Thực đơn
trang chủWindows 10

Lấy hệ số nhân ra khỏi ngoặc - Siêu thị tri thức. Đặt dấu ngoặc cho yếu tố chung: quy tắc, ví dụ

Chúng tôi tiếp tục hiểu những điều cơ bản của đại số. Hôm nay chúng ta sẽ làm việc với, cụ thể là, chúng ta sẽ xem xét một hành động như bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Nội dung bài học

Nguyên tắc cơ bản

Luật nhân phân phối cho phép bạn nhân một số với một số (hoặc một số với một số). Ví dụ: để tìm giá trị của biểu thức 3 × (4 + 5), bạn có thể nhân số 3 với mỗi số hạng trong ngoặc đơn và cộng kết quả:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Số 3 và biểu thức trong ngoặc có thể hoán đổi cho nhau (điều này tuân theo luật giao hoán của phép nhân). Khi đó mỗi số hạng trong ngoặc sẽ được nhân với số 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Hiện tại, chúng ta sẽ không tính cách xây dựng 3 × 4 + 3 × 5 và cộng các kết quả thu được 12 và 15. Chúng ta hãy để lại biểu thức ở dạng 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Dưới đây chúng ta sẽ cần nó ở dạng chính xác này để hiểu bản chất của việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Luật phân phối của phép nhân đôi khi được gọi là đặt một thừa số vào trong dấu ngoặc đơn. Trong biểu thức 3 × (4 + 5), thừa số 3 bị bỏ ngoài ngoặc. Bằng cách nhân nó với mỗi số hạng trong ngoặc, về cơ bản chúng ta đã đưa nó vào trong ngoặc. Để rõ ràng, bạn có thể viết theo cách này, mặc dù thông thường người ta không viết theo cách này:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Vì trong biểu thức 3 × (4 + 5) số 3 nhân với mỗi số hạng trong ngoặc, số này là ước chung của số hạng 4 và 5

Như đã đề cập trước đó, bằng cách nhân hệ số chung này với mỗi số hạng trong ngoặc đơn, chúng ta đặt nó vào trong ngoặc đơn. Nhưng quá trình ngược lại cũng có thể xảy ra - thừa số chung có thể được đưa ra khỏi ngoặc. Trong trường hợp này, trong biểu thức 3×4 + 3×5 số nhân chung có thể nhìn thấy rõ ràng - đây là số nhân của 3. Nó cần phải được đưa ra khỏi phương trình. Để làm điều này, trước tiên hãy viết chính hệ số 3

và bên cạnh nó trong ngoặc là biểu thức được viết 3×4 + 3×5 nhưng không có thừa số chung 3, vì nó được lấy ra khỏi ngoặc

3 (4 + 5)

Bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, chúng ta thu được biểu thức 3 (4 + 5) . Biểu thức này giống hệt với biểu thức trước 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Nếu chúng ta tính cả hai vế của đẳng thức thu được, chúng ta thu được đẳng thức:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Làm thế nào để yếu tố chung đi ra khỏi dấu ngoặc?

Việc đặt thừa số chung bên ngoài dấu ngoặc về cơ bản là thao tác ngược lại với việc đặt thừa số chung bên trong dấu ngoặc.

Nếu khi đưa một thừa số chung vào trong ngoặc, chúng ta nhân hệ số này với mỗi số hạng trong ngoặc thì khi đưa thừa số này ra ngoài ngoặc, chúng ta phải chia mỗi số hạng trong ngoặc cho hệ số này.

Trong biểu hiện 3×4 + 3×5, đã được thảo luận ở trên, đây là những gì đã xảy ra. Mỗi số hạng được chia cho thừa số chung là 3. Các tích 3 × 4 và 3 × 5 là các số hạng vì nếu tính chúng, chúng ta sẽ có tổng 12 + 15

Bây giờ chúng ta có thể xem chi tiết cách lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:

Có thể thấy, thừa số chung 3 trước tiên được lấy ra khỏi ngoặc, sau đó trong ngoặc mỗi số hạng được chia cho thừa số chung này.

Việc chia mỗi số hạng cho một thừa số chung có thể được thực hiện không chỉ bằng cách chia tử số cho mẫu số, như trình bày ở trên, mà còn bằng cách giảm các phân số này. Trong cả hai trường hợp, bạn sẽ nhận được kết quả như nhau:

Chúng ta đã xem xét ví dụ đơn giản nhất về việc lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc để hiểu nguyên tắc cơ bản.

Nhưng không phải mọi thứ đều đơn giản như thoạt nhìn. Sau khi nhân số với mỗi số hạng trong ngoặc đơn, các kết quả sẽ được cộng lại với nhau và hệ số chung sẽ bị mất khỏi chế độ xem.

Hãy quay lại ví dụ 3 (4 + 5) của chúng ta. Hãy áp dụng luật phân phối của phép nhân, tức là nhân số 3 với mỗi số hạng trong ngoặc rồi cộng kết quả:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Sau khi tính toán phép dựng 3 × 4 + 3 × 5, chúng ta thu được biểu thức mới 12 + 15. Chúng ta thấy rằng thừa số chung của 3 đã biến mất khỏi tầm nhìn. Bây giờ, trong biểu thức thu được 12 + 15, chúng ta hãy thử đưa ước chung ra khỏi ngoặc, nhưng để đưa ước chung này ra, trước tiên chúng ta cần tìm nó.

Thông thường, khi giải các bài toán, chúng ta chỉ gặp những biểu thức trong đó trước tiên phải tìm ra thừa số chung trước khi loại bỏ nó.

Để lấy ước chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 12 + 15, bạn cần tìm ước chung lớn nhất (GCD) của các số hạng 12 và 15. GCD tìm được sẽ là ước chung.

Vì vậy, chúng ta hãy tìm GCD cho các số 12 và 15. Hãy nhớ lại rằng để tìm GCD, bạn cần phân tách các số ban đầu thành các thừa số nguyên tố, sau đó viết phân tích đầu tiên ra và loại bỏ khỏi nó các yếu tố không có trong phân tách của số thứ hai. Các yếu tố còn lại cần được nhân lên để thu được gcd mong muốn. Nếu bạn gặp khó khăn ở điểm này, hãy nhớ lặp lại.

GCD cho 12 và 15 là số 3. Số này là ước chung của các số hạng 12 và 15. Nó phải được đưa ra khỏi ngoặc. Để làm điều này, trước tiên chúng ta viết chính thừa số 3 và bên cạnh nó trong ngoặc đơn, chúng ta viết một biểu thức mới trong đó mỗi số hạng của biểu thức 12 + 15 được chia cho một thừa số chung 3

Vâng, tính toán thêm không khó. Biểu thức trong ngoặc rất dễ tính - mười hai chia cho ba là bốn, MỘT mười lăm chia ba là năm:

Do đó, khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 12 + 15, sẽ thu được biểu thức 3(4 + 5). Giải pháp chi tiết như sau:

Giải pháp ngắn gọn bỏ qua ký hiệu cho biết mỗi số hạng được chia cho một thừa số chung như thế nào:

Ví dụ 2. 15 + 20

Hãy tìm gcd của số hạng 15 và 20

GCD cho 15 và 20 là số 5. ​​Số này là ước chung của các số hạng 15 và 20. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:

Chúng ta có biểu thức 5(3 + 4). Biểu thức kết quả có thể được kiểm tra. Để làm điều này, chỉ cần nhân năm với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 15 + 20

Ví dụ 3. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 18+24+36

Hãy tìm gcd của các số hạng 18, 24 và 36. Để tìm , bạn cần phân tích các số này thành thừa số nguyên tố, sau đó tìm tích của các thừa số chung:

GCD cho 18, 24 và 36 là số 6. Số này là ước chung của các số hạng 18, 24 và 36. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân số 6 với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 18+24+36

Ví dụ 4. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 13 + 5

Các số hạng 13 và 5 là số nguyên tố. Chúng chỉ phân hủy thành một và chính chúng:

Điều này có nghĩa là số hạng 13 và 5 không có thừa số chung nào ngoài một. Theo đó, không có ích gì khi đặt đơn vị này ra khỏi ngoặc, vì nó sẽ không mang lại điều gì. Hãy cho thấy điều này:

Ví dụ 5. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 195+156+260

Hãy tìm gcd cho các số hạng 195, 156 và 260

GCD cho 195, 156 và 260 là số 13. Số này là ước chung của các số hạng 195, 156 và 260. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân 13 với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 195+156+260

Biểu thức mà bạn cần loại bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc có thể không chỉ là tổng của các số mà còn là hiệu. Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 16 − 12 − 4. Thừa số chung lớn nhất của các số 16, 12 và 4 là số 4. Hãy lấy số này ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân bốn với mỗi số trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 16 − 12 − 4

Ví dụ 6. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 72+96−120

Hãy tìm GCD cho các số 72, 96 và 120

GCD cho 72, 96 và 120 là số 24. Số này là ước chung của các số hạng 195, 156 và 260. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân 24 với mỗi số trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 72+96−120

Hệ số tổng thể được lấy ra khỏi ngoặc cũng có thể âm. Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức −6−3. Có hai cách để lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức này. Chúng ta hãy nhìn vào từng người trong số họ.

Phương pháp 1.

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:

−6 + (−3)

Bây giờ chúng ta tìm thấy yếu tố chung. Thừa số chung của biểu thức này sẽ là ước chung lớn nhất của các số hạng −6 và −3.

Mô đun của số hạng thứ nhất là 6. Và mô đun của số hạng thứ hai là 3. GCD(6 và 3) bằng 3. Con số này là ước chung của số hạng 6 và 3. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:

Biểu thức thu được theo cách này không chính xác lắm. Rất nhiều dấu ngoặc đơn và số âm không làm cho biểu thức trở nên đơn giản. Do đó, bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai, bản chất của phương pháp này là bỏ dấu ngoặc không phải 3 mà là −3.

Phương pháp 2.

Giống như lần trước, chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng.

−6 + (−3)

Lần này chúng ta sẽ lấy ra khỏi ngoặc không phải 3 mà là −3

Biểu thức thu được lần này trông đơn giản hơn nhiều. Hãy viết giải pháp ngắn hơn để làm cho nó đơn giản hơn:

Việc cho phép bỏ thừa số âm ra khỏi ngoặc là do việc khai triển các số −6 và (−3) có thể được viết theo hai cách: đầu tiên làm cho số bị nhân âm và số nhân là dương:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

trong trường hợp thứ hai, số nhân có thể dương và số nhân có thể âm:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tự do đưa ra khỏi dấu ngoặc hệ số mà chúng ta muốn.

Ví dụ 8. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức −20−16−2

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Thừa số chung lớn nhất của các số hạng −20, −16 và −2 là số 2. Số này là ước số chung của các số hạng này. Hãy xem nó trông như thế nào:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Nhưng các khai triển đã cho có thể được thay thế bằng các khai triển tương đương. Sự khác biệt là hệ số chung sẽ không phải là 2 mà là −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Do đó, để thuận tiện, chúng ta có thể bỏ dấu ngoặc không phải là 2 mà là −2

Hãy viết ngắn gọn giải pháp trên:

Và nếu chúng ta lấy 2 trong ngoặc, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức không hoàn toàn chính xác:

Ví dụ 9. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức −30−36−42

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:

−30 + (−36) + (−42)

Ước chung lớn nhất của các số hạng −30, −36 và −42 là số 6. Số này là ước chung của các số hạng này. Nhưng chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc không phải 6 mà là −6, vì các số −30, −36 và −42 có thể được biểu diễn như sau:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc

Khi giải bài toán, đôi khi việc bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc sẽ rất hữu ích. Điều này cho phép bạn đơn giản hóa biểu thức và sắp xếp nó theo thứ tự.

Hãy xem xét ví dụ sau. Bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc trong biểu thức −15+(−5)+(−3)

Để rõ ràng, hãy đặt biểu thức này trong ngoặc, vì chúng ta đang nói về việc lấy dấu trừ ra khỏi các dấu ngoặc này

(−15 + (−5) + (−3))

Vì vậy, để lấy dấu trừ ra khỏi ngoặc, bạn cần viết dấu trừ trước ngoặc và viết tất cả các số hạng trong ngoặc nhưng ngược dấu.

