Meniul
AcasăJocuri

Ecuația unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Parabola - proprietăți și graficul unei funcții pătratice

Funcția formei a>0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a 0, ramurile sunt îndreptate în sus a


Funcția formei a>0 se ramifică în sus n>0 n 0 ramuri în sus n>0 n"> 0 ramuri în sus n>0 n"> 0 ramuri în sus n>0 n" title="Funcția de forma a>0 ramuri în sus n>0 n"> title="Funcția formei a>0 se ramifică în sus n>0 n"> !}


Funcția formei a>0 ramificații în sus m>0 m 0 ramuri sus m>0 m"> 0 ramuri sus m>0 m"> 0 ramuri sus m>0 m" title="Funcția formei a>0 ramuri sus m>0 m"> title="Funcția formei a>0 ramificații în sus m>0 m"> !}






Folosind graficul funcției, determinați semnele coeficienților a și c 1) a0 4) a>0,c 0,c"> 0,c"> 0,c" title=" Folosind graficul funcției, determinați semnele coeficienților a și c 1) a0 4) a>0,c"> title="Folosind graficul funcției, determinați semnele coeficienților a și c 1) a0 4) a>0,c"> !}










0) 2.Indicați cea mai mică valoare a funcției 3.Care este intervalul valorilor acesteia. 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Precizați intervalele de vârstă" title=" Construiți un grafic al funcției 1. La ce valori ale argumentului ia funcția pozitivă valori (y>0) 2. Precizați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este aria valorile acesteia 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de vârstă." class="link_thumb"> 17 !} Construiți un grafic al funcției 1. La ce valori ale argumentului funcția ia valori pozitive (y>0) 2. Indicați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este intervalul valorilor sale. 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de creștere și scădere ale funcției 6. Ce valori ia funcția dacă 0x4 0) 2.Indicați cea mai mică valoare a funcției 3.Care este intervalul valorilor acesteia. 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de creștere „> 0) 2. Indicați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este intervalul valorilor acesteia. 4. Aflați coordonatele lui punctele de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de creștere și scădere ale funcției 6. Ce valori ia funcția dacă 0x4"> 0) 2. Indicați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este intervalul valorilor sale. 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Precizați intervalele de vârstă" title=" Construiți un grafic al funcției 1. La ce valori ale argumentului ia funcția pozitivă valori (y>0) 2. Precizați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este aria valorile acesteia 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de vârstă."> title="Construiți un grafic al funcției 1. La ce valori ale argumentului funcția ia valori pozitive (y>0) 2. Indicați cea mai mică valoare a funcției 3. Care este intervalul valorilor sale. 4. Aflați coordonatele punctelor de intersecție cu axa Ox 5. Indicați intervalele de vârstă"> !}

Probabil că toată lumea știe ce este o parabolă. Iată cum să-l folosești corect și competent atunci când rezolvi diverse probleme practice, ne vom da seama mai jos.

În primul rând, să subliniem conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Să luăm în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Să aflăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construcției curbei (geometrie). Să învățăm cum să găsim vârful și alte valori de bază ale unui grafic de acest tip.

Să aflăm: cum să construiți corect curba dorită folosind ecuația, la ce trebuie să acordați atenție. Să vedem elementele de bază uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată?

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția ramurilor funcției desenând de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 = 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră se va scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei absciselor.

Gama de valori ale funcției – (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția unei curbe de acest tip dintr-o expresie, trebuie să determinați semnul înaintea primului parametru al expresiei algebrice. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt direcționate în sus. Dacă este invers, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online, dar este mai bine să poți să o faci singur.

Cum să o determine? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Să găsim vârfurile acestei funcții.

Pentru o linie ca aceasta:

  • x = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Deplasarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt egali cu 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează modificărilor parametrilor b și, respectiv, c. Linia de pe plan va fi deplasată exact cu numărul de unități egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Înseamnă că aspect clasic curba se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca școlari să învețe cum să deseneze corect o parabolă în funcție de parametrii dați.

Analizând expresiile și ecuațiile, puteți vedea următoarele:

  1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
  2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, punctele de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor unei parabole depinde de rezultat:

  • D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, atunci x 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

  • determinați direcția ramurilor;
  • găsiți coordonatele vârfului;
  • găsiți intersecția cu axa ordonatelor;
  • găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1.

Având în vedere funcția y = x 2 - 5 * x + 4. Este necesar să se construiască o parabolă. Urmăm algoritmul:

  1. a = 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
  2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. se intersectează cu axa ordonatelor la valoarea y = 4;
  4. să găsim discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
  5. caut radacini:
  • X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplul 2.

Pentru funcția y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului dat:

  1. a = 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
  2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. se va intersecta cu axa y la valoarea y = -1;
  4. să găsim discriminantul: D = 4 + 12 = 16. Deci rădăcinile sunt:
  • X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Folosind punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focalizarea lui F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă a unei parabole de o anumită lungime). Ecuația sa: x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Ne-am uitat la o temă pe care o învață școlari liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există o deplasare de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.

Definiție. Parabolă este un set de puncte dintr-un plan, fiecare dintre ele fiind la aceeași distanță de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice și care nu trece prin focar.

Să plasăm originea coordonatelor la mijloc între focalizare și directrice.

Magnitudinea R(distanța de la focalizare la directrice) se numește parametru parabole. Să derivăm ecuația canonică a parabolei.

Din relații geometrice: A.M. = M.F.; A.M. = X + p/2;

M.F. 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

X 2 +xp+p 2 /4 = y 2 +x 2 – xp + p 2 /4

y 2 = 2px(3.7)

Ecuația directrice: X = - p/2 , coordonatele de focalizare F(p/2;0), OhOh ( dreapta ) .

Un fascicul de raze cu o sursă situată la focar, după reflectarea dintr-o parabolă, se va transforma într-un fascicul paralel de raze. Antenele oglinzi parabolice sunt construite pe acest principiu.

În funcție de alegerea poziției punctului de origine și a axelor de coordonate în raport cu focarul și directricea, pot fi obținute încă trei ecuații canonice ale parabolei:

y 2 = -2 px: coordonatele focalizării F(- p/2;0), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OhOh(stânga).

X 2 = 2 py: coordonatele focalizării F(0; p/2), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OU, ramurile parabolei sunt îndreptate în direcția pozitivă a axei OU(sus).

X 2 = -2 py: coordonatele focalizării F(0;- p/2), centrul parabolei este la origine. Axa de simetrie – axa OU, ramurile parabolei sunt îndreptate în direcția negativă a axei OU(jos).

Totuși, mai des trebuie să te ocupi de ecuația obișnuită a parabolelor, cunoscută de la școală:

y = topor 2 + bx + c(3.8) , Unde a, b, c - parametrii parabolelor. Grafice pentru diferite valori ale acestor parametri:

A < 0

A > 0

De obicei, mai multe parabole sunt folosite pentru a reprezenta un grafic. puncte cheie: rădăcinile, axa de simetrie, vârful parabolei, unde (în sus sau în jos) sunt direcționate ramurile parabolei etc. Se presupune că găsirea acestor puncte cheie din ecuația parabolei

Exemplu. Pe o parabolă la 2 = 8x Găsiți un punct a cărui distanță de directrice este 4.

Din ecuația parabolei aflăm că p = 4.

r = X + p/2 = 4; deci:

X = 2;y 2 = 16;y =4. Puncte căutate: M 1 (2; 4),M 2 (2; -4).

§4. Sisteme de coordonate.

Orice punct din plan poate fi determinat în mod unic folosind diferite sisteme de coordonate, a căror alegere este determinată de diverși factori.

Metoda de setare condiții inițiale pentru a rezolva orice problemă practică specifică poate determina alegerea unuia sau altui sistem de coordonate. Pentru ușurința calculului, este adesea de preferat să folosiți alte sisteme de coordonate decât sistemul dreptunghiular cartezian. În plus, claritatea prezentării răspunsului final depinde adesea și în mare măsură de alegerea sistemului de coordonate.

Să luăm în considerare așa-numitul sistemul de coordonate polare; este foarte convenabil și este folosit destul de des.

Cum se construiește o parabolă? Există mai multe moduri de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Fiecare dintre ele are avantajele și dezavantajele sale. Să luăm în considerare două moduri.

Să începem prin a reprezenta o funcție pătratică de forma y=x²+bx+c și y= -x²+bx+c.

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y=x²+2x-3.

