Bách khoa toàn thư lớn về dầu khí. Đánh giá ý nghĩa thống kê của mô hình
Để đánh giá ý nghĩa của các tham số của phương trình hồi quy bội Bài kiểm tra t của sinh viên được sử dụng. Chúng ta hãy nhớ lại điều đó tầm quan trọng của các tham số có nghĩa là chúng khác 0 với mức độ xác suất cao. Giả thuyết không trong trong trường hợp này là một tuyên bố
Giá trị thực tế của t-test được xác định theo công thức
(2.27)
Trong công thức (2.27), ước lượng tham số đề cập đến cả hệ số hồi quy và số hạng tự do (at ). Giá trị độ lệch chuẩn của tham số ước lượng được xác định là nghiệm của phương sai tính toán theo công thức (2.25). Đại lượng đó được gọi là lỗi tiêu chuẩn tham số
Công thức ước tính hệ số hồi quy (tức là đối với ) có thể được rút gọn về dạng
(2.28)
độ lệch chuẩn của biến kết quả là ở đâu; - độ lệch chuẩn của biến giải thích là hệ số của hệ số; – hệ số xác định của phương trình sự phụ thuộc của một biến vào các biến, bao gồm ; – hệ số xác định tìm được cho phương trình phụ thuộc của một biến vào các biến khác có trong mô hình hồi quy bội đang xét.
Giá trị lý thuyết của bài kiểm tra t được tìm thấy từ bảng giá trị của bài kiểm tra Học sinh đối với mức ý nghĩa a và số bậc tự do. Mức ý nghĩa a thể hiện xác suất xảy ra lỗi loại I, tức là xác suất bác bỏ một giả thuyết khi nó đúng. Theo quy định, a được chọn bằng 0,1; 0,05 hoặc 0,01.
Giả thuyết không về mức độ không đáng kể của tham số: bị bác bỏ nếu bất đẳng thức giữ nguyên
(2.29)
đâu là giá trị lý thuyết của bài kiểm tra t của Sinh viên.
Dựa trên biểu thức (2.29), người ta cũng có thể xây dựng khoảng tin cậy cho tham số ước tính:
Biểu thức (2.30) cho phép vừa đánh giá tầm quan trọng của tham số vừa đưa ra cách giải thích kinh tế của nó (nếu hệ số hồi quy được ước tính). Rõ ràng, tham số sẽ có ý nghĩa nếu khoảng tin cậy (2,30) không bao gồm số 0, tức là với mức độ xác suất cao, tham số ước tính không bằng 0.
Vì hệ số hồi quy là một chỉ số tuyệt đối về độ mạnh của mối quan hệ nên ranh giới của khoảng tin cậy đối với nó cũng có thể được giải thích theo cách tương tự: với xác suất cho một thay đổi duy nhất trong biến độc lập, biến phụ thuộc Tại sẽ thay đổi không ít hơn by , và không nhiều hơn by .
Xét kết quả đánh giá ý nghĩa của các tham số chẳng hạn 2.1. Sai số chuẩn của các tham số là
Nhớ lại rằng dưới dấu căn trong ngoặc vuông có một phần tử của ma trận nằm ở giao điểm
viện nghiên cứu hàng thứ j và cột thứ j, số; bằng với số lượng tham số đang được đánh giá.
Giá trị thực tế của bài kiểm tra t của Sinh viên là
Giá trị bảng của kiểm định t và mức ý nghĩa là 2,0153, do đó, tất cả các tham số ngoại trừ số hạng bị chặn đều có ý nghĩa.
Hãy tìm ranh giới của khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy.
Lưu ý rằng, được hướng dẫn bởi các giá trị ranh giới của khoảng tin cậy, chúng ta có thể rút ra kết luận tương tự về tầm quan trọng của các hệ số hồi quy (vì số 0 không rơi vào khoảng tin cậy). Kết luận trong trường hợp này không thể khác so với khi so sánh giá trị thực tế và giá trị được lập bảng của tiêu chí Sinh viên, vì công thức (2.30) là hệ quả của công thức (2.29). Chúng ta hãy đưa ra một giải thích kinh tế về ranh giới của khoảng tin cậy đối với các hệ số hồi quy.
Hệ số này là một đặc tính thể hiện mức độ mạnh mẽ của mối quan hệ giữa số tiền thu được từ thuế và số lượng nhân viên. Khi tính đến các giá trị của giới hạn khoảng tin cậy, chúng ta có thể nói rằng sự thay đổi về số lượng người có việc làm trên 1 nghìn người sẽ dẫn đến thay đổi (với xác suất là 0,95 ()) về số thu thuế ít nhất là 3,56 triệu rúp. và không quá 21,34 triệu rúp. với khối lượng vận chuyển không đổi trong sản xuất và sản xuất năng lượng. Đối với hai hệ số hồi quy còn lại, kết luận như sau.
Thay đổi khối lượng vận chuyển trong các ngành sản xuất thêm 1 triệu rúp. sẽ dẫn đến thay đổi (với xác suất 0,95 ()) trong số tiền thu thuế ít nhất là 0,028 triệu rúp. và không quá 0,092 triệu rúp. với các giá trị không đổi của số lượng nhân viên và sản lượng năng lượng.
Nếu sản lượng năng lượng thay đổi 1 triệu rúp. biên lai thuế sẽ thay đổi (với xác suất 0,95 ()) ít nhất 0,13 triệu rúp. và không quá 0,18 triệu rúp. với các giá trị không đổi của số lượng nhân viên và khối lượng vận chuyển trong các ngành sản xuất.
Như đã lưu ý trong đoạn 2.2, khi xây dựng mô hình hồi quy sử dụng biến trung tâm hệ số hồi quy không khác với hệ số hồi quy ở dạng tự nhiên. Tuyên bố này cũng áp dụng cho giá trị lỗi chuẩn các hệ số hồi quy và do đó, đến các giá trị thực tế của bài kiểm tra của Học sinh.
sử dụng biến chuẩn hóa thang đo của chúng thay đổi, dẫn đến các giá trị của các tham số (hệ số hồi quy chuẩn hóa) và sai số chuẩn của chúng khác với hồi quy ban đầu. Tuy nhiên, các giá trị thực tế của bài kiểm tra t của Học sinh đối với các tham số của phương trình trên thang đo tiêu chuẩn giống với giá trị thu được từ phương trình ở thang đo tự nhiên.
Để đánh giá tầm quan trọng của toàn bộ phương trình hồi quy, chúng tôi sử dụng Kiểm tra Fisher (kiểm tra F), mà trong trường hợp này còn được gọi là kiểm tra F tổng quát. Sự không đáng kể của phương trình hồi quy được hiểu là sự bằng 0 (với xác suất cao) của tất cả các hệ số hồi quy trong tổng thể:
Giá trị thực tế của kiểm định F được xác định bằng tỉ số giữa hệ số và tổng bình phương dư tính được từ phương trình hồi quy và được điều chỉnh theo số bậc tự do:
(2.31)
đâu là tổng hệ số của bình phương; - tổng bình phương còn lại.