Chúng ta đã loại bỏ dấu trừ trong ngoặc trong biểu thức −15+(−5)+(−3) và nhận được −(15+5+3). Cả hai biểu thức đều có cùng giá trị −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Do đó, chúng ta có thể đặt dấu bằng giữa các biểu thức −15+(−5)+(−3) và −(15+5+3), vì chúng có cùng một ý nghĩa:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Trên thực tế, khi bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc, luật phân phối của phép nhân lại hoạt động:

a(b+c) = ab + ac

Nếu chúng ta hoán đổi vế trái và vế phải của đẳng thức này thì hóa ra thừa số Một trong ngoặc

ab + ac = a(b+c)

Điều tương tự cũng xảy ra khi chúng ta loại bỏ nhân tử chung trong các biểu thức khác và khi chúng ta loại bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc.

Hiển nhiên, khi lấy dấu trừ ra khỏi ngoặc thì không phải là dấu trừ bị lược bỏ mà là dấu trừ. Chúng tôi đã nói rằng thông thường không ghi lại hệ số 1.

Do đó, một dấu trừ được hình thành ở phía trước dấu ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ thay đổi dấu của chúng thành dấu ngược lại, vì mỗi số hạng được chia cho trừ một.

Hãy quay lại ví dụ trước và xem chi tiết dấu trừ thực sự được đưa ra khỏi ngoặc như thế nào

Ví dụ 2.Đặt dấu trừ ngoài ngoặc trong biểu thức −3 + 5 + 11

Chúng ta đặt dấu trừ và bên cạnh nó trong ngoặc đơn, chúng ta viết biểu thức −3 + 5 + 11 với dấu ngược lại cho mỗi số hạng:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Như trong ví dụ trước, ở đây không phải dấu trừ được lấy ra khỏi ngoặc mà là dấu trừ một. Giải pháp chi tiết như sau:

Lúc đầu, chúng ta có biểu thức −1(3 + (−5) + (−11)), nhưng chúng ta mở dấu ngoặc bên trong trong biểu thức đó và nhận được biểu thức −(3 − 5 − 11) . Mở rộng dấu ngoặc đơn là chủ đề của bài học tiếp theo, vì vậy nếu ví dụ này khó đối với bạn, bạn có thể bỏ qua ngay bây giờ.

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức nghĩa đen

Việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc theo nghĩa đen sẽ thú vị hơn nhiều.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem một ví dụ đơn giản. Hãy có một biểu thức 3 một + 2 một. Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc.

Trong trường hợp này, tổng số nhân có thể nhìn thấy bằng mắt thường - đây là số nhân Một. Hãy lấy nó ra khỏi dấu ngoặc. Để làm điều này, chúng tôi viết ra chính số nhân Một và bên cạnh nó trong ngoặc đơn chúng ta viết biểu thức 3a + 2a, nhưng không có số nhân Một vì nó được lấy ra khỏi ngoặc:

Giống như trong trường hợp biểu thức số, ở đây mỗi số hạng được chia cho thừa số chung được lấy ra. Nó trông như thế này:

Các biến trong cả hai phân số Mộtđã giảm bởi Một. Thay vào đó, tử số và mẫu số có đơn vị. Các đơn vị thu được do thực tế là thay vì một biến Một có thể là bất kỳ số nào Biến này nằm ở cả tử số và mẫu số. Và nếu tử số và mẫu số có cùng số thì ước số chung lớn nhất của chúng sẽ là chính số này.

Ví dụ, nếu thay vì một biến Một thay thế số 4 thì việc xây dựng sẽ có dạng sau: . Khi đó số bốn trong cả hai phân số có thể giảm đi 4:

Hóa ra cũng giống như trước đây, khi thay vì số bốn có một biến Một .

Vì vậy, bạn không nên lo lắng về việc giảm các biến số. Một biến là một số nhân đầy đủ, ngay cả khi được biểu thị bằng một chữ cái. Một số nhân như vậy có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc, rút ​​gọn và các hành động khác được phép đối với các số thông thường.

Một biểu thức bằng chữ không chỉ chứa số mà còn chứa các chữ cái (biến). Vì vậy, thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc thường là thừa số chữ cái, gồm một số và một chữ cái (hệ số và biến). Ví dụ: các biểu thức sau đây là các thừa số bằng chữ:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Trước khi đặt một thừa số như vậy ra khỏi ngoặc, bạn cần quyết định số nào sẽ nằm trong phần số của thừa số chung và biến nào sẽ nằm trong phần chữ cái của thừa số chung. Nói cách khác, bạn cần tìm ra hệ số chung của thừa số chung và biến nào sẽ được đưa vào yếu tố đó.

Xét biểu thức 10 một+ 15Một. Hãy thử lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc. Đầu tiên, hãy quyết định yếu tố chung sẽ bao gồm những gì, nghĩa là chúng ta sẽ tìm ra hệ số của nó và biến nào sẽ được đưa vào đó.

Hệ số của số chung phải là ước chung lớn nhất của các hệ số của biểu thức 10 một+ 15Một. 10 và 15, ước chung lớn nhất của chúng là số 5. Điều này có nghĩa là số 5 sẽ là hệ số của thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc.

Bây giờ hãy quyết định biến nào sẽ được đưa vào nhân tử chung. Để làm điều này bạn cần nhìn vào biểu thức 10 một+ 15Một và tìm thừa số chữ cái có trong tất cả các số hạng. Trong trường hợp này, đó là yếu tố Một. Yếu tố này được đưa vào mỗi số hạng biểu thức 10 một+ 15Một. Vì vậy biến Một sẽ được bao gồm trong phần chữ của thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là tính hệ số chung 5a ngoài dấu ngoặc. Để làm điều này, chúng tôi chia mỗi thuật ngữ của biểu thức 10a + 15a TRÊN 5a. Để rõ ràng, chúng ta sẽ phân tách các hệ số và số bằng dấu nhân (×)

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân 5a cho mỗi thuật ngữ trong ngoặc đơn. Nếu chúng ta làm mọi thứ một cách chính xác, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 10a + 15a

Yếu tố chữ cái không phải lúc nào cũng được đưa ra khỏi dấu ngoặc. Đôi khi thừa số chung chỉ bao gồm một số, vì không có phần chữ cái nào phù hợp với phần chữ cái trong biểu thức.

Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức 2a−2b. Ở đây ước chung sẽ chỉ là số 2 , và trong số các thừa số chữ cái không có thừa số chung nào trong biểu thức. Vì vậy, trong trường hợp này chỉ có số nhân được lấy ra 2

Ví dụ 2. Trích xuất nhân tử chung từ biểu thức 3x + 9y + 12

Các hệ số của biểu thức này là số 3, 9 Và 12, gcd của họ bằng nhau 3 3 . Và trong số các thừa số chữ cái (biến) không có thừa số chung. Do đó ước chung cuối cùng là 3

Ví dụ 3.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Các hệ số của biểu thức này là số 8, 6, 4, 10 Và 2, gcd của họ bằng nhau 2 . Điều này có nghĩa là hệ số của nhân tử chung được lấy ra khỏi ngoặc sẽ là số 2 . Và trong số các thừa số chữ cái không có thừa số chung. Do đó ước chung cuối cùng là 2

Ví dụ 4. Loại bỏ nhân tử chung 6ab + 18ab + 3abc

Các hệ số của biểu thức này là số 6, 18 và 3, gcd của họ bằng nhau 3 . Điều này có nghĩa là hệ số của nhân tử chung được lấy ra khỏi ngoặc sẽ là số 3 . Phần chữ của thừa số chung sẽ bao gồm các biến Một Và b, vì trong biểu thức 6ab + 18ab + 3abc hai biến này được bao gồm trong mỗi thuật ngữ. Do đó ước chung cuối cùng là 3ab

Với một giải pháp chi tiết, biểu thức trở nên cồng kềnh và thậm chí không thể hiểu được. Trong ví dụ này, điều này còn đáng chú ý hơn. Điều này là do chúng ta loại bỏ các thừa số ở tử số và mẫu số. Tốt nhất bạn hãy làm điều này trong đầu và ghi ngay kết quả phép chia. Sau đó, biểu thức trở nên ngắn gọn và gọn gàng:

Giống như trong trường hợp biểu thức số, trong biểu thức chữ, thừa số chung có thể âm.

