Numere binare, cifre și sistemul de numere binar. Conversia unui număr în sistemul numeric binar din sistemul numeric zecimal. Sisteme numerice. Traducerea sistemelor numerice

Rezultatul a fost deja primit!

Sisteme numerice

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe, pe care îl folosim în viața de zi cu zi, este pozițional, dar sistemul de numere roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format din mai multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din mai multe cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15.În tabelul Tab.1 numerele sunt prezentate în diferite sisteme numerice.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.

Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti fracții zecimale regulate (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională conține un zero pur sau obținem numărul necesar de cifre . Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .

Prin urmare putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine până la urmă). Lungimea numerelor nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți înregistrare”.

Număr original scris în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 6 -al-lea sistem de numere.

Vreau să scriu un număr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți intrare

Traduceri finalizate: 1237177

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalȘi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional, dar există și sistemul roman - nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles luând în considerare un număr ca exemplu.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Să numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie sub următoarea formă: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cel mai simplu mod de a converti un număr dintr-un sistem numeric în altul este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, iar apoi rezultatul rezultat în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând cu zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie convertite separat.

Conversia unei părți întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

O parte întreagă este convertită dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a unui număr la baza sistemului de numere până când se obține un rest întreg care este mai mic decât baza sistemului de numere. Rezultatul traducerii va fi o înregistrare a restului, începând cu ultima.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistemul numeric octal.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1. 34 / 8 = 4 și restul 2. 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din solduri va arăta astfel: 421
Examinare: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatul este același. Aceasta înseamnă că traducerea a fost făcută corect.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Să luăm în considerare translația fracțiilor zecimale regulate în diferite sisteme numerice.

Conversia părții fracționale a unui număr din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că se numește o fracție zecimală adecvată număr real cu parte întreagă zero. Pentru a converti un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți succesiv numărul cu N până când partea fracțională ajunge la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistemul numeric binar.
Soluţie: 0,125·2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va deveni prima cifră a rezultatului), 0,25·2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5·2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului și, deoarece partea fracțională este zero, atunci translația este finalizată).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2

Cel mai scurt sistem numeric este binar. Ea este complet bazată pe formă pozițională inregistrarea numerelor. Caracteristica principală este principiul dublarea cifrelor atunci când se efectuează o trecere de la o anumită poziție la următoarea. Puteți converti de la un sistem numeric la altul fie folosind un program special, fie manual.

In contact cu

Recunoaștere istorică

Apariția SS binar în istorie este asociată cu omul de știință matematicianul V.G. Leibniz. El a fost primul care a vorbit despre regulile de efectuare a operațiunilor cu valori numerice de acest fel. Dar inițial acest principiu a rămas nerevendicat. Algoritmul a primit recunoaștere și aplicare la nivel mondial în zorii computerelor.

Comoditate și simplitate efectuarea de operații a dus la necesitatea unui studiu mai detaliat al acestei subsecțiuni a aritmeticii, devenită indispensabilă în dezvoltarea tehnologiei informatice cu software. Pentru prima dată, astfel de mecanisme au apărut pe piețele germane și franceze.

Atenţie! Un punct specific despre superioritatea sistemului binar în raport cu sistemul zecimal, tocmai în această industrie, a fost stabilit în 1946 și fundamentat într-un articol de A. Bex, H. Goldstein și J. Von Neumann.

Conversia unui număr din sistemul numeric zecimal în binar.

Caracteristicile aritmeticii binare

Toate CC binar se bazează pe aplicarea numai două personaje, care se potrivesc foarte strâns cu caracteristicile circuitului digital. Fiecare dintre simboluri este responsabil pentru o anumită acțiune, care implică adesea două stări:

• prezența sau absența unei găuri, de exemplu, o carte perforată sau o bandă de hârtie;
• pe medii magnetice este responsabil pentru starea de magnetizare sau demagnetizare;
• după nivelul semnalului, ridicat sau scăzut.