Giá trị lý thuyết của kiểm định F được tìm thấy từ bảng các giá trị kiểm định Fisher đối với mức ý nghĩa α, số bậc tự do và . Giả thuyết không bị bác bỏ nếu
đâu là giá trị lý thuyết của tiêu chí Fisher.
Lưu ý rằng nếu mô hình không có ý nghĩa thì các chỉ số tương quan được tính toán từ nó cũng không có ý nghĩa. Thật vậy, nếu
và đường hồi quy song song với trục x. Ngoài ra, từ hệ phương trình chuẩn thu được bằng phương pháp bình phương tối thiểu (2.8), suy ra rằng .
Tại giá trị 0 của tất cả các hệ số hồi quy chúng ta có biểu thức
những thứ kia. nếu tất cả các hệ số hồi quy bằng 0 (không có ý nghĩa thống kê) thì hệ số xác định cũng sẽ bằng 0 (không có ý nghĩa thống kê).
Công thức (2.31) để tính tiêu chí F có thể được biến đổi bằng cách chia hệ số và tổng dư của bình phương cho tổng cộng hình vuông:
Sau khi biến đổi đơn giản, chúng ta thu được biểu thức
Việc tính chỉ tiêu F tổng quát có thể được trình bày dưới dạng bảng phân tích phương sai (Bảng 2.2).
Bảng 2.2. Phân tích ý nghĩa thống kê của mô hình hồi quy bội
|
Nguồn biến thiên |
Số bậc tự do df |
Tổng bình phương SS |
Độ phân tán theo bậc tự do MS = SS/df |
Kiểm tra F của Fisher |
|
|
giá trị thực |
giá trị bảng cho a = 0,05 |
||||
Một bảng ANOVA tương tự có thể được nhìn thấy trong kết quả xử lý máy tính dữ liệu. Sự khác biệt của nó
từ bảng trên nằm trong nội dung của cột cuối cùng. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là giá trị lý thuyết của tiêu chí Fisher. Trong các phiên bản máy tính, cột cuối cùng đưa ra xác suất mắc lỗi loại I (bác bỏ giả thuyết khống đúng), tương ứng với giá trị thực tế của tiêu chí F. TRONG Excelđại lượng này được gọi là "ý nghĩa F". Chúng ta hãy biểu thị giá trị do máy tính tạo ra trong bảng phân tích phương sai là . Ý nghĩa của nó có thể được hiểu như sau: nếu giá trị lý thuyết của phép thử F bằng giá trị thực tế của nó thì xác suất xảy ra lỗi loại I (mức ý nghĩa) bằng .
Lựa chọn để xác định giá trị bảng tiêu chí là một mức ý nghĩa nhất định, chúng tôi đồng ý về giá trị lỗi bằng. Do đó, nếu , thì sai số thực tế sẽ nhỏ hơn dự định và chúng ta có thể nói về tầm quan trọng của phương trình hồi quy ở một mức ý nghĩa nhất định.
Hãy kiểm tra xem ý nghĩa thống kê phương trình hồi quy thu được ở ví dụ 2.1. Giá trị thực tế của phép thử F là
Giá trị được lập bảng của tiêu chí Fisher cho a = 0,05, số bậc tự do và bằng 2,82. Vì giá trị thực tế của tiêu chí F lớn hơn bảng 1 nên phương trình hồi quy có ý nghĩa xác suất. Do đó, hệ số xác định cũng có ý nghĩa. nó có xác suất cao khác 0.
Khi sử dụng tùy chọn "Hồi quy" trong PPP Excel Vì ví dụ này Bảng phân tích phương sai sau đây được thu được (Bảng 2.3).
Bảng 2.3. Bảng ANOVA thu được bằng cách áp dụng tùy chọn "Hồi quy" trong PPP Excel
Giá trị thực tế của F-test nằm ở cột áp chót của bảng này. Lưu ý rằng giá trị của nó khác với giá trị trên do lỗi làm tròn. Ở cột cuối cùng của bảng. 2.3 cho thấy xác suất mắc lỗi loại I. Nó bằng 1,10224E -12, tức là 0,00000000000110224. Chúng tôi đã đặt giá trị tối đa của xác suất này bằng 0,05. Vì giá trị thực tế của xác suất mắc lỗi loại I nhỏ hơn (nhỏ hơn đáng kể) so với mức tối đa mà chúng tôi đã thiết lập nên giả thuyết không về tầm quan trọng của phương trình hồi quy sẽ bị bác bỏ.
Kiểm tra tầm quan trọng của mô hình bằng cách sử dụng thử nghiệm tỷ lệ khả năng (thử nghiệm Wald) bắt đầu bằng việc đưa ra giả thuyết chính:
Để kiểm tra giả thuyết này, số liệu thống kê mẫu được tính toán
Ở đây lnL là giá trị logarit lớn nhất của hàm khả năng và lnL0 là giá trị logarit của hàm khả năng nếu giả thuyết chính là đúng.
Nếu giả thuyết chính là đúng thì thống kê mẫu (4.7.1) được phân bố theo định luật 2 với (m-1) bậc tự do. Ranh giới của vùng tới hạn bên phải K2 được tìm bằng cách sử dụng bảng các điểm tới hạn chi bình phương theo mức ý nghĩa (1-b) và (m-1) bậc tự do. Nếu bất đẳng thức xảy ra:
thì giả thuyết chính bị bác bỏ, giả thuyết thay thế được chấp nhận và chúng ta nói, rằng mô hình có ý nghĩa thống kê. Ngược lại, họ chấp nhận giả thuyết rằng mô hình không có ý nghĩa và tiến hành sửa đổi nó.
Đối với các mô hình lựa chọn nhị phân, tầm quan trọng của các yếu tố được kiểm tra bằng cách kiểm tra từng giả thuyết хi, i=1,…, (m-1) có dạng:
Số liệu thống kê mẫu được sử dụng để kiểm tra các giả thuyết này có tính chất tiệm cận phân phối bình thường và được gọi là thống kê z. Ranh giới của vùng tới hạn hai phía được tìm kiếm bằng cách sử dụng bảng Laplace ở mức ý nghĩa cho trước (1-b).
