Dấu ngoặc là thừa số chung của phương trình. Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Kết quả học tập chính

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc đóng ngoặc của thừa số chung và học cách tìm nó trong các ví dụ và biểu thức khác nhau. Hãy nói về cách một thao tác đơn giản, lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc, cho phép bạn đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta sẽ củng cố kiến thức và kỹ năng có được bằng cách xem xét các ví dụ về độ phức tạp khác nhau.

Yếu tố chung là gì, tại sao phải tìm nó và nó được lấy ra khỏi ngoặc với mục đích gì? Hãy trả lời những câu hỏi này bằng cách xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình. Vế trái của phương trình là một đa thức bao gồm các số hạng tương tự. Phần chữ cái chung cho các số hạng này, nghĩa là nó sẽ là thừa số chung. Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc:

Trong trường hợp này, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc đã giúp chúng ta chuyển đa thức thành đơn thức. Vì vậy, chúng tôi đã có thể đơn giản hóa đa thức và phép biến đổi của nó đã giúp chúng tôi giải phương trình.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ khác nhau, nhưng chúng tôi sử dụng cùng một phương pháp giải: chúng tôi đã lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Chúng tôi thấy rằng thao tác đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung cho những trường hợp đặc biệt này, nhưng phải làm gì trong trường hợp tổng quát, với một đa thức tùy ý?

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Xét đa thức . Đa thức này là tổng của hai đơn thức. Đơn thức là tích của một số, một hệ số và một phần chữ cái. Như vậy, trong đa thức của chúng ta, mỗi đơn thức được biểu diễn bằng tích của một số và lũy thừa, tích của các thừa số. Các thừa số có thể giống nhau đối với mọi đơn thức. Chính những yếu tố này cần được xác định và đưa ra khỏi khung. Đầu tiên, chúng ta tìm nhân tử chung cho các hệ số, là các số nguyên.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Chúng ta đã rút ra được quy tắc cho hệ số nguyên. Bạn cần tìm gcd của họ và lấy nó ra khỏi khung. Hãy củng cố quy tắc này bằng cách giải thêm một ví dụ nữa.

Chúng ta đã xem xét quy tắc gán thừa số chung cho hệ số nguyên, hãy chuyển sang phần chữ cái. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm những chữ cái có trong tất cả các đơn thức, sau đó chúng tôi xác định cấp độ cao nhất của chữ cái có trong tất cả các đơn thức: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Chúng ta đã xem xét các quy tắc trừ cho các hệ số nguyên và biến chữ cái một cách riêng biệt, nhưng thông thường bạn cần áp dụng chúng cùng nhau để giải ví dụ. Hãy xem một ví dụ:

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.

Trong quá trình thực hiện các phép toán khác nhau khi làm việc với các phương trình và đẳng thức, thường có thể đơn giản hóa đáng kể tất cả các phép toán bằng cách đặt một thừa số chung nhất định bên ngoài biểu thức. Điều này không chỉ cho phép giảm các nhóm lớn của đa thức mà còn đơn giản hóa quá trình giải.

Việc thêm hệ số nhân cũng cho phép bạn loại bỏ các bước không cần thiết và tối ưu hóa quá trình tính toán. Trong video hướng dẫn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết các khả năng của quy trình loại bỏ. Ví dụ, hãy xem xét một biểu thức có dạng sau:

Chúng ta cần biến đổi nó sao cho với các giá trị đã biết của tất cả các biến, có thể dễ dàng tính được giá trị của toàn bộ đa thức. Đặt a=1, c=2, x=5. Chúng ta hãy lưu ý rằng cả hai số hạng của đa thức đều có một phần chung - biến nhân tố x. Nó dễ dàng được lấy ra khỏi ngoặc, theo luật phân phối của phép nhân:

ax + cx = x(a + c)

Để tìm vế phải của đẳng thức này, cần chia từng đơn thức của đa thức ban đầu cho một thừa số chung đã được chấp nhận (trong trường hợp này là x), viết thương dưới dạng tổng đại số trong ngoặc đơn và đặt chính thừa số đó ở phía trước của họ. Được hướng dẫn bởi các giá trị đã cho của các biến, chúng ta thu được:

ax + cx = x(a + c) = 5(1 + 2) = 15

Video hướng dẫn nhấn mạnh rằng việc đưa số nhân ra khỏi dấu ngoặc trong ví dụ đã trình bày sẽ giảm số bước tính toán từ ba xuống còn hai. Trong các bài tập phức tạp hơn, hiệu quả đơn giản hóa có thể còn đáng kể hơn. Và nhiều phương trình rất khó giải nếu không dùng phương pháp nhân.

Nói chung, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong đa thức được gọi là quá trình phân tích đa thức thành các thừa số riêng lẻ. Thuật toán sau đây được sử dụng để xử lý dữ liệu:

Nhóm làm việc của biểu thức (đa thức) được tô sáng;
Một cuộc tìm kiếm được thực hiện để tìm một thừa số phù hợp để có thể chia mỗi đơn thức;
Các đơn thức được chia cho một thừa số đã chọn và kết quả được viết thay vì đơn thức, dưới dạng tổng đại số;
Đa thức kết quả được đặt trong ngoặc đơn và thừa số chung được đặt ở phía trước chúng.

Các vấn đề thường phát sinh khi chọn số nhân. Đầu tiên, nó phải tương ứng với số lượng đơn thức tối đa, lý tưởng nhất là chia tất cả các đơn thức. Thứ hai, trong những vấn đề phức tạp, cần phải chọn một hệ số sao cho có thể tiến hành giải toàn bộ bài tập sâu hơn, tạo điều kiện thuận lợi cho toàn bộ quy trình. Theo quy luật, nếu không có điều kiện chặt chẽ từ bên ngoài (ví dụ trong phương trình) thì hệ số được chọn theo nguyên tắc: phù hợp với mọi đơn thức và lớn nhất về bậc và hệ số của biến. Nói cách khác, số nhân phải bao gồm tất cả các biến, lũy thừa lớn nhất có thể và bội số lớn nhất của hệ số. Hãy xem một ví dụ:

2x 2 y - 8x 2 y + 4x 2 +4x 3 y 2

Khá rõ ràng rằng trong biểu thức này đối với tất cả các đơn thức, số nhân được chấp nhận nhiều nhất sẽ là biến x, được lấy lũy thừa bậc hai (mức tối đa cho phép) và có hệ số bằng 2, tức là. 2x2:

2x 2 y - 8x 2 y + 4x 2 + 4x 3 y 2 = 2x 2 (y - 4y + 2xy 2) = 2x 2 (2xy 2 - 3y)

Chúng ta thực hiện các thao tác trong ngoặc và nhận được đáp án cuối cùng là tích của một thừa số đa thức và một thừa số đơn thức.

Hãy xem một ví dụ khác. Cần phải chuyển đổi biểu thức như sau:

2x(4-y) + x(y-4)

Thoạt nhìn, rất khó để lấy bất cứ thứ gì ra khỏi dấu ngoặc ở đây, ngoại trừ biến x, việc loại bỏ biến này sẽ tạo ra dấu ngoặc kép và chỉ làm phức tạp đa thức, vì vậy bước này không phù hợp. Tuy nhiên, tuân theo logic tiêu chuẩn và các quy tắc cơ bản của phép cộng toán học, chúng ta có thể tự tin viết rằng:

(y-4) = -(4-y)

Nếu đưa dấu trừ của biểu thức bên phải vào bên trong thì mọi dấu bên trong sẽ đổi ngược lại, tạo thành một biểu thức hoàn toàn giống với vế trái. Vì vậy, sẽ đúng khi viết:

2x(4-y) + x(y-4) = 2x(4-y) - x(4-y)

Bây giờ cả hai số hạng của đa thức đều chứa một thừa số chung (4-y), có thể dễ dàng lấy ra khỏi ngoặc bằng cách tiếp tục tính toán thêm:

2x(4-y) - x(4-y) = (4-y)(2x - x) = (4-y)x = 4x - yx

Hai giai đoạn tính toán cuối cùng không liên quan đến quy trình chung để gán số nhân và là một giải pháp riêng cho ví dụ này. Bản thân quá trình trừ cho chúng ta tích của hai nhị thức cơ bản.

Biểu diễn một đa thức dưới dạng tích của nhiều đa thức (hoặc đơn thức)

Ví dụ,

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Cần phân tích từng số hạng của đa thức và tìm phần chung (nếu có). Ví dụ, trong một biểu thức, mỗi thuật ngữ có y. Biến đổi y có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc đơn.

Các biến có trong mỗi số hạng của đa thức được lấy ra khỏi dấu ngoặc theo lũy thừa với số mũ nhỏ nhất xảy ra. Trong ví dụ có năm 2, năm 5 Và năm 4. Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc năm 2.

Phần còn lại của mỗi số hạng sau khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc là gì? Tôi nên viết gì trong ngoặc đơn? Cần phải chia mỗi số hạng cho một thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc. Ví dụ, khi làm năm 2 bên ngoài dấu ngoặc trong ví dụ của chúng tôi

Nếu các hệ số của mỗi số hạng của đa thức có ước số chung lớn nhất thì nó cũng có thể được lấy ra khỏi ngoặc. Trong ví dụ của chúng ta GCD(18; 30; 6)=6

Nếu hệ số “-1” được lấy ra khỏi ngoặc (họ cũng nói “trừ đi”), thì trong ngoặc dấu của mỗi số hạng sẽ thay đổi ngược lại

Đa thức cũng có thể là một yếu tố phổ biến. Ví dụ, đối với biểu thức, nhân tử chung là đa thức

Lấy nó ra khỏi ngoặc, chúng tôi nhận được

Bạn luôn có thể kiểm tra xem việc loại bỏ hệ số chung khỏi ngoặc có đúng hay không. Để làm điều này, bạn cần nhân hệ số chung với đa thức trong ngoặc và kiểm tra xem biểu thức kết quả có hoàn toàn trùng khớp với biểu thức ban đầu hay không.