Soluţie:

y=x²+2x-3 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din vârful (-1;-4) construim un grafic al parabolei y=x² (ca de la originea coordonatelor. În loc de (0;0) - vârful (-1;-4). Din (-1; -4) mergem spre dreapta cu 1 unitate și sus cu 1 unitate, apoi stânga cu 1 și sus cu 1 apoi: 2 - dreapta, 4 - sus, 2 - stânga, 3 - sus; stânga, 9 - sus Dacă aceste 7 puncte nu sunt suficiente, atunci 4 la dreapta, 16 în sus etc.).

Graficul funcției pătratice y= -x²+bx+c este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Pentru a construi un grafic, căutăm coordonatele vârfului și din acesta construim o parabolă y= -x².

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y= -x²+2x+8.

Soluţie:

y= -x²+2x+8 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din partea de sus construim o parabolă y= -x² (1 - la dreapta, 1- jos; 1 - stânga, 1 - jos; 2 - dreapta, 4 - jos; 2 - stânga, 4 - jos, etc.):

Această metodă vă permite să construiți rapid o parabolă și nu provoacă dificultăți dacă știți să reprezentați grafic funcțiile y=x² și y= -x². Dezavantaj: dacă coordonatele vârfurilor sunt numere fracționare, construirea unui grafic nu este foarte convenabilă. Daca trebuie sa stii valori exacte puncte de intersecție ale graficului cu axa Ox, va trebui să rezolvați suplimentar ecuația x²+bx+c=0 (sau -x²+bx+c=0), chiar dacă aceste puncte pot fi determinate direct din desen.

O altă modalitate de a construi o parabolă este prin puncte, adică puteți găsi mai multe puncte pe grafic și puteți trasa o parabolă prin ele (ținând cont că dreapta x=xₒ este axa ei de simetrie). De obicei, pentru aceasta iau vârful parabolei, punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și 1-2 puncte suplimentare.

Desenați un grafic al funcției y=x²+5x+4.

Soluţie:

y=x²+5x+4 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

adică vârful parabolei este punctul (-2,5; -2,25).

Cauta . În punctul de intersecție cu axa Ox y=0: x²+5x+4=0. Rădăcinile ecuației pătratice x1=-1, x2=-4, adică avem două puncte pe grafic (-1; 0) și (-4; 0).

În punctul de intersecție a graficului cu axa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Am obținut punctul (0; 4).

Pentru a clarifica graficul, puteți găsi un punct suplimentar. Să luăm x=1, atunci y=1²+5∙1+4=10, adică un alt punct de pe grafic este (1; 10). Marcam aceste puncte pe planul de coordonate. Ținând cont de simetria parabolei față de dreapta care trece prin vârful ei, mai notăm două puncte: (-5; 6) și (-6; 10) și trasăm o parabolă prin ele:

Reprezentați grafic funcția y= -x²-3x.

Soluţie:

y= -x²-3x este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Vârful (-1,5; 2,25) este primul punct al parabolei.

În punctele de intersecție ale graficului cu axa x y=0, adică rezolvăm ecuația -x²-3x=0. Rădăcinile sale sunt x=0 și x=-3, adică (0;0) și (-3;0) - încă două puncte de pe grafic. Punctul (o; 0) este și punctul de intersecție al parabolei cu axa ordonatelor.

La x=1 y=-1²-3∙1=-4, adică (1; -4) este un punct suplimentar pentru reprezentare grafică.

Construirea unei parabole din puncte este o metodă care necesită mai multă muncă în comparație cu prima. Dacă parabola nu intersectează axa Ox, vor fi necesare mai multe puncte suplimentare.

Înainte de a continua să construim grafice ale funcțiilor pătratice de forma y=ax²+bx+c, să luăm în considerare construcția graficelor de funcții folosind transformări geometrice. De asemenea, este cel mai convenabil să construiți grafice ale funcțiilor de forma y=x²+c folosind una dintre aceste transformări - translația paralelă.

Categorie: |

După cum arată practica, sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a VIII-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și construiesc graficele acesteia pentru diverși parametri.

Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea a vreo duzină de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspect Arte grafice. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cel mai simpla dependenta pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

ÎN în acest caz, A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x


Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Să ne uităm la un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă A> 0, parabola intersectează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.