Factorizarea - eliminarea factorului comun. Calculator online Simplificarea unui polinom

Definiția 1

Mai întâi să ne amintim Reguli pentru înmulțirea unui monom cu un monom:

Pentru a înmulți un monom cu un monom, trebuie mai întâi să înmulțiți coeficienții monomiilor, apoi, folosind regula înmulțirii puterilor cu aceeași bază, să înmulțiți variabilele incluse în monomii.

Exemplul 1

Aflați produsul monomiilor $(2x)^3y^2z$ și $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Soluţie:

Mai întâi, să calculăm produsul coeficienților

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ în această sarcină am folosit regula pentru înmulțirea unui număr cu o fracție - pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie sa se inmulteasca numarul cu numaratorul fractiei, iar numitorul pus fara modificari

Acum să folosim proprietatea de bază a unei fracții - numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la același număr, diferit de $0$. Să împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la $2$, adică reducem această fracție cu $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Rezultatul rezultat s-a dovedit a fi o fracție improprie, adică una în care numărătorul este mai mare decât numitorul.

Să transformăm această fracție izolând întreaga parte. Să ne amintim că pentru a izola o parte întreagă, este necesar să notăm restul diviziunii în numărătorul părții fracționale, divizorul în numitor.

Am găsit coeficientul viitorului produs.

Acum vom înmulți secvențial variabilele $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aici am folosit regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Atunci rezultatul înmulțirii monomiilor va fi:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Apoi, pe baza acestei reguli, puteți efectua următoarea sarcină:

Exemplul 2

Reprezentați un polinom dat ca produsul dintre un polinom și un monom $(4x)^3y+8x^2$

Să reprezentăm fiecare dintre monomiile incluse în polinom ca produsul a două monomii pentru a izola un monomiu comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monomiu.

Mai întâi, să începem cu primul monom $(4x)^3y$. Să factorizăm coeficientul său în factori simpli: $4=2\cdot 2$. La fel vom proceda cu coeficientul celui de-al doilea monom $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Rețineți că doi factori $2\cdot 2$ sunt incluși în primul și al doilea coeficient, ceea ce înseamnă $2\cdot 2=4$ - acest număr va fi inclus în monomiul general ca coeficient

Acum să observăm că în primul monom există $x^3$, iar în al doilea există aceeași variabilă la puterea lui $2:x^2$. Aceasta înseamnă că este convenabil să reprezentați variabila $x^3$ astfel:

Variabila $y$ este inclusă într-un singur termen al polinomului, ceea ce înseamnă că nu poate fi inclusă în monomul general.

Să ne imaginăm primul și al doilea monom inclus în polinom ca produs:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Rețineți că monomul comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monom, este $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Acum aplicăm legea distributivă a înmulțirii, apoi expresia rezultată poate fi reprezentată ca un produs al doi factori. Unul dintre multiplicatori va fi multiplicatorul total: $4x^2$ iar celălalt va fi suma multiplicatorilor rămași: $xy + 2$. Mijloace:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Această metodă se numește factorizarea prin scoaterea unui factor comun.

Factorul comun în acest caz a fost monomiul $4x^2$.

Algoritm

Nota 1

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomiilor incluse în polinom - va fi coeficientul factorului-monoim comun, pe care îl vom scoate dintre paranteze

Un monom alcătuit din coeficientul găsit la paragraful 2 și variabilele găsite la paragraful 3 va fi un factor comun. care poate fi scos din paranteze ca factor comun.

Exemplul 3

Scoateți factorul comun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Soluţie:

Să găsim mcd-ul coeficienților pentru aceasta vom descompune coeficienții în factori simpli

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Și găsim produsul celor care sunt incluse în extinderea fiecăruia:

Identificați variabilele care alcătuiesc fiecare monom și selectați variabila cu cel mai mic exponent

$a^3=a^2\cdot a$

Variabila $b$ este inclusă numai în al doilea și al treilea monom, ceea ce înseamnă că nu va fi inclusă în factorul comun.

Să compunem un monom format din coeficientul găsit la pasul 2, variabilele găsite la pasul 3, obținem: $3a$ - acesta va fi factorul comun. Apoi:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Definiția 1

Mai întâi să ne amintim Reguli pentru înmulțirea unui monom cu un monom:

Exemplul 1

Aflați produsul monomiilor $(2x)^3y^2z$ și $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Soluţie:

Mai întâi, să calculăm produsul coeficienților

Rezultatul rezultat s-a dovedit a fi o fracție improprie, adică una în care numărătorul este mai mare decât numitorul.

Am găsit coeficientul viitorului produs.

Acum vom înmulți secvențial variabilele $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aici am folosit regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Atunci rezultatul înmulțirii monomiilor va fi:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Apoi, pe baza acestei reguli, puteți efectua următoarea sarcină:

Exemplul 2

Reprezentați un polinom dat ca produsul dintre un polinom și un monom $(4x)^3y+8x^2$

Să reprezentăm fiecare dintre monomiile incluse în polinom ca produsul a două monomii pentru a izola un monomiu comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monomiu.

Variabila $y$ este inclusă într-un singur termen al polinomului, ceea ce înseamnă că nu poate fi inclusă în monomul general.

Să ne imaginăm primul și al doilea monom inclus în polinom ca produs:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Rețineți că monomul comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monom, este $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Această metodă se numește factorizarea prin scoaterea unui factor comun.

Factorul comun în acest caz a fost monomiul $4x^2$.

Algoritm

Nota 1

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomiilor incluse în polinom - va fi coeficientul factorului-monoim comun, pe care îl vom scoate dintre paranteze

Un monom alcătuit din coeficientul găsit la paragraful 2 și variabilele găsite la paragraful 3 va fi un factor comun. care poate fi scos din paranteze ca factor comun.

Exemplul 3

Scoateți factorul comun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Soluţie:

Să găsim mcd-ul coeficienților pentru aceasta vom descompune coeficienții în factori simpli

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Și găsim produsul celor care sunt incluse în extinderea fiecăruia:

Identificați variabilele care alcătuiesc fiecare monom și selectați variabila cu cel mai mic exponent

$a^3=a^2\cdot a$

Variabila $b$ este inclusă numai în al doilea și al treilea monom, ceea ce înseamnă că nu va fi inclusă în factorul comun.

Să compunem un monom format din coeficientul găsit la pasul 2, variabilele găsite la pasul 3, obținem: $3a$ - acesta va fi factorul comun. Apoi:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

În această lecție, ne vom familiariza cu regulile de inserare a factorului comun și vom învăța cum să-l găsim în diverse exemple și expresii. Să vorbim despre modul în care o operație simplă, scoțând factorul comun din paranteze, vă permite să simplificați calculele. Vom consolida cunoștințele și abilitățile dobândite, analizând exemple de diferite complexități.

Care este un factor comun, de ce să-l căutați și în ce scop este scos dintre paranteze? Să răspundem la aceste întrebări privind un exemplu simplu.

Să rezolvăm ecuația. Partea stângă a ecuației este un polinom format din termeni similari. Partea cu scrisoare este comună acestor termeni, ceea ce înseamnă că va fi factorul comun. Să-l scoatem din paranteze:

În acest caz, scoaterea factorului comun din paranteze ne-a ajutat să transformăm polinomul într-un monom. Astfel, am putut simplifica polinomul și transformarea lui ne-a ajutat să rezolvăm ecuația.

În exemplul luat în considerare, factorul comun era evident, dar ar fi atât de ușor să-l găsim într-un polinom arbitrar?

Să găsim sensul expresiei: .

În acest exemplu, scoaterea factorului comun dintre paranteze a simplificat foarte mult calculul.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să dovedim divizibilitatea în expresii.

Expresia rezultată este divizibilă cu , așa cum este necesar pentru a fi demonstrat. Încă o dată, luarea factorului comun ne-a permis să rezolvăm problema.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm că expresia este divizibilă cu pentru orice număr natural: .

Expresia este produsul a două numere naturale adiacente. Unul dintre cele două numere va fi cu siguranță par, ceea ce înseamnă că expresia va fi divizibilă cu .

Ne-am uitat la exemple diferite, dar am folosit aceeași metodă de soluție: am scos factorul comun din paranteze. Vedem că această operațiune simplă simplifică foarte mult calculele. A fost ușor să găsești un factor comun pentru aceste cazuri speciale, dar ce să faci în cazul general, pentru un polinom arbitrar?

Amintiți-vă că un polinom este o sumă de monomii.

Luați în considerare polinomul . Acest polinom este suma a două monomii. Un monom este produsul dintre un număr, un coeficient și o parte de litere. Astfel, în polinomul nostru, fiecare monom este reprezentat de produsul unui număr și al puterilor, produsul factorilor. Factorii pot fi aceiași pentru toate monomiile. Acești factori trebuie să fie determinați și scoși din paranteză. În primul rând, găsim factorul comun pentru coeficienți, care sunt întregi.

A fost ușor să găsiți factorul comun, dar să definim mcd-ul coeficienților: .

Să ne uităm la un alt exemplu: .

Să găsim , ceea ce ne va permite să determinăm factorul comun pentru această expresie: .

Am derivat o regulă pentru coeficienții întregi. Trebuie să le găsiți gcd-ul și să-l scoateți din paranteză. Să consolidăm această regulă rezolvând încă un exemplu.

Ne-am uitat la regula de atribuire a unui factor comun pentru coeficienții întregi, să trecem la partea cu litere. În primul rând, căutăm acele litere care sunt incluse în toate monomiile și apoi determinăm cel mai înalt grad al literei care este inclusă în toate monomiile: .

În acest exemplu, a existat o singură variabilă de literă comună, dar pot fi mai multe, ca în exemplul următor:

Să complicăm exemplul prin creșterea numărului de monomii:

După ce am scos factorul comun, am convertit suma algebrică într-un produs.

Ne-am uitat la regulile de scădere pentru coeficienții întregi și variabilele cu litere separat, dar cel mai adesea trebuie să le aplicați împreună pentru a rezolva exemplul. Să ne uităm la un exemplu:

Uneori poate fi dificil să determinați ce expresie este lăsată în paranteze, să ne uităm la un truc ușor care vă va permite să rezolvați rapid această problemă.

Factorul comun poate fi și valoarea dorită:

Factorul comun poate fi nu numai un număr sau un monom, ci și orice expresie, cum ar fi în ecuația următoare.

Lecție de algebră în clasa a VII-a.

Subiect: „Între paranteze factorul comun.”

Manual Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. si etc.

Obiectivele lecției:

Educational –

identificarea nivelului de stăpânire de către elevi a unui complex de cunoștințe și deprinderi în utilizarea abilităților de înmulțire și împărțire;

dezvolta capacitatea de a aplica factorizarea unui polinom prin plasarea factorului comun din paranteze;

aplicați eliminarea factorului comun din paranteze la rezolvarea ecuațiilor.

De dezvoltare –

promovează dezvoltarea observației, capacitatea de a analiza, compara și trage concluzii;

dezvoltarea abilităților de autocontrol la îndeplinirea sarcinilor.

Educational -

promovarea responsabilitatii, a activitatii, a independentei, a stimei de sine obiective.

Tip de lecție: combinate.

Rezultate cheie ale învățării:

să fie capabil să scoată factorul comun din paranteze;

să poată aplica această metodă la rezolvarea exercițiilor.

Mișcarelecţie.

1 modul (30 min).

1. Organizarea timpului.

Salutari;

pregătirea elevilor pentru muncă.

2. Verificarea temelor.

Verificarea disponibilității (la serviciu), discutarea problemelor apărute.

3 . Actualizarea cunoștințelor de bază.

N Găsiți GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

Ce este GCD?

Cum se realizează împărțirea puterilor pe aceleași baze?

Cum se realizează înmulțirea puterilor cu aceleași baze?

Pentru aceste grade (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Numiți gradul cu cel mai mic exponent, aceleași baze, aceleași exponenți

Să repetăm legea distributivă a înmulțirii. Notează-l sub formă de scrisoare

a (b + c) = ab + ac

* - semnul înmulțirii

Finalizați sarcini orale privind aplicarea proprietății distributive. (Pregătiți-vă pe tablă).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)

Sarcinile sunt scrise pe o tablă închisă, băieții rezolvă și scriu rezultatul pe tablă. Probleme care implică înmulțirea unui monom cu un polinom.

Pentru început, vă ofer un exemplu de înmulțire a unui monom cu un polinom:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Nu spălați!

Scrieți regula de înmulțire a unui monom cu un polinom sub forma unei diagrame.

Pe tablă apare o notă:

Pot scrie această proprietate ca:

În această formă, am folosit deja notația pentru o modalitate simplă de a evalua expresiile.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Restul sunt orale, verificați răspunsurile:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Ce lege te-a ajutat să găsești o modalitate simplă de a calcula? (Distribuție)

Într-adevăr, legea distributivă ajută la simplificarea expresiilor.

4 . Stabilirea scopului și a temei lecției. Numărarea verbală. Ghiciți subiectul lecției.

Lucrați în perechi.

Carduri pentru cupluri.

Rezultă că factorizarea unei expresii este operația inversă a înmulțirii termen cu termen a unui monom cu un polinom.

Să ne uităm la același exemplu pe care l-a rezolvat elevul, dar în ordine inversă. Factorizarea înseamnă scoaterea din paranteze a factorului comun.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Astăzi, în lecție, ne vom uita la conceptele de factorizare a unui polinom și scoaterea factorului comun din paranteze și vom învăța să aplicăm aceste concepte atunci când facem exerciții.

Algoritm pentru scoaterea factorului comun din paranteze

Cel mai mare divizor comun al coeficienților.

Variabile cu aceleași litere.

Adăugați cel mai mic grad la variabilele eliminate.

Apoi monomiile rămase ale polinomului sunt scrise între paranteze.

Cel mai mare divizor comun a fost găsit în clasele inferioare, variabila comună în cel mai mic grad poate fi văzută imediat. Și pentru a găsi rapid polinomul rămas între paranteze, trebuie să exersați folosind numărul 657.

5. Învățare primară cu vorbirea cu voce tare.

Nr. 657 (1 coloană)

Modulul 2 (30 min).

1. Rezultatul primelor 30 de minute.

A) Ce transformare se numește factorizarea unui polinom?

B) Ce proprietate se bazează pe scoaterea din paranteze a factorului comun?

Î) Cum este scos factorul comun dintre paranteze?

2. Consolidare primară.

Expresiile sunt scrise pe tablă. Găsiți erori în aceste egalități, dacă există, și corectați-le.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3y).

4) a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Verificarea inițială a înțelegerii.

Lucrul cu autotestarea. 2 persoane pe partea din spate

Scoateți factorul comun din paranteze:

Verificați verbal prin înmulțire.

4. Pregătirea elevilor pentru activități generale.

Să scoatem factorul polinom din paranteze (explicația profesorului).

Factorizați polinomul.

În această expresie vedem că există unul și același factor, care poate fi scos din paranteze. Deci, obținem:

Expresiile și sunt opuse, așa că în unele cazuri puteți folosi această egalitate . Schimbăm semnul de două ori! Factorizați polinomul

Există aici expresii opuse și, folosind identitatea anterioară, obținem următoarea intrare: .

Și acum vedem că factorul comun poate fi scos din paranteze.

Care este un factor comun, de ce să-l căutați și în ce scop este scos dintre paranteze? Să răspundem la aceste întrebări privind un exemplu simplu.

În exemplul luat în considerare, factorul comun era evident, dar ar fi atât de ușor să-l găsim într-un polinom arbitrar?

Să găsim sensul expresiei: .

În acest exemplu, scoaterea factorului comun dintre paranteze a simplificat foarte mult calculul.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să dovedim divizibilitatea în expresii.

Expresia rezultată este divizibilă cu , așa cum este necesar pentru a fi demonstrat. Încă o dată, luarea factorului comun ne-a permis să rezolvăm problema.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm că expresia este divizibilă cu pentru orice număr natural: .

Expresia este produsul a două numere naturale adiacente. Unul dintre cele două numere va fi cu siguranță par, ceea ce înseamnă că expresia va fi divizibilă cu .

Amintiți-vă că un polinom este o sumă de monomii.

A fost ușor să găsiți factorul comun, dar să definim mcd-ul coeficienților: .

Să ne uităm la un alt exemplu: .

Să găsim , ceea ce ne va permite să determinăm factorul comun pentru această expresie: .

Am derivat o regulă pentru coeficienții întregi. Trebuie să le găsiți gcd-ul și să-l scoateți din paranteză. Să consolidăm această regulă rezolvând încă un exemplu.

În acest exemplu, a existat o singură variabilă de literă comună, dar pot fi mai multe, ca în exemplul următor:

Să complicăm exemplul prin creșterea numărului de monomii:

După ce am scos factorul comun, am convertit suma algebrică într-un produs.

Uneori poate fi dificil să determinați ce expresie este lăsată în paranteze, să ne uităm la un truc ușor care vă va permite să rezolvați rapid această problemă.

Factorul comun poate fi și valoarea dorită:

Factorul comun poate fi nu numai un număr sau un monom, ci și orice expresie, cum ar fi în ecuația următoare.