Definiția matricei minore. Găsiți rangul unei matrice: metode și exemple. Rangul matricei. Calcularea rangului folosind transformări elementare

În acest subiect vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Vom avea nevoie și de câteva formule pentru calcularea determinanților. Deoarece există o mulțime de termeni în acest subiect legați de minori și complemente algebrice, voi adăuga rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

$M_(ij)$ minor al elementului $a_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrice $A_(n\times n)$ denumește determinantul matricei obținute din matricea $A$ prin ștergere i-a linieși j-a coloană (adică rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul $a_(ij)$).

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 și 84 \\ 3 și 12 și -5 și 58 \end(array) \right)$. Să găsim minorul elementului $a_(32)$, adică. să găsim $M_(32)$. Mai întâi, să notăm minorul $M_(32)$ și apoi să calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $M_(32)$, ștergem al treilea rând și a doua coloană din matricea $A$ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $a_(32)$ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $M_(32)$:

Acest minor este ușor de calculat folosind formula nr. 2 din subiectul de calcul:

$$ M_(32)=\stanga| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Deci, minorul elementului $a_(32)$ este 579, i.e. $M_(32)=579$.

Adesea, în locul expresiei „element de matrice minor” în literatură, se găsește „element determinant minor”. Esența rămâne aceeași: pentru a obține minorul elementului $a_(ij)$ trebuie să tăiați din original determinant al i-lea linie și j-a coloană. Elementele rămase sunt scrise într-un nou determinant, care este minorul elementului $a_(ij)$. De exemplu, să găsim minorul elementului $a_(12)$ al determinantului $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Pentru a scrie minorul necesar $M_(12)$ trebuie să ștergem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:

Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M_(12)=\stanga| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Deci, minorul elementului $a_(12)$ este 83, i.e. $M_(12)=83$.

Complement algebric $A_(ij)$ al elementului $a_(ij)$

Fie dată o matrice pătrată $A_(n\times n)$ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).

Complement algebric$A_(ij)$ element$a_(ij)$ a matricei $A_(n\times n)$ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

unde $M_(ij)$ este minorul elementului $a_(ij)$.

Vom găsi complement algebric elementul $a_(32)$ al matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. să găsim $A_(32)$. Am găsit anterior minorul $M_(32)=579$, așa că folosim rezultatul obținut:

De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Nota minoră este omisă. De exemplu, să găsim $A_(12)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matrice)\dreapta)$. Conform formulei $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Totuși, pentru a obține $M_(12)$ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $A$, așa că de ce să introduceți o notație suplimentară pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $A_(12)$:

Minor de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$

Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $A_(m\times n)$, i.e. o matrice care conține m rânduri și n coloane.

Ordinea k-a minoră matricea $A_(m\times n)$ este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $A$ (se presupune că $k≤ m$ și $k≤ n$).

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ și notează ce -sau minor de ordinul al treilea. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, luați rândurile numerotate 2, 4, 6 și coloanele numerotate 1, 2, 4. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi localizate elementele minorului necesar. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:

Minorii de ordinul întâi se găsesc la intersecția unui rând și a unei coloane, adică minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele unei matrice date.

Minorul de ordin al k al matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se numește principal, dacă pe diagonala principală a unui minor dat există doar elementele diagonale principale ale matricei $A$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $A$ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Ele sunt evidențiate în figură roz:

De exemplu, dacă în matricea $A$ tăiem rândurile și coloanele numerotate 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul al doilea minor, pe a căror diagonală principală vor fi doar elemente diagonale. ale matricei $A$ (elementele $a_(11) =-1$ și $a_(33)=18$ ale matricei $A$). Prin urmare primim major minor a doua comanda:

Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor principal diferit de ordinul doi.

