Este posibil să-l scoateți din paranteze la împărțire? „eliminarea factorului comun din paranteze”

Definiția 1

Mai întâi să ne amintim Reguli pentru înmulțirea unui monom cu un monom:

Pentru a înmulți un monom cu un monom, trebuie mai întâi să înmulțiți coeficienții monomiilor, apoi, folosind regula înmulțirii puterilor cu aceeași bază, să înmulțiți variabilele incluse în monomii.

Exemplul 1

Aflați produsul monomiilor $(2x)^3y^2z$ și $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Soluţie:

Mai întâi, să calculăm produsul coeficienților

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ în această sarcină am folosit regula pentru înmulțirea unui număr cu o fracție - pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie sa se inmulteasca numarul cu numaratorul fractiei, iar numitorul pus fara modificari

Acum să folosim proprietatea principală a unei fracții - numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la același număr, diferit de $0$. Să împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la $2$, adică reducem această fracție cu $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Rezultatul rezultat s-a dovedit a fi o fracție improprie, adică una în care numărătorul este mai mare decât numitorul.

Să transformăm această fracție izolând întreaga parte. Să ne amintim că pentru a izola o parte întreagă, este necesar să notăm restul diviziunii în numărătorul părții fracționale, divizorul în numitor.

Am găsit coeficientul viitorului produs.

Acum vom înmulți secvențial variabilele $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aici am folosit regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Atunci rezultatul înmulțirii monomiilor va fi:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Apoi pe baza a acestei reguli puteți efectua următoarea sarcină:

Exemplul 2

Reprezentați un polinom dat ca produsul dintre un polinom și un monom $(4x)^3y+8x^2$

Să reprezentăm fiecare dintre monomiile incluse în polinom ca produsul a două monomii pentru a izola un monomiu comun, care va fi un factor atât în ​​primul cât și în cel de-al doilea monomiu.

Mai întâi, să începem cu primul monom $(4x)^3y$. Să factorizăm coeficientul său în factori simpli: $4=2\cdot 2$. La fel vom proceda cu coeficientul celui de-al doilea monom $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Rețineți că doi factori $2\cdot 2$ sunt incluși în primul și al doilea coeficient, ceea ce înseamnă $2\cdot 2=4$ - acest număr va fi inclus în monomiul general ca coeficient

Acum să observăm că în primul monom există $x^3$, iar în al doilea există aceeași variabilă la puterea lui $2:x^2$. Aceasta înseamnă că este convenabil să reprezentați variabila $x^3$ astfel:

Variabila $y$ este inclusă într-un singur termen al polinomului, ceea ce înseamnă că nu poate fi inclusă în monomul general.

Să ne imaginăm primul și al doilea monom inclus în polinom ca produs:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Rețineți că monomul comun, care va fi un factor atât în ​​primul cât și în cel de-al doilea monom, este $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Acum aplicăm legea distributivă a înmulțirii, apoi expresia rezultată poate fi reprezentată ca un produs al doi factori. Unul dintre multiplicatori va fi multiplicatorul total: $4x^2$ iar celălalt va fi suma multiplicatorilor rămași: $xy + 2$. Mijloace:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Această metodă se numește factorizarea folosind scăderea multiplicator comun.

Factorul comun în în acest caz, a fost folosit monomiul $4x^2$.

Algoritm

Nota 1

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomiilor incluse în polinom - va fi coeficientul factorului-monoim comun, pe care îl vom scoate din paranteze

Un monom alcătuit din coeficientul găsit la paragraful 2 și variabilele găsite la paragraful 3 va fi un factor comun. care poate fi scos din paranteze ca factor comun.

Exemplul 3

Scoateți factorul comun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Soluţie:

Să găsim mcd-ul coeficienților pentru aceasta vom descompune coeficienții în factori simpli

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Și găsim produsul celor incluse în extinderea fiecăruia:

Identificați variabilele care alcătuiesc fiecare monom și selectați variabila cu cel mai mic exponent

$a^3=a^2\cdot a$

Variabila $b$ este inclusă numai în al doilea și al treilea monom, ceea ce înseamnă că nu va fi inclusă în factorul comun.

Să compunem un monom format din coeficientul găsit la pasul 2, variabilele găsite la pasul 3, obținem: $3a$ - acesta va fi factorul comun. Apoi:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

În cursul diferitelor operații matematice când se lucrează cu ecuații și egalități, devine adesea posibilă simplificarea semnificativă a tuturor operațiilor prin plasarea unui anumit factor comun în afara expresiei în sine. Acest lucru permite nu numai reducerea grupurilor mari ale polinomului, ci și simplificarea procesului de soluție în sine.

