Aflați complementul algebric al lui a23 dacă matricea este cunoscută. Complement algebric

MinorM ij element a ij determinant n -a ordinea se numește determinant de ordine ( n-1 ), obținută de la un determinat determinant prin tăierea rândului și coloanei în care se află acest element ( i -a linia și j a coloana).

Complement algebric element a ij este dat de expresia:

Determinanți ai ordinii n>3 sunt calculate folosind teorema despre extinderea determinantului în elementele unui rând sau coloană:

Teorema. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând sau oricărei coloane prin complementele algebrice corespunzătoare acestor elemente, i.e.

Exemplu.

Calculați determinantul descompunându-l în elemente ale unui rând sau coloană:

Soluţie

1. Dacă într-un singur rând sau într-o coloană există un singur element, altul decât zero, atunci nu este nevoie să transformați determinantul. În caz contrar, înainte de a aplica teorema despre descompunerea determinantului, o transformăm folosind următoarea proprietate: dacă adunăm elementelor unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană), înmulțite cu un factor arbitrar, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Din elementele liniei 3 scădem elementele corespunzătoare ale liniei 2.

Din elementele coloanei 4, scădeți elementele corespunzătoare din coloana 3, înmulțite cu 2.

Extindem determinantul în elementele celui de-al treilea rând

2. Determinantul rezultat de ordinul 3 poate fi calculat folosind regula triunghiului sau regula lui Sarrus (vezi mai sus). Cu toate acestea, elementele determinantului sunt numere destul de mari, așa că haideți să extindem determinantul transformându-l mai întâi:

Din elementele celei de-a doua linii, scădeți elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu 3.

Din elementele primei linii scădem elementele corespunzătoare ale celei de-a treia linii.

La elementele liniei 1 adăugăm elementele corespunzătoare ale liniei 2

Determinantul pe rând zero este 0.

Deci, determinanții de ordine n>3 sunt calculate:

· transformarea determinantului în formă triunghiulară folosind proprietăţile determinanţilor;

· descompunerea determinantului în termeni sau elemente de coloană, scăzând astfel ordinea acestuia.

Rangul matricei.

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare.

Să luăm matricea A Ordin p X n . Lăsa k – un număr natural care nu depășește cel mai mic număr p Și n , acesta este,

Ordine K-a minoră matrici A se numește determinantul unei matrici pătrate de ordine k X k , compus din elemente de matrice A , care sunt preselectate k linii şi k coloane și aranjarea elementelor matriceale A este salvat.

Luați în considerare matricea:

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă selectăm al treilea rând și a doua coloană a matricei A , atunci alegerea noastră corespunde det(-4)=-4 minor de ordinul întâi. Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor am șters primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matrice A , iar din elementul rămas au alcătuit un determinant.

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi
.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este minor

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A . Deoarece în matrice A Există doar trei linii, apoi selectați-le pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul al treilea:

Un alt minor de ordinul trei este:

Pentru o matrice dată A nu exista minori de ordin mai mare de treime, din moment ce

Câți minori sunt? k -Wow ordinea matricei A Ordin p X n ? Destul de mult!

Numărul de minori de ordin k poate fi calculat folosind formula:

Rangul matricei se numește ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al unei matrice.

Rangul matricei A notat ca rangul (A). Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor . Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul matricei A Ordin p X n .

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al treilea, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic număr p Și n .

Exemplu.

Aflați rangul matricei
.

Soluţie.

1. Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

2. Unul dintre minorii de ordinul doi
este diferit de zero, de unde rangul matricei A cel putin doua.

3. Minori de ordin al treilea

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

rang (A) = 2.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore . Folosind această metodă, calculele sunt oarecum reduse, dar sunt încă destul de greoaie.

Există o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare (metoda Gauss).

Următoarele transformări matrice sunt numite elementar :

· rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;

· înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;

· adăugarea elementelor oricărui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare din alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, Dacă ÎN derivat de la A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricei este indicată prin simbol « ~ » , adică este scris A~B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări matrice elementare se bazează pe afirmația: dacă matricea ÎN obtinut din matrice A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci r ang(A) = song(B) , adică rangurile matricelor echivalente sunt egale .

