Phần tử lớn nhất của tập hợp được sắp thứ tự một phần. Thuật ngữ và chỉ định. Các loại bộ đặc biệt được đặt hàng một phần

Tài liệu từ Wikipedia - bách khoa toàn thư miễn phí

Bộ được đặt hàng một phần- một khái niệm toán học hình thức hóa các ý tưởng trực quan về việc sắp xếp, sắp xếp các phần tử theo một trình tự nhất định. Một cách không chính thức, một tập hợp được sắp xếp một phần nếu nó được chỉ định phần tử nào theo cho cái gì (yếu tố nào hơn cái nào). TRONG trường hợp chung Có thể một số cặp phần tử không có quan hệ với nhau " theo sau».

Như một ví dụ trừu tượng, chúng ta có thể đưa ra một tập hợp con của một tập hợp ba phần tử $$ XYZ$$ (boolean bộ đã cho), được sắp xếp theo quan hệ bao hàm.

Định nghĩa và ví dụ

theo thứ tự, hoặc trật tự một phần, trên trường quay $M$ gọi là quan hệ nhị phân $\varphi$ TRÊN $M$ (được xác định bởi một số tập hợp $R_(\varphi) \subset M \times M$ ), thỏa mãn các điều kiện sau:

tính phản xạ: $\forall a\; (a \varphi a)$
Tính chuyển tiếp: $\forall a, b, c\; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c$
phản đối xứng : $\forall a, b\; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b$

Một loạt $M$ , trên đó quan hệ thứ tự một phần được chỉ định, được gọi là đặt hàng một phần. Nói một cách hoàn toàn chính xác, một tập hợp có thứ tự một phần là một cặp $\langle M, \varphi \rangle$ , Ở đâu $M$ - rất nhiều và $\varphi$ - quan hệ thứ tự một phần trên $M$ .

Thuật ngữ và ký hiệu

Quan hệ thứ tự từng phần thường được biểu thị bằng ký hiệu $\leqslant$ , tương tự với quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” trên tập hợp số thực. Đồng thời, nếu $a\leqslant b$ , thì người ta nói rằng phần tử $Một$ không vượt quá $b$ , hay cái gì $Một$ cấp dưới $b$ .

Nếu như $a\leqslant b$ Và $a \neq b$ , sau đó họ viết $Một< b$ , và họ nói rằng $Một$ ít hơn $b$ , hay cái gì $Một$ phụ thuộc chặt chẽ $b$ .

Đôi khi, để phân biệt một thứ tự tùy ý trên một tập hợp nhất định với một quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” đã biết trên tập hợp đó số thực, thay vì $\leqslant$ Và $<$ sử dụng ký tự đặc biệt $\preccurlyeq$ Và $\prec$ tương ứng.

Trật tự nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt

Một mối quan hệ thỏa mãn các điều kiện phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng còn được gọi là không nghiêm khắc, hoặc trật tự phản xạ. Nếu thay điều kiện phản xạ bằng điều kiện chống phản xạ(khi đó tính chất phản đối xứng sẽ được thay thế bằng tính chất bất đối xứng):

$\forall a\; \neg (a \varphi a)$

sau đó chúng ta có được định nghĩa nghiêm ngặt, hoặc lệnh phản phản xạ.

Nếu như $\leqslant$ - trật tự lỏng lẻo trên trường quay $M$ , thì mối quan hệ $<$ , định nghĩa là:

$Một< b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$

là một mệnh lệnh nghiêm ngặt về $M$ . Quay lại nếu $<$ - trật tự nghiêm ngặt, sau đó là thái độ $\leqslant$ , định nghĩa là

$a\leqslant b\; \overset(\mathrm(def))(\Longleftrightarrow) \; (Một< b) \vee (a = b)$

là một mệnh lệnh không nghiêm ngặt.

Do đó, không có gì khác biệt giữa việc xác định thứ tự lỏng lẻo hay thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp. Kết quả sẽ có cấu trúc tương tự. Sự khác biệt duy nhất là về thuật ngữ và chỉ định.

Ví dụ

Bộ trên và dưới

Các loại bộ đặc biệt được đặt hàng một phần

Tập hợp có thứ tự tuyến tính

Cho phép $\langle M, \leqslant\rangle$ là tập được sắp thứ tự một phần. Nếu ở $M$ bất kỳ hai phần tử nào cũng có thể so sánh được thì tập hợp $M$ gọi điện được sắp xếp tuyến tính. Tập hợp có thứ tự tuyến tính còn được gọi là hoàn toàn có trật tự, hoặc đơn giản, bộ đặt hàng. Do đó, trong một tập hợp có thứ tự tuyến tính cho hai phần tử bất kỳ $Một$ Và $b$ một và chỉ một trong các mối quan hệ giữ nguyên: hoặc $Một, hoặc a=b, hoặc b .$

Ngoài ra, bất kỳ tập hợp con có thứ tự tuyến tính nào của tập hợp có thứ tự một phần đều được gọi là xích, nghĩa là một chuỗi trong một tập được sắp thứ tự một phần $\langle M, \leqslant \rangle$ - một tập hợp con của nó trong đó hai phần tử bất kỳ có thể so sánh được.

Trong các ví dụ trên về tập hợp được sắp thứ tự một phần, chỉ có tập hợp số thực là được sắp thứ tự tuyến tính. Tập hợp các hàm có giá trị thực trên một khoảng (cho rằng $Một), Boolean \mathcal(P)(M) (Tại |M|\geqslant 2), các số tự nhiên có quan hệ chia hết không được sắp xếp tuyến tính.$

Trong một tập hợp có thứ tự tuyến tính, các khái niệm nhỏ nhất và tối thiểu cũng như lớn nhất và tối đa trùng khớp với nhau.

Bộ có thứ tự tốt

Một tập hợp có thứ tự tuyến tính được gọi là khá trật tự, nếu mỗi tập con không rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Thứ tự như vậy trên một tập hợp được gọi là theo thứ tự hoàn hảo, trong bối cảnh không thể nhầm lẫn nó với trật tự hoàn chỉnh theo nghĩa .

Một ví dụ kinh điển về tập hợp có thứ tự tốt là tập hợp các số tự nhiên $\mathbb(N)$ . Tuyên bố rằng bất kỳ tập hợp con nào không trống $\mathbb(N)$ chứa phần tử nhỏ nhất, tương đương với nguyên lý quy nạp toán học. Một ví dụ về tập hợp có thứ tự tuyến tính nhưng không hoàn toàn có thứ tự là tập hợp các số không âm, được sắp thứ tự tự nhiên. $\mathbb(R)_(+) = $ x: x \geqslant 0$$ . Thật vậy, tập con của nó $$x: x > 1$$ không có phần tử nhỏ nhất.

Các tập hợp có thứ tự tốt đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong lý thuyết tập hợp tổng quát.

Hoàn thành bộ được đặt hàng một phần- một tập hợp được sắp xếp một phần có đáy là phần tử duy nhất đứng trước mọi phần tử khác và mỗi tập hợp con có hướng của nó có giới hạn trên chính xác. Các tập hợp được sắp xếp một phần hoàn chỉnh được sử dụng trong phép tính λ và khoa học máy tính, đặc biệt, cấu trúc liên kết của Scott được giới thiệu trên chúng, trên cơ sở đó một mô hình nhất quán của phép tính λ và ngữ nghĩa biểu thị. Trường hợp đặc biệt của một tập hợp hoàn chỉnh được sắp thứ tự một phần là một mạng hoàn chỉnh - nếu bất kỳ tập hợp con nào, không nhất thiết có hướng, có giá trị tối đa thì nó trở thành một mạng hoàn chỉnh.

Bộ đặt hàng $M$ được sắp thứ tự một phần hoàn toàn khi và chỉ nếu mỗi hàm $f\dấu hai chấm M\rightarrow M$ , đơn điệu theo thứ tự ( $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$ ) có ít nhất một điểm cố định: $\exists _(x \in M) f(x)=x$ .

Bộ bất kỳ $M$ có thể được biến thành một thứ tự hoàn chỉnh một phần bằng cách làm nổi bật phần dưới cùng $\người máy$ và xác định thứ tự $\leqslant$ Làm sao $\bot \leqslant m$ Và $m\leqslant m$ cho tất cả các phần tử $tôi$ bộ $M$ .

Định lý về tập hợp có thứ tự một phần

Các định lý cơ bản về tập hợp có thứ tự từng phần bao gồm Nguyên lý cực đại Hausdorff Và Bổ đề Kuratowski-Zorn. Mỗi định lý này đều tương đương với tiên đề lựa chọn.

Trong lý thuyết thể loại

Mọi tập hợp được sắp thứ tự một phần (và mọi tập hợp thứ tự trước) có thể được coi là một phạm trù, trong đó mọi tập hợp hình thái $\mathrm(Hom)(A,B)$ gồm nhiều nhất một phần tử. Ví dụ: danh mục này có thể được định nghĩa như thế này: $\mathrm(Hom)(A,B)=$(A,B)$$ , Nếu như MỘT ≤ B(và tập trống khác); quy tắc thành phần hình thái: ( y, z)∘(x, y) = (x, z). Mỗi danh mục đặt hàng trước tương đương với một bộ được đặt hàng một phần.

Viết nhận xét về bài viết “Bộ được sắp xếp một phần”

Ghi chú

Văn học

Alexandrov P. S. Giới thiệu về lý thuyết tập hợp và cấu trúc liên kết tổng quát. - M.: Nauka, 1977. - 368 tr.
Barendregt, Henk. Phép tính Lambda. Cú pháp và ngữ nghĩa của nó = Phép tính Lambda. Cú pháp và ngữ nghĩa của nó. - M.: Mir, 1985. - 606 tr. - 4800 bản.
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Các yếu tố của lý thuyết về chức năng và phân tích chức năng. - tái bản lần thứ 7. - M.: Fizmatlit, 2004. - 572 tr. - ISBN 5-9221-0266-4.
Hausdorff F.Đặt lý thuyết. - tái bản lần thứ 4. - M.: URSS, 2007. - 304 tr. - ISBN 978-5-382-00127-2.
Gurov S.I.Đại số Boolean, tập hợp có thứ tự, mạng: Định nghĩa, tính chất, ví dụ. - tái bản lần thứ 2. - M.: Librocom, 2013. - 352 tr. - ISBN 978-5-397-03899-7.

Xem thêm

Một đoạn trích mô tả một tập hợp được sắp thứ tự một phần

Con vật bị giết gần Borodino nằm ở đâu đó mà người thợ săn bỏ chạy đã để lại; nhưng liệu anh ta còn sống, liệu anh ta có mạnh mẽ hay không, hay anh ta chỉ đang lẩn trốn, người thợ săn không biết. Đột nhiên tiếng rên rỉ của con thú này vang lên.
Tiếng rên rỉ của con thú bị thương này, quân đội Pháp, đã bộc lộ sự tàn phá của nó, là việc gửi Lauriston đến trại của Kutuzov với yêu cầu hòa bình.
Napoléon, với niềm tin rằng không chỉ điều tốt mới là điều tốt, mà cả những điều tốt nảy ra trong đầu ông, đã viết cho Kutuzov những lời đầu tiên xuất hiện trong đầu ông và chẳng có ý nghĩa gì. Anh đã viết:

“Monsieur le Prince Koutouzov,” anh ấy viết, “j”envoie pres de vous un de mes aides de camps generic pour vous entretenir de plusieurs objets interessants. Je Desire que Votre Altesse ajoute foi a ce qu”il lui dira, surtout lorsqu” il exprimera les tình cảm d"estime et de particuliere xem xét que j"ai depuis longtemps pour sa peoplene... Cette lettre n"etant a autre fin, je prie Dieu, Monsieur le Prince Koutouzov, qu"il vous ait en sa sainte et bảo vệ nghiêm túc,
Moscou, ngày 3 tháng 10 năm 1812. Signe:
Napoléon."
[Hoàng tử Kutuzov, tôi sẽ cử một trong những phụ tá chung của tôi đến đàm phán với bạn về nhiều vấn đề quan trọng. Tôi xin Đức ông hãy tin tất cả những gì ông ấy nói với ông, đặc biệt là khi ông ấy bắt đầu bày tỏ với ông những tình cảm tôn trọng và tôn kính đặc biệt mà tôi đã dành cho ông từ lâu. Vì vậy, tôi cầu xin Chúa gìn giữ em dưới mái nhà thiêng liêng của Người.
Mátxcơva, ngày 3 tháng 10 năm 1812.
Napoléon. ]

“Je serais maudit par la posterite si l"on me carerait comme le prime moteur d"un chỗ ở quelconque. Tel est l "esprit Actuel de ma country", [Tôi sẽ chết tiệt nếu họ coi tôi là kẻ chủ mưu đầu tiên của bất kỳ thỏa thuận nào; đó là ý chí của nhân dân chúng tôi.] - Kutuzov trả lời và tiếp tục dùng hết sức lực cho việc đó để quân không tiến lên được.
Vào tháng xảy ra vụ cướp của quân Pháp ở Mátxcơva và sự dừng bước lặng lẽ của quân Nga gần Tarutin, một sự thay đổi đã xảy ra về sức mạnh của cả hai đội quân (tinh thần và quân số), do đó lợi thế về sức mạnh thuộc về phía bên kia. phía người Nga. Mặc dù người Nga chưa biết rõ vị thế và sức mạnh của quân đội Pháp, nhưng thái độ đã thay đổi nhanh chóng như thế nào, nhu cầu tấn công ngay lập tức được thể hiện bằng vô số dấu hiệu. Những dấu hiệu này là: việc cử Lauriston đến, và lượng quân nhu dồi dào ở Tarutino, và thông tin đến từ mọi phía về sự thiếu hành động và rối loạn của quân Pháp, cũng như việc tuyển mộ tân binh vào các trung đoàn của chúng tôi, thời tiết tốt và thời gian nghỉ ngơi kéo dài của quân đội. Những người lính Nga, và những người còn lại thường nảy sinh trong quân đội do nghỉ ngơi, thiếu kiên nhẫn để thực hiện nhiệm vụ mà mọi người đã tập trung lại, và sự tò mò về những gì đang xảy ra trong quân đội Pháp, vốn đã bị lãng quên từ lâu, và lòng dũng cảm mà các tiền đồn của Nga hiện đang rình mò quân Pháp đóng ở Tarutino, tin tức về những chiến thắng dễ dàng trước quân Pháp của nông dân và các đảng phái, sự ghen tị dấy lên bởi điều này, và cảm giác trả thù hằn sâu trong tâm hồn mỗi người như Chừng nào người Pháp còn ở Mátxcơva, và (quan trọng nhất) điều không rõ ràng nhưng đã nảy sinh trong tâm hồn mỗi người lính, ý thức rằng mối quan hệ lực lượng giờ đây đã thay đổi và lợi thế nghiêng về phía chúng ta. Sự cân bằng lực lượng cơ bản đã thay đổi và một cuộc tấn công trở nên cần thiết. Và ngay lập tức, chắc chắn như tiếng chuông bắt đầu điểm và phát trong một chiếc đồng hồ, khi kim đã tạo thành một vòng tròn hoàn chỉnh, ở các quả cầu cao hơn, phù hợp với sự thay đổi đáng kể về lực, chuyển động tăng lên, tiếng rít và tiếng chơi của quả cầu. chuông đã được phản ánh.

Quân đội Nga do Kutuzov chỉ huy với trụ sở chính và chủ quyền từ St. Petersburg. Tại St. Petersburg, ngay cả trước khi nhận được tin Moscow bị bỏ rơi, một kế hoạch chi tiết cho toàn bộ cuộc chiến đã được soạn thảo và gửi đến Kutuzov để được hướng dẫn. Mặc dù kế hoạch này được soạn thảo với giả định Moscow vẫn nằm trong tay chúng ta nhưng kế hoạch này đã được Bộ chỉ huy thông qua và chấp nhận thực hiện. Kutuzov chỉ viết rằng việc phá hoại tầm xa luôn khó thực hiện. Và để giải quyết những khó khăn gặp phải, những hướng dẫn và người mới đã được gửi đến, những người có nhiệm vụ theo dõi hành động của anh ta và báo cáo về chúng.
Ngoài ra, hiện nay toàn bộ trụ sở của quân đội Nga đã được chuyển đổi. Nơi ở của Bagration bị sát hại và Barclay đã nghỉ hưu bị xúc phạm đã được thay thế. Họ đã suy nghĩ rất nghiêm túc về việc điều gì sẽ tốt hơn: đặt A. vào vị trí của B., và B. vào vị trí của D., hoặc ngược lại, D. vào vị trí của A., v.v., như nếu có điều gì khác ngoài niềm vui của A. và B. thì có thể phụ thuộc vào điều này.
Tại trụ sở quân đội, nhân dịp Kutuzov có thái độ thù địch với tham mưu trưởng của ông ta, Bennigsen, và sự có mặt của các đại diện thân tín của chủ quyền và các phong trào này, một trò chơi phức tạp hơn thường lệ của các bên đã diễn ra: A. phá hoại B., D ... dưới S., v.v., trong tất cả các chuyển động và kết hợp có thể có. Với tất cả những sự phá hoại này, chủ đề của âm mưu chủ yếu là vấn đề quân sự mà tất cả những người này cho là sẽ lãnh đạo; nhưng việc quân sự này vẫn diễn ra độc lập với họ, đúng như lẽ ra nó phải diễn ra, tức là không bao giờ trùng khớp với những gì người ta nghĩ ra mà xuất phát từ bản chất thái độ của quần chúng. Tất cả những phát minh này, đan xen và đan xen, ở những lĩnh vực cao hơn chỉ thể hiện sự phản ánh chân thực về những gì sắp xảy ra.
“Hoàng tử Mikhail Ilarionovich! – vị vua viết vào ngày 2 tháng 10 trong một bức thư nhận được sau Trận Tarutino. – Kể từ ngày 2 tháng 9, Mátxcơva đã nằm trong tay kẻ thù. Báo cáo cuối cùng của bạn là từ ngày 20; và trong suốt thời gian này, không những không làm gì để chống lại kẻ thù và giải phóng thủ đô, mà thậm chí, theo báo cáo mới nhất của các ông, các ông còn rút lui. Serpukhov đã bị chiếm đóng bởi một đội quân địch, và Tula, với sự nổi tiếng và rất cần thiết cho nhà máy quân đội, đang gặp nguy hiểm. Từ báo cáo của Tướng Wintzingerode, tôi thấy Quân đoàn 10.000 của địch đang di chuyển dọc theo đường St. Petersburg. Một chiếc khác, với số lượng vài nghìn chiếc, cũng đang được đệ trình lên Dmitrov. Chiếc thứ ba tiến về phía trước dọc theo con đường Vladimir. Điều thứ tư, khá quan trọng, đứng giữa Ruza và Mozhaisk. Bản thân Napoléon đã có mặt ở Moscow vào ngày 25. Theo tất cả những thông tin này, khi kẻ thù chia cắt lực lượng của mình thành các phân đội mạnh, khi bản thân Napoléon vẫn còn ở Moscow, cùng với lính canh của mình, phải chăng lực lượng địch trước mặt bạn rất đông và không cho phép bạn hành động tấn công? Ngược lại, với xác suất, phải giả định rằng hắn đang truy đuổi bạn bằng các phân đội, hoặc ít nhất là một quân đoàn, yếu hơn nhiều so với đội quân được giao phó cho bạn. Có vẻ như, lợi dụng những hoàn cảnh này, chúng ta có thể tấn công kẻ thù yếu hơn mình một cách có lợi và tiêu diệt hắn hoặc ít nhất, buộc hắn phải rút lui, giữ lại trong tay chúng ta một phần cao quý các tỉnh hiện đang bị kẻ thù chiếm đóng, và do đó ngăn chặn mối nguy hiểm từ Tula và các thành phố nội thành khác của chúng ta. Bạn sẽ phải chịu trách nhiệm nếu kẻ thù có thể cử một quân đoàn đáng kể đến St. Petersburg để đe dọa thủ đô này, nơi không còn nhiều quân, vì với đội quân được giao phó cho bạn, hành động quyết tâm và tích cực, bạn có mọi cách để ngăn chặn điều bất hạnh mới này. Hãy nhớ rằng bạn vẫn còn nợ tổ quốc bị xúc phạm vì đã để mất Mátxcơva. Bạn đã trải nghiệm sự sẵn sàng của tôi để thưởng cho bạn. Sự sẵn sàng này sẽ không yếu đi trong tôi, nhưng tôi và nước Nga có quyền mong đợi ở các bạn tất cả lòng nhiệt thành, sự kiên định và thành công mà trí thông minh, tài năng quân sự và lòng dũng cảm của các bạn đã báo trước cho chúng tôi.”
Nhưng trong khi lá thư này, chứng minh rằng mối quan hệ lực lượng đáng kể đã được phản ánh ở St. Petersburg, đang được gửi đến, Kutuzov không thể ngăn cản đội quân do ông chỉ huy tấn công nữa, và trận chiến đã diễn ra.
Vào ngày 2 tháng 10, Cossack Shapovalov, khi đang đi du lịch, đã dùng súng giết một con thỏ rừng và bắn một con khác. Đuổi theo một con thỏ rừng bị bắn, Shapovalov đi sâu vào rừng và băng qua cánh trái của quân Murat, đứng đó không hề đề phòng. Người Cossack vừa cười vừa kể cho đồng đội nghe việc mình suýt bị quân Pháp bắt. Chiếc cornet nghe được câu chuyện này liền báo cáo với người chỉ huy.
Người Cossack được gọi đến và thẩm vấn; Các chỉ huy Cossack muốn nhân cơ hội này để chiếm lại ngựa, nhưng một trong những chỉ huy, quen thuộc với cấp bậc cao nhất của quân đội, đã báo cáo sự việc này với tướng tham mưu. Gần đây, tình hình tại trụ sở quân đội vô cùng căng thẳng. Ermolov, vài ngày trước, đã đến Bennigsen, cầu xin ông ta sử dụng ảnh hưởng của mình đối với tổng tư lệnh để thực hiện một cuộc tấn công.
“Nếu tôi không biết bạn, tôi sẽ nghĩ rằng bạn không muốn những gì bạn đang yêu cầu.” “Ngay khi tôi khuyên một điều, Hoàng thân Serene có thể sẽ làm điều ngược lại,” Bennigsen trả lời.
Tin tức về người Cossacks, được xác nhận bởi các đội tuần tra được cử đi, đã chứng minh sự trưởng thành cuối cùng của sự kiện. Sợi dây căng ra nhảy lên, đồng hồ rít lên và tiếng chuông bắt đầu vang lên. Bất chấp tất cả sức mạnh tưởng tượng, trí thông minh, kinh nghiệm, kiến thức về con người của mình, Kutuzov, có tính đến ghi chú từ Bennigsen, người đã đích thân gửi báo cáo cho chủ quyền, mong muốn tương tự của tất cả các tướng lĩnh, mong muốn của chủ quyền mà anh ta đảm nhận và việc tập hợp những người Cossacks, không còn có thể hạn chế sự di chuyển không thể tránh khỏi và ra lệnh cho những gì anh ta cho là vô ích và có hại - anh ta chúc phúc cho sự thật đã hoàn thành.

Bản ghi chú do Bennigsen đệ trình về sự cần thiết của một cuộc tấn công, và thông tin từ người Cossacks về cánh trái không được che chắn của quân Pháp chỉ là những dấu hiệu cuối cùng cho thấy cần phải ra lệnh tấn công, và cuộc tấn công đã được lên kế hoạch vào ngày 5 tháng 10.
Sáng ngày 4 tháng 10, Kutuzov đã ký quyết định. Tol đọc nó cho Yermolov, mời anh ta đảm nhận những mệnh lệnh tiếp theo.
“Được rồi, được rồi, bây giờ tôi không có thời gian,” Ermolov nói và rời khỏi túp lều. Bố cục do Tol biên soạn rất tốt. Giống như bố cục của Austerlitz, nó được viết, mặc dù không phải bằng tiếng Đức:
“Die erste Colonne marschiert [Cột đầu tiên đi (tiếng Đức)] theo cách này và thế kia, die zweite Colonne marschiert [cột thứ hai đi (tiếng Đức)] theo cách này và cách kia,” v.v. Và tất cả các cột trên giấy này họ đã đến vị trí của họ vào thời gian đã định và tiêu diệt kẻ thù. Mọi thứ, như trong mọi cách bố trí, đều được tính toán một cách hoàn hảo, và cũng như trong mọi cách bố trí, không một cột nào đến đúng thời điểm và đúng vị trí của nó.
Khi việc xử lý đã sẵn sàng với số lượng bản sao cần thiết, một sĩ quan được gọi đến và cử đến Ermolov để giao giấy tờ cho anh ta để thi hành. Một sĩ quan kỵ binh trẻ, người phục vụ của Kutuzov, hài lòng với tầm quan trọng của nhiệm vụ được giao, đã đến căn hộ của Ermolov.
“Chúng tôi đi rồi,” Yermolov trả lời có trật tự. Sĩ quan kỵ binh đến gặp vị tướng thường đến thăm Ermolov.
- Không, và không có tướng quân.
Sĩ quan kỵ binh ngồi trên lưng ngựa cưỡi ngựa tới chỗ khác.
- Không, họ đã đi rồi.
“Làm sao tôi có thể không chịu trách nhiệm về sự chậm trễ này! Xấu hổ làm sao! - viên sĩ quan nghĩ. Anh ấy đã đi tham quan toàn bộ trại. Một số người nói rằng họ đã nhìn thấy Ermolov đi đâu đó cùng các tướng lĩnh khác, một số người nói rằng có lẽ ông ấy đã về nhà. Viên sĩ quan chưa ăn trưa đã khám xét đến tận sáu giờ tối. Ermolov không ở đâu cả và không ai biết anh ta ở đâu. Người sĩ quan nhanh chóng ăn nhẹ với đồng đội rồi quay lại đội tiên phong để gặp Miloradovich. Miloradovich cũng không có ở nhà, nhưng sau đó người ta cho biết Miloradovich đang dự vũ hội của Tướng Kikin, và chắc chắn Yermolov cũng có mặt ở đó.
- Nó đâu rồi?
“Ở đằng kia, ở Echkino,” viên sĩ quan Cossack nói và chỉ vào nhà một chủ đất ở xa.
- Ở đằng sau sợi dây chuyền như thế nào?
- Họ đưa hai trung đoàn của chúng ta vào một chuỗi, bây giờ ở đó đang diễn ra một cuộc vui như vậy, thật là một thảm họa! Hai bản nhạc, ba dàn hợp xướng của các nhạc sĩ.
Viên cảnh sát đi sau dây chuyền đến chỗ Echkin. Từ xa đến gần nhà, anh đã nghe thấy những âm thanh thân thiện, vui tươi của điệu múa của người lính.
“Ở đồng cỏ, à… ở đồng cỏ!…” - anh nghe thấy tiếng anh huýt sáo và lạch cạch, thỉnh thoảng bị át đi bởi những tiếng la hét. Người sĩ quan cảm thấy vui mừng trong lòng trước những âm thanh này, nhưng đồng thời cũng sợ rằng mình sẽ phải chịu trách nhiệm vì đã không truyền lệnh quan trọng được giao cho mình bấy lâu nay. Đã chín giờ rồi. Anh ta xuống ngựa và bước vào hiên nhà và tiền sảnh của một trang viên rộng lớn, còn nguyên vẹn, nằm giữa người Nga và người Pháp. Trong phòng đựng thức ăn và ngoài hành lang, những người hầu đang hối hả mang theo rượu và bát đĩa. Có những cuốn sách bài hát dưới cửa sổ. Người sĩ quan được dẫn qua cửa, anh ta đột nhiên nhìn thấy tất cả những vị tướng quan trọng nhất của quân đội cùng nhau, bao gồm cả thân hình to lớn, đáng chú ý của Ermolov. Tất cả các tướng đều mặc áo dài không cài cúc, mặt đỏ bừng, cười lớn, đứng thành hình bán nguyệt. Ở giữa đại sảnh, một vị tướng lùn đẹp trai với khuôn mặt đỏ bừng đang thực hiện một cú đập thông minh và khéo léo.
- Hà, hà, hà! Ồ vâng Nikolai Ivanovich! ha, ha, ha!..
Viên sĩ quan cảm thấy rằng khi bước vào lúc này với một mệnh lệnh quan trọng, anh ta có tội gấp đôi, và anh ta muốn chờ đợi; nhưng một trong những vị tướng đã nhìn thấy anh ta và biết được mục đích của anh ta nên đã nói với Ermolov. Ermolov cau mày đi ra gặp viên sĩ quan và sau khi nghe xong đã lấy tờ giấy từ tay anh ta mà không nói gì với anh ta.
- Cậu có nghĩ anh ấy bỏ đi một cách ngẫu nhiên không? - một đồng chí tham mưu đã nói với một sĩ quan kỵ binh về Ermolov vào tối hôm đó. - Đây là những thứ, tất cả đều có mục đích. Hãy cho Konovnitsyn đi nhờ. Hãy nhìn xem, ngày mai sẽ hỗn loạn biết bao!

Ngày hôm sau, vào sáng sớm, Kutuzov già nua thức dậy, cầu nguyện Chúa, mặc quần áo và với ý thức khó chịu rằng mình phải lãnh đạo một trận chiến mà ông không chấp thuận, ông lên xe ngựa và lái ra khỏi Letashevka. , năm dặm phía sau Tarutin, đến nơi tập hợp các cột tiến công. Kutuzov cưỡi ngựa, ngủ quên rồi thức dậy và lắng nghe xem có phát súng nào bên phải không, mọi chuyện đã bắt đầu chưa? Nhưng mọi thứ vẫn im lặng. Bình minh của một ngày mùa thu ẩm ướt và nhiều mây vừa mới bắt đầu. Đến gần Tarutin, Kutuzov nhận thấy những kỵ binh đang dắt ngựa băng qua con đường mà cỗ xe đang đi. Kutuzov nhìn họ kỹ hơn, dừng xe và hỏi trung đoàn nào? Những người kỵ binh đến từ đoàn quân đáng lẽ phải đi trước trong trận phục kích. “Có thể đó là một sai lầm,” vị tổng tư lệnh già nghĩ. Tuy nhiên, khi lái xe xa hơn nữa, Kutuzov nhìn thấy các trung đoàn bộ binh, súng trên giá, binh lính với cháo và củi, trong quần lót. Một sĩ quan được gọi tới. Viên chức báo cáo rằng không có lệnh di chuyển.

Tập M trong đó đưa vào một quan hệ thứ tự, tức là với một số cặp phần tử x, y, một quan hệ trừu tượng x phải tuân theo x đã giới thiệu ở trên (khi đó gọi là một thứ tự chặt chẽ), quan hệ được kết nối như sau: hoặc

Ví dụ. 1. Tập hợp số thực theo thứ tự thông thường; nghĩa là số đó dương. Trong trường hợp này, với bất kỳ cặp phần tử y hoặc

Tập hợp tất cả các ma trận có phần tử thực; có nghĩa là đối với tất cả mọi người trừ . Rõ ràng là có những ma trận “không thể so sánh được” mà cả hai đều không

Tính bội số của tất cả các hàm liên tục trên một đoạn có nghĩa là đối với tất cả trừ

Trong trường hợp này, cũng tồn tại các cặp mà cả hai đều không

Khái niệm thứ tự từng phần rất quan trọng khi kết hợp với các cấu trúc đại số (ví dụ nhóm Abelian), hoặc đại số và tôpô (trong lý thuyết về không gian tuyến tính có thứ tự một phần). Đặt hàng một phần trong cybern. các hệ thống thường có đặc điểm là sự phụ thuộc có thứ bậc. Mô hình đơn giản nhất của sự phụ thuộc như vậy là mối quan hệ phụ thuộc giữa các mặt của một hình đơn hình: nó có nghĩa là mặt x là mặt thực sự của mặt y.

Nếu M - Ch.y. m.có thứ tự thì đặt a -K b khi và chỉ nếu chúng ta xác định một thứ tự mới trên M. Kết quả là Ch. kép (hoặc kép) đối với M. Đối với bất kỳ phát biểu nào về Ch. m.có một tuyên bố kép thu được bằng cách thay thế ký hiệu. Ví dụ: hình nón dưới của sự thay thế A trong Ch. m.M được xác định bởi điều kiện a với mọi a hình nón trên theo điều kiện: với mọi phần tử là lớn nhất nếu hoặc nhỏ nhất nếu a. Yếu tố a trong Ch.u. lớn nhất (hoặc một) nếu a cho tất cả . Phần tử nhỏ nhất (hoặc số 0) được xác định kép. Tất nhiên, mọi phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) đều là phần tử tối đa (tối thiểu), nhưng không phải ngược lại. Nếu trong số các phần tử của hình nón dưới ngoài a có phần tử lớn nhất b thì a được gọi là che b (hoặc b ngay trước a, hoặc a ngay sau b). Nếu Ch. m.M có “0” và “1”, sau đó là hàng chứa cái gọi là. hàng thành phần.

Trong nghiên cứu Ch. m.và các ứng dụng của chúng, nguyên lý nhị nguyên cực kỳ hữu ích: nếu bất kỳ định lý nào về Ch. được xây dựng theo các thuật ngữ logic tổng quát và các điều khoản về trật tự thì định lý đối ngẫu của nó cũng có giá trị.

Nếu với mọi phần tử x và y từ Ch.y. m. M một và chỉ một trong ba mệnh đề đúng: khi đó tập M được gọi. được sắp xếp tuyến tính (hoặc được sắp xếp hoàn hảo, cũng như một chuỗi). Mọi phần tử tối thiểu (tối đa) của một tập hợp có thứ tự tuyến tính đều là phần tử nhỏ nhất (lớn nhất). Nói chung, các tập con của một tập có thứ tự tuyến tính không có cực tiểu. các yếu tố; ví dụ, trong một tập hợp được sắp xếp theo quan hệ “nhỏ hơn” thông thường, phần đó không có mức tối thiểu. yếu tố. Nếu mỗi phần của M có giá trị nhỏ nhất. phần tử, M. gọi là. một tập hợp có thứ tự hoàn toàn. Ví dụ: tập hợp các số tự nhiên có thứ tự hoàn toàn nhưng tập hợp Z gồm tất cả các số nguyên thì không. Theo định lý Zermelo (1904), bất kỳ tập hợp nào cũng có thể được sắp thứ tự hoàn toàn, tức là một quan hệ thứ tự có đặc tính được mô tả ở trên đều có thể được đưa vào trong đó. Chu. đẳng cấu nếu tồn tại một ánh xạ song ánh sao cho nó tuân theo Nếu M được sắp thứ tự một phần thì với bất kỳ tập hợp con nào cũng là một phân đoạn M. Đối với hai bội số có thứ tự hoàn toàn trong M và N, người ta có thể chỉ ra rằng M là đẳng cấu đối với phân đoạn N hoặc đẳng cấu với phân đoạn M: nếu đúng thì khác thì M đẳng cấu với N. Đẳng cấu là quan hệ tương đương giữa các tập hợp có thứ tự đầy đủ; các lớp tương đương được gọi là số thứ tự (thứ tự). biểu thị số thứ tự tương ứng với M. Đối với các số thứ tự, mối quan hệ được đưa ra nếu M đẳng cấu với phân đoạn N chứ không phải N. Số thứ tự hữu hạn là một lớp tương đương chứa một phân đoạn của chuỗi tự nhiên, với

trật tự tự nhiên. Số thứ tự vô hạn nhỏ nhất co là lớp chứa toàn bộ chuỗi tự nhiên có thứ tự tự nhiên. Số thứ tự đóng vai trò quan trọng như một phương tiện chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp siêu hạn, đây là một dạng tổng quát hóa tự nhiên của phương pháp quy nạp hoàn toàn thông thường. Cần phải chứng minh một mệnh đề P(a), công thức của nó chứa số thứ tự a tùy ý. Nguyên lý của quy nạp siêu hạn là nếu P(1) đúng và giá trị của for kéo theo giá trị của P(a), thì P(a) đúng với mọi a. Nguyên lý này có thể được chứng minh như một định lý trong khuôn khổ của lý thuyết tiên đề, việc áp dụng nó đòi hỏi phải sắp xếp thứ tự hoàn chỉnh sơ bộ của tập hợp các đối tượng mà mệnh đề đang được chứng minh, dẫn đến việc đánh số siêu hạn của chúng; việc sắp xếp như vậy có thể thực hiện được nhờ vào tiên đề lựa chọn của Zermelo. Sử dụng phương pháp quy nạp siêu hạn, một số định lý quan trọng trong toán học được chứng minh, ví dụ như định lý Hahn-Banach trong giải tích hàm. Việc xây dựng các toán học khác nhau cũng rất quan trọng. vật bằng phương pháp cảm ứng siêu hạn. Việc sử dụng cảm ứng vô hạn thường được thay thế bằng cách tiếp cận dựa trên định lý Zorn. Gọi M là Ch.y. m., X; nếu dành cho tất cả mọi người thì trong cái gọi là. X chính. Nếu mọi tập con được sắp xếp tuyến tính đều có một chính thì M được gọi. quy nạp. Định lý Zorn cho rằng mọi tập hợp quy nạp có thứ tự đều có ít nhất một phần tử cực đại được sử dụng rộng rãi trong đại số, giải tích hàm và các lĩnh vực khác của toán học. Một biểu diễn trực quan của định lý này được đưa ra bằng cách sắp xếp các tập hợp con của một tập hợp nhất định bằng cách "nhúng".

Bằng chứng sử dụng định lý Zorn là chúng ta đang tìm kiếm giá trị cực đại. một tập con của một tập hợp M cho trước có một tính chất nào đó, và khi đó người ta chứng minh rằng giả thiết dẫn đến mâu thuẫn; từ đó họ kết luận rằng toàn bộ tập hợp M có thuộc tính cần thiết.

Lít.: Alexandroff P. Diskrete Raume. "Bộ sưu tập toán học", 1937, tập 2, thế kỷ. 3; Kantorovich L. V., Vulikh B. Z., Pinsker A. G. Phân tích chức năng trong không gian bán thứ tự. M.-L., 1950 [thư mục. Với. 543-546]; Kurosh A. G. Bài giảng về đại số tổng quát. M., 1962 [thư mục. Với. 383-387]; Skornykov L. A. Các yếu tố của lý thuyết cấu trúc. M., 1970 [thư mục. Với. 145]; Riguet J. Quan hệ nhị phân, sự đóng cửa, sự tương ứng Galois. Trong cuốn sách; Bộ sưu tập điều khiển học, v. 7. M., 1963; Bourbaki N. Các yếu tố của toán học, phần 1. Cấu trúc cơ bản của giải tích, sách. 2. Lý thuyết tập hợp. Mỗi. đến từ Pháp M., 1965. A. V. Gladky.

Một quan hệ nhị phân trên tập A được gọi là phản đối xứng nếu:

(a,v A) a f c c f a

Một quan hệ nhị phân trên tập A được gọi là phản thân nếu:

Một quan hệ nhị phân trên tập A được gọi là bắc cầu nếu:

(a,b,cA) aв вc > а с

Quan hệ chia hết (toàn bộ) của tập số tự nhiên N là phản đối xứng. Thật vậy, nếu ab, ba thì tồn tại các số tự nhiên q 1 ,qN sao cho a=bq 1, b=aq từ đó a=aq 1 q, tức là q 1 q=1. Nhưng,

q 1 ,qN, do đó q 1 =q=1, suy ra a = b.

Một quan hệ nhị phân bắc cầu phản đối xứng phản xạ trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự (thứ tự một phần) trên tập A.

Tập A với quan hệ thứ tự một phần được đưa ra trên đó? được gọi là tập có thứ tự một phần và biểu thị< А; ? >.

Trong phần tiếp theo, để thuận tiện, chúng ta sẽ sử dụng chữ viết tắt CHUM, biểu thị một tập hợp được sắp thứ tự một phần.

< N, ? >? sự bất bình đẳng không nghiêm ngặt thông thường về số lượng (theo nghĩa của trường học). Có cần thiết phải chứng minh tính bắc cầu, tính phản xạ và phản đối xứng của mối quan hệ này không?

a) một? a ,(2 ? 2) - tính phản xạ,

b) nếu a? trong, trong? s, sau đó là a ? c, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - tính bắc cầu,

c) nếu a ? trong, trong? a, thì a=в, (3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - phản đối xứng.

Nó theo sau đó< N, ? >- CHUM.

a) Quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên N là phản xạ, vì mọi số đều là bội số của chính nó, nghĩa là, với mọi aN luôn có a = a 1 (1N), điều này, theo nghĩa của quan hệ , chúng ta có một a. Vì vậy, nó có tính phản xạ.

b) Nếu số thứ nhất chia hết cho số thứ hai (tức là bội số của số thứ hai) và số thứ hai là bội số của số thứ ba thì số thứ nhất là bội số của số thứ ba, nghĩa là quan hệ có tính bắc cầu, tức là nếu a trong, trong c, a, trong, cN. Điều này có nghĩa là tồn tại q,qN sao cho

Ta ký hiệu: q = qqN. Chúng ta có

trong đó qN, tức là và c - theo định nghĩa. Do đó, mối quan hệ là bắc cầu.

c) Tính phản đối xứng của quan hệ xuất phát từ thực tế là hai số tự nhiên là bội số của nhau thì bằng nhau, tức là nếu av, va thì tồn tại q 1 ,qN sao cho

nghĩa là q 1 q=1. Nhưng, q 1 ,qN, do đó q 1 =q=1, có nghĩa là a = b. Do đó phản đối xứng.

Do đó có một trật tự từng phần và, do đó,< N, >- CHUM (bộ đặt hàng một phần).

Các phần tử a trong ChUMA A được gọi là không thể so sánh được và được viết

nếu một ? trong và trong? MỘT.

Các phần tử a, trong ChUMA A được cho là có thể so sánh được nếu a ? trong hay trong? MỘT.

Trật tự một phần? trên A được gọi là tuyến tính và bản thân cây được sắp xếp tuyến tính hoặc một chuỗi nếu bất kỳ hai phần tử nào từ A có thể so sánh được, tức là với bất kỳ a, trong A, hay a ? trong hay trong? Một.

< N, ? >, - là một chuỗi. Tuy nhiên<В(М) ; >, trong đó B(M) là tập hợp tất cả các tập con của tập M hoặc B(M) được gọi là Boolean trên tập M, không phải là một chuỗi, bởi vì không phải với hai tập con bất kỳ thì tập M là một tập con của tập kia.

Cho phép< А, ? >- bệnh dịch tùy tiện.

Phần tử mA được gọi là tối thiểu nếu với bất kỳ x A nào từ thực tế là x ? m tuân theo x = m.

Ý nghĩa của khái niệm này là A không chứa các phần tử nhỏ hơn phần tử m này. Họ nói rằng x hoàn toàn nhỏ hơn m và viết x< m, если x ? m, но притом x ? m. Аналогично определяется максимальный элемент этого ЧУМ. Ясно, что если m, m- разные минимальные (максимальные) элементы ЧУМ, то m || m.

Trong lý thuyết tập hợp có thứ tự một phần, điều kiện a? c đôi khi được đọc như sau: phần tử a được chứa trong phần tử b hoặc phần tử b chứa phần tử a.

Mỗi phần tử của Bệnh dịch hữu hạn chứa một phần tử tối thiểu và được chứa trong phần tử tối đa của Bệnh dịch này.

Bằng chứng:

Cho a là phần tử tùy ý của một bệnh dịch hữu hạn S. Nếu a là phần tử tối thiểu thì nhờ tính phản xạ, bổ đề đã được chứng minh. Nếu A không tối thiểu thì tồn tại phần tử a sao cho

Nếu a là nhỏ nhất thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu phần tử ane là nhỏ nhất thì với a nào đó chúng ta nhận được

Nếu a là tối thiểu thì từ (1), (2), do tính bắc cầu, ta kết luận rằng a chứa phần tử tối thiểu a. Nếu a không tối thiểu thì

Do đó, ở bước suy luận thứ n nào đó, quá trình sẽ kết thúc, điều này tương đương với thực tế là phần tử a là tối thiểu. trong đó

MỘT< а<< а< а< а

Do tính bắc cầu nên phần tử a chứa phần tử tối thiểu a. Tương tự, phần tử a được chứa trong phần tử tối đa. Bổ đề đã được chứng minh.

Kết quả.

Bệnh dịch cuối cùng chứa ít nhất một yếu tố tối thiểu.

Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm về sơ đồ bệnh dịch hữu hạn S, điều này rất quan trọng để trình bày thêm.

Đầu tiên, chúng ta lấy tất cả các phần tử tối thiểu m, m, m trong S. Theo hệ quả tất yếu, các phần tử như vậy tồn tại. Sau đó trong tập được sắp thứ tự một phần

S = S(m,m,m),

giống như S, là hữu hạn, lấy các phần tử tối thiểu và xét tập hợp

Các phần tử của “hàng đầu tiên” m, m, m được biểu thị bằng dấu chấm. Cao hơn một chút, chúng ta đánh dấu các phần tử của “hàng thứ hai” bằng các dấu chấm và kết nối các dấu chấm bằng các đoạn khi và chỉ khi m<

Tiếp theo, chúng tôi tìm các yếu tố tối thiểu của Bệnh dịch, mô tả chúng bằng các dấu chấm của “hàng thứ ba” và kết nối chúng với các dấu chấm của “hàng thứ hai” theo cách đã chỉ ra ở trên. Chúng ta tiếp tục quá trình này cho đến khi sử dụng hết tất cả các phần tử của một bệnh dịch S. Quá trình này là hữu hạn do tính hữu hạn của tập S. Tập hợp các điểm và đoạn thu được được gọi là sơ đồ của bệnh dịch S. Trong trường hợp này, một< в тогда и только тогда, когда от “точки” а можно перейти к “точки” в по некоторой “восходящей” ломаной. В силу этого обстоятельства, любое конечное ЧУМ можно отождествить с его диаграммой.

Ở đây được đưa ra bởi sơ đồ CHUM

S = (m, m, ), trong đó m< , m< , m< m< , m< m< , m< .

Phần tử m được gọi là phần tử nhỏ nhất của bệnh dịch nếu với bất kỳ x A nào luôn có m ? x.

Rõ ràng là phần tử nhỏ nhất là tối thiểu, nhưng điều ngược lại không đúng: không phải mọi phần tử tối thiểu đều là nhỏ nhất. Chỉ có một phần tử nhỏ nhất (nếu có). Phần tử lớn nhất được xác định tương tự.

Đây là một bệnh dịch hạch, các yếu tố của nó không thể so sánh được theo từng cặp. Các tập hợp được sắp xếp một phần như vậy được gọi là các phản chuỗi.

Đây là chuỗi có phần tử nhỏ nhất và lớn nhất. Trong đó 0 là phần tử nhỏ nhất và 1 là phần tử lớn nhất.

Cho M là tập con của tập hợp thứ tự từng phần A. Phần tử a A được gọi là phần tử nhỏ nhất của tập M nếu a? x với mọi x M.

Số lớn nhất trong tất cả các số nhỏ của tập M, nếu nó tồn tại, được gọi là số nhỏ của tập M và được ký hiệu là inf M.

Cho phép< А, ? >- bệnh dịch tùy tiện. Phần tử cA được gọi là phần tử vô cùng của các phần tử a,trong A nếu c = inf(a,b).

Lưu ý 1.

Không phải trong mọi bệnh dịch đều có một điều kiện tối thiểu chính xác cho bất kỳ hai yếu tố nào.

Hãy chứng minh điều này bằng một ví dụ.

Với (a;c),(d;e) không có giới hạn dưới,

inf(a;в)=d, inf(в;c)=e.

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ về một bệnh dịch hạch có mức độ chính xác đối với bất kỳ yếu tố nào.

inf(a;в)=d, inf(a;d)=d, inf(a;0)=0, inf(a;c)=0, inf(a;e)=0,

inf(in;c)=e, inf(in;e)=e, inf(in;d)=d,

inf(c;e)=c, inf(c;0)=0, inf(c;d)=0,

inf(d;e)=0, inf(d;0)=0,

Định nghĩa: Một tập hợp được sắp thứ tự một phần trong đó tồn tại một phần tử nhỏ nhất cho bất kỳ hai phần tử nào được gọi là nửa mạng.

Ví dụ 10.

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ về một bệnh dịch hạch không phải là một nửa mạng tinh thể.

Cho phép< N, ? >- tập hợp tuyến tính các số tự nhiên và e, eN. Trên tập hợp N=N( e ,e) chúng ta hãy định nghĩa một quan hệ nhị phân? , giả sử rằng x? y nếu x,y N, ở đâu x ? y, hoặc nếu x N, y ( e ,e). Chúng tôi cũng tính toán theo định nghĩa: e ? đ, đ? đ.

Sơ đồ của bệnh dịch này như sau:

Bất kì số tự nhiên N? e và n? e, nhưng không ở N phần tử lớn nhất, do đó, N là CHUM, nhưng không phải là nửa mạng.

Vì vậy, theo định nghĩa của nó, nửa mạng là một mô hình (giống như một tập hợp có quan hệ?). Như chúng ta sẽ thấy, có thể có một cách tiếp cận khác đối với khái niệm nửa mạng, cụ thể là, nửa mạng có thể được định nghĩa như một đại số nhất định.

Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm đại số bổ sung. Như đã biết, nửa nhóm là một tập không rỗng với phép toán đại số nhị phân kết hợp được xác định trên đó.

Nửa nhóm tùy ý thường được ký hiệu là S (nửa nhóm).

Sự định nghĩa. Phần tử eS được gọi là lũy đẳng nếu

e= e, tức là e · e = e.

Ví dụ 11.

Nửa nhóm< N; · >? chỉ có duy nhất một đẳng thức 1.

Nửa nhóm< Z; + >? có một lũy đẳng duy nhất là 0.

Nửa nhóm< N; + >? không có đẳng năng, bởi vì 0N.

Đối với mọi tập X không rỗng, như thường lệ, biểu thị tập hợp tất cả các tập con của tập X - Boolean của tập X.<В;>- sao cho mỗi phần tử của nó đều bình đẳng.

Nửa nhóm được gọi là nửa nhóm lũy đẳng hoặc copula nếu mỗi phần tử của nó là lũy đẳng. Do đó, các ví dụ về liên kết là bất kỳ Boolean nào liên quan đến hợp.

Ví dụ 12.

Cho X là một tập tùy ý.

B là tập hợp tất cả các tập con của tập X.

B- được gọi là Boolean trên tập X.

Nếu X = (1,2,3) thì

B = (O,(1),(2),(3),(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3)).

Vì giao của hai tập con của tập X lại là tập con của X nên ta có nhómoid< В;>hơn nữa, nó là nửa nhóm và thậm chí là liên kết, vì

A B và A = AA = A.

Theo cách tương tự, chúng ta có kết nối<; В > .

Một kết nối giao hoán được gọi là nửa mạng.

Ví dụ 13.

Cho X = (1,2,3), hãy vẽ sơ đồ< В; >.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về bệnh dịch, nhưng không phải là bán mạng.

Ví dụ 14.

Bệnh dịch có hai mặt dưới e và d không thể so sánh được với nhau: e||d. Vì vậy, inf(a;c) không tồn tại.

Ví dụ 15.

Một bệnh dịch có hai mặt dưới c và d, không thể so sánh được với nhau: c||d. Vì vậy, inf(a;в) không tồn tại.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về bán mạng.

Ví dụ 16.

Biểu đồ:

inf(a;в)=в, inf(a;с)=с, inf(a;d)=d,

inf(in;c)=d, inf(in;d)=d,

Ví dụ 17.

Đó là một nửa mạng, bởi vì đối với hai phần tử bất kỳ đều có một phần tử nhỏ, tức là

inf(a;в)=в, inf(a;с)=с, inf(в;c)=с.

Định lý 1.

Cho phép ~~- bán mạng. Sau đó ~~liên kết giao hoán, ở đâu~~~~

aв = inf (a,в) (*).

Bằng chứng:

Cần phải chứng minh rằng trong ~~các danh tính sau giữ:~~

(1) x y = y x

(2) (x y) z = x (y z)

1) Theo đẳng thức(*)

x y = inf(x,y) = inf(y,x) = y x

2) Ta ký hiệu a = (x y) z, b = x (y z)

Hãy chứng minh a = b.

Để làm được điều này chỉ cần chứng minh rằng

V? a (5) (do phản đối xứng)

Hãy biểu thị

c = x y, d = y z

Về ý nghĩa, giới hạn dưới chính xác giữa c và z

MỘT? s, hả? z, c ? x,

do đó, do tính bắc cầu của a ? x.

Điều tương tự, phải không? y, tức là a là giới hạn dưới chung của y và z. Và d chính xác là giới hạn dưới của chúng.

Vì vậy, một? d nhưng in = inf(x,d).

Từ bất đẳng thức a? x, à? d theo đó a là ước chung nào đó của x và d, và b là ước chung chính xác của chúng, do đó,

MỘT? trong (4) đã được chứng minh.

(5) được chứng minh tương tự.

Từ (4) và (5), xét về tính phản đối xứng, ta kết luận rằng a = b.

Với điều này, chúng ta đã chứng minh được tính kết hợp của phép tính ().

3) Ta có x x = inf(x,x) = x.

Sự bình đẳng đạt được thông qua tính phản thân: x? X.

Cái đó. đại số được xây dựng ~~sẽ là nửa nhóm đẳng đẳng giao hoán, tức là liên kết giao hoán.~~

Định lý 2.

Cho phép ~~là nửa nhóm đẳng đẳng giao hoán thì là một quan hệ nhị phân? trên S, được xác định bởi đẳng thức~~

? = ((a,в) S?S | a·в = а),

là một lệnh một phần. Đồng thời, PLAGUE ~~là một nửa mạng.~~

Bằng chứng:

1) tính phản xạ?.

Theo điều kiện ~~thỏa mãn ba đẳng thức:~~

(1) x= x

(2) x y = y x

(3) (x y) z = x (y z)

Khi đó x x = x = x - nhờ vào (1). Vì thế x? X.

2) phản đối xứng? .

Hãy để x? y và y? x, thì theo định nghĩa,

(4) x y = x

(5) y x = y

do đó, nhờ tính giao hoán nên ta có x = y.

3) tính bắc cầu?.

Hãy để x? y và y? z thì, theo định nghĩa,

(6) x y = x

(7) y z = y

Chúng ta có x z = (x y) z x (y z) x y x

Vậy x·z = x, tức là x? z.

Như vậy ta có CHUM ~~. Vẫn còn phải chứng minh rằng với mọi (a, b)S đều tồn tại inf(a, b).~~

Hãy lấy nó tùy ý a, b S và chứng minh phần tử c = a·b là inf(a,b), tức là c = inf(a,b).

Thực vậy,

c a = (a b) a a (a b) (a a) b a b = c,

Tương tự, с·в = (а·в)·в а·(в·в) а·в = с,

Vì vậy, c là ước chung của (a, b).

Hãy chứng minh tính chính xác của nó.

Cho d là một số vô cùng chung của a và b:

(8) d? Một

(9) d? V.

(10) d·a = d

(11) d·в = d

d c = d (a b) (d a) c d c d,

d·c = d, do đó d ? c.

Kết luận: c = inf(a,b).

Định lý 1 và 2 đã được chứng minh cho phép chúng ta xem xét các nửa mạng từ hai quan điểm: dưới dạng CUM và như trong đại số (nửa nhóm giao hoán lũy thừa).

Một khái niệm chính thức hóa các ý tưởng trực quan về trật tự, sắp xếp trong một trình tự nhất định v.v. Nói một cách không chính thức, một tập hợp được sắp xếp một phần nếu nó được chỉ định phần tử nào theo (hơn v.v.) cho cái nào. Trong trường hợp này, trong trường hợp tổng quát, có thể xảy ra một số cặp phần tử không có quan hệ “theo sau”.

Như một ví dụ trừu tượng, chúng ta có thể đưa ra một tập hợp các tập con của một tập hợp ba phần tử $$ XYZ$$ , được sắp xếp theo quan hệ bao hàm.

Để làm ví dụ “từ cuộc sống”, chúng ta có thể trích dẫn một nhóm người được sắp xếp theo thứ tự liên quan đến việc “làm tổ tiên”.

Định nghĩa và ví dụ

theo thứ tự, hoặc trật tự một phần, trên trường quay $M$ gọi là quan hệ nhị phân $\varphi$ TRÊN $M$ (được xác định bởi một số tập hợp $R_(\varphi) \subset M \times M$ ), thỏa mãn các điều kiện sau:

tính phản xạ: $\forall a\; (a \varphi a)$

Tính chuyển tiếp: $\forall a, b, c\; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c$

phản đối xứng: $\forall a, b\; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b$

Một loạt $M$ , trên đó quan hệ thứ tự một phần được chỉ định, được gọi là đặt hàng một phần(Tiếng Anh) tập được sắp thứ tự một phần, poset). Nói một cách hoàn toàn chính xác, một tập hợp có thứ tự một phần là một cặp $\langle M, \varphi \rangle$ , Ở đâu $M$ - rất nhiều và $\varphi$ - quan hệ thứ tự một phần trên $M$ .

Thuật ngữ và ký hiệu

Quan hệ thứ tự từng phần thường được biểu thị bằng ký hiệu $\leqslant$ , tương tự với quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” trên tập hợp số thực. Đồng thời, nếu $a\leqslant b$ , thì người ta nói rằng phần tử $Một$ không vượt quá $b$ , hay cái gì $Một$ cấp dưới $b$ .

Nếu như $a\leqslant b$ Và $a \neq b$ , sau đó họ viết $Một< b$ , và họ nói rằng $Một$ ít hơn $b$ , hay cái gì $Một$ phụ thuộc chặt chẽ $b$ .

Đôi khi, để phân biệt một thứ tự tùy ý trên một tập hợp nhất định với quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” đã biết trên tập hợp số thực, thay vì $\leqslant$ Và $<$ sử dụng ký tự đặc biệt $\preccurlyeq$ Và $\prec$ tương ứng.

Trật tự nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt

Một mối quan hệ thỏa mãn các điều kiện phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng còn được gọi là không nghiêm khắc, hoặc trật tự phản xạ. Nếu thay điều kiện phản xạ bằng điều kiện chống phản xạ:
$\forall a\; \neg (a \varphi a)$
sau đó chúng ta có được định nghĩa nghiêm ngặt, hoặc lệnh phản phản xạ.

Nếu như $\leqslant$ - trật tự lỏng lẻo trên trường quay $M$ , thì mối quan hệ $<$ , định nghĩa là:
$Một< b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$
là một mệnh lệnh nghiêm ngặt về $M$ . Quay lại nếu $<$ - trật tự nghiêm ngặt, sau đó là thái độ $\leqslant$ , định nghĩa là
$a\leqslant b\; \overset(\mathrm(def))(\Longleftrightarrow) \; (Một< b) \vee (a = b)$
là một mệnh lệnh không nghiêm ngặt.

Do đó, không có gì khác biệt giữa việc xác định thứ tự lỏng lẻo hay thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp. Kết quả sẽ có cấu trúc tương tự. Sự khác biệt duy nhất là về thuật ngữ và chỉ định.

Ví dụ

$\vartriangleright$ Như đã đề cập ở trên, tập số thực $\mathbb(R)$ được sắp xếp một phần nhỏ hơn hoặc bằng $\leqslant$ .

$\vartriangleright$ Cho phép $M$ - tập hợp tất cả các hàm có giá trị thực được xác định trên khoảng , nghĩa là, các hàm có dạng
f \colon \to \mathbb(R)

Hãy giới thiệu quan hệ thứ tự $\leqslant$ TRÊN $M$ theo cách sau. Chúng ta sẽ nói điều đó $f\leqslant g$ , nếu cho mọi người $x\in$ bất đẳng thức được thỏa mãn $f(x) \leqslant g(x)$ . Rõ ràng, quan hệ được đưa ra thực sự là một quan hệ cấp một phần.

$\vartriangleright$ Cho phép $M$ - một số bộ. Một loạt $\mathcal(P)(M)$ tất cả các tập hợp con $M$ (được gọi là Boolean), được sắp xếp một phần bằng cách đưa vào $M\subsetq N$ .

$\vartriangleright$ Tập hợp tất cả các số tự nhiên $\mathbb(N)$ được sắp xếp một phần theo khả năng chia hết $m\mid n$ .

Các định nghĩa liên quan

Yếu tố không thể so sánh được

Nếu như $Một$ Và $b$ là số thực thì chỉ có một trong các quan hệ đúng:
Một< b, \qquad a=b, \qquad b

Nếu như $Một$ Và $b$ là các phần tử của một tập hợp được sắp thứ tự từng phần tùy ý thì có khả năng logic thứ tư: không có quan hệ nào trong ba quan hệ trên được thỏa mãn. Trong trường hợp này các phần tử $Một$ Và $b$ được gọi là không thể so sánh được. Ví dụ, nếu $M$ - tập hợp các hàm có giá trị thực trên một khoảng , thì các phần tử $f(x) = x$ Và $g(x) = 1-x$ sẽ không thể so sánh được. Khả năng tồn tại của các yếu tố không thể so sánh được giải thích ý nghĩa của thuật ngữ này "bộ được đặt hàng một phần".

Các phần tử tối thiểu/tối đa và nhỏ nhất/lớn nhất

Bài viết chính: Tối đa (toán học) , Tối thiểu (toán học)

Bởi vì một tập hợp được sắp thứ tự một phần có thể chứa các cặp phần tử không thể so sánh được nên hai định nghĩa khác nhau được đưa ra: phần tử tối thiểu Và phần tử nhỏ nhất.

Yếu tố $a\in M$ gọi điện tối thiểu(Tiếng Anh) yếu tố tối thiểu), nếu phần tử không tồn tại $b< a$ . Nói cách khác, $Một$ - phần tử tối thiểu, nếu đối với bất kỳ phần tử nào $b \in M$ hoặc $b>a$ , hoặc $b=a$ , hoặc $b$ Và $Một$ không thể so sánh được. Yếu tố $Một$ gọi điện nhỏ nhất(Tiếng Anh) phần tử tối thiểu, giới hạn dưới (opp. giới hạn trên) ), nếu với bất kỳ phần tử nào $b \in M$ có sự bất bình đẳng $b\geqslant a$ . Rõ ràng, mọi phần tử nhỏ nhất cũng là tối thiểu, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng: phần tử tối thiểu $Một$ có thể không nhỏ nhất nếu các phần tử tồn tại $b$ , không thể so sánh được với $Một$ .

Rõ ràng, nếu có phần tử nhỏ nhất trong một tập hợp thì nó là duy nhất. Nhưng có thể có một số yếu tố tối thiểu. Ví dụ, hãy xem xét tập hợp $\mathbb(N)\setminus $ 1 $ = $ 2, 3, \ldots $$ số tự nhiên không có sự thống nhất, được sắp xếp theo quan hệ chia hết $\giữa$ . Ở đây các phần tử nhỏ nhất sẽ là số nguyên tố nhưng phần tử nhỏ nhất không tồn tại.

Các khái niệm được giới thiệu tương tự tối đa(Tiếng Anh) phần tử tối đa) Và vĩ đại nhất(Tiếng Anh) phần tử lớn nhất) phần tử.

Cạnh trên và dưới

Cho phép $MỘT$ - một tập con của một tập được sắp thứ tự một phần $\langle M, \leqslant\rangle$ . Yếu tố $bạn \in M$ gọi điện cạnh trên(Tiếng Anh) giới hạn trên) $MỘT$ , nếu có phần tử nào $a\in A$ không vượt quá $bạn$ . Khái niệm này được giới thiệu tương tự cạnh dưới(Tiếng Anh) chặn dưới) bộ $MỘT$ .

Bất kỳ phần tử nào lớn hơn một số giới hạn trên $MỘT$ , cũng sẽ là giới hạn trên $MỘT$ . Và bất kỳ phần tử nào nhỏ hơn một số phần tử vô cùng nhỏ $MỘT$ , cũng sẽ là giới hạn dưới $MỘT$ . Những cân nhắc này dẫn đến việc đưa ra các khái niệm giới hạn trên nhỏ nhất(Tiếng Anh) giới hạn trên tối thiểu) Và giới hạn dưới lớn nhất(Tiếng Anh) giới hạn dưới lớn nhất).

Các loại bộ đặc biệt được đặt hàng một phần

Tập hợp có thứ tự tuyến tính

Bài chi tiết: Tập có thứ tự tuyến tính

Cho phép $\langle M, \leqslant\rangle$ là tập được sắp thứ tự một phần. Nếu ở $M$ bất kỳ hai phần tử nào cũng có thể so sánh được thì tập hợp $M$ gọi điện được sắp xếp tuyến tính(Tiếng Anh) tập có thứ tự tuyến tính). Tập hợp có thứ tự tuyến tính còn được gọi là hoàn toàn có trật tự(Tiếng Anh) bộ hoàn toàn được đặt hàng), hoặc đơn giản, bộ đặt hàng. Do đó, trong một tập hợp có thứ tự tuyến tính cho hai phần tử bất kỳ $Một$ Và $b$ một và chỉ một trong các mối quan hệ giữ nguyên: hoặc $Một, hoặc a=b, hoặc b .$

Ngoài ra, bất kỳ tập hợp con có thứ tự tuyến tính nào của tập hợp có thứ tự một phần đều được gọi là xích(Tiếng Anh) xích), tức là một chuỗi trong một tập được sắp thứ tự một phần $\langle M, \leqslant \rangle$ - một tập hợp con của nó trong đó hai phần tử bất kỳ có thể so sánh được.

Trong các ví dụ trên về tập hợp được sắp thứ tự một phần, chỉ có tập hợp số thực là được sắp thứ tự tuyến tính. Tập hợp các hàm có giá trị thực trên một khoảng (cho rằng $Một), Boolean \mathcal(P)(M) (Tại |M|\geqslant 2), các số tự nhiên có quan hệ chia hết không được sắp xếp tuyến tính.$

Trong một tập hợp có thứ tự tuyến tính, các khái niệm nhỏ nhất và tối thiểu cũng như lớn nhất và tối đa trùng khớp với nhau.

Bộ có thứ tự tốt

Bài chi tiết: Bộ được sắp xếp tốt

Một tập hợp có thứ tự tuyến tính được gọi là khá trật tự(Tiếng Anh) có trật tự tốt) nếu mỗi tập con không rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất . Theo đó, thứ tự trên một tập hợp được gọi là theo thứ tự hoàn hảo(Tiếng Anh) trật tự tốt).

Một ví dụ kinh điển về tập hợp có thứ tự tốt là tập hợp các số tự nhiên $\mathbb(N)$ . Tuyên bố rằng bất kỳ tập hợp con nào không trống $\mathbb(N)$ chứa phần tử nhỏ nhất, tương đương với nguyên lý quy nạp toán học. Một ví dụ về tập hợp có thứ tự tuyến tính nhưng không hoàn toàn có thứ tự là tập hợp các số không âm $\mathbb(R)_(+) = $ x: x \geqslant 0$$ . Thật vậy, tập con của nó $$x: x > 1$$ không có phần tử nhỏ nhất.

Các tập hợp có thứ tự tốt đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong lý thuyết tập hợp tổng quát.

Định lý về tập hợp có thứ tự một phần

Các định lý cơ bản về tập hợp có thứ tự từng phần bao gồm Nguyên lý cực đại Hausdorff Và Bổ đề Kuratowski-Zorn. Các phát biểu này tương đương với nhau và về cơ bản dựa vào cái gọi là tiên đề lựa chọn (trên thực tế, chúng tương đương với tiên đề lựa chọn).

Ghi chú

Văn học

Alexandrov P. S. Giới thiệu về lý thuyết tập hợp và cấu trúc liên kết tổng quát. - M.: “KHOA HỌC”, 1977. - 368 tr.

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Các yếu tố của lý thuyết về chức năng và phân tích chức năng. - tái bản lần thứ 7. - M.: “FIZMATLIT”, 2004. - 572 tr. - ISBN 5-9221-0266-4

Hausdorff F.Đặt lý thuyết. - tái bản lần thứ 4. - M.: URSS, 2007. - 304 tr. - ISBN 978-5-382-00127-2

Xem thêm

Lưới

Số thứ tự

Đặt hàng trước

cs:Uspořádaná množinaeo:Partordohu:Részbenrendezett halmazko:부분순서 nl:Partiële orde oc:Relacion d"òrdre ro:Relaţie de ordine sl:Relacija urejenostizh:偏序关系

Thông báo: Cơ sở sơ bộ cho bài viết này là một bài viết tương tự trên http://ru.wikipedia.org, theo các điều khoản của CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, được sau đó đã được thay đổi, sửa chữa và chỉnh sửa.

Định nghĩa 1: Cho là một quan hệ thứ tự trên tập hợp
. Yếu tố
gọi điện nhỏ nhất (lớn nhất) phần tử của tập hợp , nếu thỏa mãn điều kiện:
(đối với phần tử nhỏ nhất);
(đối với phần tử lớn nhất).
Định nghĩa 2: Cho phép - quan hệ thứ tự trên một tập hợp
. Yếu tố
gọi điện tối thiểu (tối đa) phần tử của tập hợp , nếu thỏa mãn điều kiện:
(đối với phần tử tối thiểu);
(đối với phần tử tối đa).
Nếu đơn đặt hàng trên một tập hợp nhất định là tuyến tính thì khái niệm phần tử nhỏ nhất và phần tử tối thiểu (lớn nhất và tối đa) trùng nhau. Vì vậy, các khái niệm này chỉ khác nhau trong trường hợp khi thứ tự trên tập hợp không tuyến tính.
Nếu dồi dào có phần tử nhỏ nhất thì nó cũng sẽ nhỏ nhất. Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Ngoài ra, trong một tập hợp nhất định của một quan hệ thứ tự nhất định có thể có nhiều phần tử tối thiểu nhưng không có phần tử nhỏ nhất.
Ví dụ:
1) Trên một bộ
xem xét thái độ
. Tất cả các số nguyên tố theo thứ tự đã nhập sẽ là số tối thiểu, nhưng không có số nào trong số chúng là số nhỏ nhất.
2) Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp nhất định có một phần tử tối thiểu duy nhất - tập hợp trống. Trong tập hợp tất cả các tập con khác rỗng của một tập hợp tùy ý nào đó, các phần tử tối thiểu đều là các tập con đơn. Cuối cùng, nếu một tập hợp là vô hạn thì tập hợp gồm tất cả các tập con vô hạn của nó không có phần tử tối thiểu nào cả.
Theo định nghĩa, một phần tử của tập hợp được sắp thứ tự từng phần là phần tử nhỏ nhất nếu nó nhỏ hơn tất cả các phần tử. Rõ ràng là nếu phần tử nhỏ nhất tồn tại thì nó là duy nhất. Phần tử lớn nhất được xác định tương tự.
Xét lớp các tập được sắp thứ tự từng phần thỏa mãn điều kiện sau tương đương giữa họ có điều kiện:
1) Điều kiện tối thiểu . Bất kỳ tập hợp con nào không trống

có ít nhất một tối thiểu trong tập hợp
yếu tố.
2) Điều kiện để đứt xích giảm dần . Bất kỳ chuỗi phần tử giảm nghiêm ngặt nào
bộ được đặt hàng một phần
ngắt quãng ở điểm cuối. Nói cách khác, với bất kỳ chuỗi giảm nào
có một chỉ số như vậy , tại đó chuỗi này ổn định, tức là
.
3) Điều kiện điện cảm. Tất cả các phần tử của một tập hợp được sắp thứ tự một phần
có một số tài sản , nếu tất cả các phần tử tối thiểu của tập hợp này có thuộc tính này (nếu chúng tồn tại) và nếu, từ tính hợp lệ của thuộc tính cho tất cả các phần tử đứng trước một số phần tử , tính hợp lệ của thuộc tính này đối với chính phần tử đó có thể được suy ra .
Định lý 1: Các điều kiện tối thiểu, ngắt mạch đi xuống và độ tự cảm là tương đương với nhau.
Bằng chứng: 1) Đầu tiên, chúng tôi chứng minh rằng điều kiện độ tự cảm tuân theo điều kiện tối thiểu. Thật vậy, giả sử một tập hợp được sắp thứ tự một phần
thỏa mãn điều kiện tối thiểu và cho vào đó một số tính chất các tiền đề của điều kiện điện cảm được thỏa mãn. Nếu cùng một lúc có nhiều
có những phần tử không có thuộc tính , sau đó để sẽ là một trong những phần tử tối thiểu trong số các phần tử đó (sự tồn tại của phần tử đó được cung cấp bởi điều kiện tối thiểu). Yếu tố không thể nhỏ nhất trong toàn bộ tập hợp
, suy ra từ tiền đề của điều kiện điện cảm, và vì tất cả các phần tử ngay trước phần tử đó , tài sản đã sở hữu rồi thì theo điều kiện điện cảm phần tử phải có tính chất này. Chúng ta đã đi đến một sự mâu thuẫn.
2) Hãy chứng minh rằng điều kiện để ngắt mạch giảm dần suy ra từ điều kiện độ tự cảm. Đặt một bộ được sắp xếp một phần
thỏa mãn điều kiện điện cảm. Hãy áp dụng điều kiện này cho thuộc tính sau: phần tử có tài sản , nếu mọi chuỗi phần tử giảm nghiêm ngặt bắt đầu bằng một phần tử , ngắt quãng ở vị trí cuối cùng. Hiển nhiên, mọi phần tử tối thiểu của tập hợp đều có tính chất này
, nếu chúng tồn tại. Mặt khác, hãy để tất cả các phần tử đứng trước phần tử , có tài sản . Điều này có nghĩa là tất cả các chuỗi giảm dần bắt đầu từ các phần tử ngay trước phần tử đó , ngắt ở vị trí cuối cùng, nhưng sau đó bất kỳ chuỗi giảm nghiêm ngặt nào bắt đầu bằng phần tử , Hết giờ nghỉ. Từ điều kiện độ tự cảm suy ra tính chất mọi phần tử của tập hợp đều có
, I E. dồi dào
mỗi lần ngắt chuỗi giảm nghiêm ngặt.
3) Điều kiện tối thiểu suy ra từ điều kiện bẻ gãy chuỗi giảm. Giả sử rằng tập được sắp thứ tự một phần
không thỏa mãn điều kiện tối thiểu, giả sử có một tập con khác rỗng của nó
, không có phần tử tối thiểu. Sử dụng tiên đề lựa chọn (xem bên dưới), chúng tôi đánh dấu một phần tử trong mỗi tập hợp con không trống của tập hợp
, sau đó xây dựng một chuỗi các phần tử
theo cách sau. BẰNG chọn phần tử được đánh dấu trong tập hợp con
. Nếu phần tử , đã được chọn và
, sau đó là phần tử tiếp theo
chúng tôi lấy phần tử được đánh dấu không trống (vì
không có phần tử tối thiểu) tập hợp các phần tử từ
, đúng trước . Dãy số được xây dựng là một chuỗi giảm nghiêm ngặt vô hạn. Vì vậy có rất nhiều
không thỏa mãn điều kiện bẻ gãy chuỗi giảm dần. Định lý đã được chứng minh.
Định nghĩa 3: Một tập hợp có thứ tự một phần được gọi là cấu trúc hoặc mạng , nếu bất kỳ tập hợp con hai phần tử nào trong đó có giới hạn trên chặt chẽ
và giới hạn dưới chính xác
. Giới hạn trên chính xác
cho các phần tử Và có các tính chất sau:
, Và
Và
, Nếu như - bất kỳ giới hạn trên nào khác của các yếu tố này. Giới hạn dưới chính xác được xác định tương tự.
Định nghĩa 4: Mạng được gọi là phân phối , nếu hoạt động
Và
được kết nối bởi luật phân phối, tức là các quan hệ sau được thỏa mãn:
Bình luận: Những tỷ lệ này được gọi là hai. Lưu ý rằng trong một mạng, một trong những quan hệ này là hệ quả của quan hệ kia.
Định nghĩa 5: Không Và đơn vị mạng các phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của nó được gọi nếu chúng tồn tại.
Định nghĩa 6: Trong một mạng, phần bù có thể được định nghĩa như sau: là sự bổ sung cho (MỘT - phép cộng cho ), nếu đồng thời
Và
.
Định nghĩa 7: Một mạng phân phối có các số 0 và 1 riêng biệt, trong đó mọi phần tử đều có phần bù, được gọi là Đại số Boolean.
Lưu ý rằng lý thuyết mạng và lý thuyết đại số Boolean là những nhánh độc lập của đại số.
Định nghĩa 8: Một tập hợp có thứ tự tuyến tính thỏa mãn điều kiện tối thiểu (và do đó có hai điều kiện khác tương đương với nó) được gọi là khá trật tự .
Một ví dụ về tập hợp có thứ tự tốt là tập hợp các số tự nhiên có thứ tự tự nhiên. Mọi tập con của một tập có thứ tự đầy đủ thì chính nó cũng được sắp thứ tự đầy đủ. Từ định nghĩa về một tập hợp có thứ tự tốt, ta suy ra rằng nó có một phần tử tối thiểu duy nhất.
Trong một tập hợp hoàn toàn có thứ tự cho mọi phần tử có một phần tử ngay sau . Yếu tố tuy nhiên, có thể không có phần tử ngay trước đó; trong trường hợp này anh ta sẽ được gọi phần tử giới hạn.
Khi nghiên cứu các tập hợp vô hạn người ta thường phải sử dụng tiên đề sau đây gọi là tiên đề tiên đề lựa chọn.
Tiên đề: Nếu được cho một bộ
, thì có một hàm , liên kết từng tập hợp con không trống
yếu tố cụ thể
tập hợp con này.
Nói cách khác, hàm đánh dấu một phần tử trong mỗi tập con không trống của tập hợp
.
Câu hỏi về cơ sở logic của tiên đề này và tính hợp pháp của việc sử dụng nó là một trong những vấn đề khó khăn và gây tranh cãi nhất trong việc chứng minh lý thuyết tập hợp. Nhiều định lý được chứng minh bằng cách sử dụng tiên đề lựa chọn là hoàn toàn trái ngược với sự rõ ràng. Vì vậy, một trong những nhà toán học lỗi lạc của thế kỷ 20, Bertrand Russell, đã nói về tiên đề này như sau: “Thoạt đầu nó có vẻ hiển nhiên; nhưng bạn càng nghĩ về nó, những kết luận từ tiên đề này càng có vẻ kỳ lạ; cuối cùng bạn không còn hiểu ý nghĩa của nó nữa.”
Có một số phát biểu, mỗi phát biểu tương đương với tiên đề lựa chọn. Ví dụ như các định lý sau.
Định lý Cerielo: Bất kỳ bộ có thể được đặt hàng hoàn toàn.
Định lý Hausdorff: Mỗi chuỗi của một tập hợp có thứ tự từng phần đều chứa trong một chuỗi cực đại nào đó.