Transformarea unui număr în binar c. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric
În acest articol voi acoperi elementele de bază echipamente informatice este un sistem binar. Acesta este cel mai mult nivel scăzut, acestea sunt numerele cu care funcționează computerul. Și veți învăța cum să transferați dintr-un sistem
Tabelul 1 - Reprezentarea numerelor în diverse sisteme
calcul (început)
Sisteme numerice |
||||
Zecimal |
Binar |
Octal |
hexazecimal |
BCD |
Pentru a converti din zecimal în binar, aveți două opțiuni.
1) De exemplu, numărul 37 trebuie convertit din sistemul zecimal în sistemul binar, apoi trebuie să îl împărțiți la două și apoi să verificați restul diviziunii. Dacă restul este impar, atunci în partea de jos semnăm unul și ciclul următorÎmpărțirea trece printr-un număr par, dacă restul împărțirii este par, atunci scriem zero. La sfârșit trebuie să obțineți 1. Și acum convertim rezultatul rezultat în binar, iar numărul merge de la dreapta la stânga.
Pas cu pas: 37 este un număr impar, ceea ce înseamnă 1 , apoi 36/2 = 18. Numărul este par, ceea ce înseamnă 0. 18/2 = 9 este un număr impar, ceea ce înseamnă 1 , apoi 8/2 = 4. Numărul este par, citiți 0. 4/2 = 2, un număr par înseamnă 0, 2/2 = 1.
Deci am primit numărul. Nu uitați să numărați de la dreapta la stânga: 100101 - acum avem un număr în sistemul binar. În general, aceasta este scrisă ca o diviziune într-o coloană, așa cum vedeți în figura de mai jos:
2) Dar există o a doua cale. Îmi place mai mult de el. Transferul de la un sistem la altul se face după cum urmează:
unde ai - i-a cifră numere;
k - numărul de cifre din partea fracționată a numărului;
m - numărul de cifre din partea întreagă a numărului;
N este baza sistemului numeric.
Baza sistemului numeric N arată de câte ori „greutatea” cifrei i-a este mai mare decât „greutatea” (i-1) a cifrei. Partea întreagă a numărului este separată de partea fracțională printr-un punct (virgulă).
Partea întreagă a numărului AN1, cu baza N1, este convertită în sistemul numeric cu baza N2 prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului AN1 la baza N2 scrisă ca număr cu baza N1, până când un rest este Partea rezultată este din nou împărțită la baza N2 și acest proces trebuie să se repete până când particula devine mai mică decât divizorul. Resturile rezultate din împărțire și ultima parte sunt scrise în ordinea inversă obținută în timpul împărțirii. Numărul generat va fi un întreg cu baza N2.
Partea fracționată a numărului AN1, cu baza N1, este convertită într-un sistem numeric cu baza N2 prin înmulțirea secvențială a părții fracționale a numărului AN1 cu baza N2, scrisă ca număr cu baza N1. Cu fiecare înmulțire întreaga parte produsul este luat ca următoarea cifră a cifrei corespunzătoare, iar partea fracțională a celei rămase este luată ca o nouă înmulțire. Numărul de înmulțiri determină capacitatea de cifre a rezultatului rezultat, reprezentând partea fracțională a numărului AN1 în sistemul numeric N2. Partea fracționară a unui număr este adesea reprezentată incorect atunci când este tradusă.
Să facem asta cu un exemplu:
Convertiți din zecimal în binar
37 în zecimală trebuie convertit în binar. Să lucrăm cu grade:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 și așa mai departe... la infinit
Aceasta înseamnă: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Răspunsul este următorul în binar: 100101.
Să convertim numărul 658 din zecimal în binar:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. În sistemul binar, numărul va arăta astfel: 1010010010.
Conversia de la zecimal la octal
Dacă trebuie să convertiți din zecimal în octal, trebuie mai întâi să convertiți în binar, apoi să convertiți din binar în octal. Adică, este mai ușor astfel, deși îl poți traduce imediat. Folosind un algoritm similar cu cel pentru conversia în binar, vezi mai sus.
Convertiți din zecimal în hexazecimal
Dacă trebuie să convertiți din zecimal în hexazecimal, trebuie mai întâi să convertiți în binar și apoi să convertiți din binar în hexazecimal. Adică, este mai ușor astfel, deși îl poți traduce imediat. Folosind un algoritm similar cu cel pentru conversia în binar, vezi mai sus.