În știința în care se folosește SS, a fost introdusă o anumită terminologie, esența ei este următoarea:

• Bit – Cifră binară, care constă din două componente care poartă un anumit sens. Plasat in stanga este definit ca cel senior si este prioritar, iar in dreapta este cel junior, care este mai putin semnificativ.
• Un octet este o unitate care constă din opt biți.

Multe module percep și procesează informații în porțiuni sau cuvinte. Fiecare cuvânt are o pondere diferită și poate consta din 8, 16 sau 32 de biți.

Reguli pentru transferurile de la un sistem la altul

Unul dintre cei mai importanți factori în aritmetica mașinii este transfer de la un SS la altul. Prin urmare, să acordăm atenție algoritmilor de bază pentru efectuarea unui proces care va arăta cum să convertim un număr în sistemul binar.

Conversia sistemului zecimal în binar

În primul rând, să ne întoarcem la întrebarea cum să convertim sistemul din sistemul de numere zecimal în sistem binar. Pentru asta există regula de traducere de la numere zecimale la cod binar, ceea ce implică operatii matematice.

Necesită un număr scris în formă zecimală imparti la 2. Continuați împărțirea până când nu mai sunt coeficiente. unitate. Dacă este necesar un sistem de numere binar, traducerea se efectuează după cum urmează:

186:2=93 (răman 0)

93:2=46 (restul 1)

46:2=23 (în rest. 0)

23:2=11 (restul 1)

11:2=5 (răman 1)

5:2=2 (repaus.1)

După ce procesul de împărțire este finalizat, apoi scrieți unul în coeficient și scrieți secvențial toate resturile în ordinea inversă împărțirii. Adică 18610=1111010. Trebuie respectată întotdeauna regula de conversie a numerelor zecimale în SS.

Conversia unui număr din sistemul zecimal în binar.

Conversia de la SS zecimal la octal

Un proces similar este urmat la conversia de la SS zecimal la octal. Se mai numeste si " regula de substituție" Dacă în exemplul anterior datele au fost împărțite la 2, atunci aici este necesar imparti la 8. Algoritmul pentru conversia numărului X10 în octal constă din următorii pași:

1. Numărul X10 începe să fie împărțit la 8. Luăm câtul rezultat pentru următoarea împărțire, iar restul se scrie ca bitul cel mai puțin semnificativ.
2. Continuăm împărțirea până când obținem rezultatul coeficientului egal zero sau restul, care în valoarea sa mai putin de opt. În acest caz, scriem toate resturile ca biți de ordin scăzut.

De exemplu, trebuie să convertiți numărul 160110 în octal.

1601:8=200 (răman 1)

200:8=25 (răman 0)

25:8=3 (rest.1)

Deci, obținem: 161010=31018.

Conversia de la zecimal la octal.

Scrieți un număr zecimal în hexazecimal

Conversia de la SS zecimal la hexazecimal se realizează în mod similar utilizând sistemul de substituție. Dar, pe lângă numere, mai folosesc litere ale alfabetului latin A, B, C, D, E, F. Unde A indică restul 10, iar F restul 15. Numărul zecimal este împărțit la 16. De exemplu, convertiți 10710 în hexazecimal:

107:16=6 (rămași 11 – înlocuiți B)

6 este mai puțin de șaisprezece ani. Oprim împărțirea și scriem 10710 = 6B16.

Trecerea de la un alt sistem la binar

Următoarea întrebare este cum se transformă un număr din octal în binar. Convertirea numerelor din orice sistem în binar este destul de simplă. Un asistent în această chestiune este tabel pentru sisteme numerice.

Instrucțiuni

Video pe tema

În sistemul de numărare pe care îl folosim în fiecare zi, există zece cifre - de la zero la nouă. De aceea se numește zecimală. Totuși, în calculele tehnice, în special cele legate de calculatoare, altele sisteme, în special binar și hexazecimal. Prin urmare, trebuie să fiți capabil să traduceți numere de la unul sisteme numărând la altul.

Vei avea nevoie

• - o bucată de hârtie;
• - creion sau stilou;
• - calculator.

Instrucțiuni

Sistemul binar este cel mai simplu. Are doar două cifre - zero și unu. Fiecare cifră a binarului numere, începând de la capăt, corespunde unei puteri de doi. Doi în egal cu unu, în primul - doi, în al doilea - patru, în al treilea - opt și așa mai departe.

Să presupunem că vi se dă numărul binar 1010110. Unitățile din acesta se află pe locurile al doilea, al treilea, al cincilea și al șaptelea. Prin urmare, în sistemul zecimal acest număr este 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problemă inversă - zecimală numere sistem. Să presupunem că aveți numărul 57. Pentru a-l obține, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 2 și să scrieți restul. Numărul binar va fi construit de la sfârșit la început.
Primul pas vă va oferi ultima cifră: 57/2 = 28 (restul 1).
Apoi îl obțineți pe al doilea de la final: 28/2 = 14 (restul 0).
Alți pași: 14/2 = 7 (restul 0);
7/2 = 3 (restul 1);
3/2 = 1 (restul 1);
1/2 = 0 (restul 1).
Acesta este ultimul pas deoarece rezultatul împărțirii este zero. Drept urmare, ați primit numărul binar 111001.
Verificați răspunsul: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Al doilea, folosit în chestiuni informatice, este hexazecimal. Nu are zece, ci șaisprezece cifre. Pentru a evita noile convenții, primele zece cifre de hexazecimal sisteme sunt desemnate prin numere obișnuite, iar restul de șase - prin litere latine: A, B, C, D, E, F. Ele corespund notării zecimale numere m de la 10 la 15. Pentru a evita confuziile, numărul scris în hexazecimal este precedat de semnul # sau de simbolurile 0x.

Pentru a face un număr din hexazecimal sisteme, trebuie să înmulțiți fiecare dintre cifrele sale cu puterea corespunzătoare de șaisprezece și să adăugați rezultatele. De exemplu, numărul #11A în notație zecimală este 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Conversie inversă din zecimală sisteme la hexazecimal se face folosind aceeași metodă a resturilor ca și la binar. De exemplu, luați numărul 10000. Împărțind în mod constant la 16 și notând resturile, obțineți:
10000/16 = 625 (restul 0).
625/16 = 39 (restul 1).
39/16 = 2 (restul 7).
2/16 = 0 (restul 2).
Rezultatul calculului va fi numărul hexazecimal #2710.
Verificați răspunsul: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfer numere din hexazecimal sisteme Este mult mai ușor să convertiți în binar. Numărul 16 este doi: 16 = 2^4. Prin urmare, fiecare cifră hexazecimală poate fi scrisă ca un număr binar de patru cifre. Dacă aveți mai puțin de patru cifre într-un număr binar, adăugați zerouri de început.
De exemplu, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Verificați răspunsul: ambele numereîn notație zecimală sunt egale cu 8062.

Pentru a traduce, trebuie să împărțiți numărul binar în grupuri de patru cifre, începând de la sfârșit, și să înlocuiți fiecare astfel de grup cu o cifră hexazecimală.
De exemplu, 11000110101001 devine (0011)(0001)(1010)(1001), care în notație hexazecimală este egal cu #31A9. Corectitudinea răspunsului este confirmată prin conversia în notație zecimală: ambele numere sunt egale cu 12713.

Sfat 5: Cum se transformă un număr în binar

Datorită utilizării limitate a simbolurilor, sistemul binar este cel mai convenabil pentru utilizare în computere și alte dispozitive digitale. Există doar două simboluri: 1 și 0, deci acesta sistem utilizate în operarea registrelor.

Instrucțiuni

Binarul este pozițional, adică Poziția fiecărei cifre într-un număr corespunde unei anumite cifre, care este egală cu două la puterea corespunzătoare. Gradul începe de la zero și crește pe măsură ce vă deplasați de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 101 este egal cu 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Sistemele octale, hexazecimale și zecimale sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă printre sistemele poziționale. Și dacă pentru primele două a doua metodă este mai aplicabilă, atunci pentru traducerea din ambele sunt aplicabile.

Considerați un număr zecimal în binar sistem prin împărțire secvențială cu 2. Pentru a converti o zecimală număr 25 V

Cele mai comune metode de calcul în lumea modernă sunt zecimal și binar. Sunt folosite în zone complet diferite, dar ambele sunt la fel de importante. Adesea este necesară o conversie din sistem binar în sistem zecimal sau invers. Denumirile provin din baze, care depind de câte semne sunt folosite în scrierea numerelor. În binar este doar 0 și 1, iar în zecimal este de la 0 la 9. În alte sisteme, pe lângă numere, se folosesc litere, alte icoane și chiar hieroglife, dar aproape toate au fost demult depășite. Deoarece chiar și alte tipuri de sisteme numerice sunt mult mai puțin comune, vom vorbi în primul rând despre cele două deja menționate. Este de fapt uimitor cum ar fi putut fi inventate toate acestea. Să vorbim despre acest subiect separat.

Istoria originii

Chiar și acum, când s-ar părea că întreaga lume gândește la fel, există o varietate de sisteme diferite. În cele mai îndepărtate colțuri ale globului, ei se mulțumesc doar cu conceptele „unu”, „doi” și „multe”, sau ceva asemănător. Ce putem spune despre acele vremuri în care era mult mai dificil pentru oameni să se contacteze între ei, așa că s-a folosit un număr mare de tipuri diferite de înregistrări și metode de calcul. Omenirea nu a ajuns imediat la sistemul existent, iar acest lucru se reflectă în faptul că ora este împărțită în 60 de minute, și nu în 100 de perioade de timp, ceea ce ar părea a fi mai logic. Și, în același timp, oamenii numără adesea în zeci și nu în zeci. Toate acestea sunt ecouri ale vremurilor în care propriile degete sau, de exemplu, falangele unora dintre ele serveau drept instrumente pentru cuantificarea a ceva. Așa au apărut sistemele zecimal și duozecimal. Dar cum a apărut binarul? Foarte simplu si logic. Faptul este că, de exemplu, diodele au doar două poziții: pot fi fie pornite, fie oprite. Prima stare poate fi astfel scrisă ca 1, iar a doua ca 0. Cu toate acestea, aceasta nu înseamnă că sistemul binar a apărut simultan cu dispozitivele electronice. A fost folosit mult mai devreme, de exemplu, Leibniz l-a considerat extrem de convenabil, elegant și simplu. Este chiar surprinzător că acest sistem de numere nu a devenit în cele din urmă cel principal.

Domenii de aplicare

Pentru majoritatea oamenilor, cele două sisteme numerice majore pur și simplu nu se intersectează. Deci, convertirea de la binar la zecimal nu este o sarcină fezabilă pentru toată lumea. Cert este că acest din urmă sistem este folosit în viața de zi cu zi, comunicarea între oameni, pentru calcule simple etc. Dar toate dispozitivele digitale, în primul rând computerele, vorbesc limbajul binar. Orice informație aflată în memoria fiecărui computer desktop, tabletă, telefon, laptop și multe alte dispozitive este diferite combinații de zerouri și unu.

Diferențele și caracteristicile

Când vine vorba de sisteme de numere, este imperativ să facem diferența între ele cumva. La urma urmei, este absolut imposibil să distingem între 11 și 100 în diferite metode de înregistrare. De aceea este folosit indicatorul de mai jos și din dreapta numărului în sine. Deci, când vedeți intrarea 11 2 sau 100 10, puteți înțelege despre ce vorbim. Ambele sisteme sunt poziționale, adică valoarea sa depinde de locația unei anumite cifre. Ei vorbesc despre cifrele sistemului zecimal în școală: există unități, zeci, sute, mii etc. În sistemul binar totul este la fel. Dar datorită faptului că baza sa - 2 - este mai mică de 10, are nevoie de mult mai multe cifre, adică înregistrarea numerelor se dovedește a fi mult mai lungă. Apropo, în binar, ca în toate celelalte sisteme, cu excepția zecimală, care este cea mai comună, citirea are loc într-un mod special. Dacă baza 10 face posibilă citirea 101 ca „o sută unu”, atunci pentru 2 va fi „un zero unu”.

Revenind la problema deversarilor, trebuie repetat ca datorita unei baze mult mai mici sunt necesare mai multe descarcari. Deci, de exemplu, 8 10 este 1000 2. Diferența este evidentă - un rang și patru. O altă diferență majoră este că nu există numere negative în sistemul binar. Desigur, îl puteți nota, dar va fi în continuare stocat și criptat diferit. Deci, cum se face conversia de la binar la zecimal și invers?

Algoritm

Destul de rar, dar totuși uneori trebuie să faci o tranziție de la o bază la alta. Cu alte cuvinte, este nevoie de conversia de la binar la zecimal și invers. Calculatoarele moderne fac acest lucru ușor și rapid, chiar dacă înregistrările sunt foarte lungi și voluminoase. Oamenii pot face și acest lucru, deși mult mai lent și mai puțin eficient. Efectuarea atât a uneia, cât și a celei de-a doua operații nu este atât de dificilă, dar necesită cunoștințe despre cum să o faci, atenție și practică. Pentru a trece de la baza 2 la 10, trebuie să faceți următorii pași:

2) înmulțiți succesiv valoarea cu 2, ridicată la o putere egală cu numărul poziției;

3) adunați rezultatele.

O altă modalitate este să începeți să însumați produsele cifrelor succesiv de la dreapta la stânga. Aceasta se numește transformarea Horner și mulți oameni o consideră mai convenabilă decât algoritmul obișnuit.

Pentru a efectua operația inversă, adică pentru a trece de la sistemul zecimal la sistemul binar, trebuie să faceți acest lucru:

1) împarte numărul inițial la 2 și notează restul (1 sau 0);

2) repeta pasul 1 pana in momentul in care ramane doar 0 sau 1;

3) notează în ordine valorile obținute.

Există și alte modalități de a converti de la sisteme de numere binar la zecimal și invers. Dar nu au niciun avantaj față de algoritmul descris și nu sunt mai eficienți. Dar necesită abilități în efectuarea operațiilor aritmetice în sistemul binar, care este disponibil pentru foarte puțini.

Fracții

Din fericire sau din păcate, rămâne faptul că sistemul binar folosește nu numai numere întregi. Convertirea fracțiilor nu este o sarcină foarte dificilă, dar adesea consumatoare de timp pentru oameni. Dacă numărul inițial este prezentat în sistemul zecimal, atunci după conversia întregului, totul după virgulă zecimală nu mai trebuie împărțit, ci înmulțit cu 2, notând părțile întregi. Dacă convertiți din sistem binar în sistem zecimal, atunci totul este și mai simplu. În acest caz, când începe conversia părții zecimale, puterea la care este ridicat 2 va fi succesiv -1, -2, -3 etc. Cel mai bine este să luați în considerare acest lucru în practică.

Exemplu

Pentru a înțelege cum să aplicați algoritmii descriși, trebuie să faceți singur toate operațiunile. Practica poate întări întotdeauna teoria, așa că cel mai bine ar fi să luați în considerare următoarele exemple:

• conversia 1000101 2 la sistemul zecimal: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10 ;
• folosind metoda lui Horner. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10 ;
• 1110,01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 = 8+4+2+0,25 = 14,25 10 ;
• din sistemul zecimal: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Cum să nu te încurci?

Chiar și folosind doar sistemele binar și zecimal ca exemplu, devine clar că schimbarea manuală a bazei este o sarcină non-trivială. Dar există și altele: hexazecimal, octal, sexagesimal etc. Când se face conversia manuală de la un sistem numeric la altul, este extrem de necesară grijă. Este foarte greu să nu fii confuz, mai ales dacă postarea este lungă. În plus, nu trebuie să uităm că cifrele se numără de la 0, nu de la 1, adică numărul de cifre va fi întotdeauna încă unul. Desigur, trebuie să numărați cu atenție numărul de cifre și să nu faceți greșeli în operațiile aritmetice și, bineînțeles, să nu săriți pașii din algoritm. În cele din urmă, există modalități de tranziție între baze folosind metode software. Dar aici este mai ușor să scrii singur un scenariu decât să-l cauți pe World Wide Web. În orice caz, ar trebui să existe și abilități de traducere manuală, precum și o înțelegere teoretică a modului în care se face acest lucru.