Interpolare liniară online. Cum se face interpolarea

Interpolarea este un tip de aproximare în care curba funcției construite trece exact prin punctele de date disponibile.

Există și o sarcină apropiată de interpolare, care constă în aproximarea unora functie complexa o altă funcție, mai simplă. Dacă o anumită funcție este prea complexă pentru calcule productive, puteți încerca să-i calculați valoarea în mai multe puncte și din ele să construiți, adică să interpolați, mai multe funcție simplă. Desigur, utilizarea unei funcții simplificate nu produce rezultate la fel de precise ca funcția originală. Dar, în unele clase de probleme, câștigul obținut în simplitate și viteza de calcul poate depăși eroarea rezultată în rezultate.

De asemenea, merită menționat un tip complet diferit de interpolare matematică cunoscut sub numele de interpolare operator. Lucrările clasice despre interpolarea operatorilor includ teorema Riesz-Thorin și teorema Marcinkiewicz, care stau la baza multor alte lucrări.

Definiții

Să considerăm un sistem de puncte necoincidente () dintr-o anumită regiune. Fie ca valorile funcției să fie cunoscute numai în aceste puncte:

Problema de interpolare este de a găsi o funcție dintr-o clasă dată de funcții astfel încât

Exemplu

1. Să avem funcția tabelului, precum cel descris mai jos, care pentru mai multe valori determină valorile corespunzătoare:

Interpolarea ne ajută să aflăm ce valoare poate avea o astfel de funcție într-un alt punct decât cel indicat (de exemplu, la X = 2,5).

Până acum sunt multe în diverse moduri interpolare. Alegerea celui mai potrivit algoritm depinde de răspunsurile la întrebări: cât de precisă este metoda aleasă, care este costul utilizării acesteia, cât de netedă este funcția de interpolare, câte puncte de date necesită etc.

2. Găsiți valoarea intermediară (prin interpolare liniară).

Metode de interpolare

Interpolarea celui mai apropiat vecin

Cea mai simplă metodă de interpolare este interpolarea celui mai apropiat vecin.

Interpolare prin polinoame

În practică, cel mai des este folosită interpolarea prin polinoame. Acest lucru se datorează în primul rând faptului că polinoamele sunt ușor de calculat, derivatele lor sunt ușor de găsit analitic, iar mulțimea de polinoame este densă în spațiul funcțiilor continue (teorema Weierstrass).

• IMN-1 și IMN-2
• Polinomul Lagrange (polinomul de interpolare)
• Conform schemei lui Aitken

Interpolare inversă (calcularea x datând y)

• Interpolare inversă folosind formula lui Newton

Interpolarea unei funcții a mai multor variabile

Alte metode de interpolare

• Interpolare trigonometrică

Concepte înrudite

• Extrapolare - metode de găsire a punctelor în exterior interval specificat(extensie curba)
• Aproximare - metode de construire a curbelor aproximative

Vezi si

• Netezirea datelor experimentale

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce înseamnă „Interpolare” în alte dicționare:

1) o modalitate de a determina, dintr-o serie de valori date ale oricărei expresii matematice, valorile sale intermediare; deci, de exemplu, prin raza de zbor a ghiulei la un unghi de elevație al axei canalului tunului de 1°, 2°, 3°, 4° etc., poate fi determinat folosind... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Inserare, interpolare, includere, căutare Dicţionar de sinonime ruse. interpolare, vezi caseta Dicționar de sinonime ale limbii ruse. Ghid practic. M.: Limba rusă. Z. E. Alexandrova. 2... Dicţionar de sinonime

interpolare- Calculul valorilor intermediare între două puncte cunoscute. De exemplu: liniar liniar interpolare exponențială interpolare exponențială Procesul de ieșire a unei imagini color atunci când pixelii aparținând regiunii dintre două culori... ... Ghidul tehnic al traducătorului

- (interpolare) Estimarea valorii unei marimi necunoscute situata intre doua puncte dintr-o serie de marimi cunoscute. De exemplu, cunoscând indicatorii populației țării obținuți în urma unui recensământ al populației efectuat la intervale de 10 ani, puteți... ... Dicţionar de termeni de afaceri

Din latină, de fapt, „fals”. Acesta este numele dat modificărilor eronate sau inserărilor ulterioare în manuscrise făcute de copişti sau cititori. Acest termen este folosit mai ales des în critica manuscriselor scriitorilor antici. În aceste manuscrise...... Enciclopedie literară

Găsirea valorilor intermediare ale unui anumit model (funcție) pe baza unui număr de valori cunoscute ale acestuia. În engleză: Interpolation Vezi și: Transformări de date Dicţionar financiar Finam... Dicţionar financiar

interpolare- și, f. interpolare f. lat. modificarea interpolației; alterare, deformare. 1. Inserție de origine ulterioară în care l. text care nu aparține originalului. BAS 1. În manuscrisele antice există multe interpolări introduse de scribi. Ush. 1934. 2… Dicţionar istoric Galicisme ale limbii ruse