Phương pháp nhóm

Nếu các số hạng của đa thức không có thừa số chung thì bạn nên thử khai triển nó bằng phương pháp nhóm.

Để làm được điều này, bạn cần gộp thành các nhóm những thành viên có thừa số chung và đặt thừa số chung của mỗi nhóm ra khỏi ngoặc. Sau đó, các nhóm kết quả có thể có một thừa số chung, một đa thức, được đưa ra khỏi ngoặc.

Các số hạng của đa thức có thể được nhóm lại theo nhiều cách khác nhau. Không phải với mọi nhóm đều có thể phân tích thành nhân tử của đa thức.

Khai triển một đa thức đôi khi không thể thực hiện được bằng các phương pháp đã biết. Khi đó có thể khai triển đa thức bằng cách tìm một nghiệm và

Chúng ta hãy xem một vài ví dụ về việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc để làm rõ hơn cách thực hiện việc này.

Ví dụ về việc đặt một yếu tố chung ra khỏi dấu ngoặc

Ví dụ 1.

Nhiệm vụ phân tích đa thức

d) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c

e) 5*a^4-10*a^3+15*a^5

Giải pháp

a) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Ở đây chúng ta sẽ lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, trong trường hợp này là 2

b) a^3+a^2= (a^2) * (a+1) Nếu chúng ta có 1 hoặc nhiều biến trong một đa thức thì có thể bỏ nó ra khỏi ngoặc (biến phải được lấy ở bậc thấp nhất trong phân số)

c) Trong ví dụ tiếp theo, chúng ta đã áp dụng các kỹ năng của hai ví dụ trước, chẳng hạn như đặt tổng số ra khỏi dấu ngoặc và một biến chung, và kết quả là chúng ta nhận được: 4*a^3+6*a^2 = 2*(a^2)*2*a + 2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)

d) Thông thường đối với các hệ số nguyên, người ta không tìm thấy ước số chung mà tìm thấy ước số lớn nhất, ví dụ với 12 và 18 thì sẽ là số 6, và đối với 8 và 4 thì sẽ là 4,

Ngoài ra còn có một biến b và đối với nó chỉ số nhỏ nhất là 3,

Và đối với biến a thì lũy thừa nhỏ nhất sẽ bằng 1.

Đối với biến c, không có số mũ tối thiểu; trên thực tế, không có biến nào ở số hạng đầu tiên cả.

12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3 *a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).

e) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)

Trong ví dụ này, chúng tôi đã phát triển một thuật toán:

Dựa trên một số ví dụ ở trên, chúng tôi sẽ phát triển một số quy tắc:

1. Đầu tiên, chúng ta phải tìm thừa số lớn nhất trong phân số để đơn giản hóa biểu thức nhất có thể.

3. Cuối cùng, chúng ta kết hợp hai quy tắc đầu tiên và nhận thấy rằng chúng ta cần phân tích tích của thừa số lớn nhất và (các) biến có số mũ nhỏ nhất.

Bình luận. Đôi khi chúng ta phải bỏ hệ số phân số ra khỏi ngoặc, việc này được thực hiện vì đôi khi chúng ta phải làm việc với phân số vì Đơn giản là không có con số nào khác. Ví dụ:

2,4*x+7, 2*y = 2,4*(x+3*y)

3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).

Ví dụ 2.

Nhân tử hóa:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)

Giải pháp sẽ bao gồm thuật toán chúng tôi đã phát triển:

1) Hãy tìm thừa số lớn nhất trong ví dụ của chúng ta: -1, -2 và 5.

2) Biến X có trong mọi đa thức và ta có thể lấy nó với số mũ nhỏ nhất là mọi lũy thừa X4, 3, 2; lũy thừa nhỏ nhất là x^2, đó là số mà chúng ta sẽ loại bỏ.

3) Biến y không có trong tất cả các thành viên của đa thức nên ta không có quyền loại bỏ nó

Kết quả là chúng ta có thể lấy ra x^2. Nhưng trong ví dụ của chúng ta, sẽ thuận tiện hơn khi đưa ra x^2. Sau đó chúng tôi nhận được:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y ^3) +2*x*(y^2) -5)

Ví dụ 3.

Có thể chia 5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) cho 5*a^3 không? Nếu có thể thì hãy thực hiện phép chia.

Lúc đầu, chúng tôi đã mở rộng đa thức này, vì vậy chúng tôi sẽ sử dụng những gì chúng tôi thu được trước đó:

5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3 * (a 2 +(a^2))

Hóa ra có thể chia cho 5*a^3, kết quả là - 2 + 3*(a^2).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp khi chúng ta phải lấy ra không phải một đơn thức mà là tổng của chúng; thật không may, đôi khi chúng ta không thể lấy đơn thức ra khỏi ngoặc

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.

Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Phía sau bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.

Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với từng số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không xảy ra thường xuyên, theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn; trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng bình phương và tích kép.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba đặc tính này cho phép người ta thay thế phần bên trái bằng phần bên phải trong các phép biến đổi và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.