Conversia de la binar la octal
Pentru a converti un număr din binar în octal, trebuie să împărțiți binarul în trei numere.
De exemplu, numărul rezultat 1010010010 este împărțit în trei numere, iar împărțirea merge de la dreapta la stânga: 1.010.010.010 = 1222. Vezi tabelul de la început.
Conversia din binar în hexazecimal
Pentru a converti un număr din binar în hexazecimal, trebuie să-l împărțiți în tetrade (patru fiecare)
10 1001 0010 = 292
Iată câteva exemple pe care să le cercetați:
Conversia se face din binar în octal, apoi în hexazecimal și apoi din binar în zecimal
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Conversia se realizează din hexazecimal în binar, apoi în octal și apoi din binar în zecimal
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
|
Nota 1 Dacă doriți să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, atunci este mai convenabil să îl convertiți mai întâi în sistemul numeric zecimal și abia apoi să îl convertiți din sistemul numeric zecimal în orice alt sistem numeric. Reguli pentru conversia numerelor din orice sistem numeric în zecimalÎN tehnologia calculatoarelor, folosind aritmetica mașină, un rol important îl joacă conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul. Mai jos dăm regulile de bază pentru astfel de transformări (traduceri). Când convertiți un număr binar în zecimal, trebuie să reprezentați număr binar sub forma unui polinom, al cărui element fiecare este reprezentat ca produsul unei cifre a unui număr și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în în acest caz,$2$ și apoi trebuie să calculați polinomul folosind regulile aritmeticii zecimale: $X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$ Figura 1. Tabelul 1 Exemplul 1 Convertiți numărul $11110101_2$ în sistemul numeric zecimal. Soluţie. Folosind tabelul dat de $1$ puteri ale bazei $2$, reprezentăm numărul ca polinom: $11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 6 + 6 + 2 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$ Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în sistemul de numere zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $8$, iar apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale: $X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$ Figura 2. Tabelul 2 Exemplul 2 Convertiți numărul $75013_8$ în sistemul numeric zecimal. Soluţie. Folosind tabelul dat de $2$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca polinom: $75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$ Pentru a converti un număr din hexazecimal în zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $16$, apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale: $X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$ Figura 3. Tabelul 3 Exemplul 3 Convertiți numărul $FFA2_(16)$ în sistemul numeric zecimal. Soluţie. Folosind tabelul dat de $3$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca un polinom: $FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$ Reguli pentru conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în altul
Exemplul 4 Convertiți numărul $22_(10)$ în sistem binar Socoteala. Soluţie:
Figura 4. $22_{10} = 10110_2$
Exemplul 5 Convertiți numărul $571_(10)$ în sistemul de numere octale. Soluţie:
Figura 5. $571_{10} = 1073_8$
Exemplul 6 Convertiți numărul $7467_(10)$ în sistem numeric hexazecimal. Soluţie:
Figura 6. $7467_(10) = 1D2B_(16)$ Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem de numere zecimal într-un sistem de numere non-zecimal, este necesar să înmulțiți secvențial partea fracțională a numărului care este convertit cu baza sistemului în care trebuie convertit. Fracție în sistem nou vor fi prezentate sub forma unor părți întregi de lucrări, începând cu prima. De exemplu: $0,3125_((10))$ în sistemul de numere octale va arăta ca $0,24_((8))$. În acest caz, este posibil să întâmpinați o problemă când o fracție zecimală finită poate corespunde unei fracțiuni infinite (periodice) în sistemul numeric non-zecimal. În acest caz, numărul de cifre din fracția reprezentată în noul sistem va depinde de precizia necesară. De asemenea, trebuie remarcat faptul că numerele întregi rămân numere întregi, iar fracțiile proprii rămân fracții în orice sistem numeric. Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem de numere binar în altul
Figura 7. Tabelul 4 Exemplul 7 Convertiți numărul $1001011_2$ în sistemul de numere octale. Soluţie. Folosind Tabelul 4, convertim numărul din sistemul numeric binar în octal: $001 001 011_2 = 113_8$
Rezultatul a fost deja primit! Sisteme numericeExistă sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe pe care îl folosim Viata de zi cu zi, este pozițional, dar Roman nu este. ÎN sisteme poziționaleÎn notație, poziția unui număr determină în mod unic dimensiunea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero: Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel: 6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 . Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri. Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta: Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca: 1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3. ÎN caz general formula poate fi reprezentată după cum urmează: C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere. Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format din mai multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din mai multe cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15.În tabelul Tab.1 sunt prezentate numerele în sisteme diferite Socoteala.
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altulPentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar. Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimalFolosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal. Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie: 1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125 Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie: Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie: Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15. Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numericPentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului. Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC. Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:
După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie: 159 10 =10011111 2 . Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.
Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie: 615 10 =1147 8 . Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
După cum se poate observa din Figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 - D. Prin urmare, numărul nostru număr hexazecimal- acesta este 4CD9. Pentru a traduce corect zecimale (numar real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s este necesar număr datînmulțim succesiv cu s până când partea fracțională este zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat). Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple. Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 . Prin urmare putem scrie: 0.214 10 =0.0011011 2 . Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat: 0.125 10 =0.001 2 . Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem: 0,214 10 = 0,36C8B4 16 . Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.
A primit: 0.512 10 =0.406111 8 . Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem: 159.125 10 =10011111.001 2 . Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem. Scrieți numărul în sistemul numeric binar și puterile a doi de la dreapta la stânga. De exemplu, dorim să convertim numărul binar 10011011 2 în zecimal. Să o scriem mai întâi. Apoi scriem puterile a doi de la dreapta la stânga. Să începem cu 2 0, care este egal cu „1”. Creștem gradul cu unul pentru fiecare număr ulterior. Ne oprim atunci când numărul de elemente din listă este egal cu numărul de cifre din numărul binar. Numărul nostru exemplu, 10011011, are opt cifre, deci o listă de opt elemente ar arăta astfel: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 Scrieți cifrele numărului binar sub puterile corespunzătoare a lui doi. Acum scrieți pur și simplu 10011011 sub numerele 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 și 1, astfel încât fiecare Cifră binară corespundea puterii sale de doi. Cel mai din dreapta „1” al numărului binar trebuie să corespundă celui din dreapta „1” al puterilor a doi și așa mai departe. Dacă preferați, puteți scrie numărul binar deasupra puterilor lui doi. Cel mai important lucru este că se potrivesc între ele. Potriviți cifrele dintr-un număr binar cu puterile corespunzătoare a doi. Desenați linii (de la dreapta la stânga) care conectează fiecare cifră succesivă a numărului binar de puterea a doi deasupra acestuia. Începeți să desenați linii conectând prima cifră a unui număr binar la prima putere a două de deasupra acestuia. Apoi trageți o linie de la a doua cifră a numărului binar la a doua putere a lui doi. Continuați să conectați fiecare număr la puterea corespunzătoare a doi. Acest lucru vă va ajuta să vedeți vizual relația dintre două seturi diferite de numere. Noteaza valoarea finală fiecare putere a doi. Treceți prin fiecare cifră a unui număr binar. Dacă numărul este 1, scrieți puterea corespunzătoare a doi sub număr. Dacă acest număr este 0, scrieți 0 sub număr.
Adunați valorile rezultate. Acum adăugați numerele rezultate sub linie. Iată ce trebuie să faceți: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Acesta este echivalentul zecimal al numărului binar 10011011. Scrieți răspunsul împreună cu un indice egal cu sistemul numeric. Acum tot ce trebuie să faci este să scrii 155 10 pentru a arăta că lucrezi cu un răspuns zecimal, care tratează puterile lui zece. Cu cât convertiți mai multe numere binare în zecimale, cu atât vă va fi mai ușor să vă amintiți puterile a doi și cu atât mai repede veți putea finaliza sarcina. Utilizare aceasta metoda pentru a converti un număr binar cu un punct zecimal în formă zecimală. Puteți folosi această metodă chiar dacă doriți să convertiți un număr binar, cum ar fi 1,1 2, în zecimal. Tot ce trebuie să știți este că numărul din partea stângă numar decimal este un număr obișnuit, iar numărul din partea dreaptă a zecimalei este numărul de „jumătăți” sau 1 x (1/2).
Ultimele note
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
