức năng có thể không có trong sản phẩm)

Về vấn đề này, khi tìm tích phân, bạn thường phải nhìn vào bảng đạo hàm.

Trong ví dụ đang xem xét, chúng ta nhận thấy rằng bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số một đơn vị. Trong bảng đạo hàm, chúng ta tìm thấy công thức chỉ giảm bậc đi một. Và điều đó có nghĩa là nếu bạn chỉ định nó là mẫu số thì khả năng cao là tử số sẽ biến thành thứ gì đó tốt.

Thay thế:

Nhân tiện, không quá khó để gộp hàm dưới dấu vi phân:

Cần lưu ý rằng đối với các phân số như , thủ thuật này sẽ không còn hiệu quả (chính xác hơn là không chỉ cần áp dụng kỹ thuật thay thế). Bạn có thể học cách tích phân một số phân số trong lớp. Tích phân một số phân số.

Đây là một vài điều nữa ví dụ điển hình cho một giải pháp độc lập từ cùng một vở opera:

Ví dụ 11

Tìm tích phân không xác định.

Ví dụ 12

Tìm tích phân không xác định.

Giải pháp ở cuối bài học.

Ví dụ 13

Tìm tích phân không xác định.

Chúng ta nhìn vào bảng đạo hàm và tìm cung cosin của mình: . Trong tích phân của chúng ta, chúng ta có cung cosine và một cái gì đó tương tự như đạo hàm của nó.

Nguyên tắc chung:
Phía sau chúng tôi biểu thị chính hàm đó(và không phải đạo hàm của nó).

Trong trường hợp này: . Vẫn còn phải tìm hiểu phần còn lại của tích phân sẽ biến thành gì.

Trong ví dụ này, tôi sẽ mô tả chi tiết phát hiện này vì đây là một hàm phức tạp.

Hay nói ngắn gọn là:
Sử dụng quy tắc tỷ lệ, chúng tôi biểu thị phần còn lại chúng tôi cần:

Như vậy:

Ở đây, việc gộp hàm dưới dấu vi phân không còn dễ dàng nữa.

Ví dụ 14

Tìm tích phân không xác định.

Một ví dụ cho một giải pháp độc lập. Câu trả lời rất gần.

Những độc giả chú ý sẽ nhận thấy rằng tôi đã xem xét một vài ví dụ có hàm lượng giác. Và điều này không phải ngẫu nhiên, vì một bài học riêng được dành cho tích phân của các hàm lượng giác. Hơn nữa, bài học này cung cấp một số hướng dẫn hữu ích để thay thế một biến, điều này đặc biệt quan trọng đối với người giả, những người không phải lúc nào và không hiểu ngay loại thay thế nào cần được thực hiện trong một tích phân cụ thể. Bạn cũng có thể xem một số kiểu thay thế trong bài Tích phân xác định. Ví dụ về các giải pháp.

Những học sinh có kinh nghiệm hơn có thể làm quen với các phép thế điển hình trong tích phân bằng hàm vô tỉ. Việc thay thế khi tích phân các nghiệm là cụ thể và kỹ thuật triển khai của nó khác với kỹ thuật chúng ta đã thảo luận trong bài học này.

Chúc các bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Giải:

Ví dụ 4: Giải:

Ví dụ 7: Giải:

Ví dụ 9: Giải:

Thay thế:

Ví dụ 11: Giải:

Hãy thay thế:

(xem bài viết Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định ) hoặc tích phân vừa bật phương pháp tích phân từng phần.

Như mọi khi, bạn nên có sẵn: Bảng tích phân Và Bảng phái sinh. Nếu bạn vẫn chưa có chúng, vui lòng truy cập phòng lưu trữ trên trang web của tôi: công thức toán học và bảng. Tôi sẽ không mệt mỏi khi lặp lại – tốt hơn hết là in mọi thứ ra. Tôi sẽ cố gắng trình bày tất cả các tài liệu một cách nhất quán, đơn giản và rõ ràng, không có khó khăn gì đặc biệt trong việc lồng ghép các phần.

Phương pháp tích phân từng phần giải quyết được vấn đề gì? Phương pháp tích phân từng phần giải quyết được một vấn đề rất quan trọng, nó cho phép tích hợp một số hàm không có trong bảng, công việc

3) , , – hàm lượng giác, nhân với một đa thức nào đó.

4) , – các hàm lượng giác nghịch đảo (“vòm”), “vòm” nhân với một số đa thức.

Một số phân số cũng được lấy theo từng phần, chúng ta cũng sẽ xem xét chi tiết các ví dụ tương ứng.

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định người nào đó hoặc kết nối với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục pháp lý và/hoặc dựa trên yêu cầu của công chúng hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Tích hợp trực tiếp

Các công thức tích phân cơ bản

1. C – hằng số	1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Tính tích phân bằng cách sử dụng trực tiếp bảng tích phân đơn giản và các tính chất cơ bản của tích phân không xác định được gọi là tích hợp trực tiếp.

Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

Đây là phương pháp tích hợp phổ biến nhất hàm phức tạp, bao gồm việc biến đổi tích phân bằng cách chuyển sang một biến tích phân khác.

Nếu khó chuyển tích phân về dạng bảng bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, thì trong trường hợp này phương pháp thay thế được sử dụng. Bản chất của phương pháp này là bằng cách đưa vào một biến mới, người ta có thể quy tích phân này thành tích phân mới, tương đối dễ tính trực tiếp.

Để tích hợp bằng phương pháp thay thế, hãy sử dụng sơ đồ giải pháp:

2) tìm sự khác biệt giữa cả hai bộ phận thay thế;

3) biểu thị toàn bộ số nguyên thông qua một biến mới (sau đó sẽ thu được tích phân bảng);

4) tìm tích phân trong bảng kết quả;

5) thực hiện thay thế ngược lại.

Tìm tích phân:

ví dụ 1 . Thay thế:cosx=t,-sinxdx=dt,

Giải pháp:

Ví dụ 2.∫e -x3 x 2 dx Thay thế:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Giải pháp:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Ví dụ 3.Thay thế: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Giải pháp: .

MỤC 1.5. Tích phân xác định, phương pháp tính.

khoản 1 Khái niệm tích phân xác định

Nhiệm vụ. Tìm gia số của một hàm số phản đạo hàm của một hàm số f(x), khi truyền đối số x từ giá trị Một giá trị b.

Giải pháp. Chúng ta hãy giả sử rằng sự tích hợp đã tìm thấy: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Sau đó F(x)+C 1, Ở đâu C 1- bất kì số đã cho, sẽ là một trong những hàm phản đạo hàm của hàm này f(x). Hãy tìm mức tăng của nó khi đối số di chuyển từ giá trị Một giá trị b. Chúng tôi nhận được:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Như chúng ta thấy, trong biểu thức tăng của hàm nguyên hàm F(x)+C 1 không có giá trị cố định C 1. Và kể từ khi dưới C 1 bất kỳ số nào đã cho đều được ngụ ý, kết quả thu được dẫn đến kết luận sau: về chuyển đổi đối số x từ giá trị x=a giá trị x=b tất cả các chức năng F(x)+C, nguyên hàm của một hàm đã cho f(x), có cùng mức tăng bằng F(b)-F(a).

Gia số này thường được gọi là tích phân xác định và ký hiệu là: và đọc: tích phân của MỘT trước b từ hàm f(x) trên dх hay nói tóm lại là tích phân của MỘT trước b từ f(x)dx.

Con số MỘT gọi điện Giơi hạn dươi tích hợp, số b - đứng đầu; đoạn a ≤ x ≤ b – đoạn hội nhập. Giả sử rằng hàm tích phân f(x) liên tục với mọi giá trị x, thỏa mãn điều kiện: Một x b

Sự định nghĩa. Tăng của hàm nguyên hàm F(x)+C về chuyển đổi đối số x từ giá trị x=a giá trị x=b, bằng chênh lệch F(b)-F(a), được gọi là tích phân xác định và được ký hiệu bằng ký hiệu: sao cho nếu ∫ (x)dx = F(x)+C thì = F(b)-F(a) -được cho đẳng thức này được gọi là công thức Newton-Leibniz.

mục 2 Tính chất cơ bản của tích phân xác định

Tất cả các thuộc tính được xây dựng theo mệnh đề rằng các hàm đang xem xét có thể tích phân trong các khoảng tương ứng.

mục 3 Tính trực tiếp tích phân xác định

Để tính tích phân xác định, khi bạn có thể tìm được tích phân không xác định tương ứng, hãy sử dụng công thức Newton–Leibniz

những thứ kia. một tích phân xác định bằng hiệu giữa các giá trị của bất kỳ hàm nguyên hàm nào ở giới hạn trên và giới hạn dưới của tích phân.

Công thức này cho thấy quy trình tính tích phân xác định:

1) tìm tích phân không xác định của hàm này;

2) vào nguyên hàm thu được, trước tiên hãy thay thế giới hạn trên và giới hạn dưới của tích phân thay vì đối số;

3) trừ kết quả của việc thay thế giới hạn dưới khỏi kết quả của việc thay thế giới hạn trên.

Ví dụ 1: Tính tích phân:

Ví dụ 2: Tính tích phân:

p.4 Tính tích phân xác định bằng phương pháp thay thế

Cách tính tích phân xác định bằng phương pháp thay thế như sau:

1) thay thế một phần của số nguyên bằng một biến mới;

2) tìm giới hạn mới của tích phân xác định;

3) tìm sự khác biệt giữa cả hai bộ phận thay thế;

4) biểu thị toàn bộ số nguyên thông qua một biến mới (sau đó sẽ thu được tích phân bảng); 5) tính tích phân xác định thu được.

Ví dụ 1: Tính tích phân:

Thay thế: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

MỤC 1.6. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Diện tích hình thang cong:

Được biết, tích phân xác định trên một đoạn biểu thị diện tích của một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm f(x).

Diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường nhất định có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các tích phân nhất định nếu biết phương trình của các đường này.

Đặt trên đoạn [a; b] cho hàm số liên tục y = ƒ(x) ≥ 0. Chúng ta hãy tìm diện tích của hình thang này.

Diện tích hình giới hạn bởi trục 0 x, hai đường thẳng đứng x = a, x = b và đồ thị của hàm số y = ƒ(x) (hình), xác định theo công thức:

Đây là ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Giải pháp: Hãy vẽ một hình (lưu ý rằng phương trình y=0 xác định trục Ox).

Trả lời: S = 9 đơn vị 2

Ví dụ 2: Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng: y= - e x, x=1 và các trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bức tranh.
Nếu là hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục Ox, thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.

MỤC 1.7. Ứng dụng tích phân xác định

p.1 Tính thể tích của vật quay

Nếu một hình thang cong kề với trục Ox và các đường thẳng y=a, y=b và đồ thị của hàm số y= F(x) (Hình 1), thì thể tích của vật xoay được xác định bằng công thức chứa tích phân.

Thể tích của vật quay bằng:

Ví dụ:

Tìm thể tích của vật bị giới hạn bởi mặt quay của đường thẳng quanh trục Ox tại 0≤ x 4.

Giải pháp: V.

đơn vị 3. Đáp án: bài 3.

MỤC 3.1. Phương trình vi phân thường

mục 1 Khái niệm phương trình vi phân

Sự định nghĩa. phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm của một tập hợp các biến và đạo hàm của chúng.

Hình thức chung một phương trình như vậy =0, trong đó F là hàm đã biết của các đối số của nó, được chỉ định trong một vùng cố định; x - biến độc lập (biến được lấy đạo hàm) y - biến phụ thuộc (biến được lấy đạo hàm và biến được xác định); - đạo hàm của biến phụ thuộc y đối với biến độc lập x.

mục 2 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân

theo thứ tự của một phương trình vi phân được gọi là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.

Ví dụ:

Phương trình bậc hai là phương trình bậc nhất.

Bất kỳ hàm nào kết nối các biến và biến một phương trình vi phân thành một đẳng thức thực sự đều được gọi là phán quyết phương trình vi phân.

Giải pháp chung của phương trình vi phân bậc nhất là hàm của và hằng số C tùy ý biến phương trình này thành một đẳng thức trong .

Nghiệm tổng quát viết dưới dạng ẩn =0 được gọi là tích phân tổng quát.

Quyết định riêng tư phương trình =0 là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát của giá trị cố định- số cố định.

Bài toán tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân cấp n (n= 1,2,3,…), thỏa mãn điều kiện ban đầu loại

gọi điện Vấn đề Cauchy.

khoản 3 phương trình vi phân thứ tự đầu tiên với các biến có thể tách rời

Phương trình vi phân bậc một được gọi là phương trình tách được nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng có thể được viết lại dưới dạng . Nếu như . Hãy tích hợp: .

Để giải phương trình loại này bạn cần:

1. Các biến riêng biệt;

2. Tích phân phương trình biến đã tách, tìm quyết định chung phương trình đã cho;

3. Tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn các điều kiện ban đầu (nếu chúng được đưa ra).

Ví dụ 1. Giải phương trình. Tìm một nghiệm cụ thể thỏa mãn điều kiện y=4 tại x=-2.

Giải pháp:Đây là một phương trình biến tách biệt. Tích phân ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình: . Để có được nghiệm tổng quát đơn giản hơn, chúng ta biểu diễn số hạng không đổi ở vế phải dưới dạng C/2. Chúng tôi có hoặc là một giải pháp chung. Thay các giá trị y=4 và x=-2 vào nghiệm tổng quát, ta được 16=4+C, từ đó C=12.

Vì vậy, nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn tình trạng này, có dạng

Ví dụ 2. Tìm nghiệm cụ thể của phương trình nếu .

Giải pháp: , , , , , quyết định chung.

Ta thay các giá trị của x và y vào nghiệm cụ thể: , , giải pháp riêng.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình . Giải pháp: ,, , - quyết định chung.

mục 4 Phương trình vi phân bậc cao hơn phương trình thứ nhất

Một phương trình có dạng hoặc được giải bằng cách tích phân kép: , , từ đó . Tích hợp chức năng này, chúng tôi nhận được tính năng mới từ f(x), mà chúng ta ký hiệu là F(x). Như vậy, ; . Hãy lấy tích phân lần nữa: hoặc y=Ф(x). Chúng ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình chứa hai hằng số tùy ý và .