INTERPOLARE- (interpolatio), completare de empiric. o serie de valori ale unei mărimi cu valorile intermediare lipsă. Interpolarea se poate face în trei moduri: matematic, grafic. si logic. Ele se bazează pe o ipoteză comună că... Marea Enciclopedie Medicală

- (din latinescul interpolatio schimbare, alterare), găsirea valorilor intermediare ale unei mărimi pe baza unora dintre valorile ei cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor funcției y = f(x) în punctele x situate între punctele x0 și xn, x0 ... Enciclopedie modernă

- (din latinescul interpolatio change alteration), la matematică și statistică, găsirea valorilor intermediare ale unei mărimi pe baza unora dintre valorile ei cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor funcției f(x) în punctele x situate între punctele xo x1 ... xn, prin... ... Dicţionar enciclopedic mare

Există o situație când într-o serie de valori cunoscute trebuie să găsiți rezultate intermediare. În matematică aceasta se numește interpolare. ÎN Excel dat Metoda poate fi folosită atât pentru datele tabulare, cât și pentru trasarea graficelor. Să ne uităm la fiecare dintre aceste metode.

Condiția principală în care poate fi utilizată interpolarea este ca valoarea dorită să fie în interiorul matricei de date și nu în afara limitei acesteia. De exemplu, dacă avem un set de argumente 15, 21 și 29, atunci putem folosi interpolarea pentru a găsi funcția pentru argumentul 25. Dar nu mai există nicio modalitate de a găsi valoarea corespunzătoare pentru argumentul 30. Aceasta este principala diferență dintre această procedură și extrapolare.

Metoda 1: Interpolare pentru date tabulare

În primul rând, să ne uităm la aplicațiile de interpolare pentru datele care se află într-un tabel. De exemplu, să luăm o matrice de argumente și valorile funcției corespunzătoare ale acestora, a căror relație poate fi descrisă ecuație liniară. Aceste date sunt prezentate în tabelul de mai jos. Trebuie să găsim funcția corespunzătoare pentru argument 28 . Cel mai simplu mod de a face acest lucru este folosirea operatorului PREDICȚIE.

Metoda 2: Interpolați graficul folosind setările acestuia

Procedura de interpolare poate fi folosită și la construirea graficelor de funcții. Este relevant dacă tabelul pe care se bazează graficul nu indică valoarea funcției corespunzătoare pentru unul dintre argumente, ca în imaginea de mai jos.

După cum puteți vedea, graficul a fost corectat, iar decalajul a fost eliminat prin interpolare.

Metoda 3: Interpolați graficul folosind o funcție

De asemenea, puteți interpola graficul folosind functie speciala ND. Returnează valori nedefinite în celula specificată.

O poți face și mai ușor fără să alergi Expertul de funcțiiși utilizați doar tastatura pentru a introduce valoarea într-o celulă goală "#N / A" fără ghilimele. Dar depinde de ce este mai convenabil pentru care utilizator.

După cum puteți vedea, în Excel puteți interpola sub formă de date tabelare folosind funcția PREDICȚIE, și grafică. În acest din urmă caz, acest lucru se poate face folosind setările diagramei sau folosind funcția ND, provocând o eroare "#N / A". Alegerea metodei de utilizat depinde de enunțul problemei, precum și de preferințele personale ale utilizatorului.

Există cazuri când trebuie să cunoașteți rezultatele unui calcul al funcției în afara zonei cunoscute. Deosebit de relevant această întrebare pentru procedura de prognoză. În Excel există mai multe moduri în care puteți face această operațiune. Să le privim cu exemple specifice.

Metoda 2: Extrapolare pentru grafic

Puteți efectua o procedură de extrapolare pentru un grafic prin trasarea unei linii de tendință.

1. În primul rând, construim diagrama în sine. Pentru a face acest lucru, utilizați cursorul în timp ce țineți apăsat butonul stâng al mouse-ului pentru a selecta întreaga zonă a tabelului, inclusiv argumentele și valorile funcției corespunzătoare. Apoi, trecând la filă "Introduce", faceți clic pe butonul "Programa". Această pictogramă este situată în bloc "Diagrame" pe centura de scule. Apare o listă Optiuni Disponibile grafice. O alegem pe cea mai potrivită la discreția noastră.



2. După ce graficul este construit, eliminați linia de argument suplimentar din acesta selectând-o și făcând clic pe butonul Șterge pe tastatura computerului.



3. În continuare, trebuie să schimbăm diviziunile scării orizontale, deoarece nu afișează valorile argumentelor așa cum avem nevoie. Pentru a face acest lucru, faceți clic Click dreapta mouse-ul peste diagramă și în lista care apare, opriți-vă la valoare „Selectați datele”.



4. În fereastra de selecție a sursei de date care se deschide, faceți clic pe butonul "Schimbare"în blocul de editare a etichetelor pe axa orizontală.



5. Se deschide fereastra pentru setarea semnăturii axei. Plasați cursorul în câmpul acestei ferestre, apoi selectați toate datele din coloană "X" fără numele său. Apoi faceți clic pe butonul "BINE".



6. După ce ne întoarcem la fereastra de selecție a sursei de date, repetăm ​​aceeași procedură, adică facem clic pe butonul "BINE".



7. Acum graficul nostru este pregătit și putem începe direct să construim o linie de tendințe. Faceți clic pe diagramă, după care va fi activat pe panglică set suplimentar file – „Lucrul cu diagrame”. Trecerea la fila "Aspect"și apăsați butonul "Linie de tendință" in bloc "Analiză". Faceți clic pe element „Aproximație liniară” sau „Aproximație exponențială”.



8. Linia de tendință a fost adăugată, dar este complet sub linia graficului în sine, deoarece nu am specificat valoarea argumentului către care ar trebui să tindă. Pentru a face acest lucru, faceți clic din nou pe buton. "Linie de tendință", dar acum selectați elementul « Opțiuni suplimentare linii de tendință".



9. Se deschide fereastra de format de linie de tendință. În capitolul „Opțiuni pentru liniile de tendință” există un bloc de setări "Prognoza". Ca în metoda anterioară, să luăm argumentul pentru extrapolare 55 . După cum putem vedea, până acum graficul are o lungime până la argument 50 inclusiv. Se pare că va trebui să-l prelungim pentru altul 5 unitati. Pe axa orizontală puteți vedea că 5 unități sunt egale cu o diviziune. Deci aceasta este o perioadă. În câmp „Înainte mai departe” introduceți valoarea "1". Faceți clic pe butonul "Închide"în colțul din dreapta jos al ferestrei.



10. După cum puteți vedea, graficul a fost extins cu lungimea specificată folosind linia de tendință.

Deci, ne-am uitat la cele mai simple exemple de extrapolare pentru tabele și grafice. În primul caz, se utilizează funcția PREDICȚIE, iar în al doilea - linia de tendință. Dar pe baza acestor exemple, puteți decide mult mai multe sarcini complexe prognoza.

Acesta este un capitol din cartea lui Bill Jelen.

Provocare: Unele probleme de proiectare inginerească necesită utilizarea de tabele pentru a calcula valorile parametrilor. Deoarece tabelele sunt discrete, proiectantul folosește interpolarea liniară pentru a obține o valoare intermediară a parametrului. Tabelul (Fig. 1) include înălțimea deasupra solului (parametru de control) și viteza vântului (parametru calculat). De exemplu, dacă trebuie să găsiți viteza vântului corespunzătoare unei înălțimi de 47 de metri, atunci ar trebui să aplicați formula: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/sec.

Descărcați nota în sau format, exemple în format

Ce se întâmplă dacă există doi parametri de control? Este posibil să se efectueze calcule folosind o singură formulă? Tabelul (Fig. 2) arată valorile presiunii vântului pentru diferite înălțimi și deschideri ale structurilor. Este necesar să se calculeze presiunea vântului la o înălțime de 25 de metri și o deschidere de 300 de metri.

Soluție: Rezolvăm problema extinzând metoda utilizată pentru caz cu un singur parametru de control. Urmați acești pași:

Începeți cu tabelul prezentat în fig. 2. Adăugați celule sursă pentru înălțime și întindere în J1 și, respectiv, J2 (Figura 3).

Orez. 3. Formulele din celulele J3:J17 explică funcționarea megaformulei

Pentru ușurința utilizării formulelor, definiți nume (Fig. 4).

Urmăriți cum funcționează formula trecându-se secvenţial de la celula J3 la celula J17.

Utilizați substituția secvenţială inversă pentru a construi megaformula. Copiați textul formulei din celula J17 în J19. Înlocuiți referința la J15 din formulă cu valoarea din celula J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Și așa mai departe. Rezultatul este o formulă formată din 984 de caractere, care nu poate fi percepută în această formă. Îl puteți vedea în fișierul Excel atașat. Nu sunt sigur că acest tip de megaformulă este util de utilizat.

Rezumat: interpolare liniară este folosit pentru a obține o valoare intermediară a parametrului dacă valorile tabelului specificat numai pentru limitele intervalului; Se propune o metodă de calcul folosind doi parametri de control.