Chuyển đổi số thập lục phân sang nhị phân trực tuyến. Chuyển đổi số nguyên từ hệ thống số này sang hệ thống số khác. Trừ số nhị phân

Các phương pháp chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác.

Chuyển đổi số từ hệ thống số vị trí này sang hệ thống số vị trí khác: chuyển đổi số nguyên.

Để chuyển đổi một số nguyên từ một hệ thống số có cơ số d1 sang hệ thống số khác có cơ số d2, bạn phải chia tuần tự số này và thương số thu được cho cơ số d2 của hệ thống mới cho đến khi bạn nhận được thương số nhỏ hơn cơ số d2. Thương số cuối cùng là chữ số cao nhất của số trong hệ thống mới các số có cơ số d2 và các số theo sau là số dư của phép chia, được viết theo thứ tự ngược lại khi nhận. Thực hiện các phép tính số học trong hệ thống số mà số được dịch được viết.

Ví dụ 1. Chuyển số 11(10) sang hệ nhị phân.

Đáp án: 11(10)=1011(2).

Ví dụ 2. Chuyển số 122(10) thành hệ bát phânĐang tính toán.

Đáp án: 122(10)=172(8).

Ví dụ 3. Chuyển số 500(10) thành hệ thập lục phânĐang tính toán.

Đáp án: 500(10)=1F4(16).

Chuyển đổi số từ hệ thống số vị trí này sang hệ thống số vị trí khác: chuyển đổi phân số thích hợp.

Để chuyển một phân số thực sự từ hệ số có cơ số d1 sang hệ có cơ số d2, cần phải nhân tuần tự phân số ban đầu và các phần phân số của tích thu được với cơ số của hệ số mới d2. Phân số chính xác của một số trong hệ số mới có cơ số d2 được hình thành dưới dạng phần nguyên của các tích thu được, bắt đầu từ phần đầu tiên.
Nếu phép dịch dẫn đến một phân số ở dạng chuỗi vô hạn hoặc phân kỳ thì quy trình có thể được hoàn thành khi đạt được độ chính xác cần thiết.

Khi dịch hỗn số cần dịch riêng phần nguyên và phần phân số sang hệ thống mới theo quy tắc dịch số nguyên và phân số riêng, sau đó gộp cả hai kết quả đó thành một hỗn số trong hệ thống số mới.

Ví dụ 1. Chuyển số 0,625(10) sang hệ nhị phân.

Đáp án: 0,625(10)=0,101(2).

Ví dụ 2. Chuyển số 0,6(10) sang hệ bát phân.

Đáp án: 0,6(10)=0,463(8).

Ví dụ 2. Chuyển số 0,7(10) sang hệ thập lục phân.

Đáp án: 0,7(10)=0,B333(16).

Chuyển đổi số nhị phân, số bát phân và số thập lục phân sang hệ thống số thập phân.

Để chuyển đổi một số từ hệ thống P-ary sang số thập phân, bạn phải sử dụng công thức khai triển sau:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Ví dụ 1. Chuyển số 101,11(2) sang hệ thập phân.

Đáp án: 101,11(2)= 5,75(10) .

Ví dụ 2. Chuyển số 57,24(8) sang hệ thập phân.

Đáp án: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Ví dụ 3. Chuyển số 7A,84(16) sang hệ thập phân.

Đáp án: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Chuyển đổi số bát phân, số thập lục phân sang hệ số nhị phân và ngược lại.

Để chuyển một số từ hệ bát phân sang hệ nhị phân, mỗi chữ số của số này phải được viết dưới dạng số nhị phân có ba chữ số (bộ ba).

Ví dụ: viết số 16,24(8) vào hệ nhị phân.

Đáp án: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Để chuyển một số nhị phân trở lại hệ bát phân, bạn cần chia số ban đầu thành các bộ ba ở bên trái và bên phải dấu thập phân và biểu thị mỗi nhóm bằng một chữ số trong hệ bát phân. Bộ ba cực kỳ không hoàn chỉnh được bổ sung bằng số không.

Ví dụ: viết số 1110.0101(2) trong hệ bát phân.

Đáp án: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang hệ nhị phân, bạn cần viết từng chữ số của số này dưới dạng số nhị phân có bốn chữ số (tetrad).

Ví dụ: viết số 7A,7E(16) vào hệ nhị phân.


Đáp án: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Lưu ý: các số 0 đứng đầu bên trái cho số nguyên và bên phải cho phân số không được viết.

Để chuyển một số nhị phân trở lại hệ thập lục phân, bạn cần chia số ban đầu thành các tứ giác ở bên trái và bên phải dấu thập phân và biểu thị mỗi nhóm bằng một chữ số trong hệ thập lục phân. Bộ ba cực kỳ không hoàn chỉnh được bổ sung bằng số không.

Ví dụ: viết số 1111010.0111111(2) theo hệ thập lục phân.

Viết số trong hệ nhị phân và lũy thừa của hai từ phải sang trái. Ví dụ: chúng tôi muốn chuyển đổi số nhị phân 10011011 2 thành số thập phân. Hãy viết nó ra trước. Sau đó chúng ta viết lũy thừa của hai từ phải sang trái. Hãy bắt đầu với 2 0, bằng "1". Chúng tôi tăng mức độ lên một cho mỗi số tiếp theo. Chúng ta dừng khi số phần tử trong danh sách bằng số chữ số trong số nhị phân. Số ví dụ của chúng ta, 10011011, có tám chữ số, do đó, danh sách tám phần tử sẽ trông như thế này: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Viết các chữ số của số nhị phân dưới lũy thừa tương ứng của 2. Bây giờ chỉ cần viết 10011011 dưới các số 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 và 1, sao cho mỗi số chữ số nhị phân tương ứng với lũy thừa hai của nó. Số "1" ngoài cùng bên phải của số nhị phân phải tương ứng với số "1" ngoài cùng bên phải của lũy thừa hai, v.v. Nếu muốn, bạn có thể viết số nhị phân trên lũy thừa hai. Điều quan trọng nhất là chúng phù hợp với nhau.

Ghép các chữ số trong số nhị phân với lũy thừa tương ứng của hai. Vẽ các đường thẳng (từ phải sang trái) nối từng chữ số liên tiếp của số nhị phân với lũy thừa của hai chữ số phía trên nó. Bắt đầu vẽ các đường bằng cách nối chữ số đầu tiên của số nhị phân với lũy thừa đầu tiên của hai số ở trên nó. Sau đó vẽ một đường thẳng từ chữ số thứ hai của số nhị phân đến lũy thừa thứ hai của hai. Tiếp tục kết nối mỗi số với lũy thừa tương ứng của hai. Điều này sẽ giúp bạn nhìn thấy trực quan mối quan hệ giữa hai bộ số khác nhau.

Viết nó ra giá trị cuối cùng mỗi sức mạnh của hai.Đi qua từng chữ số của một số nhị phân. Nếu số đó là 1, hãy viết lũy thừa tương ứng của 2 dưới số đó. Nếu số này là 0 thì viết số 0 dưới số đó.

• Vì "1" khớp với "1" nên nó vẫn là "1". Vì "2" khớp với "1" nên nó vẫn là "2". Vì "4" tương ứng với "0" nên nó trở thành "0". Vì "8" khớp với "1" nên nó trở thành "8" và vì "16" khớp với "1" nên nó trở thành "16". "32" khớp với "0" và trở thành "0", "64" khớp với "0" và do đó trở thành "0", trong khi "128" khớp với "1" và do đó trở thành 128.

1. Đếm thứ tự hệ thống khác nhauĐang tính toán.

TRONG cuộc sống hiện đại chúng tôi sử dụng hệ thống định vị ký hiệu, nghĩa là các hệ thống trong đó số được biểu thị bằng một chữ số phụ thuộc vào vị trí của chữ số trong ký hiệu của số đó. Vì vậy, trong tương lai chúng ta sẽ chỉ nói về họ mà bỏ qua thuật ngữ “vị trí”.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ hệ thống này sang hệ thống khác, chúng ta sẽ hiểu cách ghi tuần tự các số xảy ra bằng ví dụ hệ thống thập phân.

Vì chúng ta có hệ thống số thập phân nên chúng ta có 10 ký hiệu (chữ số) để cấu tạo nên số. Chúng ta bắt đầu đếm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hết số. Chúng ta tăng độ sâu bit của số và đặt lại chữ số bậc thấp: 10. Sau đó, chúng ta lại tăng chữ số bậc thấp cho đến khi hết các chữ số: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Ta tăng chữ số bậc cao lên 1 và đặt lại chữ số bậc thấp: 20. Khi sử dụng hết chữ số cho cả hai chữ số (ta được số 99), ta lại tăng dung lượng chữ số của số đó và đặt lại chữ số hiện có: 100. Và cứ thế.

Hãy thử làm tương tự ở hệ thống thứ 2, thứ 3 và thứ 5 (chúng tôi giới thiệu ký hiệu cho hệ thống thứ 2, cho hệ thống thứ 3, v.v.):

Nếu hệ thống số có cơ số lớn hơn 10 thì ta sẽ phải nhập ký tự bổ sung, thông lệ là nhập các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh. Ví dụ: đối với hệ thống 12 chữ số, ngoài 10 chữ số, chúng ta cần thêm 2 chữ cái ( và ):

2. Chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số thập phân khác.

Để dịch một số nguyên dương số thập phân thành một hệ số có cơ số khác, bạn cần chia số này cho cơ số. Chia thương số thu được cho cơ số một lần nữa và chia tiếp cho đến khi thương nhỏ hơn cơ số. Kết quả là, viết thương số cuối cùng và tất cả số dư vào một dòng, bắt đầu từ dòng cuối cùng.

Ví dụ 1. Hãy chuyển đổi số thập phân 46 sang hệ thống số nhị phân.

Ví dụ 2. Hãy chuyển số thập phân 672 sang hệ bát phân.

Ví dụ 3. Hãy chuyển số thập phân 934 sang hệ thập lục phân.

3. Chuyển đổi từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống nào khác sang số thập phân, hãy phân tích ký hiệu thông thường cho số thập phân.
Ví dụ: số thập phân 325 có 5 đơn vị, 2 chục và 3 trăm, tức là

Tình hình hoàn toàn giống nhau trong các hệ thống số khác, chỉ có điều chúng ta sẽ nhân không phải với 10, 100, v.v. mà với lũy thừa của cơ số của hệ thống số. Ví dụ: hãy lấy số 1201 trong hệ thống bậc baĐang tính toán. Hãy đánh số các chữ số từ phải sang trái bắt đầu từ 0 và tưởng tượng số của chúng ta là tổng của tích của một chữ số và ba lũy thừa của chữ số của số đó:

Đây là ký hiệu thập phân của số của chúng tôi, tức là

Ví dụ 4. Hãy chuyển đổi sang hệ thống số thập phân số bát phân 511.

Ví dụ 5. Hãy chuyển đổi số thập lục phân 1151 sang hệ thống số thập phân.

4. Chuyển từ hệ thống nhị phân thành một hệ thống có cơ số “lũy thừa hai” (4, 8, 16, v.v.).

Để chuyển một số nhị phân thành số có lũy thừa hai cơ số, cần chia dãy nhị phân thành các nhóm theo số chữ số lũy thừa từ phải sang trái và thay mỗi nhóm bằng chữ số tương ứng của số mới. hệ thống số.

Ví dụ: Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 sang hệ bát phân. Để làm điều này, chúng ta sẽ chia nó thành các nhóm gồm 3 ký tự bắt đầu từ bên phải (kể từ ), sau đó sử dụng bảng tương ứng và thay thế mỗi nhóm bằng một số mới:

Chúng ta đã học cách xây dựng bảng tương ứng ở bước 1.

Những thứ kia.

Ví dụ 6. Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 thành thập lục phân.

5. Chuyển đổi từ một hệ thống có “sức mạnh của hai” cơ bản (4, 8, 16, v.v.) sang hệ nhị phân.

Bản dịch này tương tự như bản dịch trước, được thực hiện bằng mặt trái: Chúng ta thay thế mỗi chữ số bằng một nhóm chữ số nhị phân từ bảng tra cứu.

Ví dụ 7. Hãy chuyển đổi số thập lục phân C3A6 sang hệ thống số nhị phân.

Để thực hiện việc này, hãy thay thế mỗi chữ số của số bằng một nhóm gồm 4 chữ số (vì ) từ bảng tương ứng, bổ sung cho nhóm các số 0 ở đầu nếu cần:

Lưu ý 1

Nếu bạn muốn chuyển đổi một số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, thì trước tiên bạn nên chuyển đổi nó sang hệ thống số thập phân, sau đó chỉ chuyển đổi nó từ hệ thống số thập phân sang bất kỳ hệ thống số nào khác.

Quy tắc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân

TRONG công nghệ máy tính, bằng cách sử dụng số học máy, việc chuyển đổi các số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác đóng một vai trò quan trọng. Dưới đây chúng tôi đưa ra các quy tắc cơ bản cho các phép biến đổi (bản dịch) như vậy.

Khi chuyển số nhị phân sang số thập phân, số nhị phân phải được biểu diễn dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, theo trong trường hợp này$2$, và sau đó bạn cần tính đa thức bằng cách sử dụng các quy tắc số học thập phân:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Hình 1. Bảng 1

ví dụ 1

Chuyển số $11110101_2$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $1$ của cơ số $2$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Để chuyển một số từ hệ bát phân sang hệ thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của nó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong phần này. trường hợp $8$, thì bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Hình 2. Bảng 2

Ví dụ 2

Chuyển số $75013_8$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $2$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $16$, sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Hình 3. Bảng 3

Ví dụ 3

Chuyển số $FFA2_(16)$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy ​​thừa $3$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, số đó phải được chia tuần tự cho $2$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Biểu diễn một số trong hệ nhị phân dưới dạng một dãy kết quả cuối cùng phép chia và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 4

Chuyển số $22_(10)$ sang hệ nhị phân.

Giải pháp:

Hinh 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang bát phân, số đó phải được chia tuần tự cho $8$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $7$. Một số trong hệ bát phân được biểu diễn dưới dạng một dãy các chữ số của phép chia cuối cùng và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 5

Chuyển số $571_(10)$ sang hệ bát phân.

Giải pháp:

Hình 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ thập lục phân, số đó phải được chia liên tiếp cho $16$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $15$. Một số trong hệ thập lục phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các chữ số của kết quả phép chia cuối cùng và phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 6

Chuyển số $7467_(10)$ sang hệ thập lục phân.

Giải pháp:

Hình 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Để chuyển đổi một phân số thực sự từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số không thập phân, cần phải nhân tuần tự phần phân số của số được chuyển đổi với cơ số của hệ thống mà nó cần chuyển đổi. Các phân số trong hệ thống mới sẽ được thể hiện dưới dạng toàn bộ các phần của sản phẩm, bắt đầu từ phần đầu tiên.

Ví dụ: $0,3125_((10))$ trong hệ bát phân sẽ có dạng $0,24_((8))$.

Trong trường hợp này, bạn có thể gặp phải sự cố khi phân số thập phân hữu hạn có thể tương ứng với phân số vô hạn (định kỳ) trong hệ thống số không thập phân. Trong trường hợp này, số chữ số trong phân số được biểu thị trong hệ thống mới sẽ phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết. Cũng cần lưu ý rằng số nguyên vẫn là số nguyên, nhưng phân số thích hợp- phân số trong bất kỳ hệ thống số nào.

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang hệ thống số nhị phân khác

• Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ bát phân thì phải chia thành các bộ ba (bộ ba chữ số), bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần thì thêm các số 0 vào bộ ba dẫn đầu, sau đó thay mỗi bộ ba bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Hình 7. Bảng 4

Ví dụ 7

Chuyển số $1001011_2$ sang hệ bát phân.

Giải pháp. Sử dụng Bảng 4, chúng tôi chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang bát phân:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, cần chia thành bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần, thêm số 0 vào chữ số bốn có nghĩa nhất, sau đó thay từng chữ số bốn bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.