Nếu bất đẳng thức xảy ra:
K 1 khi đó họ chấp nhận giả thuyết chính về sự khác biệt không đáng kể so với 0 của hệ số i và kết luận rằng hệ số tương ứng là không đáng kể đối với mô hình. Đối với các mô hình lựa chọn nhị phân, khái niệm hệ số xác định không được xác định. Tuy nhiên, đối với họ, cái gọi là hệ số xác định giả đã được xác định, hệ số này không còn đặc trưng cho khả năng giải thích của mô hình nữa. Định nghĩa 4.7.1. Hệ số giả của việc xác định là giá trị sau: Định nghĩa 4.7.2. Chỉ số tỷ lệ khả năng McFadden là đặc điểm: Cần nhấn mạnh rằng nếu các tham số của mô hình lựa chọn nhị phân không khác biệt đáng kể so với 0 thì cả hai hệ số được đưa ra đều bằng 0. Trong bài giảng, chúng ta đã xem xét các mô hình hồi quy phi tuyến, đặc biệt là các mô hình cho biến phụ thuộc nhị phân. Chúng tôi đã kiểm tra các mô hình này để tìm hai hàm hồi quy: logit (chúng tôi đã sử dụng hàm logistic) và probit (chúng tôi đã sử dụng hàm phân phối của luật phân phối chuẩn chuẩn). Ước tính tham số cho các hàm hồi quy như vậy được lấy bằng phương pháp khả năng tối đa. Mô hình được kiểm tra bằng phép thử Wald, dựa trên số liệu thống kê có phân bố chi bình phương. Khi nghiên cứu các mô hình hồi quy đa biến, chúng tôi giải thích các ước lượng tham số trong j là tác động biên của các biến độc lập lên y. Hãy quay trở lại mô hình lựa chọn nhị phân. Nếu chúng ta cố gắng tìm đạo hàm của P(Y=1|X), chúng ta sẽ đi đến biểu thức sau: trong đó Z= 0+1x1+...m-1xm-1. Theo định lý về đạo hàm của hàm phức và từ tính chất mật độ (đạo hàm của hàm phân bố là mật độ phân bố f(Z)), ta thu được: hoặc sử dụng ký hiệu thứ hai để ước tính tham số: P(Y=1|X)=вjf(Z) Như trước đây, bj biểu thị ước tính của các tham số chưa biết. Khi đó, chúng ta có thể suy luận như sau: mật độ phân bố luôn không âm nên dấu của đạo hàm sẽ chỉ phụ thuộc vào dấu của các ước lượng tham số, nhưng sẽ là hàm của tất cả các biến độc lập. Hơn nữa, nếu ước lượng tham số là dương thì việc tăng biến xj sẽ dẫn đến tăng xác suất và nếu ước tính tham số là âm thì xác suất được chỉ định sẽ giảm. Bình luận. Nếu yếu tố x là một biến nhị phân thì khái niệm tác động cận biên không thể được đưa ra cho nó. Đối với mỗi biến x (định lượng!!!), cái gọi là hiệu ứng biên trung bình được đưa ra. Để làm điều này, hãy tính giá trị trung bình mẫu cho các biến định lượng và tỷ lệ phần trăm “1” cho các biến nhị phân, rồi thay chúng vào biểu thức cho mật độ phân bố thay vì các biến. Một câu hỏi thảo luận khác: làm thế nào để dự đoán giá trị của y sau khi ước lượng các tham số của mô hình logit (probit)? Ví dụ, tiến hành như sau. Thay thế các giá trị tìm thấy của ước lượng tham số và các giá trị của xj vào Z và tính giá trị của biến. Nếu Z>0 thì coi Y=1, nếu Z<0, то считают, что У=0. Замечание. Мы рассмотрели ситуацию, когда переменная у была измерена в номинальной шкале, но принимала всего два значения: 0 и 1. В общем случае, когда у может принимать несколько значений, например 0, 1, 2, 3, используют множественный (по у!!) логит или пробит. Кроме того, у может быть измерен в порядковой шкале, тогда в Стате используют порядковый логит (пробит) ologit (oprobit). Bình luận. Rất thường xuyên trong nghiên cứu cần phải tiến hành nghiên cứu trên một mẫu cắt ngắn. Ví dụ: nếu nghiên cứu về thu nhập hộ gia đình, sẽ có những trường hợp người trả lời có thu nhập rất cao (ví dụ: hơn 1 triệu rúp) phải bị loại khỏi nghiên cứu, tức là Trong những trường hợp như vậy, mô hình Tobit được sử dụng. F(0+1x1+...m-1xm-1) F(0+1x1+...m-1xm-1) F(0+1x1+...m-1xm-1) F(0+1x1+...m-1xm-1) - (F(0+1x1+...m-1xm-1))2 Bài giảng 2. Phân tích tương quan và hồi quy. Hồi quy theo cặp 1. Bản chất của phân tích hồi quy tương quan và nhiệm vụ của nó. 2. Định nghĩa hồi quy và các loại của nó. 3. Đặc điểm của đặc tả mô hình. Nguyên nhân tồn tại của biến ngẫu nhiên 4. Phương pháp lựa chọn hồi quy cặp. 5. Phương pháp bình phương tối thiểu. 6. Các chỉ số đo độ kín và độ bền của mối nối. 7. Ước tính có ý nghĩa thống kê. 8. Giá trị dự đoán của biến y và khoảng tin cậy của dự báo. 1. Bản chất của phân tích hồi quy tương quan và nhiệm vụ của nó. Các hiện tượng kinh tế rất đa dạng, được đặc trưng bởi nhiều đặc điểm phản ánh những tính chất nhất định của các quá trình và hiện tượng này và có thể thay đổi phụ thuộc lẫn nhau. Trong một số trường hợp, mối quan hệ giữa các đặc điểm hóa ra rất chặt chẽ (ví dụ: sản lượng theo giờ của nhân viên và tiền lương của anh ta), trong khi trong các trường hợp khác, mối quan hệ đó hoàn toàn không được thể hiện hoặc cực kỳ yếu (ví dụ: giới tính). của sinh viên và kết quả học tập của họ). Sự kết nối giữa các tính năng này càng chặt chẽ thì các quyết định được đưa ra càng chính xác. Có hai loại phụ thuộc giữa các hiện tượng và đặc tính của chúng: sự phụ thuộc chức năng (xác định, nhân quả)
. Nó được chỉ định dưới dạng công thức liên kết từng giá trị của một biến với giá trị được xác định chặt chẽ của biến khác (bỏ qua ảnh hưởng của các yếu tố ngẫu nhiên). Nói cách khác, sự phụ thuộc chức năng
là một mối quan hệ trong đó mỗi giá trị của biến độc lập x tương ứng với một giá trị được xác định chính xác của biến phụ thuộc y. Trong kinh tế học, mối quan hệ chức năng giữa các biến số là ngoại lệ đối với quy luật chung; sự phụ thuộc thống kê (ngẫu nhiên, không xác định)
– đây là sự kết nối của các biến, bị ảnh hưởng bởi các yếu tố ngẫu nhiên, tức là Đây là mối quan hệ trong đó mỗi giá trị của biến độc lập x tương ứng với một tập hợp các giá trị của biến phụ thuộc y và không biết trước giá trị y sẽ nhận là bao nhiêu. Một trường hợp đặc biệt của sự phụ thuộc thống kê là sự phụ thuộc tương quan. Sự phụ thuộc tương quan