Fie unele minore $M$ de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$ să nu fie egale cu zero, i.e. $M\neq 0$. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi minorul $M$ este numit de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite corzi de bazăȘi coloane de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Să scriem minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor numerotate 1, 2, 3 și coloanelor numerotate 1, 3, 4. Obținem un minor de ordinul trei:

Să găsim valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M=\stânga| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Deci, $M=11\neq 0$. Acum să încercăm să compunem orice minor a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a face un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim al patrulea rând, dar toate elementele acestui rând sunt zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea un rând zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem crea minore de ordinul al cincilea și mai mare, deoarece matricea $A$ are doar 4 rânduri.

Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul pe care l-am considerat este de bază. Rândurile matricei $A$ pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea) sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană a matricei $A$ sunt coloanele de bază.

Acest exemplu, desigur, este banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de căutare a unui astfel de minor este mult mai complex și mai amplu.

Să introducem un alt concept - limită minoră.

Fie unele de ordine k-lea minor $M$ ale matricei $A_(m\times n)$ să fie situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să adăugăm un alt rând și coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat de ordinul (k+1). marginea minoră pentru minor $M$.

De exemplu, să ne uităm la matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matrice) \dreapta)$. Să scriem un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2 și nr. 5, precum și coloanele nr. 2 și nr. 4.

Să adăugăm un alt rând nr. 1 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$, iar coloana nr. 5 la setul de coloane. Obținem un nou minor $M"$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, nr. 5. Elementele minorului $M$ din figură sunt evidențiate cu roz, iar elementele pe care le adăugăm la minorul $M$ sunt verzi:

Minorul $M"$ este minorul de margine pentru minorul $M$. În mod similar, adăugând rândul nr. 4 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$ și coloana nr. 3 la setul de coloane, obținem minorul $M""$ (minor de ordinul trei):

Minorul $M""$ este, de asemenea, un minor învecinat pentru minorul $M$.

Minor de ordinul k al matricei $A_(n\times n)$. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.

Să revenim din nou la matrice pătrată. Să introducem conceptul de minor suplimentar.

Fie dat un anumit minor $M$ de ordinul k al matricei $A_(n\n)$. Determinantul de ordinul (n-k)-lea, ale cărui elemente se obțin din matricea $A$ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $M$, se numește minor, complementar minorului$M$.

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi elemente de $M$ minor de ordinul doi:

Acum să scoatem din matrice $A$ rândurile nr. 1 și nr. 3 și coloanele nr. 2 și nr. 5, la intersecția cărora se află elemente ale $M$ minor (rândurile și coloanele eliminate sunt afișate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează minorul $M"$:

Minorul $M"$, a cărui ordine este $5-2=3$, este minorul complementar minorului $M$.

Complement algebric la un minor$M$ matrice pătrată$A_(n\times n)$ este expresia $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, unde $\alpha$ este suma numerelor de rând și coloane ale matricei $A$ pe care elementele $M minorului sunt situate $, iar $M"$ este complementarul minorului $M$.

Expresia „complement algebric la minorul $M$” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $M$”.

De exemplu, luăm în considerare matricea $A$, pentru care am găsit minorul de ordinul doi $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ și minorul său suplimentar de ordinul al treilea: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matrice) \right|$ Să notăm complementul algebric al minorului $M$ ca $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Parametru $\alpha$ egal cu suma numărul de rânduri și coloane pe care se află minorul $M$. Acest minor este situat la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 5. Prin urmare, $\alpha=1+3+2+5=11$. Asa de:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

În principiu, folosind formula nr. 2 din tema calculului determinanților ordinului al doilea și al treilea, puteți finaliza calculele, obținând valoarea $M^*$:

$$ M^*=-\stanga| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea compatibilității unui sistem liniar. ecuații algebrice. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să vă amintiți teoria articolului, metodele de găsire a determinantului unei matrice și proprietățile determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Lasă k să fie niște numar natural, care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordinea k-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul I
Și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi compus și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Și .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Și .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum putem construi toate minorele de ordin k ale matricei A de ordin p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei- Acest ordinul cel mai înalt matrice minoră, diferită de zero.