Ví dụ: hãy lấy tổng quát ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức −3a − 2a.

Để thuận tiện, chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Thừa số chung trong biểu thức này là thừa số Một. Nhưng chúng ta không chỉ có thể tính đến Một, nhưng cũng −a. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:

Hóa ra đó là một biểu hiện gọn gàng −a (3+2). Không nên quên rằng hệ số nhân −a thực sự trông giống như −1a và sau khi giảm cả hai phân số của biến Một, trừ một vẫn còn ở mẫu số. Vì vậy, cuối cùng chúng ta nhận được câu trả lời tích cực trong ngoặc

Ví dụ 6.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức −6x − 6y

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−6x−6y = −6x+(−6y)

Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc −6

Hãy viết ra giải pháp ngắn gọn:

−6x − 6y = −6(x + y)

Ví dụ 7.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức −2a − 4b − 6c

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc −2

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc đóng ngoặc của thừa số chung và học cách tìm nó trong các ví dụ và biểu thức khác nhau. Hãy nói về cách một thao tác đơn giản, lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc, cho phép bạn đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta sẽ củng cố kiến ​​thức và kỹ năng có được bằng cách xem xét các ví dụ về độ phức tạp khác nhau.

Yếu tố chung là gì, tại sao phải tìm nó và nó được lấy ra khỏi ngoặc với mục đích gì? Hãy trả lời những câu hỏi này bằng cách xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình. Vế trái của phương trình là một đa thức bao gồm các số hạng tương tự. Phần chữ cái chung cho các số hạng này, nghĩa là nó sẽ là thừa số chung. Hãy đặt nó ra khỏi ngoặc:

Trong trường hợp này, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc đã giúp chúng ta chuyển đổi đa thức thành đơn thức. Vì vậy, chúng tôi đã có thể đơn giản hóa đa thức và phép biến đổi của nó đã giúp chúng tôi giải phương trình.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ khác nhau, nhưng chúng tôi sử dụng cùng một phương pháp giải: chúng tôi đã lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Chúng tôi thấy rằng thao tác đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung cho những trường hợp đặc biệt này, nhưng phải làm gì trong trường hợp tổng quát, với một đa thức tùy ý?

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Xét đa thức . Đa thức này là tổng của hai đơn thức. Đơn thức là tích của một số, một hệ số và một phần chữ cái. Như vậy, trong đa thức của chúng ta, mỗi đơn thức được biểu diễn bằng tích của một số và lũy thừa, tích của các thừa số. Các thừa số có thể giống nhau đối với mọi đơn thức. Chính những yếu tố này cần được xác định và đưa ra khỏi khung. Đầu tiên, chúng ta tìm nhân tử chung cho các hệ số, là các số nguyên.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Chúng ta đã rút ra được quy tắc cho hệ số nguyên. Bạn cần tìm gcd của họ và đặt nó ra khỏi khung. Hãy củng cố quy tắc này bằng cách giải thêm một ví dụ nữa.

Chúng ta đã xem xét quy tắc gán thừa số chung cho hệ số nguyên, hãy chuyển sang phần chữ cái. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm những chữ cái có trong tất cả các đơn thức, sau đó chúng tôi xác định cấp độ cao nhất của chữ cái có trong tất cả các đơn thức: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Chúng ta đã xem xét các quy tắc trừ cho các hệ số nguyên và biến chữ cái một cách riêng biệt, nhưng thông thường bạn cần áp dụng chúng cùng nhau để giải ví dụ. Hãy xem một ví dụ:

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.

\(5x+xy\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(x(5+y)\). Đây thực sự là những biểu thức giống hệt nhau, chúng ta có thể xác minh điều này nếu chúng ta mở ngoặc: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Như bạn có thể thấy, kết quả là chúng ta có được biểu thức ban đầu. Điều này có nghĩa là \(5x+xy\) thực sự bằng \(x(5+y)\). Nhân tiện, đây là một cách đáng tin cậy để kiểm tra tính đúng đắn của các thừa số chung - mở dấu ngoặc kết quả và so sánh kết quả với biểu thức ban đầu.


Nguyên tắc chính cho dấu ngoặc:

Ví dụ: trong biểu thức \(3ab+5bc-abc\) chỉ có thể đưa \(b\) ra khỏi ngoặc vì đây là từ duy nhất có mặt trong cả ba số hạng. Quá trình lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc được thể hiện ở sơ đồ dưới đây:

Quy tắc đóng khung

    Trong toán học, người ta thường loại bỏ tất cả các thừa số chung cùng một lúc.

    Ví dụ:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Xin lưu ý rằng ở đây chúng ta có thể mở rộng như thế này: \(3(xy-xz)\) hoặc như thế này: \(x(3y-3z)\). Tuy nhiên, đây sẽ là những phân hủy không đầy đủ. Cả C và X đều phải được loại bỏ.

    Đôi khi các thành viên chung không được nhìn thấy ngay lập tức.

    Ví dụ:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    Trong trường hợp này, thuật ngữ chung (năm) đã bị ẩn. Tuy nhiên, sau khi mở rộng \(10\) thành \(2\) nhân với \(5\) và \(15\) thành \(3\) nhân với \(5\) - chúng tôi “đã kéo năm vào ánh sáng của Chúa”, sau đó họ dễ dàng đưa nó ra khỏi khung.

    Nếu một đơn thức bị loại bỏ hoàn toàn thì còn lại một đơn thức.

    Ví dụ: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Chúng ta đặt \(x\) ra khỏi ngoặc và đơn thức thứ ba chỉ bao gồm x. Tại sao người ta vẫn còn ở lại với nó? Bởi vì nếu bất kỳ biểu thức nào được nhân với một thì nó sẽ không thay đổi. Nghĩa là, \(x\) này có thể được biểu diễn dưới dạng \(1\cdot x\). Khi đó ta có chuỗi biến đổi sau:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

    Hơn nữa, đây là cách duy nhất để trích xuất nó, bởi vì nếu chúng ta không để lại một dấu ngoặc, thì khi mở dấu ngoặc, chúng ta sẽ không trở về biểu thức ban đầu. Thật vậy, nếu chúng ta thực hiện trích xuất như thế này \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), thì khi mở rộng chúng ta sẽ nhận được \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Thành viên thứ ba đang mất tích. Điều này có nghĩa là tuyên bố như vậy là không chính xác.

    Bạn có thể đặt dấu trừ bên ngoài dấu ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ bị đảo ngược.

    Ví dụ:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    Về cơ bản, ở đây chúng ta đang đưa ra “số trừ”, có thể được “chọn” trước bất kỳ đơn thức nào, ngay cả khi không có số trừ nào ở phía trước nó. Ở đây chúng ta sử dụng thực tế là một cái có thể được viết là \((-1) \cdot (-1)\). Đây là ví dụ tương tự, được mô tả chi tiết:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    Dấu ngoặc đơn cũng có thể là một yếu tố phổ biến.

    Ví dụ:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Chúng ta thường gặp phải tình huống này nhất (bỏ dấu ngoặc khỏi ngoặc) khi phân tích nhân tử bằng phương pháp nhóm hoặc

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.

Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Phía sau bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.

Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các nhận dạng kết quả và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng của các bình phương và tích kép.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba đặc tính này cho phép người ta thay thế phần bên trái bằng phần bên phải trong các phép biến đổi và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.

Định nghĩa 1

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ lại Quy tắc nhân một đơn thức với một đơn thức:

Để nhân một đơn thức với một đơn thức, trước tiên bạn phải nhân các hệ số của các đơn thức, sau đó, sử dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, nhân các biến có trong đơn thức.

ví dụ 1

Tìm tích của các đơn thức $(2x)^3y^2z$ và $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Giải pháp:

Đầu tiên hãy tính tích của các hệ số

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ trong bài tập này, chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân một số với một phân số - để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số đó với tử số của phân số và mẫu số không thay đổi

Bây giờ, hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số - tử số và mẫu số của một phân số có thể chia cho cùng một số, khác với $0$. Hãy chia tử số và mẫu số của phân số này cho $2$, nghĩa là giảm phân số này xuống $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ phân đoạn(3 )(2)$

Kết quả thu được hóa ra là một phân số không chính xác, tức là một phân số trong đó tử số lớn hơn mẫu số.

Hãy biến đổi phân số này bằng cách cô lập toàn bộ phần. Chúng ta nhớ rằng để tách một phần nguyên, cần viết phần dư của phép chia vào tử số của phần phân số, chia số vào mẫu số.

Chúng tôi đã tìm thấy hệ số của sản phẩm trong tương lai.

Bây giờ chúng ta sẽ nhân tuần tự các biến $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ở đây chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân lũy thừa có cùng cơ số: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Khi đó kết quả của phép nhân đơn thức sẽ là:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Sau đó, dựa trên quy tắc này, bạn có thể thực hiện tác vụ sau:

Ví dụ 2

Biểu diễn một đa thức đã cho dưới dạng tích của một đa thức và một đơn thức $(4x)^3y+8x^2$

Chúng ta hãy biểu diễn từng đơn thức có trong đa thức dưới dạng tích của hai đơn thức để tách ra một đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với đơn thức đầu tiên $(4x)^3y$. Hãy phân tích hệ số của nó thành các thừa số đơn giản: $4=2\cdot 2$. Chúng ta sẽ làm tương tự với hệ số của đơn thức thứ hai $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Lưu ý rằng hai thừa số $2\cdot 2$ được bao gồm trong cả hệ số thứ nhất và thứ hai, có nghĩa là $2\cdot 2=4$ - số này sẽ được đưa vào đơn thức tổng quát dưới dạng hệ số

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng trong đơn thức thứ nhất có $x^3$, và trong đơn thức thứ hai có cùng một biến với lũy thừa của $2:x^2$. Điều này có nghĩa là sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn biến $x^3$ như thế này:

Biến $y$ chỉ được bao gồm trong một số hạng của đa thức, có nghĩa là nó không thể được bao gồm trong đơn thức tổng quát.

Hãy tưởng tượng đơn thức thứ nhất và thứ hai có trong đa thức dưới dạng tích:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Lưu ý rằng đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai, là $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Bây giờ chúng ta áp dụng luật phân phối của phép nhân, khi đó biểu thức thu được có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai thừa số. Một trong các số nhân sẽ là tổng số nhân: $4x^2$ và số còn lại sẽ là tổng của các số nhân còn lại: $xy + 2$. Có nghĩa:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Phương pháp này được gọi là nhân tử hóa bằng cách loại bỏ một yếu tố chung.

Thừa số chung trong trường hợp này là đơn thức $4x^2$.

Thuật toán

Lưu ý 1

    Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số của tất cả các đơn thức có trong đa thức - đó sẽ là hệ số của thừa số chung-đơn thức, mà chúng ta sẽ đặt ngoài ngoặc

    Đơn thức bao gồm hệ số ở đoạn 2 và các biến ở đoạn 3 sẽ là một thừa số chung. có thể được lấy ra khỏi ngoặc như một yếu tố chung.

Ví dụ 3

Loại bỏ nhân tử chung $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Giải pháp:

    Hãy tìm gcd của các hệ số; để làm được điều này, chúng ta sẽ phân tách các hệ số thành các thừa số đơn giản

    $45=3\cdot 3\cdot 5$

    Và chúng tôi tìm thấy sản phẩm của những thứ được bao gồm trong việc mở rộng từng loại:

    Xác định các biến tạo nên mỗi đơn thức và chọn biến có số mũ nhỏ nhất

    $a^3=a^2\cdot a$

    Biến $b$ chỉ được đưa vào đơn thức thứ hai và thứ ba, nghĩa là nó sẽ không được đưa vào thừa số chung.

    Hãy soạn một đơn thức gồm hệ số tìm được ở bước 2, các biến tìm được ở bước 3, ta được: $3a$ - đây sẽ là ước chung. Sau đó:

    $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$