Adăugarea unui multiplicator vă permite, de asemenea, să scăpați de pașii inutile și să optimizați procesul de calcul. În acest tutorial video vom studia în detaliu posibilitățile procedurii de îndepărtare. De exemplu, luați în considerare o expresie de următoarea formă:

Trebuie să-l transformăm astfel încât, având în vedere valorile cunoscute ale tuturor variabilelor, să fie ușor de calculat valoarea întregului polinom. Să punem a=1, c=2, x=5. Să observăm că ambii termeni ai polinomului au o parte comună - variabila factor x. Se scoate cu ușurință din paranteze, conform legii distributive a înmulțirii:

ax + cx = x(a + c)

Pentru a găsi partea dreaptă a acestei egalități, este necesar să împărțiți fiecare monom al polinomului original cu un factor comun aprobat (în acest caz, x), să scrieți coeficientul ca sumă algebrică în paranteze și să plasați factorul în sine în față dintre ei. Ghidat de valori date variabile, obținem:

ax + cx = x(a + c) = 5(1 + 2) = 15

Tutorialul video subliniază faptul că scoaterea multiplicatorului dintre paranteze în exemplul prezentat a redus numărul de pași de calcul de la trei la doi. În exercițiile mai complexe, efectul de simplificare poate fi și mai semnificativ. Și multe ecuații sunt în general foarte greu de rezolvat fără a utiliza metoda multiplicatorului.

În general, scoaterea factorului comun din paranteze în polinoame se numește procesul de descompunere a polinoamului în factori individuali. În acest caz se folosește următorul algoritm pentru prelucrarea datelor:

1. Iese în evidență grup de lucru expresii (polinom);
2. Se caută un factor potrivit prin care fiecare monom ar putea fi împărțit;
3. Monomiile sunt împărțite la un factor selectat, iar rezultatele sunt scrise în loc de monomii, ca o sumă algebrică;
4. Polinomul rezultat este plasat în paranteze, iar factorul comun este plasat în fața lor.

Problemele apar adesea la alegerea unui multiplicator. În primul rând, el trebuie să răspundă număr maxim monomii, în mod ideal - împărțiți toate monomiile. În al doilea rând, în problemele complexe este necesar să se selecteze un factor astfel încât să permită rezolvarea întregului exercițiu să fie efectuată în continuare, facilitând întreaga procedură. De regulă, dacă nu există o condiție strictă din exterior (în ecuații, de exemplu), atunci factorul este selectat conform principiilor: potrivit pentru toate monomiile și fiind cel mai mare ca grad și coeficient al variabilei. Cu alte cuvinte, multiplicatorul trebuie să includă toate variabilele, cea mai mare putere posibilă și cel mai mare multiplu al coeficientului numeric. Să ne uităm la un exemplu:

2x 2 y - 8x 2 y + 4x 2 +4x 3 y 2

Este destul de evident că în această expresie pentru toate monomiile cel mai acceptabil multiplicator va fi variabila x, dusă la a doua putere (maximum admisibil) și cu un coeficient numeric egal cu 2, adică. 2x 2:

2x 2 y - 8x 2 y + 4x 2 + 4x 3 y 2 = 2x 2 (y - 4y + 2xy 2) = 2x 2 (2xy 2 - 3y)

Efectuăm acțiunile dintre paranteze și obținem răspunsul final, care este produsul dintre un polinom și un factor monomial.

Să ne uităm la un alt exemplu. Este necesar să se transforme expresia ca:

2x(4-y) + x(y-4)

La prima vedere, este dificil să scoți ceva din paranteze aici, cu excepția variabilei x, a cărei eliminare va crea paranteze dubleși nu va face decât să complice polinomul, prin urmare acest pas nepotrivit. Cu toate acestea, urmând logica standard și reguli de bază adunare matematică, putem scrie cu încredere că:

(y-4) = -(4-y)

Dacă minusul expresiei drepte este adus în interior, atunci toate semnele interne se vor schimba în opus, formând o expresie complet identică cu partea stângă. Prin urmare, ar fi corect să scriem:

2x(4-y) + x(y-4) = 2x(4-y) - x(4-y)

Acum ambii termeni ai polinomului conțin un factor comun (4-y), care poate fi scos cu ușurință din paranteze continuând calculele ulterioare:

2x(4-y) - x(4-y) = (4-y)(2x - x) = (4-y)x = 4x - yx

Ultimele două etape ale calculelor nu se referă la procedura generală de atribuire a unui multiplicator și reprezintă o soluție individuală pentru acest exemplu. Procesul de scădere în sine ne dă produsul a două binoame elementare.

Lecție de matematică în clasa a VII-a

8. Obiectivele lecției

Pentru profesor:

educativ

organizeaza activitati educative:

Prin stăpânirea algoritmului de scoatere a factorului comun din paranteze și înțelegerea logicii construcției acestuia;

Pentru a dezvolta capacitatea de a aplica algoritmul pentru a scoate factorul comun din paranteze

în curs de dezvoltare

crearea condițiilor pentru dezvoltarea competențelor de reglementare:

Stabiliți-vă propriile obiective activități educaționale;

Planificați modalități de atingere a obiectivelor;

Corelați acțiunile dvs. cu rezultatele planificate;

Monitorizarea și evaluarea activităților educaționale pe baza rezultatelor;

Organizează cooperarea educațională și activități comune cu profesorul și colegii.

- educativ

Creați condiții pentru formarea unei atitudini responsabile față de învățare;

Crearea condițiilor pentru dezvoltarea independenței elevilor în organizarea și desfășurarea activităților lor educaționale.

Creați condiții pentru educația patriotică

Creați condiții pentru educația pentru mediu

Pentru elevi:

Stăpânește algoritmul pentru scoaterea factorului comun din paranteze și înțelegerea logicii construcției acestuia;

Dezvoltați capacitatea de a aplica algoritmul pentru a scoate factorul comun din paranteze

9. UUD-uri utilizate: reglementare (stabilirea obiectivelor, planificarea activității, control și evaluare)

10.Tip de lecție: învăţarea de materiale noi

11. Forme de lucru ale elevilor: frontal, baie de aburi, individual

12. Necesar echipament tehnic: computer, proiector, logo-ul lecției, manuale de matematică, prezentare electronica, realizat în Power Point, fișe

Structura și fluxul lecției

În cadrul studiului transformărilor identitare, tema scoaterii din paranteze a factorului comun este foarte importantă. În acest articol vom explica ce este exact o astfel de transformare, vom deriva regula de bază și vom analiza exemple tipice de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de a scoate un factor din paranteze

Pentru a aplica cu succes această transformare, trebuie să știi pentru ce expresii este folosită și ce rezultat trebuie să obții în final. Să clarificăm aceste puncte.

Puteți scoate factorul comun din paranteze în expresiile care reprezintă sume în care fiecare termen este un produs, iar în fiecare produs există un factor care este comun (același) pentru toată lumea. Acesta se numește factorul comun. Acesta este ceea ce vom scoate din paranteze. Deci, dacă avem lucrări 5 3Şi 5 4, atunci putem scoate factorul comun 5 din paranteze.

În ce constă această transformare? În timpul acesteia, reprezentăm expresia originală ca produsul unui factor comun și o expresie între paranteze care conține suma tuturor termenilor inițiali, cu excepția factorului comun.

Să luăm exemplul dat mai sus. Să adăugăm un factor comun de 5 la 5 3Şi 5 4și obținem 5 (3 + 4) . Expresia finală este produsul factorului comun 5 cu expresia dintre paranteze, care este suma termenilor inițiali fără 5.

Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii, pe care am studiat-o deja anterior. În formă literală se poate scrie ca a (b + c) = a b + a c. Prin schimbare partea dreaptăîn stânga, vom vedea o schemă pentru a scoate factorul comun din paranteze.

Regula pentru scoaterea din paranteze a factorului comun

Folosind tot ce s-a spus mai sus, derivăm regula de bază pentru o astfel de transformare:

Definiția 1

Pentru a elimina factorul comun din paranteze, trebuie să scrieți expresia originală ca produs dintre factorul comun și parantezele care includ suma inițială fără factorul comun.

Exemplul 1

Să luăm un exemplu simplu de randare. Avem expresie numerică 3 7 + 3 2 − 3 5, care este suma a trei termeni 3 · 7, 3 · 2 și a unui factor comun 3. Luând ca bază regula pe care am derivat-o, scriem produsul ca 3 (7 + 2 − 5). Acesta este rezultatul transformării noastre. Întreaga soluție arată astfel: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Putem scoate factorul dintre paranteze nu numai în expresii numerice, ci și în expresii literale. De exemplu, în 3 x − 7 x + 2 puteți scoate variabila x și obțineți 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, în expresia (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– factor comun (x2+y)și ajungi până la urmă (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Nu este întotdeauna posibil să se determine imediat care factor este cel comun. Uneori, o expresie trebuie mai întâi transformată prin înlocuirea numerelor și expresiilor cu produse identice egale.

Exemplul 2

Deci, de exemplu, în expresie 6 x + 4 y este posibil să se obțină un factor comun 2 care nu este scris în mod explicit. Pentru a-l găsi, trebuie să transformăm expresia originală, reprezentând șase ca 2 · 3 și patru ca 2 · 2. Adică 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Sau în expresie x 3 + x 2 + 3 x putem scoate din paranteze factorul comun x, care se dezvăluie după înlocuire x 3 pe x · x 2 . Această transformare este posibilă datorită proprietăților de bază ale gradului. Ca rezultat, obținem expresia x (x 2 + x + 3).

Un alt caz care ar trebui discutat separat este eliminarea unui minus din paranteze. Apoi scoatem nu semnul în sine, ci minus unu. De exemplu, să transformăm expresia în acest fel − 5 − 12 x + 4 x y. Să rescriem expresia ca (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, astfel încât multiplicatorul general să fie mai clar vizibil. Să o scoatem din paranteze și să obținem − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Acest exemplu arată că între paranteze se obține aceeași cantitate, dar cu semne opuse.

În concluzii, observăm că transformarea prin plasarea factorului comun din paranteze este foarte des folosită în practică, de exemplu, pentru a calcula valoarea expresiilor raționale. Această metodă este utilă și atunci când trebuie să reprezentați o expresie ca un produs, de exemplu, pentru a factoriza un polinom în factori individuali.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție, ne vom familiariza cu regulile de inserare a factorului comun și vom învăța cum să-l găsim în diverse exemple și expresii. Să vorbim despre modul în care o operație simplă, scoțând factorul comun din paranteze, vă permite să simplificați calculele. Vom consolida cunoștințele și abilitățile dobândite, analizând exemple de diferite complexități.

Care este un factor comun, de ce să-l căutați și în ce scop este scos dintre paranteze? Să răspundem la aceste întrebări privind un exemplu simplu.

Să rezolvăm ecuația. Partea stângă ecuația este un polinom format din termeni similari. Partea cu scrisoare este comună acestor termeni, ceea ce înseamnă că va fi factorul comun. Să-l scoatem din paranteze:

În acest caz, scoaterea factorului comun din paranteze ne-a ajutat să transformăm polinomul într-un monom. Astfel, am putut simplifica polinomul și transformarea lui ne-a ajutat să rezolvăm ecuația.

În exemplul luat în considerare, factorul comun era evident, dar ar fi atât de ușor să-l găsim într-un polinom arbitrar?

Să găsim sensul expresiei: .

ÎN în acest exemplu scoaterea factorului comun dintre paranteze a simplificat foarte mult calculul.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm divizibilitatea în expresii.

Expresia rezultată este divizibilă cu , așa cum este necesar pentru a fi demonstrat. Încă o dată, luarea factorului comun ne-a permis să rezolvăm problema.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm că expresia este divizibilă cu pentru orice număr natural: .

Expresia este produsul a două numere naturale adiacente. Unul dintre cele două numere va fi cu siguranță par, ceea ce înseamnă că expresia va fi divizibilă cu .

Ne-am uitat la exemple diferite, dar am folosit aceeași metodă de soluție: am scos factorul comun din paranteze. Vedem că această operațiune simplă simplifică foarte mult calculele. A fost ușor să găsești un factor comun pentru aceste cazuri speciale, dar în ce să faci caz general, pentru un polinom arbitrar?

Amintiți-vă că un polinom este o sumă de monomii.

Luați în considerare polinomul . Acest polinom este suma a două monomii. Un monom este produsul unui număr, un coeficient și o parte de litere. Astfel, în polinomul nostru, fiecare monom este reprezentat de produsul unui număr și al puterilor, produsul factorilor. Factorii pot fi aceiași pentru toate monomiile. Acești factori trebuie să fie determinați și scoși din paranteză. În primul rând, găsim factorul comun pentru coeficienți, care sunt întregi.

A fost ușor să găsiți factorul comun, dar să definim mcd-ul coeficienților: .

Să ne uităm la un alt exemplu: .

Să găsim , ceea ce ne va permite să determinăm factorul comun pentru această expresie: .

Am derivat o regulă pentru coeficienții întregi. Trebuie să le găsiți gcd-ul și să-l scoateți din paranteză. Să consolidăm această regulă rezolvând încă un exemplu.

Ne-am uitat la regula de atribuire a unui factor comun pentru coeficienții întregi, să trecem la partea cu litere. În primul rând, căutăm acele litere care sunt incluse în toate monomiile și apoi determinăm cel mai înalt grad al literei care este inclusă în toate monomiile: .

În acest exemplu, a existat o singură variabilă de literă comună, dar pot fi mai multe, ca în exemplul următor:

Să complicăm exemplul prin creșterea numărului de monomii:

După ce am scos factorul comun, am convertit suma algebrică într-un produs.

Ne-am uitat la regulile de scădere pentru coeficienții întregi și variabilele cu litere separat, dar cel mai adesea trebuie să le aplicați împreună pentru a rezolva exemplul. Să ne uităm la un exemplu:

Uneori poate fi dificil să determinați ce expresie este lăsată în paranteze, să ne uităm la un truc ușor care vă va permite să rezolvați rapid această problemă.

Factorul comun poate fi și valoarea dorită:

Factorul comun poate fi nu numai un număr sau un monom, ci și orice expresie, cum ar fi în ecuația următoare.