Rangul matricei A este notat rang(A) . Puteți găsi, de asemenea, denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și minorului matricei putem concluziona că rangul matrice zero este egal cu zero, iar rangul matrice diferită de zero nu mai putin de unul.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element de matrice diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu(deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al treilea, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a găsi rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) ale unei matrice;
înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit transformări elementare. Echivalența matricelor este notată prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări matrice elementare se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal catre unul.

Dacă în liniile de la a doua la p-a există cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.

Lasă matricea să evidențieze
orice k rânduri și k coloane, k și k. Elementele situate la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice pătrată A¢ de ordinul k ( submatrice matricea A).
Determinantul său se numește minor de ordinul k al unei matrice date A. Evident, în caz general Pot exista mai multe astfel de minore ale matricei A. În acest caz, ordinea maximă a minorilor este egală cu minimul numerelor m și n, adică. . Dintre toate minorele posibile ale matricei A, le selectăm pe cele care sunt diferite de zero. La rândul său, printre acești minori se poate găsi cel puțin un minor de cel mai înalt nivel.

Definiție. Cea mai mare comanda o minoră diferită de zero se numește rangul matricei.

Definiție. O matrice minoră diferită de zero a cărei ordine este egal cu rangul se numește matrice minor de bază această matrice.

Se numesc rânduri și coloane la intersecția cărora există o bază minoră de bază.

În general, o matrice poate avea mai multe minore de bază.

Următoarea teoremă principală, pe care o prezentăm fără demonstrație, joacă un rol important.

Teorema 3.6.(despre minorul de bază). Rândurile de bază (coloanele de bază) ale matricei sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) din matricea A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane de bază).

Astfel, dacă rangul matricei A este r, atunci această matrice trebuie să aibă un minor r ordinul, diferit de zero, și toți minorii a căror ordine este mai mare r, sunt egale cu zero.

Anterior, rangul unei matrice a fost definit ca cel mai mare număr de rânduri (coloane) vectoriale liniar independente. Într-un curs de algebră se dovedește că aceste două definiții sunt echivalente. Acest lucru face posibilă calcularea rangului matricei și, prin urmare, rangul sistemului de vectori.

Exemplu. Găsiți toate minorii de bază ale unei matrice

A= .

○ Orice minor al matricei de ordinul trei A este egal cu zero, deoarece conține un rând zero. Vom găsi minori de ordinul doi alții decât zero.

, , , , .

Printre minorii de ordinul doi se numără și altele diferite de zero, ceea ce înseamnă că rangul matricei A este 2, iar minorii de bază sunt . ●

Teorema 3.7. Pentru ca determinantul de ordinul al n-lea să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

□ 1) Fie determinantul unei matrice pătrate A de ordin n egal cu zero. Atunci ordinea maximă a minorilor diferit de zero trebuie să fie mai mică de n; prin urmare, rangul matricei A este mai mic n. Aceasta înseamnă că sistemul tuturor rândurilor matricei este dependent liniar.

2) Dacă dreptele A 1, A 2,…, A m ale determinantului sunt liniar dependente,
apoi prin proprietatea 6° dependență liniară o linie A i este o combinație liniară a rândurilor rămase ale determinantului, i.e.

Adăugând la linia A i Această combinație liniară, înmulțită cu (–1), va avea ca rezultat o linie constând în întregime din zerouri, iar pe baza proprietății de 7° a determinantului, valoarea determinantului nu se va modifica. Dar apoi, prin proprietatea 2°, determinantul este egal cu zero. ■

Exemplu. Demonstrați că vectorii A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6) sunt coplanari.

○ Trei vectori tridimensionali nenuli sunt coplanari dacă sunt dependenți liniar. Să compunem un determinant din coordonatele acestor vectori

Deoarece determinantul este egal cu zero, rândurile sale sunt dependente liniar, ceea ce înseamnă că vectorii sunt dependenți liniar A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6), prin urmare, ele sunt coplanare. ●

Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane din matrice, iar acest „cât” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „cât” ar trebui să fie acelasi numar. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiȘi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi compus din elemente de matrice r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior în raport cu cel dat, dacă acest minor de ordin superior îl conține pe minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Nu găsim egal cu zero minori de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuați în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei o permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda limitării minorilor necesită calcularea un numar mare determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A a mers la matrice B, Acea .

Matrici ale căror elemente sunt într-o matrice dreptunghiulară dată de ordine k(care se mai numește și ordinea acestui minor) la intersecția rândurilor cu numere și coloanelor cu numere .

Dacă numerele rândurilor marcate coincid cu numerele coloanelor marcate, atunci minorul este numit principal, iar dacă primele sunt marcate k linii şi mai întâi k coloane - colţ sau şef conducător.

Minorul suplimentar al unui element de matrice de ordin al n-lea este determinantul de ordine (n-1), corespunzător matricei care se obține din matrice prin ștergerea rândului i și coloanei j-a.

De bază O matrice minoră este orice minor diferit de zero al unei matrice. comanda maxima. Pentru ca un minor să fie de bază, este necesar și suficient ca toți minorii care îl învecinează (adică care conțin minori de un ordin superior) să fie egali cu zero. Sistemul de rânduri (coloane) al unei matrice asociate cu o bază minoră este un subsistem maxim liniar independent al sistemului tuturor rândurilor (coloanelor) ale matricei.

Exemplu

De exemplu, există o matrice:

Să presupunem că trebuie să găsim un minor suplimentar M 23. Acest minor este determinantul matricei obținute prin tăierea rândului 2 și a coloanei 3:

Primim M 23 = 13

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Matrix Minor” în alte dicționare:

Minor (din latină minor minor) de ordinul k al unei matrice, un determinant compus din elemente situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei selectate în mod arbitrar. Deci, determinantul este M. de ordinul 2 al unei matrice compuse din elementele sale,... ...

Un determinant compus din elemente constând la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese în mod arbitrar ale unei anumite matrice sau determinant... Dicţionar enciclopedic mare

MINOR, un determinant compus din elemente constând din intersecția dintre k rânduri și k coloane alese arbitrar ale unei anumite matrice sau determinant... Dicţionar enciclopedic

1. M. elementul aij al determinantului A este determinantul obținut din A după tăierea elementelor rândului i și coloanei j. M din matricea de ordinul al m-lea A ||aij|| este un determinant al ordinului al m-lea, compus din elemente m2 situate la intersectia... ... Enciclopedie geologică

Minor- vezi determinantul matricei... Dicționar economic și matematic

Acest termen are alte semnificații, vezi Minor (sensuri). Minorul unei matrice este determinantul unei astfel de matrice pătrate de ordine (care mai este numită și ordinea acestui minor), ale cărei elemente se află în matrice la intersecția rândurilor cu numere ... Wikipedia

I Minor Lazar Solomonovich, neuropatolog sovietic, om de știință onorat al RSFSR (1927). În 1879 a absolvit Facultatea de Medicină a Universității din Moscova, a lucrat pentru A. I. Babukhin, A. Ya Kozhevnikov. În 1910 17...... Marea Enciclopedie Sovietică

A; m. [din italiană. minore lesser]. 1. Un mod muzical, ale cărui sunete formează un acord construit pe un trapez mic (caracterizat prin colorarea sonoră asociată cu starea de tristețe, doliu; opus: major). Cântați într-o tonalitate minoră. 2. Relaxează-te DESPRE… … Dicţionar enciclopedic

Ordinea determinantului unei matrice este aceea că elementele unei matrice dreptunghiulare date sunt situate la intersecția mai multor coloane și mai multe rânduri. Dacă numerele rândurilor marcate coincid cu numerele coloanelor marcate, atunci se numește M. principalul lucru, iar dacă primele sunt marcate... Enciclopedie matematică

Un determinant compus din elemente situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese în mod arbitrar ale unei anumite matrice sau determinant... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic