Cum să convertiți rapid în diferite sisteme de numere. Traducerea părții fracționale. Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal
Cei care susțin examenul de stat unificat și multe altele...
Este ciudat că în lecțiile de informatică din școli, de obicei, le arată elevilor cel mai complex și incomod mod de a converti numerele dintr-un sistem în altul. Această metodă constă în împărțirea succesivă a numărului inițial la bază și colectarea resturilor din împărțirea în ordine inversă.
De exemplu, trebuie să convertiți numărul 810 10 în binar:
Scriem rezultatul în ordine inversă de jos în sus. Se dovedește că 81010 = 11001010102
Dacă trebuie să convertiți numere destul de mari în sistem binar, atunci scara de diviziune capătă dimensiunea unei clădiri cu mai multe etaje. Și cum poți aduna toate cele și zerourile și să nu ratezi niciunul?
ÎN Programul de examen de stat unificatîn informatică include mai multe sarcini legate de traducerea numerelor dintr-un sistem în altul. De obicei, aceasta este o conversie între sistemele octal și hexazecimal și binar. Acestea sunt secțiunile A1, B11. Dar există și probleme cu alte sisteme numerice, cum ar fi în secțiunea B7.
Pentru început, să ne amintim două tabele pe care ar fi bine să le cunoaștem pe de rost pentru cei care aleg informatica ca profesie viitoare.
Tabelul puterilor numărului 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Se obține cu ușurință prin înmulțirea numărului anterior cu 2. Deci, dacă nu vă amintiți toate aceste numere, restul nu sunt greu de obținut în minte din cele pe care le amintiți.
Tabel de numere binare de la 0 la 15 cu reprezentare hexazecimală:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Valorile lipsă sunt, de asemenea, ușor de calculat adăugând 1 la valorile cunoscute.
Conversie intreg
Deci, să începem prin a converti direct în sistemul binar. Să luăm același număr 810 10. Trebuie să descompunăm acest număr în termeni egali cu puterile a doi.
- Căutăm puterea celor două cele mai apropiate de 810 și să nu o depășească. Acesta este 2 9 = 512.
- Scădeți 512 din 810, obținem 298.
- Repetați pașii 1 și 2 până când nu mai rămân 1 sau 0.
- Am prins așa: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Metoda 1: Aranjați 1 în funcție de rangurile indicatorilor termenilor. În exemplul nostru, acestea sunt 9, 8, 5, 3 și 1. Locurile rămase vor conține zerouri. Deci, am obținut reprezentarea binară a numărului 810 10 = 1100101010 2. Unitățile sunt plasate pe locurile 9, 8, 5, 3 și 1, numărând de la dreapta la stânga de la zero.
Metoda 2: Să scriem termenii ca puteri a doi unul sub celălalt, începând cu cel mai mare.
810 =
Acum să adăugăm acești pași împreună, cum ar fi plierea unui evantai: 1100101010.
Asta e tot. În același timp, problema „câte unități sunt în notația binară a numărului 810?” este, de asemenea, rezolvată simplu.
Răspunsul este atâția termeni (puteri a doi) în această reprezentare. 810 are 5 dintre ele.
Acum exemplul este mai simplu.
Să transformăm numărul 63 în sistemul numeric 5-ari. Cea mai apropiată putere de la 5 la 63 este 25 (pătratul 5). Un cub (125) va fi deja mult. Adică 63 se află între pătratul lui 5 și cub. Apoi vom selecta coeficientul pentru 5 2. Acesta este 2.
Se obține 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Și, în sfârșit, traduceri foarte ușoare între sistemele 8 și hexazecimale. Deoarece baza lor este o putere de doi, traducerea se face automat, pur și simplu prin înlocuirea numerelor cu reprezentarea lor binară. Pentru sistemul octal, fiecare cifră este înlocuită cu trei cifre binare, iar pentru sistemul hexazecimal, patru. În acest caz, sunt necesare toate zerourile înainte, cu excepția cifrei celei mai semnificative.
Să convertim numărul 547 8 în binar.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Încă unul, de exemplu 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Să convertim numărul 7368 în sistemul hexazecimal.Mai întâi, scrieți numerele în triplete, apoi împărțiți-le în cvadruple de la sfârșit: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Să convertim numărul C25 16 în sistemul octal. Mai întâi, scriem numerele în patru, apoi le împărțim în trei de la sfârșit: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Acum să ne uităm la conversia înapoi în zecimală. Nu este dificil, principalul lucru este să nu faci greșeli în calcule. Extindem numărul într-un polinom cu puteri ale bazei și coeficienți pentru ei. Apoi înmulțim și adăugăm totul. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Conversia numerelor negative
Aici trebuie să țineți cont de faptul că numărul va fi prezentat în cod suplimentar. Pentru a converti un număr în cod suplimentar, trebuie să știți dimensiunea finală a numărului, adică în ce dorim să-l încadram - într-un octet, în doi octeți, în patru. Cea mai semnificativă cifră a unui număr înseamnă semnul. Dacă există 0, atunci numărul este pozitiv, dacă 1, atunci este negativ. În stânga, numărul este completat cu o cifră semn. Nu luăm în considerare numerele fără semn, ele sunt întotdeauna pozitive, iar bitul cel mai semnificativ din ele este folosit ca informație.
Pentru traducere număr negativîn codul de complement al binar, trebuie să convertiți un număr pozitiv în binar, apoi să schimbați zerourile în unu și cele cu zerouri. Apoi adăugați 1 la rezultat.
Deci, să convertim numărul -79 în sistemul binar. Numărul ne va lua un octet.
Convertim 79 în sistemul binar, 79 = 1001111. Adăugăm zerouri în stânga la dimensiunea octetului, 8 biți, obținem 01001111. Schimbăm 1 la 0 și 0 la 1. Obținem 10110000. Adăugăm 1 la rezultat, obținem răspunsul 10110001. Pe parcurs, răspundem la întrebarea Examenului de stat unificat „câte unități sunt în reprezentarea binară a numărului -79?” Raspunsul este 4.
Adăugarea lui 1 la inversul unui număr elimină diferența dintre reprezentările +0 = 00000000 și -0 = 11111111. În codul de complement a doi vor fi scrise la fel ca 00000000.
Traducere numere fracționare
Numerele fracționale sunt convertite în modul invers al împărțirii numerelor întregi la bază, la care ne-am uitat chiar de la început. Adică, folosind înmulțirea secvențială cu o nouă bază cu colecția de părți întregi. Părțile întregi obținute prin înmulțire sunt colectate, dar nu participă urmatoarele operatii. Se înmulțesc doar fracțiile. Dacă numărul inițial este mai mare decât 1, atunci părțile întregi și fracționale sunt translatate separat și apoi lipite împreună.
Să transformăm numărul 0,6752 în sistemul binar.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Procesul poate fi continuat pentru o lungă perioadă de timp până când obținem toate zerourile din partea fracțională sau se obține precizia necesară. Să ne oprim la al 6-lea semn deocamdată.
Se dovedește că 0,6752 = 0,101011.
Dacă numărul a fost 5,6752, atunci în binar va fi 101,101011.
2.3. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
2.3.1. Conversia numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul
Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia numerelor întregi dintr-un sistem radix p într-un sistem cu o bază q :
1. Exprimați baza noului sistem numeric în numere sistem original calculele și toate acțiunile ulterioare sunt efectuate în sistemul de numere original.
2. Împărțiți în mod consecvent numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un cât mai mic decât divizorul.
3. Resturile rezultate, care sunt cifrele numărului în sistem nou numere, aliniați-le cu alfabetul noului sistem de numere.
4. Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l pornind de la ultimul rest.
Exemplul 2.12. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem de numere octale:
Se obține: 173 10 = 255 8
Exemplul 2.13. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem hexazecimal notaţie:
Se obține: 173 10 =AD 16.
Exemplul 2.14. Convertiți numărul zecimal 11 10 în sistemul numeric binar. Este mai convenabil să descriem secvența acțiunilor discutate mai sus (algoritm de traducere) după cum urmează:
Se obține: 11 10 =1011 2.
Exemplul 2.15. Uneori este mai convenabil să scrieți algoritmul de traducere sub formă de tabel. Să convertim numărul zecimal 363 10 într-un număr binar.
|
Divizor |
|||||||||
Se obține: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul
Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia unei fracții adecvate cu o bază p într-o fracție cu o bază q:
1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.
2. Înmulțiți consecvent numerele date și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egal cu zero sau se va obține acuratețea necesară a reprezentării numerelor.
3. Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, ar trebui aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.
4. Compuneți partea fracționară a unui număr în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.
Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.
Se obține: 0,65625 10 =0,52 8
Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistem numeric hexazecimal.
|
X 16 |
|
Se obține: 0,65625 10 =0,A8 1
Exemplul 2.18. Convertiți fracția zecimală 0,5625 10 în sistemul numeric binar.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
Se obține: 0,5625 10 =0,1001 2
Exemplul 2.19. Convertiți fracția zecimală 0,7 10 în sistemul numeric binar.
Evident, acest proces poate continua la nesfârșit, dând tot mai multe semne noi în imaginea echivalentului binar al numărului 0,7 10. Deci, în patru pași obținem numărul 0,1011 2 și în șapte pași numărul 0,1011001 2, care este o reprezentare mai precisă a numărului 0,7 10 în sistemul numeric binar etc. Un astfel de proces fără sfârșit se încheie la un pas, când se crede că s-a obţinut acurateţea cerută a reprezentării numerelor.
2.3.3. Traducerea numerelor arbitrare
Traducerea numerelor arbitrare, de ex. numerele care conțin părți întregi și fracționale se realizează în două etape.Traduse separat întreaga parte, separat - fracțional. În înregistrarea finală a numărului rezultat, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).
Exemplul 2.20. Convertiți numărul 17,25 10 în sistemul numeric binar.
Se obține: 17,25 10 =1001,01 2
Exemplul 2.21. Convertiți numărul 124,25 10 în sistem octal.
Se obține: 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Conversia numerelor din baza 2 în baza 2 n și invers
Traducerea numerelor întregi. Dacă baza sistemului numeric q-ary este o putere de 2, atunci conversia numerelor din sistemul numeric q-ary în sistemul numeric 2-ary și înapoi poate fi efectuată folosind mai multe reguli simple. Pentru a scrie un număr binar întreg în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:
1. Împărțiți numărul binar de la dreapta la stânga în grupuri de n cifre fiecare.
2. Dacă ultimul grup din stânga are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în stânga cu zerouri până la numărul necesar de cifre.
Exemplul 2.22. Numărul 101100001000110010 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.
Împărțim numărul de la dreapta la stânga în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea octală a numărului original: 541062 8 .
Exemplul 2.23. Numărul 1000000000111110000111 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.
Împărțim numărul de la dreapta la stânga în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 200F87 16.
Conversia numerelor fracționale. Pentru a scrie un număr binar fracționar într-un sistem numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:
1. Împărțiți numărul binar de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.
2. Dacă ultimul grup din dreapta are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre.
3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q=2 n.
Exemplul 2.24. Numărul 0,10110001 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.
Împărțim numărul de la stânga la dreapta în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea octală a numărului original: 0,542 8 .
Exemplul 2.25. Numărul 0,100000000011 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal. Împărțim numărul de la stânga la dreapta în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 0,803 16
Traducerea numerelor arbitrare. Pentru a scrie un număr binar arbitrar în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:
1. Împărțiți partea întreagă a unui număr binar dat de la dreapta la stânga și partea fracțională de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.
2. Dacă ultimele grupuri din stânga și/sau din dreapta au mai puțin de n cifre, atunci acestea trebuie completate în stânga și/sau în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre;
3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2 n
Exemplul 2.26. Să convertim numărul 111100101.0111 2 în sistemul de numere octale.
Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea octală a numărului original: 745,34 8 .
Exemplul 2.27. Numărul 11101001000,11010010 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.
Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în caiete și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:
Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 748,D2 16.
Conversia numerelor din sisteme numerice cu baza q=2n la binar. Pentru a converti un număr arbitrar scris în sistemul numeric cu baza q=2 n în sistemul numeric binar, trebuie să înlocuiți fiecare cifră a acestui număr cu echivalentul său de n cifre în sistemul numeric binar.
Exemplul 2.28.Să convertim numărul hexazecimal 4AC35 16 în sistemul numeric binar.
Conform algoritmului:
Primim: 1001010110000110101 2 .
Sarcini pentru finalizare independentă (Răspunsuri)
2.38. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr întreg trebuie scris în sisteme numerice diferite.
|
Binar |
Octal |
Zecimal |
hexazecimal |
2.39. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr fracționar trebuie să fie scris în sisteme numerice diferite.
|
Binar |
Octal |
Zecimal |
hexazecimal |
2.40. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr arbitrar (numărul poate conține atât un număr întreg, cât și o parte fracțională) trebuie scris în sisteme numerice diferite.
|
Binar |
Octal |
Zecimal |
hexazecimal |
|
59.B |
Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 litere latine la urma urmelor). Lungimea numerelor nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți înregistrare”.
Număr original scris în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 6 -al-lea sistem de numere.
Vreau să scriu un număr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.
Obțineți intrare
Traduceri finalizate: 1363703
Sisteme numerice
Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalȘi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional, dar există și sistemul roman - nu este pozițional. ÎN sisteme poziționale Poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles luând în considerare un număr ca exemplu.
Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Să numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:
Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.
Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:
Numărul 1234.567 se poate scrie sub următoarea formă: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Cel mai într-un mod simplu convertirea unui număr dintr-un sistem numeric în altul înseamnă mai întâi convertirea numărului într-un sistem numeric zecimal, iar apoi rezultatul rezultat în sistemul numeric necesar.
Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal
Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând cu zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:
1.
Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric
Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie convertite separat.
Conversia unei părți întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric
O parte întreagă este convertită dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a unui număr la baza sistemului de numere până când se obține un rest întreg care este mai mic decât baza sistemului de numere. Rezultatul traducerii va fi o înregistrare a restului, începând cu ultima.
3.
Convertiți numărul 273 10 în sistemul numeric octal.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1. 34 / 8 = 4 și restul 2. 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din restul va avea următoarea vedere: 421
Examinare: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatul este același. Aceasta înseamnă că traducerea a fost făcută corect.
Răspuns: 273 10 = 421 8
Luați în considerare translația fracțiilor zecimale adecvate în diverse sisteme Socoteala.
Conversia părții fracționale a unui număr din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric
Să vă reamintim că este corect zecimal numit numar real cu parte întreagă zero. Pentru a converti un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți succesiv numărul cu N până când partea fracțională ajunge la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.
4.
Convertiți numărul 0,125 10 în sistemul numeric binar.
Soluţie: 0,125·2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va deveni prima cifră a rezultatului), 0,25·2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5·2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului și, deoarece partea fracțională este zero, atunci translația este finalizată).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2
Pentru a converti rapid numerele din sistemul numeric zecimal în sistemul binar, trebuie să aveți o bună cunoaștere a numerelor „2 la putere”. De exemplu, 2 10 =1024 etc. Acest lucru vă va permite să rezolvați câteva exemple de traducere literalmente în câteva secunde. Una dintre aceste sarcini este Problema A1 din demonstrația USE 2012. Desigur, puteți lua un timp lung și obositor pentru a împărți un număr la „2”. Dar este mai bine să decideți diferit, economisind timp prețios la examen.
Metoda este foarte simplă. Esenta sa este aceasta: Dacă numărul care trebuie convertit din sistemul zecimal este egal cu numărul „2 la putere”, atunci acest număr din sistemul binar conține un număr de zerouri egal cu puterea. Adăugăm un „1” în fața acestor zerouri.
- Să convertim numărul 2 din sistemul zecimal. 2=2 1 . Prin urmare, în sistemul binar, un număr conține 1 zero. Punem „1” în față și obținem 10 2.
- Să convertim 4 din sistemul zecimal. 4=2 2 . Prin urmare, în sistemul binar, un număr conține 2 zerouri. Punem „1” în față și obținem 100 2.
- Să convertim 8 din sistemul zecimal. 8=2 3 . Prin urmare, în sistemul binar, un număr conține 3 zerouri. Punem „1” în față și obținem 1000 2.
La fel și pentru alte numere „2 la putere”.
Dacă numărul care trebuie convertit este mai mic decât numărul „2 la putere” cu 1, atunci în sistemul binar acest număr este format numai din unități, al căror număr este egal cu puterea.
- Să convertim 3 din sistemul zecimal. 3=2 2 -1. Prin urmare, în sistemul binar, un număr conține 2 uni. Primim 11 2.
- Să convertim 7 din sistemul zecimal. 7=2 3 -1. Prin urmare, în sistemul binar, un număr conține 3 uni. Primim 111 2.
În figură, pătratele indică reprezentarea binară a numărului, iar culoarea roz din stânga indică reprezentarea zecimală.
Traducerea este similară pentru alte numere „2 la puterea-1”.
Este clar că translația numerelor de la 0 la 8 se poate face rapid sau prin împărțire, sau pur și simplu cunoaștem pe de rost reprezentarea lor în sistemul binar. Am dat aceste exemple ca să înțelegeți principiul aceasta metodași l-a folosit pentru a traduce mai multe „numere impresionante”, de exemplu, pentru a traduce numerele 127,128, 255, 256, 511, 512 etc.
Puteți întâlni astfel de probleme atunci când trebuie să traduceți un număr, nu egală cu numărul„2 la putere”, dar aproape de ea. Poate fi mai mare sau mai mică de 2 la putere. Diferența dintre numărul tradus și numărul „2 la putere” ar trebui să fie mică. De exemplu, până la 3. Reprezentarea numerelor de la 0 la 3 în sistemul binar trebuie doar cunoscută fără translație.
Dacă numărul este mai mare decât , atunci rezolvați astfel:
Mai întâi convertim numărul „2 la putere” în sistem binar. Și apoi adăugăm la acesta diferența dintre numărul „2 la putere” și numărul care este tradus.
De exemplu, să convertim 19 din sistemul zecimal. Aceasta mai mult număr„2 la putere” cu 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Dacă numărul este mai mic decât numărul „2 la putere”, atunci este mai convenabil să folosiți numărul „2 la putere-1”. O rezolvam astfel:
Mai întâi convertim numărul „2 în puterea-1” în sistem binar. Și apoi scădem din el diferența dintre numărul „2 la puterea lui 1” și numărul care este tradus.
De exemplu, să convertim 29 din sistemul zecimal. Este mai mare decât numărul „2 la puterea-1” cu 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Dacă diferența dintre numărul care este tradus și numărul „2 la putere” este mai mare de trei, atunci puteți împărți numărul în componentele sale, puteți converti fiecare parte în sistemul binar și puteți adăuga.
De exemplu, convertiți numărul 528 din sistemul zecimal. 528=512+16. Traducem 512 și 16 separat.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Acum să-l adăugăm într-o coloană:
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este parte importantă aritmetica masinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.
1. Pentru traducere număr binarîn zecimală este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor unui număr și puterea corespunzătoare a lui 2, și să îl calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:
Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:
Tabelul 4. Puterile numărului 2
| n (grad) | |||||||||||
2. Pentru traducere număr octalîn zecimală, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să îl calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:
Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:
Tabelul 5. Puterile numărului 8
| n (grad) | |||||||
Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.
3. Pentru traducere număr hexazecimalîn zecimală este necesar să-l scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16 și să-l calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:
Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor numărului 16:
Tabelul 6. Puterile numărului 16
| n (grad) | |||||||
Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.
4. Pentru traducere numar decimalîn sistemul binar trebuie împărțit succesiv la 2 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 1. Numărul din sistemul binar se scrie ca o succesiune ultimul rezultatîmpărțirea și resturile din împărțire în ordine inversă.
Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.
5. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr în sistemul octal este scris ca o secvență de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și restul diviziunii în ordine inversă.
6. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când există un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr din sistemul hexazecimal este scris ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.
Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric hexazecimal.
7. Pentru a converti un număr din sistem binarîn octal, acesta trebuie împărțit în triade (triple de cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la triada majoră și fiecare triadă trebuie înlocuită cu cifra octală corespunzătoare (Tabelul 3).
Exemplu. Convertiți numărul în sistemul de numere octale.
8. Pentru a converti un număr din sistemul binar în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în tetrade (patru cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la tetradă cea mai semnificativă și înlocuiți fiecare tetradă cu octalul corespunzător cifra (Tabelul 3).
