Hàm tuyến tính và đồ thị của nó. Hàm tuyến tính Hàm tuyến tính y x 3

Hàm tuyến tính là hàm có dạng y=kx+b, trong đó x là biến độc lập, k và b là số bất kỳ.
Đồ thị của hàm số tuyến tính là một đường thẳng.

1. Để vẽ đồ thị hàm số, chúng ta cần tọa độ của hai điểm thuộc đồ thị của hàm số. Để tìm chúng, bạn cần lấy hai giá trị x, thay thế chúng vào phương trình hàm và sử dụng chúng để tính các giá trị y tương ứng.

Ví dụ, để vẽ hàm số y= x+2, thuận tiện lấy x=0 và x=3 thì tọa độ của các điểm này sẽ bằng y=2 và y=3. Ta được điểm A(0;2) và B(3;3). Hãy kết nối chúng và có được biểu đồ của hàm y= x+2:

2. Trong công thức y=kx+b, số k được gọi là hệ số tỷ lệ:
nếu k>0 thì hàm số y=kx+b tăng
nếu k
Hệ số b thể hiện độ dịch chuyển của đồ thị hàm số dọc theo trục OY:
nếu b>0 thì đồ thị của hàm y=kx+b được lấy từ đồ thị của hàm y=kx bằng cách dịch chuyển b đơn vị lên trên dọc theo trục OY
nếu b
Hình dưới đây thể hiện đồ thị của hàm số y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Lưu ý rằng trong tất cả các hàm này, hệ số k Hơn không, và các chức năng là tăng dần. Hơn nữa, giá trị của k càng lớn thì góc nghiêng của đường thẳng so với hướng dương của trục OX càng lớn.

Trong tất cả các hàm b=3 - và chúng ta thấy rằng tất cả các đồ thị đều cắt trục OY tại điểm (0;3)

Bây giờ hãy xem xét đồ thị của hàm số y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Lần này trong tất cả các hàm, hệ số k ít hơn 0 và chức năng đang giảm dần. Hệ số b=3 và đồ thị, như trong trường hợp trước, cắt trục OY tại điểm (0;3)

Xét đồ thị của hàm số y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Bây giờ trong tất cả các phương trình hàm số, hệ số k đều bằng 2. Và chúng ta có ba đường thẳng song song.

Nhưng các hệ số b khác nhau và các đồ thị này cắt trục OY tại các điểm khác nhau:
Đồ thị của hàm số y=2x+3 (b=3) cắt trục OY tại điểm (0;3)
Đồ thị của hàm số y=2x (b=0) cắt trục OY tại điểm (0;0) - gốc tọa độ.
Đồ thị hàm số y=2x-3 (b=-3) cắt trục OY tại điểm (0;-3)

Vì vậy, nếu chúng ta biết dấu của các hệ số k và b, thì chúng ta có thể tưởng tượng ngay đồ thị của hàm y=kx+b trông như thế nào.
Nếu như k 0

Nếu như k>0 và b>0, thì đồ thị của hàm số y=kx+b có dạng:

Nếu như k>0 và b, thì đồ thị của hàm số y=kx+b có dạng:

Nếu như k, thì đồ thị của hàm số y=kx+b có dạng:

Nếu như k=0, thì hàm y=kx+b chuyển thành hàm y=b và đồ thị của nó trông như sau:

Tọa độ của tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số y=b đều bằng b Nếu b=0, khi đó đồ thị của hàm số y=kx (tỷ lệ trực tiếp) đi qua gốc tọa độ:

3. Chúng ta hãy lưu ý riêng đồ thị của phương trình x=a.Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng song song với trục OY, tất cả các điểm của nó đều có hoành độ x=a.

Ví dụ: đồ thị của phương trình x=3 trông như thế này:
Chú ý! Phương trình x=a không phải là một hàm, do đó một giá trị của đối số tương ứng với các giá trị khác nhau của hàm, không tương ứng với định nghĩa của hàm.

4. Điều kiện để hai đường thẳng song song:

Đồ thị của hàm số y=k 1 x+b 1 song song với đồ thị của hàm số y=k 2 x+b 2 nếu k 1 =k 2

5. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc:

Đồ thị của hàm số y=k 1 x+b 1 vuông góc với đồ thị của hàm số y=k 2 x+b 2 nếu k 1 *k 2 =-1 hoặc k 1 =-1/k 2

6. Giao điểm của đồ thị hàm số y=kx+b với các trục tọa độ.

Với trục OY. Trục hoành của bất kỳ điểm nào thuộc trục OY đều bằng 0. Do đó, để tìm giao điểm với trục OY, bạn cần thay x vào phương trình của hàm số bằng 0. Chúng ta nhận được y=b. Nghĩa là giao điểm với trục OY có tọa độ (0; b).

Với trục OX: Tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc trục OX đều bằng 0. Do đó, để tìm giao điểm với trục OX, bạn cần thay y vào phương trình của hàm số bằng 0. Chúng ta nhận được 0=kx+b. Do đó x=-b/k. Tức là giao điểm với trục OX có tọa độ (-b/k;0):

Định nghĩa hàm tuyến tính

Hãy giới thiệu định nghĩa của hàm tuyến tính

Sự định nghĩa

Một hàm có dạng $y=kx+b$, trong đó $k$ khác 0, được gọi là hàm tuyến tính.