là mối quan hệ trong đó mỗi giá trị của biến độc lập x tương ứng với một kỳ vọng toán học nhất định (giá trị trung bình) của biến phụ thuộc y. Sự phụ thuộc tương quan là một sự phụ thuộc “không đầy đủ”, không xuất hiện trong từng trường hợp riêng lẻ mà chỉ xuất hiện ở các giá trị trung bình cho một số lượng trường hợp đủ lớn. Ví dụ, người ta biết rằng việc nâng cao trình độ của nhân viên sẽ dẫn đến tăng năng suất lao động. Tuyên bố này thường được xác nhận trong thực tế, nhưng không có nghĩa là hai hoặc nhiều người lao động cùng hạng/cấp độ tham gia vào một quy trình tương tự sẽ có năng suất lao động như nhau. Sự phụ thuộc tương quan được nghiên cứu bằng các phương pháp phân tích tương quan và hồi quy. Phân tích tương quan và hồi quy
cho phép bạn thiết lập mức độ gần gũi, hướng kết nối và hình thức kết nối này giữa các biến, tức là. biểu thức phân tích của nó. Nhiệm vụ chính của phân tích tương quan
bao gồm việc xác định định lượng mức độ gần gũi của mối liên hệ giữa hai đặc điểm trong kết nối theo cặp và giữa các đặc điểm hiệu quả và một số yếu tố trong kết nối đa yếu tố và đánh giá thống kê độ tin cậy của kết nối được thiết lập. 2. Định nghĩa hồi quy và các loại của nó. Phân tích hồi quy là công cụ toán học và thống kê chính trong kinh tế lượng. hồi quy
Người ta thường gọi sự phụ thuộc của giá trị trung bình của một đại lượng (y) vào một số đại lượng khác hoặc vào một số đại lượng (x i). Tùy thuộc vào số lượng yếu tố có trong phương trình hồi quy, người ta thường phân biệt giữa hồi quy đơn giản (theo cặp) và hồi quy bội. Hồi quy đơn giản (theo cặp)
là mô hình trong đó giá trị trung bình của biến phụ thuộc (giải thích) y được coi là hàm của một biến độc lập (giải thích) x. Rõ ràng, hồi quy theo cặp là một mô hình có dạng: Rõ ràng: trong đó a và b là ước tính của các hệ số hồi quy. Hồi quy bội
là mô hình trong đó giá trị trung bình của biến phụ thuộc (giải thích) y được coi là hàm số của một số biến độc lập (giải thích) x 1, x 2, ... x n. Rõ ràng, hồi quy theo cặp là một mô hình có dạng: Rõ ràng: trong đó a và b 1, b 2, b n là ước lượng của các hệ số hồi quy. Một ví dụ về mô hình như vậy là sự phụ thuộc của mức lương của nhân viên vào độ tuổi, trình độ học vấn, trình độ chuyên môn, thời gian phục vụ, ngành nghề, v.v. Về hình thức phụ thuộc có: hồi quy tuyến tính; hồi quy phi tuyến, giả định sự tồn tại của mối quan hệ phi tuyến giữa các yếu tố được biểu thị bằng hàm phi tuyến tương ứng. Thông thường, các mô hình có bề ngoài phi tuyến có thể được giảm xuống dạng tuyến tính, điều này cho phép chúng được phân loại là tuyến tính. 3. Đặc điểm của đặc tả mô hình. Nguyên nhân tồn tại của biến ngẫu nhiên Bất kỳ nghiên cứu kinh tế lượng nào cũng bắt đầu bằng thông số kỹ thuật mô hình
, I E. từ việc xây dựng loại mô hình, dựa trên lý thuyết tương ứng về mối quan hệ giữa các biến. Trước hết, trong tổng số các yếu tố ảnh hưởng đến thuộc tính hiệu quả, cần xác định các yếu tố ảnh hưởng đáng kể nhất. Hồi quy theo cặp là đủ nếu có yếu tố chi phối, được sử dụng làm biến giải thích. Một phương trình hồi quy đơn giản mô tả mối quan hệ giữa hai biến, xuất hiện dưới dạng một mẫu nhất định chỉ ở mức trung bình cho tổng số các quan sát. Trong phương trình hồi quy, mối quan hệ tương quan được thể hiện dưới dạng phụ thuộc hàm số, được biểu thị bằng hàm toán học tương ứng. Trong hầu hết mọi trường hợp riêng lẻ, giá trị y bao gồm hai số hạng: trong đó y là giá trị thực của đặc tính thu được; Giá trị ngẫu nhiên đặc điểm kỹ thuật mô hình, tính chất chọn lọc của dữ liệu nguồn, Đặc điểm của các biến đo lường Các lỗi đặc tả sẽ không chỉ bao gồm việc lựa chọn sai một hàm toán học cụ thể mà còn bao gồm việc đánh giá thấp bất kỳ yếu tố quan trọng nào trong phương trình hồi quy (sử dụng hồi quy cặp thay vì bội số). Cùng với các lỗi về đặc điểm kỹ thuật, các lỗi lấy mẫu có thể xảy ra vì nhà nghiên cứu thường xử lý dữ liệu mẫu khi thiết lập các mô hình mối quan hệ giữa các đặc điểm. Lỗi lấy mẫu cũng xảy ra do tính không đồng nhất của dữ liệu trong tổng thể thống kê ban đầu, điều này thường xảy ra khi nghiên cứu các quá trình kinh tế. Nếu tổng thể không đồng nhất thì phương trình hồi quy không có ý nghĩa thực tế. Để có được kết quả tốt, các đơn vị có giá trị dị thường của các đặc điểm được nghiên cứu thường bị loại khỏi dân số. Một lần nữa, kết quả hồi quy thể hiện các đặc điểm của mẫu. Nguồn dữ liệu Tuy nhiên, mối nguy hiểm lớn nhất khi sử dụng phương pháp hồi quy trong thực tế là sai số đo lường. Nếu có thể giảm sai số đặc tả bằng cách thay đổi dạng mô hình (một loại công thức toán học) và có thể giảm sai số lấy mẫu bằng cách tăng khối lượng dữ liệu ban đầu, thì sai số đo lường trên thực tế sẽ vô hiệu hóa mọi nỗ lực định lượng mối quan hệ giữa các đặc điểm. 4. Phương pháp lựa chọn hồi quy cặp. Giả sử rằng các sai số đo lường được giảm thiểu, trọng tâm của nghiên cứu kinh tế lượng là các sai số đặc tả mô hình. Trong hồi quy cặp, chọn loại hàm toán học đồ họa; phân tích, tức là dựa trên lý thuyết về mối quan hệ đang được nghiên cứu; thực nghiệm. Khi nghiên cứu mối quan hệ giữa hai đặc điểm phương pháp đồ họa
việc lựa chọn loại phương trình hồi quy là khá rõ ràng. Nó dựa trên trường tương quan. Các loại đường cong cơ bản được sử dụng trong việc định lượng các mối quan hệ
Lớp hàm toán học mô tả mối quan hệ giữa hai biến khá rộng; các loại đường cong khác cũng được sử dụng. Phương pháp phân tích
Việc lựa chọn loại phương trình hồi quy dựa trên nghiên cứu về bản chất vật chất của mối liên hệ của các đặc điểm đang được nghiên cứu, cũng như đánh giá trực quan về bản chất của mối liên hệ. Những thứ kia. Nếu chúng ta đang nói về đường cong Laffer, thể hiện mối quan hệ giữa lũy tiến thuế và thu ngân sách, thì chúng ta đang nói về đường cong parabol, và trong phân tích vi mô, các đường đẳng lượng là hyperbol. 5. Phương pháp bình phương tối thiểu. Hồi quy tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong kinh tế lượng do cách giải thích kinh tế rõ ràng về các tham số của nó và dẫn đến việc tìm ra phương trình có dạng: trong đó x là biến giải thích (độc lập) – giá trị không ngẫu nhiên; y – đại lượng giải thích (phụ thuộc); và β là các tham số của phương trình. Giá trị lý thuyết Ước tính tham số hồi quy tuyến tính có thể được tìm thấy theo nhiều cách khác nhau. Phương pháp bình phương tối thiểu (LSM)
– một cách tiếp cận cổ điển để ước tính các tham số hồi quy tuyến tính. Hãy chuyển sang trường tương quan. Từ biểu đồ, bạn có thể xác định các giá trị tham số. Tham số a là giao điểm của đường hồi quy với trục Oy và tham số b được ước tính dựa trên độ dốc của đường hồi quy Phương pháp bình phương tối thiểu cho phép chúng ta thu được các ước tính như vậy của các tham số a và b, trong đó tổng độ lệch bình phương của các giá trị thực tế của đặc tính kết quả y từ các giá trị được tính toán (lý thuyết) Những thứ kia. Đường hồi quy được chọn sao cho tổng bình phương của khoảng cách theo chiều dọc giữa các điểm và đường này là nhỏ nhất. Ở đâu Hãy tính đạo hàm riêng của từng tham số a và b. Hãy chia cả hai vế của phương trình cho n và thu được hệ phương trình từ đó có thể tính được cả hai tham số. Từ phương pháp bình phương tối thiểu, bạn có thể thu được hai công thức khác để tìm tham số b: 1.
2.
Tham số a được ước tính theo cách giống nhau trong mọi trường hợp: Tham số b được gọi là hệ số hồi quy và cho biết trung bình biến y sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị khi biến x tăng thêm 1 đơn vị. Dấu của hệ số hồi quy thể hiện chiều của mối quan hệ: tại b<
0 – связь обратная, при b >0 – kết nối trực tiếp. Tham số a chính thức biểu thị giá trị của y tại x = 0. Nếu x không hoặc không thể có giá trị 0 thì a không có ý nghĩa. Nó có thể không có ý nghĩa kinh tế. Khi một<0
экономическая интерпретация может
оказаться абсурдной. Bạn có thể giải thích dấu hiệu cho tham số a. Nếu a>0 thì sự thay đổi tương đối trong kết quả xảy ra chậm hơn so với sự thay đổi của hệ số. Nếu một<0, то изменение
результата опережает изменение фактора. 6. Các chỉ số đo độ kín và cường độ kết nối. Phương trình hồi quy luôn được bổ sung một chỉ báo về mức độ gần gũi của kết nối. Chất lượng của hồi quy theo cặp được xác định bằng cách sử dụng hệ số tương quan tuyến tính theo cặp: Ở đâu Hệ số tương quan tuyến tính nằm trong: 1 <
Nếu hệ số tương quan là dương (Hình a), thì mối quan hệ giữa các đặc điểm là trực tiếp, tức là với sự tăng (giảm) của x thì đặc tính y tăng (giảm). Nếu hệ số tương quan âm (Hình b), thì mối quan hệ giữa các đặc điểm là nghịch đảo, tức là với sự tăng (giảm) của x thì đặc tính y giảm (tăng). Hệ số tương quan càng gần 1 thì mối quan hệ càng gần (Hình b), càng gần 0 thì mối quan hệ càng yếu (Hình a). Nếu 0< | nếu 0,3< | nếu 0,5< | nếu 0,7< | Và cuối cùng, tại r = 0 không có mối tương quan tuyến tính. Trong trường hợp này, đường hồi quy song song với trục Ox. Cần lưu ý rằng giá trị của hệ số tương quan tuyến tính đánh giá mức độ gần gũi của mối quan hệ giữa các đặc tính đang được xem xét ở dạng tuyến tính của nó. Vì vậy, việc giá trị tuyệt đối của hệ số tương quan tiệm cận với 0 không có nghĩa là không có mối liên hệ giữa các đặc tính. Với thông số kỹ thuật khác của mô hình, mối quan hệ giữa các tính năng có thể trở nên khá chặt chẽ. Để đánh giá chất lượng khớp của hàm tuyến tính, người ta tính bình phương của hệ số tương quan tuyến tính R 2
, gọi điện hệ số xác định
. Nó mô tả tỷ lệ phương sai của đặc tính hiệu dụng y, được giải thích bằng hồi quy, trong tổng phương sai của thuộc tính hiệu quả. Theo đó, giá trị 1 – R 2
đặc trưng cho tỷ lệ phương sai y gây ra do ảnh hưởng của các yếu tố khác không được tính đến trong mô hình. Theo định nghĩa của nó R 2
nhận các giá trị từ 0 đến 1, tức là 0 ≤ R 2
≤ 1. Nếu như R 2
= 0, thì điều này có nghĩa là hồi quy không mang lại kết quả gì, tức là x không cải thiện chất lượng dự đoán y so với dự đoán tầm thường Một lựa chọn cực đoan khác R 2
= 1 có nghĩa là sự phù hợp chính xác của mô hình: tất cả các điểm quan sát đều nằm trên đường hồi quy (tất cả Mặc dù tham số hồi quy b cho thấy trung bình biến y sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị khi biến x tăng thêm 1 đơn vị, nhưng nó không thể được sử dụng để đánh giá trực tiếp ảnh hưởng của đặc tính yếu tố đến kết quả do sự khác biệt về đơn vị của đo lường các chỉ số đang nghiên cứu. Với những mục đích này họ sử dụng hệ số đàn hồi
. Hệ số đàn hồi biểu thị bằng bao nhiêu phần trăm thuộc tính hiệu dụng y thay đổi khi thuộc tính yếu tố x thay đổi 1% và được tính theo công thức: Ở đâu Do hệ số đàn hồi của hàm tuyến tính không phải là giá trị không đổi mà phụ thuộc vào giá trị x tương ứng nên hệ số đàn hồi trung bình thường được tính: Mặc dù hệ số co giãn được sử dụng rộng rãi trong kinh tế lượng, nhưng có thể có trường hợp việc tính toán chúng không có ý nghĩa kinh tế. Điều này xảy ra khi, đối với các đặc điểm đang được xem xét, việc xác định sự thay đổi các giá trị theo phần trăm là vô nghĩa (ví dụ: năng suất lúa mì sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm nếu chất lượng đất được cải thiện 1%). Hệ số đàn hồi cho một số hàm toán học
7. Ước tính có ý nghĩa thống kê. Sau khi tìm thấy phương trình hồi quy, tầm quan trọng của cả phương trình nói chung và các tham số riêng lẻ của nó đều được đánh giá. Đánh giá ý nghĩa của toàn bộ phương trình.
Việc đánh giá tầm quan trọng của phương trình hồi quy nói chung được đưa ra bằng phép thử F của Fisher và dùng để xác định rằng giá trị thu được của hệ số xác định Trong hồi quy tuyến tính theo cặp, việc kiểm tra các giả thuyết về tầm quan trọng của hồi quy và các hệ số tương quan tương đương với việc kiểm tra giả thuyết về tầm quan trọng của phương trình hồi quy tuyến tính. Để kiểm tra tầm quan trọng của phương trình hồi quy nói chung, phép kiểm F của Fisher được sử dụng. Trong trường hợp hồi quy tuyến tính theo cặp, tầm quan trọng của mô hình hồi quy được kiểm tra bằng công thức sau: trong đó m là số đặc điểm của yếu tố giải thích, tức là X. Các giá trị quan sát được so sánh với các giá trị được lập bảng. trong đó α là mức ý nghĩa tương ứng với khoảng tin cậy; Nếu, ở mức ý nghĩa nhất định, F obs > F crit, thì mô hình được coi là có ý nghĩa, giả thuyết về tính chất ngẫu nhiên của các đặc điểm ước tính bị bác bỏ và ý nghĩa thống kê cũng như độ tin cậy của chúng được công nhận. Nếu F quan sát thấy Sai số chuẩn của ước lượng phương trình hồi quy.
Mặc dù OLS cung cấp cho chúng ta đường hồi quy có độ biến thiên tối thiểu nhưng không phải tất cả các quan sát đều khớp với đường hồi quy. Vì vậy, cần có một thước đo thống kê về sự biến thiên của giá trị thực tế của y so với giá trị dự đoán Sai số chuẩn của ước tính được xác định là: trong đó y là các giá trị thực tế của biến phụ thuộc đối với các giá trị đã cho của biến độc lập; m – số biến giải thích x. Hệ số này đặc trưng cho thước đo sự thay đổi của dữ liệu thực tế xung quanh đường hồi quy. Kiểm tra ý nghĩa của các tham số
Ngoài ra, tầm quan trọng của các tham số hồi quy cũng được kiểm tra. Việc kiểm tra tầm quan trọng của các tham số của các hệ số hồi quy riêng lẻ được thực hiện bằng cách sử dụng bài kiểm tra t của Sinh viên bằng cách kiểm tra giả thuyết rằng mỗi hệ số hồi quy bằng 0. Đồng thời, họ tìm hiểu xem các giá trị tham số thu được có phải là kết quả của tác động của các biến ngẫu nhiên hay không. Tầm quan trọng của các hệ số hồi quy được kiểm tra bằng các công thức sau. Đối với hệ số b: trong đó S b là sai số chuẩn của hệ số b, được xác định như sau: Đối với hệ số a tương tự: trong đó S a là sai số chuẩn của số hạng tự do a, cũng được tìm thấy theo công thức: Các giá trị tính toán của t-test được so sánh với giá trị được lập bảng của tiêu chí Nếu giá trị tính toán của kiểm định t vượt quá giá trị trong bảng của nó thì tham số đó được coi là có ý nghĩa, tức là. không được tìm thấy một cách tình cờ. 8. Giá trị dự đoán của biến y và khoảng tin cậy của dự báo. Dự báo điểm bao gồm việc đạt được giá trị dự báo Y*, được xác định bằng cách thay thế vào phương trình hồi quy Xác suất dự báo điểm được thực hiện trên thực tế là bằng 0, do đó khoảng tin cậy của dự báo được tính toán với độ tin cậy cao hơn. Dự báo theo khoảng thời gian bao gồm việc xây dựng khoảng tin cậy cho dự báo, tức là dưới và trên – ranh giới tối thiểu và tối đa có thể có của khoảng chứa giá trị chính xác cho giá trị dự đoán Y* với xác suất cho trước, tức là: У phút Khoảng tin cậy dự báo được xác định bằng các công thức sau: Ở đâu Khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy được xác định như sau: Do hệ số hồi quy trong các nghiên cứu kinh tế lượng có cách giải thích kinh tế rõ ràng nên giới hạn tin cậy của khoảng cho hệ số hồi quy không được chứa các kết quả trái ngược nhau, ví dụ -10b40 - loại mục nhập này chỉ ra rằng giá trị thực của hệ số hồi quy đồng thời chứa các giá trị dương và âm và thậm chí bằng 0, không thể có. Sau đó tham số được lấy bằng 0. Chất lượng của mô hình sẽ được đánh giá bằng tiêu chí Sinh viên và Fisher bằng cách so sánh các giá trị được tính toán với các giá trị được lập bảng. Để đánh giá chất lượng của mô hình bằng tiêu chí Sinh viên, giá trị thực tế của tiêu chí này (t quan sát) so với giá trị tới hạn t crđược lấy từ bảng giá trị t có tính đến mức ý nghĩa đã cho ( α = 0,05) và số bậc tự do (n - 2). Nếu như t quan sát > t cr, thì giá trị thu được của hệ số tương quan cặp được coi là đáng kể. Giá trị tới hạn tại và bằng Hãy kiểm tra ý nghĩa của hệ số xác định bằng cách sử dụng F-Tiêu chí Fisher. Hãy tính số liệu thống kê F theo công thức: m = 3– số tham số trong phương trình hồi quy; N=37– số quan sát trong quần thể mẫu. Mô hình toán học của phân bố thống kê F-statistics là phân phối Fisher với bậc tự do. Giá trị tới hạn của thống kê này đối với và bậc tự do bằng . Vì vậy, mô hình giải thích 99.8%
tổng phương sai tính trạng Y. Điều này cho thấy mô hình được trang bị là phù hợp. Tính toán các giá trị dự đoán và tổng bình phương độ lệch. Chúng ta hãy nhập vào ô Q2 công thức =$F$54*N2+$E$54*O2(tính toán các giá trị dự đoán), sau đó sao chép nó vào các ô Q3:Q38. Đến ô R2 công thức =(P2-Q2)^2(tính tổng bình phương độ lệch), sau đó chép vào các ô R3:R38, và tính tổng các giá trị thu được trong ô R39. Mẫu báo cáo Tùy chọn Câu hỏi kiểm soát Hồi quy theo cặp 1. Hồi quy cặp nghĩa là gì? 2. Khi xây dựng phương trình hồi quy cần giải quyết những vấn đề gì? 3. Sử dụng phương pháp nào để lựa chọn loại mô hình hồi quy? 4. Hàm nào thường được sử dụng nhất để xây dựng phương trình cặp? 5. Nô-ê hồi quy? 6. Hệ phương trình chuẩn của phương pháp tối thiểu có dạng gì? 7. Hình vuông trong trường hợp hồi quy tuyến tính? 8. Chỉ số xác định được tính như thế nào và nó thể hiện điều gì? 9. Tầm quan trọng của phương trình hồi quy được kiểm tra như thế nào? 10. Kiểm tra tầm quan trọng của các hệ số phương trình hồi quy như thế nào? 11. Khái niệm khoảng tin cậy của hệ số hồi quy. 12. Khái niệm dự báo điểm và khoảng bằng phương trình hồi quy tuyến tính. 13. Cách tính hệ số đàn hồi và nó thể hiện điều gì E, hệ số đàn hồi trung bình Ý
? Hồi quy bội 1. Hồi quy bội có nghĩa là gì? 2. Mô hình hồi quy tuyến tính bội khác với mô hình hồi quy tuyến tính ghép đôi như thế nào? Viết phương trình hồi quy tuyến tính bội. 3. Khi xây dựng phương trình hồi quy cần giải quyết những vấn đề gì? 4. Vấn đề gì được giải quyết khi xác định mô hình? 5. Các yêu cầu đối với các yếu tố có trong phương trình hồi quy là gì? 6. Sự cộng tuyến của các yếu tố có ý nghĩa gì? 7. Kiểm tra tính cộng tuyến như thế nào? 8. Những phương pháp nào được sử dụng để khắc phục mối tương quan giữa các yếu tố? 9. Hàm nào thường được sử dụng nhất để xây dựng phương trình hồi quy bội? 10. Công thức nào được sử dụng để tính chỉ số tương quan bội? 11. Chỉ số xác định bội số được tính như thế nào? 12. Hệ số xác định là gì? Làm thế nào nó có thể được sử dụng để đánh giá tính phù hợp của mô hình? 13. Hệ số tương quan bội thấp có nghĩa là gì? 14. Tầm quan trọng của phương trình hồi quy và các hệ số riêng lẻ được kiểm tra như thế nào? 15. Các giả thuyết được xây dựng như thế nào để kiểm tra tầm quan trọng của các tham số mô hình? 16. Phương trình hồi quy từng phần được xây dựng như thế nào? 17. Hệ số đàn hồi từng phần trung bình được tính như thế nào? 18. Khoảng tin cậy được xây dựng cho các tham số mô hình như thế nào? 19. Tính đồng nhất của một dãy số dư có nghĩa là gì? 20. Giả thuyết về tính đồng nhất của một số phần dư được kiểm định như thế nào? 21. Biến phụ thuộc trong mô hình được gọi là gì? 22. Các biến độc lập được gọi trong mô hình là gì? 23. Kể tên phương pháp chính để xây dựng mô hình. 24. Viết mô hình hồi quy bội dạng tổng quát với 3 biến độc lập 25. Viết tổng bình phương độ lệch của mô hình (công thức) 26. RSS là gì (định nghĩa và công thức) 27. Làm thế nào để kiểm tra ý nghĩa tổng thể của mô hình được xây dựng? 28. Làm thế nào để kiểm tra ý nghĩa của hệ số đối với biến X_3? 29. Xây dựng ý nghĩa kinh tế của hệ số ví dụ với biến X_5 30. “Mô hình ngắn” của hồi quy bội là gì Văn học 1. Shanchenko, N. I. Kinh tế lượng: hội thảo trong phòng thí nghiệm: sách giáo khoa / N. I. Shanchenko. – Ulyanovsk: UlSTU, 2011. – 117 tr. 2. Davnis V.V., Tinyakova V.I. Hội thảo máy tính về mô hình kinh tế lượng. Voronezh, 2003. - 63 tr. Dữ liệu ban đầu mô tả giá bán của một sản phẩm nhất định tại một số thời điểm nhất định. Cần xây dựng mô hình hồi quy về động thái thay đổi của chỉ số này. Các yếu tố được cho là ảnh hưởng đến giá trị này bao gồm giá bán của sản phẩm thay thế, khối lượng bán sản phẩm, số lượng chi phí quảng cáo và chi phí quảng cáo trung bình. Giá bán là một đại lượng phụ thuộc, ký hiệu là Y. Các yếu tố ảnh hưởng (có lẽ) đến giá trị của Y sẽ được ký hiệu là X i: X 1 – giá của sản phẩm thay thế, X 2 – khối lượng bán hàng, X 3 – khối lượng chi phí quảng cáo, X 4 – chi phí quảng cáo trung bình. Dữ liệu ban đầu
,
.
,
- giá trị lý thuyết của đặc tính tổng hợp, được tìm dựa trên phương trình hồi quy;
– một biến ngẫu nhiên đặc trưng cho độ lệch của giá trị thực của đặc tính thu được so với giá trị lý thuyết được tìm thấy bằng phương trình hồi quy.
còn gọi là nhiễu loạn. Nó bao gồm ảnh hưởng của các yếu tố không được tính đến trong mô hình, sai số ngẫu nhiên và đặc điểm đo lường. Sự hiện diện của một biến ngẫu nhiên trong mô hình được tạo ra bởi ba nguồn:
có thể được thực hiện theo ba cách:
,
– thuật ngữ ngẫu nhiên (lỗi hồi quy);
biểu thị đường hồi quy. Việc xây dựng hồi quy tuyến tính bắt nguồn từ việc ước tính các tham số a và b của phương trình 
.
, trong đó dy là số gia của hệ số y và dx là số gia của hệ số x.
tối thiểu:
.
hoặc 
.
hoặc
,
,
– độ lệch chuẩn, biểu thị mức độ phân tán của các giá trị trong tập hợp giá trị x và y. Giá trị lớn của độ lệch chuẩn cho thấy mức độ chênh lệch lớn của các giá trị trong tập hợp được trình bày với giá trị trung bình của tập hợp; tương ứng, một giá trị nhỏ cho thấy các giá trị trong tập hợp được nhóm xung quanh giá trị ở giữa.
< 1.
|
<0,3, то связь между признаками практически
отсутствует,
|
<0,5, то связь слабая,
|
<0,7, то связь умеренная,
|
<1, то связь сильная.
.
=0). Gần gũi hơn R 2
đến 1 thì chất lượng phù hợp của mô hình càng tốt và độ chính xác càng cao 
.
,
- đạo hàm bậc nhất, đặc trưng cho tỷ lệ tăng trong kết quả và hệ số cho hình thức truyền thông tương ứng.
.
đó không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên, tức là liệu mô hình toán học biểu diễn mối quan hệ giữa các biến có tương ứng với dữ liệu thực nghiệm hay không và liệu các biến giải thích có trong phương trình (một hoặc nhiều) có đủ để mô tả biến phụ thuộc hay không.
,
,
. Thước đo độ biến thiên so với đường hồi quy được gọi là sai số chuẩn của ước tính
.
,
– giá trị lý thuyết/dự đoán của biến phụ thuộc đối với các giá trị đã cho của biến độc lập;
,
.
,
.
, trong đó k = n–m–1 bậc tự do và mức ý nghĩa tương ứng α.
giá trị dự đoán tương ứng X*:
.
– sai số chuẩn của các dự đoán cho hồi quy theo cặp.
.
tiêu chí Fisher
canxi F
F cr
Phương trình hồi quy
8916.383
3.276
đầy đủ
X 2
X 5
Y
y(x)
(Y - y(x)) 2
605.1
2063.2
1626.7
1589.7
1367.523
620.1
2143.7
1602.5
1650.5
2303.318
2447.7
1880.7
1914.5
1144.709
862.1
2406.4
1982.7
1876.9
11189.53
958.4
2592.9
2026.7
106.5821
1488.9
2193.9
2180.4
182.342
1231.5
2529.7
2152.1
2020.4
17335.88
1429.6
2644.9
2133.1
8814.026
1679.5
2793.7
2344.4
2277.8
4436.216
1326.2
2669.2
2341.7
2135.8
42415.15
1456.8
2211.9
2282.7
5014.463
2523.6
2990.5
2629.8
2543.9
7377.384
2659.8
2017.5
2059.0
1722.637
923.8
2636.6
2009.4
2053.4
1939.955
1173.3
2943.1
2312.8
2792.24
1156.7
2890.9
2400.1
2272.4
16298.85
1450.2
3051.5
2508.1
2432.0
5784.146
1845.2
2684.1
2633.3
2581.453
1566.4
3052.6
2736.6
2449.8
82275.65
1729.7
3349.7
2824.5
2689.8
18152.31
1987.3
3456.3
2880.2
2804.9
5676.928
1902.7
3731.2
2812.9
2992.6
32297.9
1839.1
3517.8
2704.2
2828.0
15336.69
3953.7
3823.1
3224.2
3358.1
17922.28
1351.2
3482.9
2584.7
2731.6
21584.07
1185.3
3347.6
2466.7
2609.0
20246.66
1715.5
3585.4
2928.3
2859.2
4768.047
1536.4
3678.3
3036.4
2900.8
18389.81
1823.1
3801.6
3021.1
3032.3
124.6986
2452.1
4002.1
3237.6
3269.8
1034.273
2076.6
3990.3
3247.1
3206.5
1647.633
2129.2
3436.9
3375.5
3767.099
2502.7
4154.2
3472.8
3387.8
7220.377
2238.7
4322.7
3504.1
3472.0
1028.291
2417.6
4623.1
3357.1
3716.7
129321.2
3838.4
4817.9
4034.7
4065.3
937.7363
1468.6
3450.4
3585.0
18128.14
∑
532666.2
Biểu phí quảng cáo và đặc điểm tạp chí
Tên tạp chí Y, thuế quan (một trang quảng cáo màu), USD. X 1, khán giả dự kiến, nghìn người X 2, tỷ lệ nam giới X 3, thu nhập trung bình của gia đình, đô la
Audubon
25 315
51,1
38 787
Ngôi nhà và khu vườn tốt hơn
198 000
34 797
22,1
Tuần kinh doanh
68,1
63 667
khắp thế giới
15 452
17,3
44 237
Elle
55 540
12,5
47 211
doanh nhân
40 355
2 476
60,4
47 579
Ngài
71,3
44 715
Vòng tròn gia đình
147 500
24 539
38 759
đầu tiên dành cho phụ nữ
28 059
3 856
3,6
43 850
Forbes
59 340
68,8
66 606
Vận may
3 891
68,8
58 402
Sự hào nhoáng
85 080
7,8
Thông báo Goff
6 250
78,9
Dịch vụ dọn phòng tốt
166 080
25 306
12,6
38 335
người sành ăn
49 640
29,6
57 060
chợ Harper
52 805
2 621
11,5
44 992
Inc.
70 825
66,9
Tài chính cá nhân của Kiplinger
65,1
63 876
Tạp chí Trang chủ Ladies"
127 000
6,8
Mạng sống
63 750
14 220
46,9
tiểu thư
55 910
Cuộc sống của Martha Stewart
93 328
4 849
16,6
McCalls
7,6
33 823
Tiền bạc
98 250
60,6
Xu hướng xe máy
79 800
5 281
88,5
48 739
Địa lý Quốc gia
44 326
Lịch sử tự nhiên
Tuần tin tức
148 800
20 720
53,5
53 025
Tạp chí phụ huynh
72 820
18,2
Máy tính PC
40 675
57 916
Mọi người
125 000
33 668
Cơ học phổ biến
86,9
Thông báo của độc giả
42,4
38 060
Sổ đỏ
95 785
13 212
8,9
41 156
Đá lăn
78 920
8 638
59,8
43 212
Thế giới của Á hậu
36 850
2 078
62,9
60 222
khoa học Mỹ
37 500
2 704
mười bảy
71 115
5 738
37 034
Trượt tuyết
32 480
2 249
64,5
58 629
Tiền thông minh
42 900
2 224
63,4
Smithsonian
73 075
8 253
47,9
Bản tóm tắt Opera xà phòng
35 070
7 227
10,3
Những môn thể thao được minh họa
162 000
78,8
45 897
Hoàng hôn
56 000
5 276
38,7
52 524
Thiếu niên
53 250
3 057
15,4
Người New York
62 435
3 223
48,9
Thời gian
162 000
22 798
52,4
Câu chuyện có thật
12,2
Hướng dẫn sử dụng tivi
42,8
37 396
CHÚNG TA. Tin tức & Báo cáo Thế giới
98 644
9 825
57,5
52 018
Hội chợ phù hoa
67 890
4 307
27,7
tạp chí thời trang
63 900
12,9
44 242
Ngày của phụ nữ
137 000
22 747
6,7
Phụ nữ làm việc
87 500
6,3
44 674
YM
73 270
14,4
43 696
Giá trị trung bình 83 534
39,7
47 710
Độ lệch chuẩn
25,9
10 225