Esența metodei transformărilor elementare este reducerea matricei, al cărei rang trebuie să-l găsim, la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți rangul matricei

Soluţie.

1. Schimbați primul și al doilea rând al matricei A , din moment ce elementul a 11 =0, și elementul un 21 diferit de zero:

În matricea rezultată, elementul este egal cu unu. În caz contrar, trebuia să înmulți elementele primului rând cu . Să facem ca toate elementele primei coloane, cu excepția primei, zero. În a doua linie există deja un zero, la a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu 2:

Elementul din matricea rezultată este diferit de zero. Înmulțiți elementele celui de-al doilea rând cu

A doua coloană a matricei rezultate are forma dorită, deoarece elementul este deja egal cu zero.

Deoarece , A , apoi schimbați a treia și a patra coloană și înmulțiți al treilea rând al matricei rezultate cu:

Matricea originală este redusă la trapezoidal, rangul său este egal cu numărul de rânduri care conțin cel puțin un element diferit de zero. Există trei astfel de rânduri, prin urmare rangul matricei originale este de trei. r ang(A)=3.

Matrice inversă.

Să avem o matrice A .

Matricea inversă matricei A , se numește matrice A-1 astfel încât A -1 A = A A -1 = E .

O matrice inversă poate exista doar pentru o matrice pătrată. Mai mult, ea însăși are aceeași dimensiune cu matricea originală.

Pentru ca o matrice pătrată să aibă o inversă, aceasta trebuie să fie nesingulară (adică Δ ≠0 ). Această condiție este suficientă și pentru existență A-1 la matrice A . Deci, fiecare matrice nesingulară are o inversă și, în plus, una unică.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind exemplul unei matrice A :

1. Aflați determinantul matricei. Dacă Δ ≠0 , apoi matricea A-1 există.

2. Să creăm o matrice B de adunări algebrice ale elementelor matricei originale A . Acestea. în matrice ÎN element i - oh linii și j - coloana-a va fi complementul algebric A ij element a ij matricea originală.

3. Transpuneți matricea ÎN și primim B t .

4. Aflați matricea inversă înmulțind matricea rezultată B t pe număr .

Exemplu.

Pentru o matrice dată, găsiți inversul și verificați:

Soluţie

Să folosim algoritmul descris anterior pentru a găsi matricea inversă.

1. Pentru a afla existența unei matrici inverse este necesar să se calculeze determinantul acestei matrici. Să folosim regula triunghiului:

Matricea este nesingulară, prin urmare, este inversabilă.

Să găsim complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei:

Din adunările algebrice găsite, matricea este compilată:

si este transpus

Împărțind fiecare element al matricei rezultate la determinantul său, obținem o matrice inversă celei inițiale:

Verificarea se efectuează prin înmulțirea matricei rezultate cu cea inițială. Dacă matricea inversă este găsită corect, rezultatul înmulțirii este matricea de identitate.

Pentru a găsi matricea inversă pentru una dată, puteți utiliza metoda Gaussiană (desigur, trebuie să vă asigurați mai întâi că matricea este inversabilă), a cărei considerație o las pentru lucru independent.

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-10-12

Complement algebric- conceptul de algebră matriceală; în raport cu elementul aij al matricei pătrate A se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1)i+j; se notează cu Аij: Aij=(1)i+jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A=, adică. determinant...... Dicţionar economico-matematic

complement algebric- Conceptul de algebră matriceală; în raport cu elementul aij al matricei pătrate A se formează prin înmulțirea minorului elementului aij cu (1)i+j; se notează cu Аij: Aij=(1)i+jMij, unde Mij este minorul elementului aij al matricei A=, adică. determinant de matrice,...... Ghidul tehnic al traducătorului

Complement algebric- vezi art. Determinant... Marea Enciclopedie Sovietică

COMPLEMENT ALGEBRIC- pentru M minor un număr egal cu unde M este un minor de ordinul k, situat în rânduri cu numere și coloane cu numere de vreo matrice pătrată A de ordin n; determinant al unei matrice de ordin n k obținut din matricea A prin ștergerea rândurilor și coloanelor minorului M;... ... Enciclopedie matematică

Plus- Wikționarul are o intrare pentru „adăugare” Adăugarea poate însemna... Wikipedia

PLUS- o operație care pune un submulțime dintr-o mulțime dată X în corespondență cu o altă submulțime astfel încât dacă Mi N sunt cunoscute, atunci mulțimea X poate fi restaurată într-un fel sau altul În funcție de ce structură este înzestrată mulțimea X. .. ... Enciclopedie matematică

DETERMINANT- sau determinant, la matematică, înregistrarea numerelor sub formă de tabel pătrat, în corespondență cu care se pune un alt număr (valoarea determinantului). Foarte des, conceptul de determinant înseamnă atât sensul determinantului, cât și forma înregistrării acestuia.… … Enciclopedia lui Collier

teorema lui Laplace- Pentru o teoremă din teoria probabilităților, vezi articolul Teorema locală a lui Moivre-Laplace. Teorema lui Laplace este una dintre teoremele algebrei liniare. Numit după matematicianul francez Pierre Simon Laplace (1749 1827), căruia i se atribuie formularea ... ... Wikipedia

matricea Kirchhoff- (matricea laplaciană) una dintre reprezentările unui grafic folosind o matrice. Matricea Kirchhoff este folosită pentru a număra arborii care se întind ai unui graf dat (teorema arborelui matricei) și este, de asemenea, utilizată în teoria grafurilor spectrale. Cuprins 1... ...Wikipedia

ECUATII- O ecuație este o relație matematică care exprimă egalitatea a două expresii algebrice. Dacă o egalitate este adevărată pentru orice valori admisibile ale necunoscutelor incluse în ea, atunci se numește identitate; de exemplu, un raport al formei... ... Enciclopedia lui Collier

Cărți

Matematică discretă, A. V. Chashkin. 352 p. Manualul este format din 17 capitole privind principalele secțiuni ale matematicii discrete: analiza combinatorie, teoria grafurilor, funcțiile booleene, complexitatea computațională și teoria codificării. Contine...

determinant de elementele unui rând sau coloană

Alte proprietăți sunt legate de conceptele de complement minor și algebric

Definiție. Minor elementul se numește determinant alcătuit din elemente care rămân după tăierei-th drenuri sija-a coloană la intersecția căreia se află acest element. Minor al elementului determinantului n-a ordinea are ordine ( n- 1). O vom nota prin .

Exemplul 1. Lăsa , Apoi .

Acest minor se obține de la A prin tăierea celui de-al doilea rând și a treia coloană.

Definiție. Complement algebric elementul se numește minorul corespunzător, înmulțit cu nat.e , Undei–numărul liniei șij-stâlpi la intersecția cărora se află acest element.

VІІІ. (Descompunerea determinantului în elemente ale unei anumite șiruri). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând și a complementelor algebrice corespunzătoare.

Exemplul 2. Să fie atunci

Exemplul 3. Să găsim determinantul matricei extinzându-l în elementele primului rând.

Formal, această teoremă și alte proprietăți ale determinanților sunt aplicabile numai pentru determinanții matricilor de ordinul trei nu mai mari, deoarece nu am luat în considerare alți determinanți. Următoarea definiție ne va permite să extindem aceste proprietăți la determinanți de orice ordine.

Definiție. Determinant matrici A Ordinul al n-lea este un număr calculat prin aplicarea secvențială a teoremei de expansiune și a altor proprietăți ale determinanților.

Puteți verifica că rezultatul calculelor nu depinde de ordinea în care sunt aplicate proprietățile de mai sus și pentru ce rânduri și coloane. Folosind această definiție, determinantul este găsit în mod unic.

Deși această definiție nu conține o formulă explicită pentru găsirea determinantului, ea permite găsirea acestuia reducându-l la determinanții matricilor de ordin inferior. Astfel de definiții sunt numite recurent.

Exemplul 4. Calculați determinantul: .

Deși teorema de factorizare poate fi aplicată oricărui rând sau coloană a unei matrice date, se obțin mai puține calcule prin factorizarea de-a lungul coloanei care conține cât mai multe zerouri.

Deoarece matricea nu are elemente zero, le obținem folosind proprietatea 7). Înmulțiți prima linie succesiv cu numerele (–5), (–3) și (–2) și adăugați-o la rândul 2, 3 și 4 și obțineți:

Să extindem determinantul rezultat de-a lungul primei coloane și să obținem:

(să luăm (–4) din prima linie, (–2) din a doua linie, (–1) din a treia linie conform proprietății 4)

(deoarece determinantul conține două coloane proporționale).

§ 1.3. Unele tipuri de matrice și determinanții lor

Definiție. m pătrat o matrice cu zero elemente sub sau deasupra diagonalei principale(=0 la i j, sau =0 la i j) numittriunghiular .

În acest subiect vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Vom avea nevoie și de câteva formule pentru calcularea determinanților. Deoarece acest subiect conține o mulțime de termeni legați de minori și complemente algebrice, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

$M_(ij)$ minor al elementului $a_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrice $A_(n\times n)$ numesc determinantul matricei obținute din matricea $A$ prin ștergerea rândului i și a coloanei j (adică rândul și coloana de la intersecţia căreia se află elementul $a_(ij)$).

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 și 84 \\ 3 și 12 și -5 și 58 \end(array) \right)$. Să găsim minorul elementului $a_(32)$, adică. să găsim $M_(32)$. Mai întâi, să notăm minorul $M_(32)$ și apoi să calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $M_(32)$, ștergem al treilea rând și a doua coloană din matricea $A$ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $a_(32)$ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $M_(32)$:

Acest minor este ușor de calculat folosind formula nr. 2 din subiectul de calcul:

$$ M_(32)=\stanga| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Deci, minorul elementului $a_(32)$ este 579, i.e. $M_(32)=579$.

Adesea, în locul expresiei „element de matrice minor” în literatură, se găsește „element determinant minor”. Esența rămâne aceeași: pentru a obține minorul elementului $a_(ij)$, trebuie să tăiați al-lea rând și j-a coloană din determinantul inițial. Elementele rămase sunt scrise într-un nou determinant, care este minorul elementului $a_(ij)$. De exemplu, să găsim minorul elementului $a_(12)$ al determinantului $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Pentru a scrie minorul necesar $M_(12)$ trebuie să ștergem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:

Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M_(12)=\stânga| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Deci, minorul elementului $a_(12)$ este 83, i.e. $M_(12)=83$.

Complement algebric $A_(ij)$ al elementului $a_(ij)$

Fie dată o matrice pătrată $A_(n\times n)$ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).

Complement algebric$A_(ij)$ element$a_(ij)$ a matricei $A_(n\times n)$ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

unde $M_(ij)$ este minorul elementului $a_(ij)$.

Să găsim complementul algebric al elementului $a_(32)$ al matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. să găsim $A_(32)$. Am găsit anterior minorul $M_(32)=579$, așa că folosim rezultatul obținut:

De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Nota minoră este omisă. De exemplu, să găsim $A_(12)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matrice) \dreapta)$. Conform formulei $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Totuși, pentru a obține $M_(12)$ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $A$, așa că de ce să introduceți o notație suplimentară pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $A_(12)$:

Minor de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$

Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $A_(m\times n)$, i.e. o matrice care conține m rânduri și n coloane.

Ordine K-a minoră matricea $A_(m\times n)$ este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $A$ (se presupune că $k≤ m$ și $k≤ n$).

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ și notează ce -sau minor de ordinul al treilea. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, luați rândurile numerotate 2, 4, 6 și coloanele numerotate 1, 2, 4. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi localizate elementele minorului necesar. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:

Minorii de ordinul întâi se găsesc la intersecția unui rând și a unei coloane, adică minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele unei matrice date.

Minorul de ordin al k al matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se numește principal, dacă pe diagonala principală a unui minor dat există doar elementele diagonale principale ale matricei $A$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $A$ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Ele sunt evidențiate cu roz în figură:

De exemplu, dacă în matricea $A$ tăiem rândurile și coloanele numerotate 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul al doilea minor, pe a căror diagonală principală vor fi doar elemente diagonale. ale matricei $A$ (elementele $a_(11) =-1$ și $a_(33)=18$ ale matricei $A$). Prin urmare, obținem un minor principal de ordinul doi:

Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor principal diferit de ordinul doi.

Fie unele minore $M$ de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$ să nu fie egale cu zero, i.e. $M\neq 0$. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi minorul $M$ este numit de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite corzi de bazăȘi coloane de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Să scriem minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor numerotate 1, 2, 3 și coloanelor numerotate 1, 3, 4. Obținem un minor de ordinul trei:

Să găsim valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M=\stânga| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Deci, $M=11\neq 0$. Acum să încercăm să compunem orice minor a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a face un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim al patrulea rând, dar toate elementele acestui rând sunt zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea un rând zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem crea minore de ordinul al cincilea sau mai mare, deoarece matricea $A$ are doar 4 rânduri.

Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul pe care l-am considerat este de bază. Rândurile matricei $A$ pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea) sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană a matricei $A$ sunt coloanele de bază.

Acest exemplu, desigur, este banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de căutare a unui astfel de minor este mult mai complex și mai amplu.

Să introducem un alt concept - limită minoră.

Fie un anumit ordin al k-lea minor $M$ al matricei $A_(m\times n)$ să fie situat la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să adăugăm un alt rând și coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat de ordinul (k+1). marginea minoră pentru minor $M$.

De exemplu, să ne uităm la matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matrice) \dreapta)$. Să scriem un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2 și nr. 5, precum și coloanele nr. 2 și nr. 4.

Să adăugăm un alt rând nr. 1 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$, iar coloana nr. 5 la setul de coloane. Obținem un nou minor $M"$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, nr. 5. Elementele $M$ minore din figură sunt evidențiate cu roz, iar elementele pe care le adăugăm la $M$ minor sunt verzi:

Minorul $M"$ este minorul de margine pentru minorul $M$. În mod similar, adăugând rândul nr. 4 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$ și coloana nr. 3 la setul de coloane, obținem minorul $M""$ (minor de ordinul trei):

Minorul $M""$ este, de asemenea, un minor învecinat pentru minorul $M$.

Minor de ordinul k al matricei $A_(n\times n)$. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.

Să revenim din nou la matricele pătrate. Să introducem conceptul de minor suplimentar.

Fie dat un anumit $M$ minor de ordinul k al matricei $A_(n\n\n)$. Un determinant de ordinul (n-k)-lea, ale cărui elemente sunt obținute din matricea $A$ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $M$, se numește minor, complementar minorului$M$.

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi elemente de $M$ minor de ordinul doi:

Acum să scoatem din matrice $A$ rândurile nr. 1 și nr. 3 și coloanele nr. 2 și nr. 5, la intersecția cărora se află elemente ale $M$ minor (rândurile și coloanele eliminate sunt afișate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează minorul $M"$:

Minorul $M"$, a cărui ordine este $5-2=3$, este minorul complementar minorului $M$.

Complement algebric la un minor$M$ a unei matrice pătrate $A_(n\times n)$ se numește expresia $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, unde $\alpha$ este suma numerelor rândurilor și coloanelor a matricei $A$, pe care sunt situate elementele minorului $M$, iar $M"$ este complementarul minorului $M$.

Expresia „complement algebric la minorul $M$” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $M$”.

De exemplu, luăm în considerare matricea $A$, pentru care am găsit minorul de ordinul doi $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ și minorul său suplimentar de ordinul al treilea: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matrice) \right|$ Să notăm complementul algebric al minorului $M$ ca $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Parametrul $\alpha$ este egal cu suma numerelor rândurilor și coloanelor pe care se află minorul $M$. Acest minor este situat la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 5. Prin urmare, $\alpha=1+3+2+5=11$. Asa de:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

În principiu, folosind formula nr. 2 din tema calculului determinanților ordinului al doilea și al treilea, puteți finaliza calculele, obținând valoarea $M^*$:

$$ M^*=-\stânga| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

Definiție. Dacă în determinantul de ordinul n-a alegem în mod arbitrar k rânduri și k coloane, atunci elementele de la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul unei astfel de matrice pătrate se numește minor de ordinul k-lea .

Notat de Mk. Dacă k=1, atunci minorul de ordinul întâi este un element al determinantului.

Elementele de la intersecția dintre (n-k) rânduri și (n-k) coloane rămase formează o matrice pătrată de ordin (n-k). Determinantul unei astfel de matrice se numește minor, adiţional la minor M k . Notat cu Mn-k.

Complement algebric al minorului M kîl vom numi minor suplimentar, luat cu semnul „+” sau „-”, în funcție de faptul că suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor în care se află minorul M k este pară sau impară.

Dacă k=1, atunci complementul algebric al elementului un ik calculate prin formula

A ik =(-1) i+k M ik, unde M ik- ordin minor (n-1).

Teorema. Produsul unui minor de ordinul k și al complementului său algebric este egal cu suma unui anumit număr de termeni ai determinantului D n.

Dovada

1. Să luăm în considerare un caz special. Fie minorul M k să ocupe colțul din stânga sus al determinantului, adică situat în linii numerotate 1, 2, ..., k, atunci minorul M n-k va ocupa linii k+1, k+2, ... , n.

Să calculăm complementul algebric la minorul M k . A-priorie,

A n-k =(-1) s M n-k, unde s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), atunci

(-1)s=1 și A n-k = M n-k. Primim

M k A n-k = M k M n-k. (*)

Luăm un termen arbitrar al minorului M k

, (1)

unde s este numărul de inversiuni în substituție

și un termen minor arbitrar M n-k

unde s * este numărul de inversiuni în substituție

(4)

Înmulțind (1) și (3), obținem

Produsul este format din n elemente situate în diferite rânduri și coloane ale determinantului D. În consecință, acest produs este membru al determinantului D. Semnul produsului (5) este determinat de suma inversiilor în substituții (2) și (4), iar semnul unui produs similar în determinantul D este determinat numărul de inversiuni s k în substituție

Este evident că s k =s+s * .

Astfel, revenind la egalitate (*), obținem că produsul M k A n-k constă numai din termenii determinantului.

2. Fie minor M k situate în rânduri cu numere i 1 , i 2 , ..., i k iar în coloane cu numere j 1, j 2, ..., j k,și eu 1< i 2 < ...< i k Și j 1< j 2 < ...< j k .

Folosind proprietățile determinanților, folosind transpoziții, vom muta minorul în colțul din stânga sus. Obținem determinantul D ¢, în care minorul M k ocupă colțul din stânga sus și M¢ minor suplimentar n-k este coltul din dreapta jos, apoi, conform celor dovedite la punctul 1, obtinem ca produsul M k M¢ n-k este suma unui anumit număr de elemente ale determinantului D ¢, luate cu semnul propriu. Dar D¢ se obține din D folosind ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transpoziții de șiruri și ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transpuneri de coloane. Adică totul a fost făcut

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Prin urmare, termenii determinanților D și D ¢ diferă în semnul (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, deci produsul (-1) s M k M¢ n-k va consta dintr-un anumit număr de termeni ai determinantului D, luați cu aceleași semne pe care le au în acest determinant.

teorema lui Laplace. Dacă în determinantul de ordinul al n-lea alegem în mod arbitrar k rânduri (sau k coloane) 1£k£n-1, atunci suma produselor tuturor minorilor de ordinul k conținute în rândurile selectate și complementele lor algebrice este egală cu determinantul D .

Dovada

Să alegem linii aleatorii i 1 , i 2 , ..., i kși vom demonstra asta

S-a dovedit anterior că toate elementele din partea stângă a egalității sunt conținute ca termeni în determinantul D. Să arătăm că fiecare termen din determinantul D se încadrează doar într-unul dintre termeni. Într-adevăr, totul ts se pare ca t s =. dacă în acest produs notăm factorii ai căror primi indici i 1 , i 2 , ..., i k, și compuneți produsul lor, apoi puteți observa că produsul rezultat aparține ordinului k-lea minor. În consecință, termenii rămași, prelevați din n-k rânduri și n-k coloane rămase, formează un element aparținând minorului complementar, iar, ținând cont de semn, complementului algebric, deci, orice ts se încadrează doar într-unul dintre produse, ceea ce demonstrează teorema.

Consecinţă(teorema expansiunii determinantului pe rând) . Suma produselor elementelor unui anumit rând al determinantului și a complementelor algebrice corespunzătoare este egală cu determinantul.

(Dovada ca exercițiu.)

Teorema. Suma produselor elementelor din rândul i al determinantului prin complementele algebrice corespunzătoare elementelor din rândul j (i¹j) este egală cu 0.