Đồ thị của hàm số tuyến tính là một đường thẳng. Số $k$ gọi là độ dốc của đường thẳng.

Khi $b=0$ hàm tuyến tính được gọi là hàm tỷ lệ trực tiếp $y=kx$.

Hãy xem xét Hình 1.

Cơm. 1. Ý nghĩa hình học của độ dốc của đường thẳng

Xét tam giác ABC. Chúng ta thấy rằng $ВС=kx_0+b$. Hãy tìm giao điểm của đường $y=kx+b$ với trục $Ox$:

\ \

Vì vậy $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Hãy tìm tỉ số của các cạnh này:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Mặt khác, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Vì vậy, chúng ta có thể rút ra kết luận sau:

Phần kết luận

Ý nghĩa hình học của hệ số $k$. Hệ số góc của đường thẳng $k$ bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng này với trục $Ox$.

Nghiên cứu hàm tuyến tính $f\left(x\right)=kx+b$ và đồ thị của nó

Đầu tiên, hãy xét hàm $f\left(x\right)=kx+b$, trong đó $k > 0$.

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Do đó, hàm này tăng trên toàn bộ miền định nghĩa. Không có điểm cực trị.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
Đồ thị (Hình 2).

Cơm. 2. Đồ thị hàm số $y=kx+b$ với $k > 0$.

Bây giờ hãy xem xét hàm $f\left(x\right)=kx$, trong đó $k

Miền định nghĩa là tất cả các con số.
Phạm vi giá trị là tất cả các số.
$f\left(-x\right)=-kx+b$. Hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Với $x=0,f\left(0\right)=b$. Khi $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Các điểm giao nhau với các trục tọa độ: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ và $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$. Do đó, hàm số không có điểm uốn.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
Đồ thị (Hình 3).

Hàm tuyến tínhđược gọi là hàm có dạng y = kx + b, được xác định trên tập hợp tất cả các số thực. Đây k– độ dốc (số thực), b – thời hạn miễn phí (số thực), x- biến độc lập.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu k = 0, chúng ta thu được hàm hằng y = b, đồ thị của nó là đường thẳng song song với trục Ox đi qua điểm có tọa độ (0; b).

Nếu như b = 0, thì ta có hàm y = kx, đó là tỷ lệ trực tiếp.

b – chiều dài đoạn, bị cắt bởi một đường thẳng dọc theo trục Oy, tính từ gốc tọa độ.

Ý nghĩa hình học của hệ số k – góc nghiêng thẳng theo chiều dương của trục Ox, coi như ngược chiều kim đồng hồ.

Tính chất của hàm tuyến tính:

1) Miền định nghĩa của hàm tuyến tính là toàn bộ trục thực;

2) Nếu như k ≠ 0, khi đó phạm vi giá trị của hàm tuyến tính là toàn bộ trục thực. Nếu như k = 0, khi đó phạm vi giá trị của hàm tuyến tính bao gồm số b;

3) Tính chẵn và lẻ của hàm tuyến tính phụ thuộc vào giá trị của các hệ số k Và b.

Một) b ≠ 0, k = 0, kể từ đây, y = b – chẵn;

b) b = 0, k ≠ 0, kể từ đây y = kx – lẻ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, kể từ đây y = kx + b – hàm dạng tổng quát;

d) b = 0, k = 0, kể từ đây y = 0 – cả hàm chẵn và hàm lẻ.

4) Hàm tuyến tính không có tính chất tuần hoàn;

5) Giao điểm với trục tọa độ:

Con bò đực: y = kx + b = 0, x = -b/k, kể từ đây (-b/k; 0)- giao điểm với trục hoành.

Ôi: y = 0k + b = b, kể từ đây (0; b)- giao điểm với trục tọa độ.

Lưu ý: Nếu b = 0 Và k = 0, thì hàm y = 0 tiến tới 0 với bất kỳ giá trị nào của biến X. Nếu như b ≠ 0 Và k = 0, thì hàm y = b không biến mất đối với bất kỳ giá trị nào của biến X.

6) Khoảng hằng số của dấu phụ thuộc vào hệ số k.

Một) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– dương khi x từ (-b/k; +∞),

y = kx + b– âm khi x từ (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– dương khi x từ (-∞; -b/k),

y = kx + b– âm khi x từ (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b tích cực trên toàn bộ phạm vi định nghĩa,

k = 0, b< 0; y = kx + b tiêu cực trong toàn bộ phạm vi định nghĩa.

7) Khoảng đơn điệu của hàm tuyến tính phụ thuộc vào hệ số k.

k > 0, kể từ đây y = kx + b tăng trong toàn bộ phạm vi định nghĩa,

k< 0 , kể từ đây y = kx + b giảm trên toàn bộ miền định nghĩa.

8) Đồ thị của hàm số tuyến tính là một đường thẳng. Để dựng một đường thẳng, chỉ cần biết hai điểm là đủ. Vị trí của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ phụ thuộc vào giá trị của các hệ số k Và b. Dưới đây là bảng minh họa rõ ràng điều này.