Thực đơn
trang chủTập tin và thư mục

Tích phân của các hàm vô tỷ. Tích hợp các chức năng vô tỷ

Hãy nhớ lại những năm học hạnh phúc của chúng ta. Những người tiên phong trong các bài toán, khi bắt đầu nghiên cứu căn thức, trước hết phải làm quen với căn bậc hai. Chúng ta sẽ đi cùng một con đường.

ví dụ 1

Tìm tích phân không xác định

Phân tích tích phân, bạn đi đến kết luận đáng buồn rằng nó hoàn toàn không giống tích phân bảng. Bây giờ, nếu tất cả những thứ này đều ở trong tử số thì sẽ đơn giản. Hoặc sẽ không có root bên dưới. Hoặc một đa thức. Không có phương pháp tích phân phân số Họ cũng không giúp được gì. Phải làm gì?

Kỹ thuật chính để giải tích phân vô tỉ là phép đổi biến, điều này sẽ loại bỏ TẤT CẢ các nghiệm của tích phân.

Lưu ý rằng sự thay thế này hơi đặc biệt; cách thực hiện kỹ thuật của nó khác với phương pháp thay thế “cổ điển” đã được thảo luận trong bài học. Phương pháp thay thế trong tích phân không xác định.

Trong ví dụ này, bạn cần thay thế x = t 2, tức là thay vì “X” dưới gốc chúng ta sẽ có t 2. Tại sao phải thay thế? Bởi vì, kết quả của việc thay thế là gốc sẽ biến mất.

Nếu thay vì căn bậc hai mà chúng ta có trong số nguyên, thì chúng ta đã thực hiện phép thay thế. Nếu nó ở đó thì họ đã tiến hành rồi và cứ thế.

Được rồi, chúng ta sẽ biến thành . Điều gì xảy ra với đa thức? Không có khó khăn gì: nếu , thì .

Vẫn còn phải xem sự khác biệt sẽ biến thành gì. Điều này được thực hiện như thế này:

Chúng tôi thực hiện thay thế của chúng tôi và treo vi sai trên cả hai phần:

(chúng tôi sẽ mô tả nó càng chi tiết càng tốt).

Định dạng giải pháp sẽ trông giống như thế này:

.

Hãy thay thế: .

.

(1) Chúng tôi tiến hành thay thế sau khi thay thế (như thế nào, cái gì và ở đâu đã được xem xét).

(2) Chúng ta lấy hằng số bên ngoài tích phân. Tử số và mẫu số giảm đi bằng t.

(3) Tích phân thu được có dạng bảng; chúng ta chuẩn bị tích phân bằng cách chọn hình vuông.

(4) Tích phân trên bảng bằng công thức

.

(5) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nó được thực hiện như thế nào? Chúng ta nhớ lý do tại sao chúng ta khiêu vũ: nếu, thì.

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Bằng cách nào đó, hóa ra trong Ví dụ 1, 2 có một tử số “trần trụi” với một vi phân đơn độc. Hãy khắc phục tình hình.

Ví dụ 3

Tìm tích phân không xác định

Phân tích sơ bộ về tích phân một lần nữa cho thấy rằng không có cách nào dễ dàng. Và do đó bạn cần phải loại bỏ tận gốc.

Hãy thay thế: .

Phía sau chúng tôi biểu thị biểu thức TOÀN BỘ dưới gốc. Việc thay thế từ các ví dụ trước không phù hợp ở đây (chính xác hơn là có thể thực hiện được, nhưng nó sẽ không loại bỏ được gốc).

Chúng tôi treo vi sai trên cả hai phần:

Chúng tôi đã sắp xếp xong tử số. Phải làm gì với mẫu số?

Chúng tôi lấy sự thay thế của chúng tôi và thể hiện từ nó: .

Nếu thì.

(1) Chúng tôi thực hiện việc thay thế phù hợp với việc thay thế được thực hiện.

(2) Lược tử số. Ở đây mình chọn không lấy hằng số ra khỏi dấu tích phân (bạn có thể làm theo cách này, sẽ không sai đâu)

(3) Chúng ta khai triển tử số thành một tổng. Một lần nữa, chúng tôi thực sự khuyên bạn nên đọc đoạn đầu tiên của bài học Tích phân một số phân số. Sẽ có rất nhiều khó khăn trong việc phân tích tử số thành tổng theo tích phân vô tỷ; việc thực hành kỹ thuật này là rất quan trọng.

(4) Chia tử số cho mẫu số theo số hạng.

(5) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định. Trong tích phân thứ hai, chúng ta chọn một hình vuông để tích phân tiếp theo theo bảng.

(6) Chúng tôi tích hợp theo bảng. Tích phân thứ nhất khá đơn giản, trong tích phân thứ hai chúng ta sử dụng công thức dạng bảng của logarit cao .

(7) Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. Nếu chúng tôi tiến hành thay thế thì quay lại: .

Ví dụ 4

Tìm tích phân không xác định

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nếu không xem kỹ các ví dụ trước sẽ mắc sai lầm! Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Về nguyên tắc, tích phân với một số giống hệt nhau rễ chẳng hạn

Vân vân. Phải làm gì nếu số nguyên có gốc khác biệt?

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định

Đây là cách tính toán cho các tử số trần. Khi gặp một tích phân như vậy, nó thường trở nên đáng sợ. Nhưng nỗi sợ hãi là vô ích; sau khi thực hiện một sự thay thế phù hợp, tích phân trở nên đơn giản hơn. Nhiệm vụ như sau: thực hiện thay thế thành công để loại bỏ TẤT CẢ rễ ngay lập tức.

Khi có các gốc khác nhau, sẽ thuận tiện hơn khi tuân thủ một sơ đồ giải pháp nhất định.

Đầu tiên, chúng ta viết hàm tích phân trên một bản nháp và trình bày tất cả các nghiệm dưới dạng:

Chúng tôi sẽ quan tâm mẫu sốđộ:

Hàm vô tỷ của một biến là hàm được hình thành từ một biến và các hằng số tùy ý sử dụng một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân (nâng lũy ​​thừa số nguyên), chia và lấy căn. Hàm vô tỉ khác với hàm hữu tỉ ở chỗ hàm vô tỉ chứa các phép toán để rút ra nghiệm.

Có ba loại hàm số vô tỉ chính, các tích phân không xác định của chúng được rút gọn thành tích phân của các hàm hữu tỉ. Đây là các tích phân chứa các nghiệm của các lũy thừa số nguyên tùy ý từ một hàm phân số tuyến tính (các nghiệm có thể có các lũy thừa khác nhau, nhưng từ cùng một hàm phân số tuyến tính); tích phân của một nhị thức vi phân và tích phân với căn bậc hai của một tam thức bình phương.

Lưu ý quan trọng. Rễ có nhiều ý nghĩa!

Khi tính tích phân chứa các nghiệm, thường gặp các biểu thức có dạng, trong đó có hàm nào đó của biến tích phân. Cần lưu ý điều đó. Tức là tại t > 0 , |t| = t. Tại t< 0 , |t| = -t. Vì vậy, khi tính tích phân như vậy cần xét riêng các trường hợp t > 0 và t< 0 . Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết các dấu hiệu hoặc bất cứ nơi nào cần thiết. Giả sử dấu trên đề cập đến trường hợp t > 0 , và cái dưới - đối với trường hợp t< 0 . Với sự biến đổi hơn nữa, những dấu hiệu này, như một quy luật, sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Cách tiếp cận thứ hai cũng có thể thực hiện được, trong đó tích phân và kết quả của tích phân có thể được coi là hàm phức của các biến phức. Khi đó bạn không cần phải chú ý đến các dấu hiệu trong biểu thức căn thức. Cách tiếp cận này có thể áp dụng nếu số nguyên là hàm giải tích, tức là hàm khả vi của một biến phức. Trong trường hợp này, cả tích phân và tích phân của nó đều là các hàm đa giá trị. Do đó, sau khi tích phân, khi thay thế các giá trị số, cần chọn một nhánh có giá trị đơn (bề mặt Riemann) của tích phân và đối với nó chọn nhánh tương ứng của kết quả tích phân.

Sự bất hợp lý tuyến tính phân số

Đây là các tích phân có nghiệm từ cùng một hàm tuyến tính phân số:
,
trong đó R là hàm hữu tỉ, là các số hữu tỉ, m 1, n 1, ..., m s, n s là số nguyên, α, β, γ, δ là số thực.
Các tích phân như vậy được rút gọn thành tích phân của hàm hữu tỷ bằng cách thay thế:
, trong đó n là mẫu số chung của các số r 1, ..., r s.

Các nghiệm có thể không nhất thiết đến từ hàm phân số tuyến tính, mà còn từ hàm tuyến tính (γ = 0 , δ = 1), hoặc trên biến tích phân x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Dưới đây là ví dụ về tích phân như vậy:
, .

Tích phân từ nhị thức vi phân

Tích phân của nhị thức vi phân có dạng:
,
trong đó m, n, p là số hữu tỉ, a, b là số thực.
Những tích phân như vậy quy về tích phân của các hàm hữu tỉ trong ba trường hợp.

1) Nếu p là số nguyên. Thay thế x = t N, trong đó N là mẫu số chung của phân số m và n.
2) Nếu - một số nguyên. Thay thế a x n + b = t M, trong đó M là mẫu số của số p.
3) Nếu - một số nguyên. Thay thế a + b x - n = t M, trong đó M là mẫu số của số p.

Trong các trường hợp khác, tích phân như vậy không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.

Đôi khi các tích phân như vậy có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các công thức rút gọn:
;
.

Tích phân chứa căn bậc hai của tam thức vuông

Các tích phân như vậy có dạng:
,
trong đó R là hàm hữu tỉ. Đối với mỗi tích phân như vậy, có một số phương pháp để giải nó.
1) Sử dụng các phép biến đổi dẫn đến tích phân đơn giản hơn.
2) Áp dụng phép thay thế lượng giác hoặc hyperbol.
3) Áp dụng phép thế Euler.

Chúng ta hãy xem xét các phương pháp này chi tiết hơn.

1) Biến đổi hàm tích phân

Áp dụng công thức và thực hiện các phép biến đổi đại số, chúng ta rút gọn hàm tích phân về dạng:
,
trong đó φ(x), ω(x) là các hàm hữu tỷ.

Loại I

Tích phân có dạng:
,
trong đó Pn(x) là đa thức bậc n.

Các tích phân như vậy được tìm thấy bằng phương pháp hệ số không xác định bằng cách sử dụng đồng nhất thức:

.
Vi phân phương trình này và đánh đồng vế trái và vế phải, ta tìm được hệ số A i.

Loại II

Tích phân có dạng:
,
trong đó P m(x) là đa thức bậc m.

Thay thế t = (x - α) -1 tích phân này được rút gọn về loại trước đó. Nếu m ≥ n thì phân số phải có phần nguyên.

loại III

Ở đây chúng tôi thực hiện thay thế:
.
Khi đó tích phân sẽ có dạng:
.
Tiếp theo, các hằng số α, β phải được chọn sao cho các hệ số của t ở mẫu số bằng 0:
B = 0, B 1 = 0.
Khi đó tích phân phân hủy thành tổng của tích phân hai loại:
,
,
được tích hợp bằng cách thay thế:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Phép thay thế lượng giác và hyperbol

Đối với tích phân có dạng , a > 0 ,
chúng tôi có ba sự thay thế chính:
;
;
;

Đối với tích phân, a > 0 ,
ta có các thay thế sau:
;
;
;

Và cuối cùng, đối với tích phân, a > 0 ,
sự thay thế như sau:
;
;
;

3) Sự thay thế Euler

Ngoài ra, tích phân có thể được quy về tích phân của các hàm hữu tỷ của một trong ba phép thế Euler:
, với a > 0;
, với c > 0 ;
, trong đó x 1 là nghiệm của phương trình a x 2 + b x + c = 0. Nếu phương trình này có nghiệm thực.

tích phân elip

Tóm lại, xét tích phân có dạng:
,
trong đó R là hàm hữu tỷ, . Những tích phân như vậy được gọi là elliptic. Nói chung, chúng không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản. Tuy nhiên, có trường hợp có mối liên hệ giữa các hệ số A, B, C, D, E trong đó các tích phân đó được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.

Dưới đây là một ví dụ liên quan đến đa thức phản xạ. Việc tính toán các tích phân như vậy được thực hiện bằng cách sử dụng phép thay thế:
.

Ví dụ

Tính tích phân:
.

Giải pháp

Hãy thực hiện một sự thay thế.

.
Ở đây tại x > 0 (u> 0 ) lấy dấu trên ′+ ′. Tại x< 0 (bạn< 0 ) - thấp hơn '- '.


.

Trả lời

Người giới thiệu:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, “Lan”, 2003.

Phần này sẽ thảo luận về phương pháp tích hợp các hàm hữu tỉ. 7.1. Thông tin tóm tắt về hàm số hữu tỉ Hàm số hữu tỉ đơn giản nhất là đa thức bậc 10, tức là. một hàm có dạng trong đó là các hằng số thực và a0 Ф 0. Đa thức Qn(x) có hệ số a0 = 1 được gọi là rút gọn. Số thực b được gọi là nghiệm của đa thức Qn(z) nếu Q​(b) = 0. Biết rằng mỗi đa thức Qn(x) với hệ số thực được phân tích duy nhất thành thừa số thực có dạng p, q là các hệ số thực và các thừa số bậc hai không có nghiệm thực và do đó không thể phân tách thành các thừa số tuyến tính thực. Bằng cách kết hợp các thừa số giống nhau (nếu có) và giả sử, để đơn giản, đa thức Qn(x) rút gọn, chúng ta có thể viết hệ số của nó dưới dạng số tự nhiên. Vì bậc của đa thức Qn(x) bằng n nên tổng của tất cả các số mũ a, /3,..., A, cộng với tổng kép của tất cả các số mũ ω,..., q, bằng nhau tới n: Căn a của đa thức được gọi là đơn hoặc đơn nếu a = 1 và bội số nếu a > 1; số a được gọi là bội số của nghiệm a. Điều tương tự cũng áp dụng cho các nghiệm khác của đa thức. Hàm hữu tỉ f(x) hay phân số hữu tỉ là tỉ số của hai đa thức và giả sử rằng đa thức Pm(x) và Qn(x) không có thừa số chung. Một phân số hữu tỷ được gọi là đúng nếu bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số, tức là Nếu m n thì phân số hữu tỷ được gọi là phân số không thực sự, và trong trường hợp này, chia tử số cho mẫu số theo quy tắc chia đa thức, nó có thể được biểu diễn dưới dạng một số đa thức và ^^ là một phân số đúng phân số hợp lý. Ví dụ 1. Phân số hữu tỉ là phân số không đúng. Chia cho một “góc”, ta có Do đó. Đây. và đó là một phân số thích hợp. Sự định nghĩa. Các phân số đơn giản nhất (hoặc cơ bản) là các phân số hữu tỉ thuộc bốn loại sau: trong đó là số thực, k là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 và tam thức vuông x2 + px + q không có nghiệm thực, vì vậy -2 _2 là phân biệt của nó Trong đại số, định lý sau được chứng minh. Định lý 3. Một phân số hữu tỉ thực sự có hệ số thực, mẫu số có dạng Qn(x) phân rã một cách duy nhất thành tổng các phân số đơn giản theo quy tắc Tích phân các hàm hữu tỉ Thông tin tóm tắt về hàm hữu tỉ Tích phân các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân các hàm vô tỷ Phép thay thế Euler thứ nhất Phép thay thế Euler thứ hai Phép thay thế Euler thứ ba Trong khai triển này có một số hằng số thực, một số trong đó có thể bằng 0. Để tìm các hằng số này, vế phải của đẳng thức (I) được đưa về mẫu số chung, sau đó các hệ số có cùng lũy ​​thừa của x trong tử số của vế trái và vế phải được bằng nhau. Điều này đưa ra một hệ phương trình tuyến tính từ đó tìm được các hằng số cần thiết. . Phương pháp tìm hằng số chưa biết này được gọi là phương pháp hệ số không xác định. Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một phương pháp khác để tìm các hằng số chưa biết, đó là sau khi đánh đồng các tử số, ta thu được một đẳng thức đối với x, trong đó đối số x được cho một số giá trị, chẳng hạn như các giá trị ​​của các nghiệm, dẫn đến phương trình tìm các hằng số. Nó đặc biệt thuận tiện nếu mẫu số Q”(x) chỉ có nghiệm thực đơn giản. Ví dụ 2. Phân tích phân số hữu tỉ thành các phân số đơn giản hơn, phân số này đúng. Ta phân tích mẫu số thành bội số: Vì nghiệm của mẫu số là số thực và khác nhau nên dựa vào công thức (1), việc phân tích phân số thành đơn giản nhất sẽ có dạng: Quy giản quyền danh dự “của đẳng thức đó về mẫu số chung và đánh đồng các tử số ở vế trái và phải của nó, ta thu được đẳng thức hoặc Ta tìm hệ số chưa biết A. 2?, C bằng hai cách. Cách đầu tiên Đánh đồng các hệ số của cùng lũy ​​thừa của x, t.v. với (thuật ngữ tự do) và vế trái, vế phải của đẳng thức, ta thu được hệ phương trình tuyến tính tìm các hệ số chưa biết A, B, C: Hệ này có nghiệm duy nhất C. Phương pháp thứ hai. Vì nghiệm của mẫu số bị xé ở i 0 nên ta được 2 = 2A, từ đó A * 1; g i 1, ta được -1 * -B, từ đó 5 * 1; x i 2, ta được 2 = 2C. từ đó C» 1, và khai triển cần thiết có dạng 3. Rehlozhnt không phải là phân số đơn giản nhất, phân số hữu tỷ 4 Chúng ta phân tích đa thức theo hướng ngược lại thành thừa số: . Mẫu số có hai nghiệm thực khác nhau: x\ = 0 bội số của bội số 3. Do đó, việc phân tích phân số này không phải là đơn giản nhất: Rút gọn vế phải về mẫu số chung, ta tìm hoặc Phương pháp thứ nhất. Đánh đồng các hệ số cho cùng lũy ​​thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức cuối cùng. ta thu được hệ phương trình tuyến tính, hệ này có nghiệm duy nhất và phép khai triển cần thiết sẽ là phương pháp thứ hai. Trong đẳng thức thu được, đặt x = 0, ta thu được 1 a A2, hay A2 = 1; trường* gay x = -1, ta được -3 i B), hay Bj i -3. Khi thay giá trị tìm được của các hệ số A\ và B) và đẳng thức sẽ có dạng hoặc Đặt x = 0, rồi x = -I. ta tìm được = 0, B2 = 0 và. điều này có nghĩa là B\ = 0. Do đó, chúng ta lại thu được Ví dụ 4. Khai triển phân số hữu tỉ 4 thành các phân số đơn giản hơn. Mẫu số của phân số không có nghiệm thực, vì hàm x2 + 1 không triệt tiêu đối với bất kỳ giá trị thực nào của x. Do đó, việc phân tích thành các phân số đơn giản phải có dạng Từ đây chúng ta nhận được hoặc. Đánh đồng các hệ số lũy thừa synax của x ở vế trái và vế phải của đẳng thức cuối cùng, chúng ta sẽ có nơi chúng ta tìm thấy và do đó, cần lưu ý rằng trong một số trường hợp, việc phân tách thành các phân số đơn giản có thể thu được nhanh hơn và dễ dàng hơn bằng cách hành động theo một cách khác mà không sử dụng phương pháp hệ số không xác định Ví dụ, để có được sự phân rã của phân số trong ví dụ 3, bạn có thể cộng và trừ ở tử số 3x2 và chia như được chỉ ra bên dưới. 7.2. Tích hợp các phân số đơn giản, Như đã đề cập ở trên, bất kỳ phân số hữu tỷ không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số đa thức và một phân số hữu tỷ thực sự (§7), và cách biểu diễn này là duy nhất. Việc tích phân một đa thức không khó, vì vậy hãy xem xét vấn đề tích phân một phân số hữu tỉ. Vì bất kỳ phân số hữu tỷ thực sự nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản, nên phép tích phân của nó bị giảm xuống thành tích phân của các phân số đơn giản. Bây giờ chúng ta hãy xem xét vấn đề về sự tích hợp của chúng. III. Để tìm tích phân của phân số đơn giản nhất của loại thứ ba, chúng ta tách bình phương đầy đủ của nhị thức khỏi tam thức bình phương: Vì số hạng thứ hai bằng a2, nên chúng ta thực hiện phép thay thế ở đâu và sau đó. Sau đó, xét đến các tính chất tuyến tính của tích phân, chúng ta tìm thấy: Ví dụ 5. Tìm tích phân 4 Hàm tích phân là phân số đơn giản nhất của loại thứ ba, vì tam thức bình phương x1 + Ax + 6 không có nghiệm thực (phân biệt của nó là âm: , và tử số chứa đa thức bậc 1. Do đó, chúng ta tiến hành như sau: 1) chọn một bình phương hoàn hảo ở mẫu số 2) thay thế (ở đây 3) bằng * một tích phân Để tìm tích phân của phân số đơn giản nhất của loại thứ tư, chúng ta đặt, như trên, . Khi đó ta lấy Tích phân ở vế phải ký hiệu là A và biến đổi nó như sau: Tích phân ở vế phải được tích phân từng phần, giả sử từ đâu hoặc Tích phân của các hàm hữu tỉ Thông tin tóm tắt về các hàm hữu tỉ Tích phân của các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân của vô tỷ các hàm Euler Phép thay thế đầu tiên Phép thay thế Euler thứ hai Phép thay thế Euler thứ ba Euler Chúng ta đã thu được cái gọi là công thức truy hồi, công thức này cho phép chúng ta tìm tích phân Jk với mọi k = 2, 3,. .. . Thật vậy, tích phân J\ có dạng bảng: Đưa công thức truy hồi vào, ta tìm Biết và đặt A = 3, ta dễ dàng tìm được Jj, v.v. Trong kết quả cuối cùng, thay thế mọi nơi thay cho t và a các biểu thức của chúng theo x và các hệ số p và q, chúng ta thu được tích phân ban đầu biểu thức của nó theo x và các số đã cho M, LG, p, q. Ví dụ 8. Tích phân mới “Hàm tích phân là phân số đơn giản nhất của loại thứ tư, vì phân biệt của một tam thức vuông là âm, tức là Điều này có nghĩa là mẫu số không có nghiệm thực và tử số là đa thức bậc 1. 1) Ta chọn một bình phương đầy đủ ở mẫu số 2) Ta thực hiện phép thay thế: Tích phân sẽ có dạng: Điền công thức truy hồi * = 2, a3 = 1. Ta sẽ có, và do đó, tích phân cần tìm bằng Trở lại biến x, cuối cùng chúng ta thu được 7.3. Trường hợp tổng quát Từ kết quả của đoạn văn. 1 và 2 của phần này tuân theo một định lý quan trọng. Định lý! 4. Tích phân bất định của bất kỳ hàm hữu tỉ nào cũng luôn tồn tại (trên các khoảng trong đó mẫu số của phân số Q(x) φ 0) và được biểu thị thông qua một số hữu hạn các hàm cơ bản, cụ thể là nó là tổng đại số, các số hạng trong đó chỉ có thể nhân với các phân số hữu tỉ, logarit tự nhiên và arctang. Vì vậy, để tìm tích phân không xác định của hàm hữu tỷ, người ta nên tiến hành theo cách sau: 1) nếu phân số hữu tỷ không đúng, thì bằng cách chia tử số cho mẫu số, toàn bộ phần bị cô lập, tức là hàm này được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức và một phân số hữu tỉ; 2) sau đó mẫu số của phân số thích hợp thu được được phân tách thành tích của các thừa số tuyến tính và bậc hai; 3) phân số riêng này được phân tách thành tổng các phân số đơn giản; 4) sử dụng tính tuyến tính của tích phân và các công thức ở bước 2, tích phân của từng số hạng được tìm riêng biệt. Ví dụ 7. Tìm tích phân M Vì mẫu số là đa thức bậc ba nên hàm tích phân là một phân số không đúng. Chúng tôi nhấn mạnh toàn bộ phần trong đó: Vì vậy, chúng tôi sẽ có. Mẫu số của một phân số thực sự có phi nghiệm thực khác nhau: và do đó sự phân rã của nó thành các phân số đơn giản có dạng Do đó chúng ta tìm thấy. Cho các giá trị của đối số x bằng các nghiệm của mẫu số, từ đồng thức này ta thấy: Do đó, tích phân cần tìm sẽ bằng Ví dụ 8. Tìm tích phân 4 Tích phân là một phân số thực sự, mẫu số của nó có hai nghiệm thực khác nhau: x - O bội số của 1 và x = 1 của bội số 3, Do đó, việc khai triển tích phân thành các phân số đơn giản có dạng Đưa vế phải của đẳng thức này về mẫu số chung và rút gọn cả hai vế của đẳng thức theo mẫu số này, chúng ta thu được hoặc. Chúng ta đánh đồng các hệ số của cùng lũy ​​thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức này: Từ đây chúng ta tìm thấy. Thay các giá trị tìm được của các hệ số vào khai triển ta sẽ có Tích phân ta tìm được: Ví dụ 9. Tìm tích phân 4 Mẫu số của phân số không có nghiệm thực. Do đó, việc khai triển tích phân thành các phân số đơn giản có dạng Do đó hoặc Phương trình các hệ số cho cùng lũy ​​thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức này, chúng ta sẽ có từ nơi chúng ta tìm thấy và do đó, Nhận xét. Trong ví dụ đã cho, hàm tích phân có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản theo cách đơn giản hơn, cụ thể là trong tử số của phân số, chúng ta chọn nhị phân nằm trong mẫu số, sau đó chúng ta thực hiện phép chia từng số hạng. : §số 8. Tích hợp các hàm vô tỉ Một hàm có dạng trong đó Pm và £?� lần lượt là các đa thức có loại bậc trong các biến uub2,... được gọi là hàm hữu tỉ của ubu2j... Ví dụ, đa thức bậc hai trong hai biến u\ và u2 có dạng trong đó - một số hằng số thực, và Ví dụ 1, Hàm số là hàm hữu tỷ của các biến r và y, vì nó biểu thị tỉ số của một đa thức bậc ba và một đa thức của bậc năm, nhưng không phải là hàm thủy tùng. Trong trường hợp các biến lần lượt là hàm của biến w: thì hàm ] được gọi là hàm hữu tỷ của các hàm trong Ví dụ. Hàm là hàm hữu tỉ của r và rvdikvlv Pryaivr 3. Hàm có dạng không phải là hàm hữu tỉ của x và căn thức y/r1 + 1, nhưng nó là hàm hữu tỉ của các hàm. các hàm không phải lúc nào cũng được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản. Ví dụ, tích phân thường gặp trong ứng dụng không được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản; những tích phân này lần lượt được gọi là tích phân elip loại một và loại hai. Chúng ta hãy xem xét những trường hợp khi việc tích hợp các hàm số vô tỷ có thể được giảm bớt, với sự trợ giúp của một số phép thay thế, thành tích phân của các hàm số hữu tỷ. 1. Cần tìm tích phân trong đó R(x, y) là hàm hữu tỷ của các đối số x và y của nó; m £ 2 - số tự nhiên; a, 6, c, d là các hằng số thực thỏa mãn điều kiện ad - bc ^ O (với ad - be = 0 thì các hệ số a và b tỷ lệ thuận với các hệ số c và d nên mối quan hệ không phụ thuộc vào x ; điều này có nghĩa là trong trường hợp này hàm tích phân sẽ là hàm hữu tỷ của biến x, phép tích phân của nó đã được thảo luận trước đó). Hãy thực hiện một phép đổi biến trong tích phân này, đặt Do đó chúng ta biểu diễn biến x thông qua một biến mới, ta có x = - hàm hữu tỉ của t. Tiếp theo, chúng ta tìm hoặc, sau khi đơn giản hóa, Do đó, trong đó A1 (t) là hàm hữu tỉ của *, vì funadia hữu tỉ của hàm hữu tỉ, cũng như tích của các hàm hữu tỉ, là các hàm hữu tỉ. Chúng tôi biết cách tích hợp các hàm hợp lý. Giả sử tích phân cần tìm bằng At. Tích phân IvYti 4 Hàm integrand* là hàm hữu tỉ của. Do đó, ta đặt t = Then Tích phân các hàm hữu tỉ Thông tin tóm tắt về các hàm hữu tỉ Tích phân các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân các hàm vô tỷ Phép thay thế thứ nhất của Euler Phép thay thế thứ hai của Euler Phép thay thế thứ ba của Euler Như vậy, ta thu được Nguyên mẫu 5. Tìm tích phân Mẫu số chung của phân số số mũ của x bằng 12 nên tích phân của hàm số có thể biểu diễn dưới dạng 1 _ 1_ chứng tỏ đó là hàm hữu tỉ của: Xét điều này, ta đặt. Do đó, 2. Xét các inteph có dạng trong đó hàm dưới nội tạng sao cho bằng cách thay thế căn thức \/ax2 + bx + c trong đó bằng y, chúng ta thu được hàm R(x) y) - hữu tỷ đối với cả hai đối số x và y. Tích phân này được rút gọn thành tích phân của hàm hữu tỉ của một biến khác bằng cách sử dụng phép thế Euler. 8.1. Phép thay thế đầu tiên của Euler Cho hệ số a > 0. Chúng ta đặt hoặc Do đó chúng ta tìm thấy x là hàm hữu tỷ của u, nghĩa là Do đó, phép thay thế được chỉ định biểu thị một cách hợp lý theo *. Vì vậy, chúng tôi sẽ có một nhận xét. Phép thế Euler thứ nhất cũng có thể có dạng Ví dụ 6. Hãy tìm tích phân Do đó ta sẽ có phép thế Euler dx, chứng tỏ Y 8.2. Phép thay thế thứ hai của Euler Giả sử tam thức ax2 + bx + c có nghiệm thực R] và x2 khác nhau (hệ số có thể có bất kỳ dấu nào). Trong trường hợp này, chúng ta giả sử Từ đó chúng ta thu được Vì x,dxn y/ax2 + be + c được biểu diễn một cách hữu tỉ theo t, nên tích phân ban đầu được rút gọn thành tích phân của một hàm hữu tỉ, tức là trong đó Bài toán. Sử dụng phép thế Euler thứ nhất, chứng tỏ rằng đó là hàm số hữu tỷ của t. Ví dụ 7. Tìm hàm số dx M] - x1 có nghiệm thực khác nhau. Do đó, chúng ta áp dụng phép thế Euler thứ 2. Từ đây chúng ta tìm thấy. Thay các biểu thức tìm được vào Given?v*gyvl; chúng tôi nhận được 8,3. Substascom Euler thứ ba Cho hệ số c > 0. Chúng ta thực hiện phép đổi biến bằng cách đặt. Lưu ý rằng để quy tích phân thành tích phân của hàm hữu tỷ, phép thay thế Euler thứ nhất và thứ hai là đủ. Trong thực tế, nếu biệt thức b2 -4ac > 0 thì nghiệm của tam thức bậc hai ax + bx + c là số thực, và trong trường hợp này phép thế Euler thứ hai được áp dụng. Nếu thì dấu của tam thức ax2 + bx + c trùng với dấu của hệ số a, và vì tam thức phải dương nên a > 0. Trong trường hợp này, phép thay thế Euler đầu tiên được áp dụng. Để tìm tích phân thuộc loại đã chỉ ra ở trên, không phải lúc nào cũng nên sử dụng phép thay thế Euler, vì đối với chúng, có thể tìm các phương pháp tích phân khác dẫn đến mục tiêu nhanh hơn. Chúng ta hãy xem xét một số tích phân này. 1. Để tìm tích phân dạng, hãy tách bình phương hoàn hảo khỏi bình phương của tam thức thứ: trong đó Sau đó, thực hiện thay thế và nhận được hệ số a và P có dấu khác nhau hoặc cả hai đều dương. Với và cả với a > 0, tích phân sẽ được rút gọn thành logarit, và nếu vậy, thành arcsine. Tại. Tìm tích phân 4 Sokak rồi. Giả sử chúng ta nhận được Prmmar 9. Tìm. Giả sử x - thì ta sẽ có 2. Tích phân dạng tích phân được quy về tích phân y từ bước 1 như sau. Xét đạo hàm ()" = 2, ta đánh dấu ở tử số: 4 Ta xác định đạo hàm của biểu thức căn thức ở tử số. Vì (x nên ta sẽ có, xét đến kết quả của ví dụ 9, 3. Tích phân có dạng trong đó P​(x) là đa thức bậc n, có thể được tìm bằng phương pháp hệ số không xác định, bao gồm: Giả sử đẳng thức đúng. Ví dụ 10. Tích phân lớn trong đó Qn-i (s) là đa thức bậc (n - 1) có hệ số không xác định: Để tìm các hệ số chưa biết | ta lấy vi phân cả hai vế của (1): Sau đó quy gọn vế phải của đẳng thức (2) về mẫu số chung bằng mẫu số của vế trái, tức là y/ax2 + bx + c, rút ​​gọn cả hai vế của (2), nhờ đó, ta thu được đẳng thức hai vế chứa đa thức bậc n. vế trái và vế phải của (3), ta thu được phương trình n + 1, từ đó tìm được các hệ số cần tìm j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Thay giá trị của chúng vào vế phải của (1) và tìm tích phân + c ta được đáp án cho tích phân này. Ví dụ 11. Tìm tích phân Hãy đặt Vi phân cả hai bộ đẳng thức, ta sẽ có Đưa vế phải về mẫu số chung và rút gọn cả hai vế, ta được đẳng thức hoặc. Đánh đồng các hệ số có cùng lũy ​​thừa của x, ta thu được hệ phương trình từ đó tìm được = Khi đó ta tìm tích phân ở vế phải của đẳng thức (4): Do đó, tích phân cần tìm sẽ bằng

Dưới không hợp lý hiểu một biểu thức trong đó biến độc lập %%x%% hoặc đa thức %%P_n(x)%% bậc %%n \in \mathbb(N)%% được bao gồm dưới dấu căn bản(từ tiếng Latinh cơ số- gốc), tức là được nâng lên lũy thừa phân số. Bằng cách thay thế một biến, một số lớp số nguyên không hợp lý đối với %%x%% có thể được rút gọn thành các biểu thức hữu tỷ đối với một biến mới.

Khái niệm hàm hữu tỉ một biến có thể được mở rộng cho nhiều đối số. Nếu với mỗi đối số %%u, v, \dotsc, w%% khi tính giá trị của hàm, chỉ cung cấp các phép toán số học và lũy thừa số nguyên, thì chúng ta nói về hàm hữu tỷ của các đối số này, thường là được ký hiệu là %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Bản thân các đối số của một hàm như vậy có thể là các hàm của biến độc lập %%x%%, bao gồm các căn thức có dạng %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Ví dụ: hàm hữu tỷ $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ với %%u = x, v = \sqrt(x)%% và %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% là hàm hữu tỉ của $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ từ %%x%% và các căn thức %%\sqrt(x)%% và %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, trong khi hàm %%f(x)%% sẽ là hàm vô tỷ (đại số) của một biến độc lập %%x%%.

Hãy xem xét tích phân có dạng %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Những tích phân như vậy được hợp lý hóa bằng cách thay thế biến %%t = \sqrt[n](x)%%, sau đó %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

ví dụ 1

Tìm %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Số nguyên của đối số mong muốn được viết dưới dạng hàm của các căn bậc %%2%% và %%3%%. Vì bội số chung nhỏ nhất của %%2%% và %%3%% là %%6%%, tích phân này là tích phân của loại %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% và có thể hợp lý hóa bằng cách thay thế %%\sqrt(x) = t%%. Khi đó %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Do đó, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Hãy lấy %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% và $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(mảng) $$

Tích phân có dạng %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% là trường hợp đặc biệt của các số vô tỷ tuyến tính phân số, tức là. tích phân có dạng %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, trong đó %% ad - bc \neq 0%%, có thể hợp lý hóa bằng cách thay thế biến %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, sau đó %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Khi đó $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Ví dụ 2

Tìm %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Hãy lấy %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, sau đó %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Do đó, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Hãy xem xét tích phân có dạng %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Trong những trường hợp đơn giản nhất, các tích phân như vậy được rút gọn thành dạng bảng nếu sau khi tách hình vuông hoàn chỉnh, thực hiện thay đổi các biến.

Ví dụ 3

Tìm tích phân %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Xét rằng %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, chúng ta lấy %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, thì $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(mảng) $$

Trong những trường hợp phức tạp hơn, để tìm tích phân có dạng %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% được sử dụng

Không có cách phổ quát nào để giải các phương trình vô tỷ, vì lớp của chúng khác nhau về số lượng. Bài báo sẽ nêu bật các dạng đặc trưng của phương trình thay thế bằng phương pháp tích phân.

Để sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp, cần tính tích phân không xác định loại ∫ k x + b p d x, trong đó p là phân số hữu tỉ, k và b là các hệ số thực.

ví dụ 1

Tìm và tính nguyên hàm của hàm số y = 1 3 x - 1 3 .

Giải pháp

Theo quy tắc tích phân cần áp dụng công thức ∫ f(k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, bảng nguyên hàm cho biết hàm số này đã có sẵn nghiệm . Chúng tôi hiểu điều đó

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Trả lời:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Có những trường hợp có thể sử dụng phương pháp gộp dấu vi phân. Điều này được giải quyết bằng nguyên tắc tìm tích phân bất định có dạng ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , khi giá trị của p được coi là một phân số hữu tỷ.

Ví dụ 2

Tìm tích phân bất định ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Giải pháp

Lưu ý rằng d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Khi đó cần phải gộp dấu vi phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm. Ta thu được điều đó

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Trả lời:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Việc giải tích phân bất định bao gồm một công thức có dạng ∫ d x x 2 + p x + q, trong đó p và q là các hệ số thực. Sau đó, bạn cần chọn một hình vuông hoàn chỉnh từ dưới gốc. Chúng tôi hiểu điều đó

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Áp dụng công thức trong bảng tích phân không xác định, ta thu được:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Khi đó tích phân được tính:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Ví dụ 3

Tìm tích phân không xác định có dạng ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Giải pháp

Để tính, bạn cần lấy số 2 ra và đặt trước căn:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Chọn một hình vuông hoàn chỉnh trong biểu thức căn thức. Chúng tôi hiểu điều đó

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Khi đó ta thu được tích phân bất định có dạng 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Trả lời: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Việc tích hợp các hàm vô tỷ được thực hiện theo cách tương tự. Áp dụng cho các hàm có dạng y = 1 - x 2 + p x + q.

Ví dụ 4

Tìm tích phân không xác định ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Giải pháp

Trước tiên, bạn cần lấy bình phương của mẫu số của biểu thức từ dưới gốc.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Tích phân trong bảng có dạng ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, khi đó ta thu được ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a c sin x - 2 3 +C

Trả lời:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Quá trình tìm hàm vô tỉ nguyên hàm dạng y = M x + N x 2 + p x + q, trong đó M, N, p, q tồn tại là các hệ số thực và tương tự như tích phân phân số đơn giản loại ba . Sự chuyển đổi này có nhiều giai đoạn:

tính tổng vi phân dưới gốc, cô lập bình phương đầy đủ của biểu thức dưới gốc, sử dụng công thức dạng bảng.

Ví dụ 5

Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Giải pháp

Từ điều kiện ta có d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x và x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, khi đó (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Hãy tính tích phân: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Trả lời:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Việc tìm kiếm tích phân không xác định của hàm ∫ x m (a + b x n) p d x được thực hiện bằng phương pháp thay thế.

Để giải quyết cần phải đưa ra các biến mới:

  1. Khi p là số nguyên thì x = z N được xét và N là mẫu số chung của m, n.
  2. Khi m + 1 n là số nguyên thì a + b x n = z N và N là mẫu số của p.
  3. Khi m + 1 n + p là số nguyên thì cần phải có biến a x - n + b = z N và N là mẫu số của số p.
Ví dụ 6

Tìm tích phân xác định ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Giải pháp

Chúng ta nhận được rằng ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Suy ra m = - 1, n = 1, p = - 1 2 thì m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 là số nguyên. Bạn có thể giới thiệu một biến mới có dạng - 9 + 2 x = z 2. Cần phải biểu diễn x theo z. Là đầu ra, chúng tôi nhận được điều đó

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Cần phải thay thế vào tích phân đã cho. Chúng tôi có cái đó

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Trả lời:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Để đơn giản hóa việc giải phương trình vô tỉ, người ta sử dụng các phương pháp tích phân cơ bản.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter