Thực đơn
trang chủKỹ thuật

Nêu nhân tố, quy tắc, ví dụ chung. Đặt dấu ngoặc cho yếu tố chung: quy tắc, ví dụ

Trong khuôn khổ nghiên cứu các phép biến đổi bản sắc, chủ đề lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc là rất quan trọng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích chính xác sự chuyển đổi như vậy là gì, rút ​​ra quy tắc cơ bản và phân tích các ví dụ điển hình của vấn đề.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Khái niệm lấy hệ số ra khỏi ngoặc

Để áp dụng thành công phép biến đổi này, bạn cần biết nó được sử dụng cho biểu thức nào và cuối cùng sẽ thu được kết quả gì. Hãy để chúng tôi làm rõ những điểm này.

Bạn có thể lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong các biểu thức biểu thị tổng trong đó mỗi số hạng là tích và trong mỗi tích có một thừa số chung (giống nhau) cho mọi người. Đây được gọi là yếu tố chung. Đó là điều mà chúng tôi sẽ đưa ra khỏi dấu ngoặc đơn. Vì vậy, nếu chúng ta có tác phẩm 5 3 Và 5 4, thì chúng ta có thể lấy thừa số chung 5 ra khỏi ngoặc.

Sự chuyển đổi này bao gồm những gì? Trong đó, chúng ta biểu diễn biểu thức ban đầu dưới dạng tích của một thừa số chung và một biểu thức trong ngoặc đơn chứa tổng của tất cả các số hạng ban đầu ngoại trừ thừa số chung.

Hãy lấy ví dụ được đưa ra ở trên. Hãy cộng ước số chung của 5 vào 5 3 Và 5 4 và chúng tôi nhận được 5 (3 + 4) . Biểu thức cuối cùng là tích của thừa số chung 5 với biểu thức trong ngoặc, là tổng của các số hạng ban đầu không có 5.

Phép biến đổi này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân mà chúng ta đã nghiên cứu trước đây. Ở dạng chữ, nó có thể được viết là a (b + c) = a b + a c. Bằng cách thay đổi vế phải bằng vế trái, chúng ta sẽ thấy sơ đồ lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Quy tắc lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc

Sử dụng mọi điều đã nói ở trên, chúng ta rút ra quy tắc cơ bản cho sự chuyển đổi như vậy:

Định nghĩa 1

Để loại bỏ thừa số chung khỏi ngoặc, bạn cần viết biểu thức ban đầu dưới dạng tích của thừa số chung và dấu ngoặc bao gồm tổng ban đầu không có thừa số chung.

ví dụ 1

Hãy lấy một ví dụ đơn giản về kết xuất. Chúng ta có một biểu thức số 3 7 + 3 2 − 3 5, là tổng của ba số hạng 3 · 7, 3 · 2 và thừa số chung 3. Lấy quy tắc rút ra làm cơ sở, chúng ta viết tích dưới dạng 3 (7 + 2 − 5). Đây là kết quả của sự chuyển đổi của chúng tôi. Toàn bộ giải pháp trông như thế này: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Chúng ta có thể đặt hệ số ra khỏi ngoặc không chỉ bằng số mà còn bằng biểu thức nghĩa đen. Ví dụ, trong 3 x − 7 x + 2 bạn có thể lấy biến x ra và nhận 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, trong biểu thức (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- nhân tố chung (x2+y) và cuối cùng nhận được (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Không phải lúc nào cũng có thể xác định ngay yếu tố nào là chung. Đôi khi một biểu thức trước tiên phải được chuyển đổi bằng cách thay thế các số và biểu thức bằng các tích giống hệt nhau.

Ví dụ 2

Vì vậy, ví dụ, trong biểu thức 6 x + 4 y có thể rút ra thừa số chung 2 không được viết ra một cách rõ ràng. Để tìm nó, chúng ta cần biến đổi biểu thức ban đầu, biểu thị sáu là 2 · 3 và bốn là 2 · 2. Đó là 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Hoặc trong cách diễn đạt x 3 + x 2 + 3 x chúng ta có thể loại bỏ thừa số chung x ra khỏi ngoặc, được tìm thấy sau khi thay thế x 3 TRÊN x · x 2 . Sự chuyển đổi này có thể thực hiện được do các tính chất cơ bản của mức độ. Kết quả là, chúng ta nhận được biểu thức x (x 2 + x + 3).

Một trường hợp khác cần được thảo luận riêng là việc loại bỏ dấu trừ trong ngoặc. Sau đó, chúng ta không lấy ra dấu mà là trừ một. Ví dụ: chúng ta hãy biến đổi biểu thức theo cách này − 5 − 12 x + 4 x y. Hãy viết lại biểu thức như (- 1) 5 + (- 1) 12 x − (- 1) 4 x y, để hệ số nhân tổng thể được nhìn thấy rõ ràng hơn. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc và nhận được − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Ví dụ này cho thấy rằng trong ngoặc thu được cùng một lượng, nhưng có dấu hiệu ngược lại.

Trong phần kết luận, chúng tôi lưu ý rằng phép biến đổi bằng cách đặt hệ số chung ra khỏi ngoặc thường được sử dụng trong thực tế, chẳng hạn như để tính giá trị của các biểu thức hữu tỉ. Phương pháp này cũng hữu ích khi bạn cần biểu diễn một biểu thức dưới dạng tích, ví dụ: để phân tích một đa thức thành các thừa số riêng lẻ.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

\(5x+xy\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(x(5+y)\). Đây thực sự là những biểu thức giống hệt nhau, chúng ta có thể xác minh điều này nếu chúng ta mở ngoặc: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Như bạn có thể thấy, kết quả là chúng ta có được biểu thức ban đầu. Điều này có nghĩa là \(5x+xy\) thực sự bằng \(x(5+y)\). Nhân tiện, đây là một cách đáng tin cậy để kiểm tra tính đúng đắn của các thừa số chung - mở dấu ngoặc kết quả và so sánh kết quả với biểu thức ban đầu.


Nguyên tắc chính cho dấu ngoặc:

Ví dụ: trong biểu thức \(3ab+5bc-abc\) chỉ có thể đưa \(b\) ra khỏi ngoặc vì đây là từ duy nhất có mặt trong cả ba số hạng. Quá trình lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc được thể hiện ở sơ đồ dưới đây:

Quy tắc đóng khung

    Trong toán học, người ta thường loại bỏ tất cả các thừa số chung cùng một lúc.

    Ví dụ:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Xin lưu ý rằng ở đây chúng ta có thể mở rộng như thế này: \(3(xy-xz)\) hoặc như thế này: \(x(3y-3z)\). Tuy nhiên, đây sẽ là những phân hủy không đầy đủ. Cả C và X đều phải được loại bỏ.

    Đôi khi các thành viên chung không được nhìn thấy ngay lập tức.

    Ví dụ:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    Trong trường hợp này, thuật ngữ chung (năm) đã bị ẩn. Tuy nhiên, sau khi mở rộng \(10\) thành \(2\) nhân với \(5\) và \(15\) thành \(3\) nhân với \(5\) - chúng tôi “đã kéo năm vào ánh sáng của Chúa”, sau đó họ dễ dàng đưa nó ra khỏi khung.

    Nếu một đơn thức bị loại bỏ hoàn toàn thì còn lại một đơn thức.

    Ví dụ: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Chúng ta đặt \(x\) ra khỏi ngoặc và đơn thức thứ ba chỉ bao gồm x. Tại sao người ta lại rời xa anh ta? Bởi vì nếu bất kỳ biểu thức nào được nhân với một thì nó sẽ không thay đổi. Nghĩa là, \(x\) này có thể được biểu diễn dưới dạng \(1\cdot x\). Khi đó ta có chuỗi biến đổi sau:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

    Hơn nữa, đây là cách duy nhất để trích xuất nó, bởi vì nếu chúng ta không để lại một dấu ngoặc, thì khi mở dấu ngoặc, chúng ta sẽ không trở về biểu thức ban đầu. Thật vậy, nếu chúng ta thực hiện trích xuất như thế này \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), thì khi mở rộng chúng ta sẽ nhận được \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Thành viên thứ ba đang mất tích. Điều này có nghĩa là tuyên bố như vậy là không chính xác.

    Bạn có thể đặt dấu trừ bên ngoài dấu ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ bị đảo ngược.

    Ví dụ:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    Về cơ bản, ở đây chúng ta đang đưa ra “số trừ”, có thể được “chọn” trước bất kỳ đơn thức nào, ngay cả khi không có số trừ nào ở phía trước nó. Ở đây chúng ta sử dụng thực tế là một cái có thể được viết là \((-1) \cdot (-1)\). Đây là ví dụ tương tự, được mô tả chi tiết:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    Dấu ngoặc đơn cũng có thể là một yếu tố phổ biến.

    Ví dụ:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Chúng ta thường gặp phải tình huống này nhất (bỏ dấu ngoặc khỏi ngoặc) khi phân tích nhân tử bằng phương pháp nhóm hoặc

Trong bài viết này chúng tôi sẽ tập trung vào lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu phép biến đổi biểu thức này bao gồm những gì. Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày quy tắc đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc và xem xét các ví dụ chi tiết về ứng dụng của nó.

Điều hướng trang.

