Bậc nhỏ lớn nhất của ma trận. Xếp hạng ma trận

Số r được gọi là hạng của ma trận A nếu:
1) trong ma trận A có cấp số r khác 0;
2) tất cả các cấp thứ (r+1) và cao hơn, nếu chúng tồn tại, đều bằng 0.
Ngược lại, thứ hạng của ma trận là thứ tự cao nhất khác 0.
Ký hiệu: rangA, r A hoặc r.
Từ định nghĩa suy ra r là số nguyên dương. Đối với ma trận null, thứ hạng được coi là bằng 0.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được thiết kế để tìm thứ hạng ma trận. Trong trường hợp này, giải pháp được lưu ở định dạng Word và Excel. xem giải pháp ví dụ.

Hướng dẫn. Chọn kích thước ma trận, nhấp vào Tiếp theo.

Chọn thứ nguyên ma trận 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Sự định nghĩa . Cho ma trận hạng r. Bất kỳ phần nhỏ nào của ma trận khác 0 và có bậc r được gọi là ma trận cơ bản, còn các hàng và cột của các thành phần của nó được gọi là hàng và cột cơ bản.
Theo định nghĩa này, ma trận A có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Thứ hạng của ma trận nhận dạng E là n (số hàng).

Ví dụ 1. Cho hai ma trận, và trẻ vị thành niên của họ , . Cái nào trong số chúng có thể được coi là cái cơ bản?
Giải pháp. M 1 = 0 nên nó không thể là cơ sở cho bất kỳ ma trận nào. Thứ M 2 =-9≠0 và có bậc 2, nghĩa là nó có thể được lấy làm cơ sở của ma trận A hoặc / và B, miễn là chúng có hạng bằng 2. Vì detB=0 (là định thức có hai cột tỷ lệ), nên rangB=2 và M 2 có thể được coi là cơ sở thứ của ma trận B. Thứ hạng của ma trận A là 3, do detA=-27≠ 0 và do đó bậc cơ sở thứ của ma trận này phải bằng 3, tức là M 2 không phải là cơ sở của ma trận A. Lưu ý rằng ma trận A có một cơ sở thứ duy nhất, bằng định thức của ma trận A.

Định lý (về cơ sở thứ). Bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) cơ sở của nó.
Hệ quả từ định lý.

1. Mọi ma trận cột (r+1) hạng r đều phụ thuộc tuyến tính.
2. Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính. Nếu rangA bằng số hàng (cột) của nó thì các hàng (cột) độc lập tuyến tính.
3. Định thức của ma trận A bằng 0 khi và chỉ nếu các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.
4. Nếu bạn thêm một hàng (cột) khác vào một hàng (cột) của ma trận, nhân với bất kỳ số nào khác 0 thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
5. Nếu bạn gạch bỏ một hàng (cột) trong ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
6. Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó.
7. Số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa bằng số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa.

Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận .
Giải pháp. Dựa trên định nghĩa của thứ hạng ma trận, chúng ta sẽ tìm số thứ cấp có thứ tự cao nhất, khác 0. Đầu tiên, hãy chuyển đổi ma trận sang dạng đơn giản hơn. Để làm điều này, nhân hàng đầu tiên của ma trận với (-2) và cộng với hàng thứ hai, sau đó nhân với (-1) và cộng với hàng thứ ba.

>>Xếp hạng ma trận

Xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này ta chọn tùy ý k dòng và k cột thì các phần tử tại giao điểm của hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là bậc thứ k ma trận A. Hiển nhiên, ma trận A có các số thứ tự bất kỳ từ 1 đến số nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phân số khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phân số có cấp lớn nhất. Cấp nhỏ khác 0 lớn nhất của một ma trận nhất định được gọi là thứ hạng ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, điều này có nghĩa là ma trận A có cấp nhỏ khác 0 r, nhưng mọi thứ tự nhỏ hơn r, bằng 0. Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng, mối quan hệ giữ

Tính thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng số trẻ vị thành niên

Thứ hạng của ma trận được tìm bằng phương pháp giáp phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo phương pháp đầu tiên, bạn nên chuyển từ cấp bậc thấp hơn sang cấp bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy D thứ thứ k của ma trận A, khác 0, thì chỉ có thứ tự (k+1) giáp với D thứ mới cần tính toán, tức là. chứa nó như một trẻ vị thành niên. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng k.

Ví dụ 1.Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ

.

Giải pháp.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên cấp 1, tức là. từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn một phần tử phụ M 1 = 1, nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Tiếp giáp với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng ta thu được M 2 thứ = khác 0. Bây giờ chúng ta chuyển sang trẻ vị thành niên bậc 3 giáp M2. Chỉ có hai trong số đó (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc thứ tư). Hãy tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp của bậc thứ ba hóa ra đều bằng 0. Thứ hạng của ma trận A là hai.

Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B bằng nhau thì được viết như sau: A~B.

ChuẩnMa trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

.

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

.

Cho một số ma trận:

.

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính thứ hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó ở cấp thấp nhất và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp có cấp độ cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, cần quy nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi, ở cấp số cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

.

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Xác định hạng của ma trận

Xét một ma trận \(A\) thuộc loại \((m,n)\). Giả sử, để xác định, \(m \leq n\). Lấy \(m\) hàng và chọn \(m\) cột của ma trận \(A\), tại giao điểm của các hàng và cột này ta được ma trận vuông cấp \(m\), định thức của nó được gọi là thứ tự nhỏ ma trận \(m\) \(A\). Nếu phần này khác 0 thì được gọi là thứ yếu cơ bản và họ nói rằng hạng của ma trận \(A\) bằng \(m\). Nếu định thức này bằng 0 thì các cột \(m\) khác được chọn, tại giao điểm của chúng có các phần tử tạo thành một thứ khác có thứ tự \(m\). Nếu trẻ vị thành niên là 0, chúng tôi tiếp tục thủ tục. Nếu trong số tất cả các cấp số phụ có thể có \(m\) không có số khác 0, chúng ta chọn \(m-1\) hàng và cột từ ma trận \(A\), tại giao điểm của chúng là một ma trận vuông có cấp \(m- 1\) xuất hiện thì định thức của nó được gọi là bậc thứ \(m-1\) của ma trận ban đầu. Tiếp tục thủ tục, chúng tôi tìm kiếm một trẻ vị thành niên khác 0, xem xét tất cả các trẻ vị thành niên có thể có, hạ thấp thứ tự của chúng.

Sự định nghĩa.

Phần nhỏ khác 0 của một ma trận có cấp cao nhất được gọi là thứ yếu cơ bản của ma trận ban đầu, thứ tự của nó được gọi là thứ hạng ma trận \(A\), hàng và cột, tại giao điểm của nó có cơ sở phụ, được gọi là hàng và cột cơ sở. Thứ hạng của ma trận được ký hiệu là \(rang(A)\).

Từ định nghĩa này, hãy tuân theo các thuộc tính đơn giản của hạng của ma trận: nó là một số nguyên và hạng của ma trận khác 0 thỏa mãn các bất đẳng thức: \(1 \leq Rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Thứ hạng của ma trận sẽ thay đổi như thế nào nếu một hàng bị xóa? Thêm một số dòng?

Kiểm tra câu trả lời

1) Thứ hạng có thể giảm 1.

2) Thứ hạng có thể tăng thêm 1.

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các cột ma trận

Giả sử \(A\) là một ma trận kiểu \((m,n)\). Hãy xem xét các cột của ma trận \(A\) - đây là các cột có số \(m\) mỗi cột. Hãy ký hiệu chúng là \(A_1,A_2,...,A_n\). Cho \(c_1,c_2,...,c_n\) là một số số.

Sự định nghĩa.

Cột \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] được gọi là tổ hợp tuyến tính của các cột \(A_1,A_2,...,A_n\), các số \( c_1,c_2 ,...,c_n\) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính này.

Sự định nghĩa.

Cho trước các cột \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\). Nếu có các số \(c_1,c_2,...,c_p\) sao cho

1. không phải tất cả những con số này đều bằng 0,

2. tổ hợp tuyến tính \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) bằng cột 0 (tức là một cột có tất cả các phần tử đều bằng 0), thì chúng ta nói rằng các cột \( A_1, A_2, ..., A_p\) phụ thuộc tuyến tính. Nếu đối với một tập hợp các cột nhất định, các số \(c_1,c_2,...,c_n\) không tồn tại thì các cột được gọi là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Xét 2 cột

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] thì với mọi số \(c_1,c_2\) chúng ta có: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Tổ hợp tuyến tính này bằng cột 0 khi và chỉ khi cả hai số \(c_1,c_2\) đều bằng 0. Vì vậy, các cột này độc lập tuyến tính.

Tuyên bố. Để các cột phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là một trong số chúng là sự kết hợp tuyến tính của các cột khác.

Giả sử các cột \(A_1,A_2,...,A_m\) phụ thuộc tuyến tính, tức là đối với một số hằng số \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), không phải tất cả các hằng số đều bằng 0, các giá trị sau đúng: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (ở bên phải là cột số 0). Ví dụ: giả sử \(\lambda _1 \neq 0\). Sau đó \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tức là. cột đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của những cột khác.

Định lý nhỏ cơ sở

Định lý.

Với mọi ma trận khác 0 \(A\) điều sau đây đúng:

1. Các cột cơ sở độc lập tuyến tính.

2. Bất kỳ cột ma trận nào cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

(Điều tương tự cũng đúng với chuỗi).

Để xác định, hãy để \((m,n)\) là loại ma trận \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) và phần cơ sở nhỏ nằm trong \(r đầu tiên \) ma trận hàng và cột \(A\). Đặt \(s\) là số bất kỳ từ 1 đến \(m\), \(k\) là số bất kỳ từ 1 đến \(n\). Hãy xem xét một dạng thứ của dạng sau: \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] I E. Chúng tôi đã gán cột thứ \(s-\) và hàng thứ \(k-\) cho cột thứ cơ sở. Theo định nghĩa về thứ hạng của ma trận, định thức này bằng 0 (nếu chọn \(s\leq r\) hoặc \(k \leq r\), thì định thức thứ này có 2 cột hoặc 2 hàng giống nhau, nếu \(s>r\) và \(k>r\) - theo định nghĩa về thứ hạng, một phần nhỏ có kích thước lớn hơn \(r\) trở thành 0). Hãy mở rộng định thức này dọc theo dòng cuối cùng, chúng ta nhận được: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+...+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ở đây các số \(A_(kp)\) là phần bù đại số của các phần tử ở hàng dưới cùng \(D\). Giá trị của chúng không phụ thuộc vào \(k\), bởi vì được hình thành bằng cách sử dụng các phần tử từ dòng \(r\) đầu tiên. Trong trường hợp này, giá trị \(A_(ks)\) là thứ cơ bản, khác 0. Hãy ký hiệu \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Chúng ta hãy viết lại (16) bằng ký hiệu mới: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] hoặc chia cho \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Đẳng thức này hợp lệ với mọi giá trị của \(k\), vì vậy \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Vì vậy, cột thứ \(s-\) là sự kết hợp tuyến tính của các cột \(r\) đầu tiên. Định lý đã được chứng minh.

Bình luận.

Từ định lý cơ bản nhỏ, ta suy ra rằng thứ hạng của ma trận bằng số cột độc lập tuyến tính của nó (bằng số hàng độc lập tuyến tính).

Hệ quả 1.

Nếu định thức bằng 0 thì nó có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác.

Hệ quả 2.

Nếu thứ hạng của ma trận nhỏ hơn số cột thì các cột của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

Tính hạng của ma trận và tìm cơ sở thứ

Một số phép biến đổi ma trận không thay đổi thứ hạng của nó. Những biến đổi như vậy có thể được gọi là cơ bản. Các dữ kiện tương ứng có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các tính chất của định thức và xác định thứ hạng của ma trận.

1. Sắp xếp lại các cột.

2. Nhân các phần tử của một cột bất kỳ với một thừa số khác 0.

3. Thêm bất kỳ cột nào khác vào một cột, nhân với một số tùy ý.

4. Gạch bỏ cột số 0.

Điều này cũng đúng với chuỗi.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi này, ma trận có thể được chuyển đổi thành dạng được gọi là "hình thang" - một ma trận chỉ có các số 0 dưới đường chéo chính. Đối với ma trận "hình thang", hạng là số phần tử khác 0 trên đường chéo chính và phần tử cơ sở là phần tử phụ có đường chéo trùng với tập hợp các phần tử khác 0 trên đường chéo chính của ma trận được biến đổi.

Ví dụ. Hãy xem xét ma trận

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(mảng) \right). \] Chúng ta sẽ biến đổi nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi ở trên. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

Ở đây chúng tôi tuần tự thực hiện các bước sau: 1) sắp xếp lại dòng thứ hai lên trên cùng, 2) trừ dòng đầu tiên với phần còn lại với hệ số phù hợp, 3) trừ dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba 4 lần, thêm dòng thứ hai vào thứ tư, 4) gạch bỏ các dòng số 0 - dòng thứ ba và thứ tư . Ma trận cuối cùng của chúng ta đã có được hình dạng mong muốn: có các số khác 0 trên đường chéo chính và các số 0 ở dưới đường chéo chính. Sau đó, quy trình dừng lại và số phần tử khác 0 trên đường chéo chính bằng hạng của ma trận. Thứ cơ bản là hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên. Tại giao điểm của chúng có ma trận cấp 2 với định thức khác 0. Đồng thời, quay trở lại chuỗi các phép biến đổi, bạn có thể theo dõi hàng này hoặc hàng kia (cột này hoặc cột kia) trong ma trận cuối cùng đến từ đâu, tức là. xác định các hàng và cột cơ sở trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, hai hàng đầu tiên và hai cột đầu tiên tạo thành cơ sở thứ.

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất yêu cầu tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về thứ hạng ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp cho một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định thứ hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi đưa ra định nghĩa về hạng của ma trận, bạn nên hiểu rõ về khái niệm số thứ, và việc tìm các số hạng của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ lại lý thuyết của bài viết, các phương pháp tìm định thức của ma trận và các tính chất của định thức.

Hãy lấy một ma trận A có thứ tự . Cho k là một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là: .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông cấp bậc, gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột đã chọn trước và giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A.

Nói cách khác, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột và từ các phần tử còn lại chúng ta tạo ra một ma trận, giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận thu được là ma trận thứ cấp k của ma trận A.

Chúng ta hãy xem định nghĩa của ma trận thứ bằng một ví dụ.

Hãy xem xét ma trận .

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với thứ tự thứ nhất . Nói cách khác, để có được phần phụ này, chúng tôi đã gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư từ ma trận A và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A thì chúng ta sẽ nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa thủ tục để có được trẻ vị thành niên cấp một được coi là
Và .

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai . Phần này cũng có thể được tạo bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một thứ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp hai này
Và .

Tương tự, có thể tìm được các số hạng bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được cột thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách gạch bỏ cột cuối cùng của ma trận A.

Một thứ thứ ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Dưới đây là hình ảnh cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp ba này
Và .

Đối với ma trận A cho trước, không có cấp thứ nào lớn hơn thứ ba, vì .

Có bao nhiêu cấp số thứ k của ma trận cấp A?

Số lượng thứ tự k có thể được tính bằng , trong đó Và - số cách kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p theo n?

Chúng ta sẽ cần nhiều số hàng ma trận và nhiều số cột. Chúng tôi viết ra mọi thứ sự kết hợp của các phần tử p bởi k(chúng sẽ tương ứng với các hàng của ma trận A đã chọn khi xây dựng cấp thứ k). Đối với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta thêm tuần tự tất cả các tổ hợp n phần tử của k số cột. Những tập hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tạo ra tất cả các số thứ tự k.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các số hạng thứ hai của ma trận.

Giải pháp.

Vì bậc của ma trận ban đầu là 3 x 3 nên tổng số bậc hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Hãy lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Bằng cách chọn cột thứ nhất và thứ hai, cột thứ nhất và thứ ba, cột thứ hai và thứ ba cho các hàng này, chúng ta thu được các cột phụ tương ứng

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Vẫn còn phải thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Như vậy đã tìm được tất cả 9 số hạng bậc hai của ma trận A.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành xác định thứ hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của phần nhỏ khác 0 của ma trận.

Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A). Bạn cũng có thể tìm thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên. Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Ta cần tìm hạng của ma trận A có bậc .

Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các số hạng thứ hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử cấp hai khác 0 thì ta tiến hành liệt kê các phần tử cấp ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá giá trị nhỏ nhất trong các số p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Giải pháp.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang liệt kê trẻ vị thành niên bậc ba. Tổng số trong số họ đồ đạc.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh.

Hãy giải quyết khái niệm về cạnh nhỏ.

Người ta nói rằng M ok thứ cấp (k+1) của ma trận A giáp M thứ thứ k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với thứ M ok “chứa” ma trận tương ứng với thứ đó M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với phần tử giáp M được lấy từ ma trận tương ứng với phần tử giáp M ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và nhận đơn thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các phân số giáp cấp thứ k của ma trận A cấp p x n đều bằng 0, thì tất cả các cấp số thứ k+1 của ma trận A đều bằng 0.

Vì vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải đi qua tất cả các phần tử con đủ giáp. Số lượng con giáp thứ k của ma trận cấp A được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có nhiều số bé bao quanh cấp thứ k của ma trận A hơn số cấp (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy chuyển sang tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp ranh giới thứ. Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì với tư cách là phần tử bậc nhất, chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy nhìn vào trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một số bé giáp khác 0 (thứ tự của nó là hai), thì chúng ta tiến hành xem xét các số bé giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0 thì Hạng(A) = 2. Nếu ít nhất một phần phụ tiếp giáp khác 0 (thứ tự của nó là ba), thì chúng ta xem xét các phần phụ tiếp giáp của nó. Và như thế. Kết quả là, Hạng(A) = k nếu tất cả các số phụ giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0, hoặc Hạng(A) = min(p, n) nếu không có số không thứ bao quanh thứ tự thứ (min( p, n) – 1) .

Chúng ta hãy xem phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên.

Giải pháp.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ giáp ranh khác 0:

Một cạnh nhỏ bậc hai, khác 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của chúng đồ đạc):

Tất cả các phần tử giáp với phần tử bậc hai đều bằng 0, do đó hạng của ma trận A bằng hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận sử dụng trẻ vị thành niên giáp ranh.

Giải pháp.

Là phần tử thứ nhất khác 0, ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Trẻ vị thành niên xung quanh thuộc cấp độ thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên cấp ba
. Vì nó không bằng 0 và không có một phần nhỏ giáp nào cho nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Trả lời:

Hạng(A) = 3 .

Tìm thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản (phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi cơ bản:

• sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;
• nhân tất cả các phần tử của hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý, khác 0;
• thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B thu được từ A bằng cách sử dụng hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được ký hiệu bằng ký hiệu “~”, nghĩa là được viết là A ~ B.

Việc tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên câu lệnh: nếu ma trận B thu được từ ma trận A bằng cách sử dụng số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì Rank(A) = Rank(B) .

Giá trị của tuyên bố này xuất phát từ các tính chất của định thức của ma trận:

• Khi sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi sắp xếp lại các hàng (cột) vẫn bằng 0.
• Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận gốc nhân với k. Nếu định thức của ma trận ban đầu bằng 0 thì sau khi nhân tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ với số k, định thức của ma trận thu được cũng sẽ bằng 0.
• Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản bao gồm việc giảm ma trận có hạng mà chúng ta cần tìm thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Tại sao việc này lại được thực hiện? Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra các minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ chuyển đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận A khác 0 có cấp độ (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0 thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng 0 đến một.

Nếu trong các dòng từ thứ hai đến thứ p có ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận A (2) được đánh dấu trong hình.

Nếu , thì chúng ta sắp xếp lại các hàng và (hoặc) cột của ma trận A (2) sao cho phần tử “mới” trở thành khác 0.

Vì thế, . Ta nhân từng phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với . Ta thu được ma trận tương đương A(3):

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận kết quả A (3), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ tư, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của dòng thứ hai nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (4):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ ba đến thứ p đều bằng 0, thì thứ hạng của ma trận này bằng hai và do đó, Hạng(A) = 2.

Nếu các dòng từ dòng thứ ba đến dòng thứ p chứa ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận được đánh dấu trong hình

Phần tử này khác 0 nên chúng ta có thể nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận A (2) với:

Đối với các phần tử của hàng thứ ba của ma trận thu được, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ tư – các phần tử của dòng thứ hai nhân với ; đến các phần tử của dòng thứ năm – các phần tử của dòng thứ hai, nhân với:

Tất cả các phần tử của hàng thứ ba, thứ tư và thứ năm của ma trận kết quả đều bằng 0. Vì vậy, bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã đưa ma trận A về dạng hình thang, từ đó có thể thấy Hạng(A (4)) = 2. Vì vậy, hạng của ma trận ban đầu cũng là hai.

Vì vậy, cột đầu tiên được chuyển đổi sang dạng mong muốn.

Phần tử trong ma trận kết quả khác 0. Nhân các phần tử của dòng thứ hai với:

Cột thứ hai của ma trận kết quả có dạng mong muốn, vì phần tử đã bằng 0.

Vì , a , nên hoán đổi cột thứ ba và thứ tư:

Hãy nhân hàng thứ ba của ma trận kết quả với:

Điều này kết thúc sự chuyển đổi. Chúng ta có Hạng(A (5))=3, do đó, Hạng(A)=3.

Trả lời:

Thứ hạng của ma trận ban đầu là ba.

Tóm tắt.

Chúng tôi đã xem xét khái niệm thứ hạng ma trận và xem xét ba cách để tìm ra nó:

• theo định nghĩa bằng cách liệt kê tất cả trẻ vị thành niên;
• phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên;
• bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Nên luôn sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản khi tìm hạng của ma trận, vì nó dẫn đến kết quả tính toán ít hơn so với phương pháp giáp các phần tử phụ và thậm chí còn hơn thế so với phương pháp liệt kê tất cả các phần tử thứ của một ma trận.