Ví dụ, các số hạng trong biểu thức 6 x + 4 y có thừa số chung là 2, hệ số này không được viết ra một cách rõ ràng. Nó chỉ có thể được nhìn thấy sau khi biểu diễn số 6 dưới dạng tích của 2·3 và 4 dưới dạng tích của 2·2. Vì thế, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Một ví dụ khác: trong biểu thức x 3 +x 2 +3 x các số hạng có thừa số chung x, hệ số này sẽ hiển thị rõ ràng sau khi thay x 3 bằng x x 2 (trong trường hợp này chúng tôi đã sử dụng) và x 2 bằng x x. Sau khi lấy nó ra khỏi ngoặc, chúng ta nhận được x·(x 2 +x+3) .

Hãy nói riêng về việc bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc. Trên thực tế, bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc có nghĩa là bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc. Ví dụ: hãy loại bỏ dấu trừ trong biểu thức −5−12·x+4·x·y. Biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, từ đó có thể thấy rõ thừa số chung −1 mà chúng ta lấy ra khỏi ngoặc. Kết quả là, chúng ta đi đến biểu thức (−1)·(5+12·x−4·x·y) trong đó hệ số −1 được thay thế đơn giản bằng dấu trừ trước dấu ngoặc, kết quả là chúng ta có −( 5+12·x−4·x· y) . Từ đây có thể thấy rõ rằng khi bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc thì tổng ban đầu vẫn nằm trong ngoặc, trong đó dấu của tất cả các số hạng của nó đã được đổi thành ngược lại.

Để kết luận bài viết này, chúng tôi lưu ý rằng việc khoanh tròn hệ số chung được sử dụng rất rộng rãi. Ví dụ: nó có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả hơn các giá trị của biểu thức số. Ngoài ra, việc đặt một thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc cho phép bạn biểu diễn các biểu thức dưới dạng tích; đặc biệt, một trong những phương pháp để phân tích một đa thức là dựa trên việc rút ra dấu ngoặc.

Thư mục.

  • Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.

Chichaeva Darina lớp 8

Trong tác phẩm, một học sinh lớp 8 đã mô tả quy tắc phân tích nhân tử của đa thức bằng cách đưa nhân tử chung ra khỏi ngoặc kèm theo quy trình giải chi tiết nhiều ví dụ về chủ đề này. Đối với mỗi ví dụ được phân tích, 2 ví dụ được đưa ra cho các giải pháp độc lập và có câu trả lời. Tác phẩm sẽ giúp nghiên cứu chủ đề này cho những học sinh vì lý do nào đó không nắm vững được khi vượt qua tài liệu chương trình lớp 7 và (hoặc) khi học lại môn đại số ở lớp 8 sau kỳ nghỉ hè.

Tải xuống:

Xem trước:

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

trường cấp 2 số 32

"Trường liên kết UNESCO "Phát triển Eureka"

Volzhsky, vùng Volgograd

Công việc đã hoàn thành:

học sinh lớp 8B

Chichaeva Darina

Volzhsky

2014

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

  • - Một cách phân tích đa thức làbỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc;
  • - Khi lấy số nhân tổng quát ra khỏi ngoặc thì áp dụngtài sản phân phối;
  • - Nếu mọi số hạng của đa thức đều chứa thì yếu tố chung yếu tố này có thể được đưa ra khỏi dấu ngoặc đơn.

Khi giải phương trình, trong phép tính và một số bài toán khác, có thể hữu ích khi thay đa thức bằng tích của nhiều đa thức (có thể bao gồm các đơn thức). Biểu diễn một đa thức dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức được gọi là phân tích thành nhân tử của đa thức.

Xét đa thức 6a 2 b+15b 2 . Mỗi số hạng của nó có thể được thay thế bằng tích của hai thừa số, một trong số đó bằng 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b → từ đây ta có: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Biểu thức kết quả dựa trên tính chất phân phối của phép nhân có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai thừa số. Một trong số đó là bội số chung 3b , và cái kia là tổng 2a 2 và 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) → Như vậy ta đã khai triển đa thức: 6a 2 b+15b 2 thành các thừa số, biểu diễn nó như là tích của một đơn thức 3b và đa thức 2a 2 +5b. Phương pháp phân tích một đa thức này được gọi là lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Ví dụ:

Yếu tố đó ra:

A) kx-px.

Số nhân x x chúng tôi đặt nó ra khỏi dấu ngoặc đơn.

kx:x=k; px:x=p.

Chúng tôi nhận được: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Số nhân 4 tồn tại ở cả số hạng 1 và số hạng 2. Đó là lý do tại sao 4 chúng tôi đặt nó ra khỏi dấu ngoặc đơn.

4a:4=a; 4b:4=b.

Chúng ta nhận được: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m và -27n chia hết cho -9 . Vì vậy, chúng tôi lấy hệ số ra khỏi ngoặc-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Chúng ta có: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5y 2 -15y.

5 và 15 chia hết cho 5; y 2 và y được chia cho y.

Vì vậy, chúng ta lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc 5у.

5y 2 : 5y=y; -15y: 5y=-3.

Vì vậy: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Bình luận: Từ hai bậc có cùng cơ số, ta lấy bậc có số mũ nhỏ hơn.

e) 16у 3 +12у 2.

16 và 12 chia hết cho 4; y 3 và y 2 được chia cho y 2.

Vậy thừa số chung 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Kết quả là chúng tôi nhận được: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

f) Phân tích đa thức thành nhân tử 8b(7y+a)+n(7y+a).

Trong biểu thức này, chúng ta thấy rằng yếu tố tương tự có mặt(7y+a) , có thể được lấy ra khỏi ngoặc. Vì vậy, chúng tôi nhận được:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Biểu thức b-c và c-b là đối diện. Vì vậy, để làm cho chúng giống nhau, trước d đổi dấu “+” thành “-”:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Ví dụ cho các giải pháp độc lập:

  1. mx+của tôi;
  2. à+à;
  3. 5x+5y ;
  4. 12x+48y;
  5. 7ax+7bx;
  6. 14x+21y;
  7. –ma-a;
  8. 8mn-4m2;
  9. -12y 4 -16y;
  10. 15y 3 -30y 2 ;
  11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
  12. 8m(a-3)+n(a-3);
  13. x(y-5)-y(5-y);
  14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Câu trả lời.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y 2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Chúng tôi tiếp tục hiểu những điều cơ bản của đại số. Hôm nay chúng ta sẽ làm việc với, cụ thể là, chúng ta sẽ xem xét một hành động như bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Nội dung bài học

Nguyên tắc cơ bản

Luật nhân phân phối cho phép bạn nhân một số với một số (hoặc một số với một số). Ví dụ: để tìm giá trị của biểu thức 3 × (4 + 5), bạn có thể nhân số 3 với mỗi số hạng trong ngoặc đơn và cộng kết quả:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Số 3 và biểu thức trong ngoặc có thể hoán đổi cho nhau (điều này tuân theo luật giao hoán của phép nhân). Khi đó mỗi số hạng trong ngoặc sẽ được nhân với số 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Hiện tại, chúng ta sẽ không tính cách xây dựng 3 × 4 + 3 × 5 và cộng các kết quả thu được 12 và 15. Chúng ta hãy để lại biểu thức ở dạng 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Dưới đây chúng ta sẽ cần nó ở dạng chính xác này để hiểu bản chất của việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Luật phân phối của phép nhân đôi khi được gọi là đặt một thừa số vào trong dấu ngoặc đơn. Trong biểu thức 3 × (4 + 5), thừa số 3 bị bỏ ngoài ngoặc. Bằng cách nhân nó với mỗi số hạng trong ngoặc, về cơ bản chúng ta đã đưa nó vào trong ngoặc. Để rõ ràng, bạn có thể viết theo cách này, mặc dù thông thường người ta không viết theo cách này:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Vì trong biểu thức 3 × (4 + 5) số 3 nhân với mỗi số hạng trong ngoặc, số này là ước chung của số hạng 4 và 5

Như đã đề cập trước đó, bằng cách nhân hệ số chung này với mỗi số hạng trong ngoặc đơn, chúng ta đặt nó vào trong ngoặc đơn. Nhưng quá trình ngược lại cũng có thể xảy ra - thừa số chung có thể được đưa ra khỏi ngoặc. Trong trường hợp này, trong biểu thức 3×4 + 3×5 số nhân chung có thể nhìn thấy rõ ràng - đây là số nhân của 3. Nó cần phải được đưa ra khỏi phương trình. Để làm điều này, trước tiên hãy viết chính hệ số 3

và bên cạnh nó trong ngoặc là biểu thức được viết 3×4 + 3×5 nhưng không có thừa số chung 3, vì nó được lấy ra khỏi ngoặc

3 (4 + 5)

Bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, chúng ta thu được biểu thức 3 (4 + 5) . Biểu thức này giống hệt với biểu thức trước 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Nếu chúng ta tính cả hai vế của đẳng thức thu được, chúng ta thu được đẳng thức:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Làm thế nào để yếu tố chung đi ra khỏi dấu ngoặc?

Việc đặt thừa số chung bên ngoài dấu ngoặc về cơ bản là thao tác ngược lại với việc đặt thừa số chung bên trong dấu ngoặc.

Nếu khi đưa một thừa số chung vào trong ngoặc, chúng ta nhân hệ số này với mỗi số hạng trong ngoặc thì khi đưa thừa số này ra ngoài ngoặc, chúng ta phải chia mỗi số hạng trong ngoặc cho hệ số này.

Trong biểu hiện 3×4 + 3×5, đã được thảo luận ở trên, đây là những gì đã xảy ra. Mỗi số hạng được chia cho thừa số chung là 3. Các tích 3 × 4 và 3 × 5 là các số hạng vì nếu tính chúng, chúng ta sẽ có tổng 12 + 15

Bây giờ chúng ta có thể xem chi tiết cách lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:

Có thể thấy, thừa số chung 3 trước tiên được lấy ra khỏi ngoặc, sau đó trong ngoặc mỗi số hạng được chia cho thừa số chung này.

Việc chia mỗi số hạng cho một thừa số chung có thể được thực hiện không chỉ bằng cách chia tử số cho mẫu số, như trình bày ở trên, mà còn bằng cách giảm các phân số này. Trong cả hai trường hợp, bạn sẽ nhận được kết quả như nhau:

Chúng ta đã xem xét ví dụ đơn giản nhất về việc lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc để hiểu nguyên tắc cơ bản.

Nhưng không phải mọi thứ đều đơn giản như thoạt nhìn. Sau khi nhân số với mỗi số hạng trong ngoặc đơn, các kết quả sẽ được cộng lại với nhau và hệ số chung sẽ bị mất khỏi chế độ xem.

Hãy quay lại ví dụ 3 (4 + 5) của chúng ta. Hãy áp dụng luật phân phối của phép nhân, tức là nhân số 3 với mỗi số hạng trong ngoặc rồi cộng kết quả:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Sau khi tính toán phép dựng 3 × 4 + 3 × 5, chúng ta thu được biểu thức mới 12 + 15. Chúng ta thấy rằng thừa số chung của 3 đã biến mất khỏi tầm nhìn. Bây giờ, trong biểu thức thu được 12 + 15, chúng ta hãy thử đưa ước chung ra khỏi ngoặc, nhưng để đưa ước chung này ra, trước tiên chúng ta cần tìm nó.

Thông thường, khi giải các bài toán, chúng ta chỉ gặp những biểu thức trong đó trước tiên phải tìm ra thừa số chung trước khi loại bỏ nó.

Để lấy ước chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 12 + 15, bạn cần tìm ước chung lớn nhất (GCD) của các số hạng 12 và 15. GCD tìm được sẽ là ước chung.

Vì vậy, chúng ta hãy tìm GCD cho các số 12 và 15. Hãy nhớ lại rằng để tìm GCD, bạn cần phân tách các số ban đầu thành các thừa số nguyên tố, sau đó viết phân tích đầu tiên và loại bỏ khỏi nó các yếu tố không có trong phân tách của số thứ hai. Các yếu tố còn lại cần được nhân lên để thu được gcd mong muốn. Nếu bạn gặp khó khăn ở điểm này, hãy nhớ lặp lại.

GCD cho 12 và 15 là số 3. Số này là ước chung của các số hạng 12 và 15. Nó phải được đưa ra khỏi ngoặc. Để làm điều này, trước tiên chúng ta viết chính yếu tố 3 và bên cạnh nó trong ngoặc đơn, chúng ta viết một biểu thức mới trong đó mỗi số hạng của biểu thức 12 + 15 được chia cho một thừa số chung 3

Vâng, tính toán thêm không khó. Biểu thức trong ngoặc rất dễ tính - mười hai chia cho ba là bốn, MỘT mười lăm chia ba là năm:

Do đó, khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 12 + 15, sẽ thu được biểu thức 3(4 + 5). Giải pháp chi tiết như sau:

Giải pháp ngắn gọn bỏ qua ký hiệu cho biết mỗi số hạng được chia cho một thừa số chung như thế nào:

Ví dụ 2. 15 + 20

Hãy tìm gcd của số hạng 15 và 20

GCD cho 15 và 20 là số 5. ​​Số này là ước chung của các số hạng 15 và 20. Hãy rút nó ra khỏi ngoặc:

Chúng ta có biểu thức 5(3 + 4). Biểu thức kết quả có thể được kiểm tra. Để làm điều này, chỉ cần nhân năm với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 15 + 20

Ví dụ 3. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 18+24+36

Hãy tìm gcd của các số hạng 18, 24 và 36. Để tìm , bạn cần phân tích các số này thành thừa số nguyên tố, sau đó tìm tích của các thừa số chung:

GCD cho 18, 24 và 36 là số 6. Số này là ước chung của các số hạng 18, 24 và 36. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, nhân số 6 với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 18+24+36

Ví dụ 4. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 13 + 5

Các số hạng 13 và 5 là số nguyên tố. Chúng chỉ phân hủy thành một và chính chúng:

Điều này có nghĩa là số hạng 13 và 5 không có thừa số chung nào ngoài một. Theo đó, không có ích gì khi đặt đơn vị này ra khỏi ngoặc, vì nó sẽ không mang lại điều gì. Hãy cho thấy điều này:

Ví dụ 5. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 195+156+260

Hãy tìm gcd cho các số hạng 195, 156 và 260

GCD cho 195, 156 và 260 là số 13. Số này là ước chung của các số hạng 195, 156 và 260. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân 13 với mỗi số hạng trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 195+156+260

Biểu thức mà bạn cần loại bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc có thể không chỉ là tổng của các số mà còn là hiệu. Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 16 − 12 − 4. Thừa số chung lớn nhất của các số 16, 12 và 4 là số 4. Hãy lấy số này ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân bốn với mỗi số trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 16 − 12 − 4

Ví dụ 6. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức 72+96−120

Hãy tìm GCD cho các số 72, 96 và 120

GCD cho 72, 96 và 120 là số 24. Số này là ước chung của các số hạng 195, 156 và 260. Hãy tách nó ra khỏi ngoặc:

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, nhân 24 với mỗi số trong ngoặc. Nếu chúng ta làm mọi thứ đúng, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 72+96−120

Hệ số tổng thể được lấy ra khỏi ngoặc cũng có thể âm. Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức −6−3. Có hai cách để lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức này. Chúng ta hãy nhìn vào từng người trong số họ.

Phương pháp 1.

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:

−6 + (−3)

Bây giờ chúng ta tìm thấy yếu tố chung. Thừa số chung của biểu thức này sẽ là ước chung lớn nhất của các số hạng −6 và −3.

Mô đun của số hạng thứ nhất là 6. Và mô đun của số hạng thứ hai là 3. GCD(6 và 3) bằng 3. Con số này là ước chung của số hạng 6 và 3. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:

Biểu thức thu được theo cách này không chính xác lắm. Rất nhiều dấu ngoặc đơn và số âm không làm cho biểu thức trở nên đơn giản. Do đó, bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai, bản chất của phương pháp này là bỏ dấu ngoặc không phải 3 mà là −3.

Phương pháp 2.

Giống như lần trước, chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng.

−6 + (−3)

Lần này chúng ta sẽ lấy ra khỏi ngoặc không phải 3 mà là −3

Biểu thức thu được lần này trông đơn giản hơn nhiều. Hãy viết lời giải ngắn hơn để làm cho nó đơn giản hơn nữa:

Việc cho phép bỏ thừa số âm ra khỏi ngoặc là do việc khai triển các số −6 và (−3) có thể được viết theo hai cách: đầu tiên làm cho số bị nhân âm và số nhân là dương:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

trong trường hợp thứ hai, số nhân có thể dương và số nhân có thể âm:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tự do đưa ra khỏi dấu ngoặc hệ số mà chúng ta muốn.

Ví dụ 8. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức −20−16−2

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Thừa số chung lớn nhất của các số hạng −20, −16 và −2 là số 2. Số này là ước số chung của các số hạng này. Hãy xem nó trông như thế nào:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Nhưng các khai triển đã cho có thể được thay thế bằng các khai triển tương đương. Sự khác biệt là hệ số chung sẽ không phải là 2 mà là −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Do đó, để thuận tiện, chúng ta có thể bỏ dấu ngoặc không phải là 2 mà là −2

Hãy viết ngắn gọn giải pháp trên:

Và nếu chúng ta lấy 2 trong ngoặc, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức không hoàn toàn chính xác:

Ví dụ 9. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức −30−36−42

Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:

−30 + (−36) + (−42)

Ước chung lớn nhất của các số hạng −30, −36 và −42 là số 6. Số này là ước chung của các số hạng này. Nhưng chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc không phải 6 mà là −6, vì các số −30, −36 và −42 có thể được biểu diễn như sau:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc

Khi giải bài toán, đôi khi việc bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc sẽ rất hữu ích. Điều này cho phép bạn đơn giản hóa biểu thức và sắp xếp nó theo thứ tự.

Hãy xem xét ví dụ sau. Bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc trong biểu thức −15+(−5)+(−3)

Để rõ ràng, hãy đặt biểu thức này trong ngoặc vì chúng ta đang nói về việc lấy dấu trừ ra khỏi các dấu ngoặc này

(−15 + (−5) + (−3))

Vì vậy, để lấy dấu trừ ra khỏi ngoặc, bạn cần viết dấu trừ trước ngoặc và viết tất cả các số hạng trong ngoặc nhưng trái dấu.

Chúng ta đã loại bỏ dấu trừ trong ngoặc trong biểu thức −15+(−5)+(−3) và nhận được −(15+5+3). Cả hai biểu thức đều có cùng giá trị −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Do đó, chúng ta có thể đặt dấu bằng giữa các biểu thức −15+(−5)+(−3) và −(15+5+3), vì chúng có cùng một ý nghĩa:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Trên thực tế, khi bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc, luật phân phối của phép nhân lại hoạt động:

a(b+c) = ab + ac

Nếu chúng ta hoán đổi vế trái và vế phải của đẳng thức này thì hóa ra thừa số Một trong ngoặc

ab + ac = a(b+c)

Điều tương tự cũng xảy ra khi chúng ta loại bỏ nhân tử chung trong các biểu thức khác và khi chúng ta loại bỏ dấu trừ ra khỏi ngoặc.

Hiển nhiên, khi lấy dấu trừ ra khỏi ngoặc thì không phải là dấu trừ bị lược bỏ mà là dấu trừ. Chúng tôi đã nói rằng thông thường không ghi lại hệ số 1.

Do đó, một dấu trừ được hình thành ở phía trước dấu ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ thay đổi dấu của chúng thành dấu ngược lại, vì mỗi số hạng được chia cho trừ một.

Hãy quay lại ví dụ trước và xem chi tiết dấu trừ thực sự được đưa ra khỏi ngoặc như thế nào

Ví dụ 2.Đặt dấu trừ ngoài ngoặc trong biểu thức −3 + 5 + 11

Chúng ta đặt dấu trừ và bên cạnh nó trong ngoặc đơn, chúng ta viết biểu thức −3 + 5 + 11 với dấu ngược lại cho mỗi số hạng:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Như trong ví dụ trước, ở đây không phải dấu trừ được lấy ra khỏi ngoặc mà là dấu trừ một. Giải pháp chi tiết như sau:

Lúc đầu, chúng ta có biểu thức −1(3 + (−5) + (−11)), nhưng chúng ta mở dấu ngoặc bên trong trong biểu thức đó và nhận được biểu thức −(3 − 5 − 11) . Mở rộng dấu ngoặc đơn là chủ đề của bài học tiếp theo, vì vậy nếu ví dụ này khó đối với bạn, bạn có thể bỏ qua ngay bây giờ.

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong biểu thức nghĩa đen

Việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc theo nghĩa đen sẽ thú vị hơn nhiều.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem một ví dụ đơn giản. Hãy có một biểu thức 3 một + 2 một. Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc.

Trong trường hợp này, tổng số nhân có thể nhìn thấy bằng mắt thường - đây là số nhân Một. Hãy lấy nó ra khỏi dấu ngoặc. Để làm điều này, chúng tôi viết ra chính số nhân Một và bên cạnh nó trong ngoặc đơn chúng ta viết biểu thức 3a + 2a, nhưng không có số nhân Một vì nó được lấy ra khỏi ngoặc:

Giống như trong trường hợp biểu thức số, ở đây mỗi số hạng được chia cho thừa số chung được lấy ra. Nó trông như thế này:

Các biến trong cả hai phân số Mộtđã giảm bởi Một. Thay vào đó, tử số và mẫu số có đơn vị. Các đơn vị thu được do thực tế là thay vì một biến Một có thể là bất kỳ số nào Biến này nằm ở cả tử số và mẫu số. Và nếu tử số và mẫu số có cùng số thì ước số chung lớn nhất của chúng sẽ là chính số này.

Ví dụ, nếu thay vì một biến Một thay thế số 4 thì việc xây dựng sẽ có dạng sau: . Khi đó số bốn trong cả hai phân số có thể giảm đi 4:

Hóa ra cũng giống như trước đây, khi thay vì số bốn có một biến Một .

Vì vậy, bạn không nên lo lắng về việc giảm các biến số. Một biến là một số nhân đầy đủ, ngay cả khi được biểu thị bằng một chữ cái. Một số nhân như vậy có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc, rút ​​gọn và các hành động khác được phép đối với các số thông thường.

Một biểu thức bằng chữ không chỉ chứa số mà còn chứa các chữ cái (biến). Vì vậy, thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc thường là thừa số chữ cái, gồm một số và một chữ cái (hệ số và biến). Ví dụ: các biểu thức sau đây là các thừa số bằng chữ:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Trước khi đặt một thừa số như vậy ra khỏi ngoặc, bạn cần quyết định số nào sẽ nằm trong phần số của thừa số chung và biến nào sẽ nằm trong phần chữ cái của thừa số chung. Nói cách khác, bạn cần tìm ra hệ số chung của thừa số chung và biến nào sẽ được đưa vào yếu tố đó.

Xét biểu thức 10 một+ 15Một. Hãy thử lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc. Đầu tiên, hãy quyết định xem yếu tố chung sẽ bao gồm những gì, nghĩa là chúng ta sẽ tìm ra hệ số của nó và biến nào sẽ được đưa vào đó.

Hệ số của số chung phải là ước chung lớn nhất của các hệ số của biểu thức 10 một+ 15Một. 10 và 15, ước chung lớn nhất của chúng là số 5. Điều này có nghĩa là số 5 sẽ là hệ số của thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc.

Bây giờ hãy quyết định biến nào sẽ được đưa vào nhân tử chung. Để làm điều này bạn cần nhìn vào biểu thức 10 một+ 15Một và tìm thừa số chữ cái có trong tất cả các số hạng. Trong trường hợp này, đó là yếu tố Một. Yếu tố này được đưa vào mỗi số hạng của biểu thức 10 một+ 15Một. Vì vậy biến Một sẽ được bao gồm trong phần chữ của thừa số chung được lấy ra khỏi ngoặc:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là tính hệ số chung 5a ngoài dấu ngoặc. Để làm điều này, chúng tôi chia mỗi thuật ngữ của biểu thức 10a + 15a TRÊN 5a. Để rõ ràng, chúng ta sẽ phân tách các hệ số và số bằng dấu nhân (×)

Hãy kiểm tra biểu thức kết quả. Để làm điều này, hãy nhân 5a cho mỗi thuật ngữ trong ngoặc đơn. Nếu chúng ta làm mọi thứ một cách chính xác, chúng ta sẽ nhận được biểu thức 10a + 15a

Yếu tố chữ cái không phải lúc nào cũng được đưa ra khỏi ngoặc. Đôi khi thừa số chung chỉ bao gồm một số, vì không có phần chữ cái nào phù hợp với phần chữ cái trong biểu thức.

Ví dụ: hãy lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức 2a−2b. Ở đây ước chung sẽ chỉ là số 2 , và trong số các thừa số chữ cái không có thừa số chung nào trong biểu thức. Vì vậy, trong trường hợp này chỉ có số nhân được lấy ra 2

Ví dụ 2. Trích xuất nhân tử chung từ biểu thức 3x + 9y + 12

Các hệ số của biểu thức này là số 3, 9 Và 12, gcd của họ bằng nhau 3 3 . Và trong số các thừa số chữ cái (biến) không có thừa số chung. Do đó ước chung cuối cùng là 3

Ví dụ 3.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Các hệ số của biểu thức này là số 8, 6, 4, 10 Và 2, gcd của họ bằng nhau 2 . Điều này có nghĩa là hệ số của nhân tử chung được lấy ra khỏi ngoặc sẽ là số 2 . Và trong số các thừa số chữ cái không có thừa số chung. Do đó ước chung cuối cùng là 2

Ví dụ 4. Loại bỏ nhân tử chung 6ab + 18ab + 3abc

Các hệ số của biểu thức này là số 6, 18 và 3, gcd của họ bằng nhau 3 . Điều này có nghĩa là hệ số của nhân tử chung được lấy ra khỏi ngoặc sẽ là số 3 . Phần chữ của thừa số chung sẽ bao gồm các biến Một Và b, vì trong biểu thức 6ab + 18ab + 3abc hai biến này được bao gồm trong mỗi thuật ngữ. Do đó ước chung cuối cùng là 3ab

Với một giải pháp chi tiết, biểu thức trở nên cồng kềnh và thậm chí không thể hiểu được. Trong ví dụ này, điều này còn đáng chú ý hơn. Điều này là do chúng ta loại bỏ các thừa số ở tử số và mẫu số. Tốt nhất bạn hãy làm điều này trong đầu và ghi ngay kết quả phép chia. Sau đó, biểu thức trở nên ngắn gọn và gọn gàng:

Giống như trong trường hợp biểu thức số, trong biểu thức chữ, thừa số chung có thể âm.

Ví dụ: hãy lấy tổng quát ra khỏi dấu ngoặc trong biểu thức −3a − 2a.

Để thuận tiện, chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Thừa số chung trong biểu thức này là thừa số Một. Nhưng ngoài dấu ngoặc có thể được thực hiện không chỉ Một, nhưng cũng −a. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:

Hóa ra đó là một biểu hiện gọn gàng −a (3+2). Không nên quên rằng hệ số nhân −a thực sự trông giống như −1a và sau khi giảm cả hai phân số của biến Một, trừ một vẫn còn ở mẫu số. Vì vậy, cuối cùng chúng ta nhận được câu trả lời tích cực trong ngoặc

Ví dụ 6.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức −6x − 6y

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−6x−6y = −6x+(−6y)

Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc −6

Hãy viết ra giải pháp ngắn gọn:

−6x − 6y = −6(x + y)

Ví dụ 7.Đặt thừa số chung ngoài dấu ngoặc trong biểu thức −2a − 4b − 6c

Hãy thay phép trừ bằng phép cộng

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc −2

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới