Giải các bất phương trình lượng giác đơn giản. Bất đẳng thức lượng giác đơn giản và phức tạp

Điểm đầu tiên, như thường lệ, arcsin(-a)=-arcsina. Để đến điểm thứ hai, chúng ta đi theo hướng trên, tức là theo hướng tăng góc.

Lần này chúng ta đang di chuyển vượt quá n. Chúng ta sẽ đi bao lâu? Trên arcsin x. Điều này có nghĩa là điểm thứ hai là n+arcsin x. Tại sao không có điểm trừ? Bởi vì dấu trừ trong ký hiệu -arcsin a có nghĩa là chuyển động theo chiều kim đồng hồ, nhưng chúng ta đã đi ngược chiều kim đồng hồ. Và cuối cùng, thêm 2pn vào mỗi đầu của khoảng thời gian.

5) sinx>a, nếu a>1.

Đường tròn đơn vị nằm hoàn toàn dưới đường thẳng y=a. Không có một điểm nào phía trên đường thẳng. Vì vậy, không có giải pháp.

6) sinx>-a, trong đó a>1.

Trong trường hợp này, toàn bộ đường tròn đơn vị nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y=a. Do đó, điểm bất kỳ đều thỏa mãn điều kiện sinx>a. Điều này có nghĩa x là bất kỳ số nào.

Và ở đây x là số bất kỳ, vì các điểm -n/2+2nn được đưa vào nghiệm, trái ngược với bất đẳng thức nghiêm ngặt sinx>-1. Không cần phải loại trừ bất cứ điều gì.

Điểm duy nhất trên đường tròn thỏa mãn điều kiện này là n/2. Xét chu kỳ của sin, nghiệm của bất đẳng thức này là tập hợp các điểm x=n/2+2n.

Ví dụ: giải bất đẳng thức sinx>-1/2:

Bất đẳng thức là quan hệ có dạng a > b, trong đó a và b là các biểu thức chứa ít nhất một biến. Bất đẳng thức có thể chặt chẽ - ‹, › và không chặt chẽ - ≥, ≤.

Bất đẳng thức lượng giác là các biểu thức có dạng: F(x) > a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, trong đó F(x) được biểu diễn bằng một hoặc nhiều hàm lượng giác .

Một ví dụ về bất đẳng thức lượng giác đơn giản nhất là: sin x ‹ 1/2. Người ta thường giải quyết các vấn đề như vậy bằng đồ họa, hai phương pháp đã được phát triển cho việc này.

Cách 1 - Giải bất đẳng thức bằng đồ thị hàm số

Để tìm khoảng thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức sin x ‹ 1/2, bạn phải thực hiện các bước sau:

1. Trên trục tọa độ dựng hình sin y = sin x.
2. Trên cùng một trục, vẽ đồ thị đối số của bất đẳng thức, tức là một đường thẳng đi qua điểm ½ của tọa độ OY.
3. Đánh dấu các giao điểm của hai đồ thị.
4. Tô màu đoạn đó là giải pháp cho ví dụ.

Khi các dấu hiệu nghiêm ngặt xuất hiện trong một biểu thức, các điểm giao nhau không phải là nghiệm. Vì chu kỳ dương nhỏ nhất của hình sin là 2π nên chúng ta viết câu trả lời như sau:

Nếu dấu của biểu thức không nghiêm ngặt thì khoảng nghiệm phải được đặt trong dấu ngoặc vuông - . Lời giải của bài toán cũng có thể được viết dưới dạng bất đẳng thức sau:

Cách 2 - Giải bất phương trình lượng giác bằng đường tròn đơn vị

Các vấn đề tương tự có thể được giải dễ dàng bằng cách sử dụng vòng tròn lượng giác. Thuật toán tìm câu trả lời rất đơn giản:

1. Đầu tiên bạn cần vẽ một vòng tròn đơn vị.
2. Khi đó bạn cần lưu ý giá trị hàm cung của đối số vế phải của bất đẳng thức trên cung tròn.
3. Cần kẻ một đường thẳng đi qua giá trị của hàm cung song song với trục hoành (OX).
4. Sau đó, tất cả những gì còn lại là chọn cung của đường tròn, là tập nghiệm của bất đẳng thức lượng giác.
5. Viết câu trả lời theo mẫu yêu cầu.

Chúng ta hãy phân tích các giai đoạn của lời giải bằng ví dụ về bất đẳng thức sin x > 1/2. Điểm α và β được đánh dấu trên đường tròn - giá trị

Các điểm của cung nằm trên α và β là khoảng để giải bất đẳng thức đã cho.

Nếu bạn cần giải một ví dụ về cos thì cung đáp án sẽ nằm đối xứng với trục OX chứ không phải OY. Bạn có thể xem xét sự khác biệt giữa các khoảng nghiệm của sin và cos trong sơ đồ bên dưới trong văn bản.

Giải pháp đồ thị cho bất đẳng thức tiếp tuyến và cotang sẽ khác với cả sin và cosine. Điều này là do các thuộc tính của hàm.

Arctangent và arccotang là các tiếp tuyến của một đường tròn lượng giác và chu kỳ dương tối thiểu của cả hai hàm số là π. Để sử dụng nhanh chóng và chính xác phương pháp thứ hai, bạn cần nhớ các giá trị sin, cos, tg và ctg được vẽ trên trục nào.

Tiếp tuyến song song với trục OY. Nếu chúng ta vẽ giá trị của arctan a trên vòng tròn đơn vị thì điểm yêu cầu thứ hai sẽ nằm ở một phần tư đường chéo. góc

Chúng là các điểm ngắt của hàm, vì biểu đồ có xu hướng hướng tới chúng nhưng không bao giờ chạm tới chúng.

Trong trường hợp cotang, tiếp tuyến chạy song song với trục OX và hàm số bị gián đoạn tại các điểm π và 2π.

Bất đẳng thức lượng giác phức tạp

Nếu đối số của hàm bất đẳng thức không chỉ được biểu diễn bằng một biến mà còn bằng toàn bộ biểu thức chứa ẩn số, thì chúng ta đang nói về một bất đẳng thức phức tạp. Quá trình và thủ tục giải quyết nó hơi khác so với các phương pháp được mô tả ở trên. Giả sử chúng ta cần tìm nghiệm của bất đẳng thức sau:

Giải pháp đồ họa liên quan đến việc xây dựng một hình sin thông thường y = sin x bằng cách sử dụng các giá trị x được chọn tùy ý. Hãy tính bảng có tọa độ cho các điểm kiểm soát của đồ thị:

Kết quả sẽ là một đường cong đẹp.

Để tìm giải pháp dễ dàng hơn, hãy thay thế đối số hàm phức tạp

Khi giải các bất phương trình chứa hàm lượng giác, chúng được rút gọn về các bất phương trình đơn giản nhất có dạng cos(t)>a, sint(t)=a và các bất phương trình tương tự. Và những bất đẳng thức đơn giản nhất đã được giải. Chúng ta hãy xem xét các ví dụ khác nhau về cách giải các bất đẳng thức lượng giác đơn giản.

ví dụ 1. Giải bất đẳng thức sin(t) > = -1/2.

Vẽ một vòng tròn đơn vị. Vì sin(t) theo định nghĩa là tọa độ y nên chúng ta đánh dấu điểm y = -1/2 trên trục Oy. Chúng ta vẽ một đường thẳng qua nó song song với trục Ox. Tại giao điểm của đường thẳng với đồ thị đường tròn đơn vị, đánh dấu các điểm Pt1 và Pt2. Chúng ta nối gốc tọa độ với các điểm Pt1 và Pt2 bằng hai đoạn.

Giải pháp cho bất đẳng thức này sẽ là tất cả các điểm của vòng tròn đơn vị nằm phía trên các điểm này. Nói cách khác, nghiệm sẽ là cung l. Bây giờ cần chỉ ra các điều kiện để một điểm tùy ý thuộc cung l.

Pt1 nằm trong hình bán nguyệt bên phải, tọa độ của nó là -1/2 nên t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Để mô tả điểm Pt1, bạn có thể viết công thức sau:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kết quả là, chúng ta thu được bất đẳng thức sau cho t:

Chúng tôi bảo tồn sự bất bình đẳng. Và vì hàm sin là tuần hoàn, điều đó có nghĩa là các nghiệm sẽ được lặp lại sau mỗi 2*pi. Chúng ta thêm điều kiện này vào bất đẳng thức thu được cho t và viết ra câu trả lời.

Trả lời: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Ví dụ 2. Giải bất đẳng thức cos(t)<1/2.

Hãy vẽ một vòng tròn đơn vị. Vì theo định nghĩa, cos(t) là tọa độ x nên chúng ta đánh dấu điểm x = 1/2 trên đồ thị trên trục Ox.
Chúng ta kẻ một đường thẳng đi qua điểm này song song với trục Oy. Tại giao điểm của đường thẳng với đồ thị đường tròn đơn vị, đánh dấu các điểm Pt1 và Pt2. Chúng ta nối gốc tọa độ với các điểm Pt1 và Pt2 bằng hai đoạn.

Nghiệm sẽ là tất cả các điểm của đường tròn đơn vị thuộc cung l, tìm các điểm t1 và t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Chúng ta nhận được bất đẳng thức cho t: pi/3

Vì cosine là hàm tuần hoàn nên các nghiệm sẽ được lặp lại sau mỗi 2*pi. Chúng ta thêm điều kiện này vào bất đẳng thức thu được cho t và viết ra câu trả lời.

Đáp án: pi/3+2*pi*n

Ví dụ 3. Giải bất đẳng thức tg(t)< = 1.

Chu kỳ tiếp tuyến bằng pi. Hãy tìm nghiệm thuộc khoảng (-pi/2;pi/2) hình bán nguyệt bên phải. Tiếp theo, sử dụng tính tuần hoàn của tiếp tuyến, chúng ta viết ra tất cả các nghiệm của bất đẳng thức này. Hãy vẽ một đường tròn đơn vị và đánh dấu một đường tiếp tuyến trên đó.

Nếu t là nghiệm của bất đẳng thức thì tọa độ của điểm T = tg(t) phải nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tập hợp các điểm như vậy sẽ tạo thành tia AT. Tập hợp các điểm Pt tương ứng với các điểm của tia này là cung l. Hơn nữa, điểm P(-pi/2) không thuộc cung này.

Leonard Euler. Thời gian trôi qua, lượng giác trở lại với học sinh. Jacob Bernoulli. Nó xuất hiện trong hệ thống khởi đầu của phân tích toán học. Cho đến nay lượng giác đã được hình thành và phát triển. Lý thuyết đo khối đa diện. Hướng phát triển của lượng giác phẳng. Học sinh phải đáp ứng lượng giác ba lần. Sự phát triển của lượng giác từ thế kỷ 16 đến nay. Xây dựng hệ thống tổng quát các kiến ​​thức lượng giác và các kiến ​​thức liên quan.

“Đạo hàm số” lớp 10” - “Phương pháp dao động.” Ngày nay, các công thức phái sinh được sử dụng rộng rãi, chẳng hạn như trong phân tích kinh tế. Xác định các khoảng tăng giảm của hàm số: y = x3 - x2 - 8x + 2. Thông tin lịch sử. Sự định nghĩa. Công thức đạo hàm thường được tìm thấy trong các công trình của các nhà toán học nổi tiếng thế kỷ 17. Ứng dụng phái sinh trong kinh tế. Ứng dụng đạo hàm trong toán học. Đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học.

““Phương trình lượng giác” lớp 10” - Đừng bao giờ làm những gì bạn không biết. Sự định nghĩa. Cung cấp rễ. Phương trình cot t = a. Tội X. Tiếp tục câu. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. Giá trị từ khoảng. Hãy lấy một mẫu rễ. X= tan x. Giải phương trình. Hàng loạt rễ. Biểu thức này có ý nghĩa không? Phương trình lượng giác. Phương trình. Ctg x = 1. Phương trình tg t = a. Cos 4x. Tội x =1. Sự bình đẳng có đúng không?

"Phương trình" - Hóa học. Toán học thời trung cổ Hồi giáo. Toán học ở Ấn Độ cổ đại. Các phương trình ở xung quanh chúng ta. Sự xuất hiện của biểu tượng bằng nhau. Toán học ở Ai Cập cổ đại. Phương pháp đại số. Vật lý. Ngày nay các phương trình được sử dụng ở đâu? Đại số học. Số học của Diophantus. Sinh vật học. Sự xuất hiện của các ký hiệu chữ cái. Một ít lịch sử. Kinh tế. Các phương pháp giải phương trình. Giải pháp. Phương pháp phân tích. Số không xác định. Phương trình là gì?

“Ý nghĩa vật lý và hình học của đạo hàm” - Vi phân. Newton là người tạo ra “bức tranh cơ học về thế giới” khoa học đầu tiên. Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của một hàm. Ý nghĩa vật lý và hình học của đạo hàm của một hàm số. Những thay đổi và quá trình xảy ra trong vũ trụ. Vi phân là một phương pháp toán học độc đáo. Giải thích ý nghĩa vật lý của hàm đạo hàm. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm của hàm số. Cám ơn vì sự quan tâm của bạn.

"Bất đẳng thức lượng giác" - Phương trình. Sin x > a. Vì x 0. Các bất đẳng thức đơn giản nhất. Sự bất bình đẳng. Thuật toán giải. Ví dụ.

Hầu hết học sinh không thích bất đẳng thức lượng giác. Nhưng vô ích. Như một nhân vật từng nói,

“Chỉ là bạn không biết nấu chúng thôi”

Vậy làm thế nào để "nấu ăn" và làm thế nào để trình bày bất đẳng thức với sin, chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết này. Chúng ta sẽ giải nó theo cách đơn giản nhất - sử dụng vòng tròn đơn vị.

Vì vậy, trước hết, chúng ta cần thuật toán sau.

Thuật toán giải bất đẳng thức sin:

1. trên trục sin, chúng ta vẽ số $a$ và vẽ một đường thẳng song song với trục cosine cho đến khi nó cắt đường tròn;
2. các điểm giao nhau của đường thẳng này với đường tròn sẽ được tô bóng nếu bất đẳng thức không chặt và không tô bóng nếu bất đẳng thức nghiêm ngặt;
3. vùng nghiệm của bất đẳng thức sẽ nằm phía trên đường thẳng và lên đến hình tròn nếu bất đẳng thức chứa dấu “$>$”, và nằm dưới đường thẳng và lên đến hình tròn nếu bất đẳng thức chứa dấu “$<$”;
4. để tìm các giao điểm, ta giải phương trình lượng giác $\sin(x)=a$, ta được $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. đặt $n=0$, chúng ta tìm điểm giao nhau đầu tiên (nó nằm ở quý một hoặc quý bốn);
6. để tìm điểm thứ hai, chúng ta nhìn theo hướng nào chúng ta đi qua khu vực đến điểm giao nhau thứ hai: nếu theo hướng dương thì lấy $n=1$, còn nếu theo hướng âm thì $n=- 1$;
7. để đáp lại, khoảng được viết xuống từ điểm giao nhau nhỏ hơn $+ 2\pi n$ đến điểm giao nhau lớn hơn $+ 2\pi n$.

Giới hạn thuật toán

Quan trọng: d thuật toán đã cho không hoạt độngđối với các bất đẳng thức có dạng $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Các trường hợp đặc biệt khi giải bất phương trình với sin

Điều quan trọng cần lưu ý là các trường hợp sau đây sẽ thuận tiện hơn nhiều để giải quyết một cách hợp lý mà không cần sử dụng thuật toán trên.

Trường hợp đặc biệt 1. Giải bất đẳng thức:

$\sin(x)\leq 1.$

Do phạm vi giá trị của hàm lượng giác $y=\sin(x)$ không lớn hơn modulo $1$ nên vế trái của bất đẳng thức tại bất kỳ$x$ từ miền định nghĩa (và miền định nghĩa của sin đều là số thực) không lớn hơn $1$. Và do đó, trong câu trả lời chúng tôi viết: $x \in R$.

Kết quả:

$\sin(x)\geq -1.$

Trường hợp đặc biệt 2. Giải bất đẳng thức:

$\sin(x)< 1.$

Áp dụng các lập luận tương tự như trường hợp đặc biệt 1, chúng ta thấy rằng vế trái của bất đẳng thức nhỏ hơn $1$ với mọi $x \in R$, ngoại trừ các điểm là nghiệm của phương trình $\sin(x) = 1$. Giải phương trình này, ta sẽ có:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Và do đó, trong câu trả lời chúng tôi viết: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Kết quả: bất đẳng thức được giải tương tự

$\sin(x) > -1.$

Ví dụ về giải bất đẳng thức bằng thuật toán.

Ví dụ 1: Giải bất đẳng thức:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Chúng ta hãy đánh dấu tọa độ $\frac(1)(2)$ trên trục sin.
2. Hãy vẽ một đường thẳng song song với trục cosine và đi qua điểm này.
3. Hãy đánh dấu các điểm giao nhau. Chúng sẽ được tô bóng vì sự bất đẳng thức không chặt chẽ.
4. Dấu bất đẳng thức là $\geq$, có nghĩa là chúng ta vẽ vùng phía trên đường thẳng, tức là. hình bán nguyệt nhỏ hơn.
5. Chúng tôi tìm thấy điểm giao nhau đầu tiên. Để làm điều này, chúng ta biến bất đẳng thức thành đẳng thức và giải nó: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Chúng ta đặt thêm $n=0$ và tìm giao điểm đầu tiên: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Chúng tôi tìm thấy điểm thứ hai. Diện tích của chúng ta đi theo hướng dương kể từ điểm đầu tiên, có nghĩa là chúng ta đặt $n$ bằng $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Do đó, giải pháp sẽ có dạng:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Ví dụ 2: Giải bất đẳng thức:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Hãy đánh dấu tọa độ $-\frac(1)(2)$ trên trục sin và vẽ một đường thẳng song song với trục cosin và đi qua điểm này. Hãy đánh dấu các điểm giao nhau. Chúng sẽ không bị tô bóng vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. Dấu bất đẳng thức $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Giả sử thêm $n=0$, chúng ta tìm thấy giao điểm đầu tiên: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Diện tích của chúng ta đi theo hướng âm kể từ điểm đầu tiên, có nghĩa là chúng ta đặt $n$ bằng $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Vì vậy, nghiệm của bất đẳng thức này sẽ là khoảng:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Ví dụ 3: Giải bất đẳng thức:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Ví dụ này không thể được giải quyết ngay lập tức bằng thuật toán. Đầu tiên bạn cần phải biến đổi nó. Chúng ta thực hiện chính xác những gì chúng ta sẽ làm với một phương trình, nhưng đừng quên dấu. Chia hoặc nhân với một số âm sẽ đảo ngược nó!

Vì vậy, hãy di chuyển mọi thứ không chứa hàm lượng giác sang bên phải. Chúng tôi nhận được:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Hãy chia bên trái và bên phải cho $-2$ (đừng quên dấu!). Sẽ có:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Một lần nữa, chúng ta có một bất đẳng thức mà chúng ta không thể giải bằng thuật toán. Nhưng ở đây chỉ cần thay đổi biến là đủ:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Chúng ta thu được bất đẳng thức lượng giác có thể giải bằng thuật toán:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Bất đẳng thức này đã được giải trong Ví dụ 1, vì vậy hãy mượn câu trả lời từ đó:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Tuy nhiên, quyết định vẫn chưa kết thúc. Chúng ta cần quay lại biến ban đầu.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Hãy tưởng tượng khoảng thời gian như một hệ thống:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Ở phía bên trái của hệ thống có một biểu thức ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), thuộc về khoảng. Ranh giới bên trái của khoảng chịu trách nhiệm về bất đẳng thức thứ nhất và ranh giới bên phải chịu trách nhiệm về bất đẳng thức thứ hai. Hơn nữa, dấu ngoặc đóng một vai trò quan trọng: nếu dấu ngoặc vuông thì bất đẳng thức sẽ được nới lỏng, còn nếu nó tròn thì sẽ nghiêm ngặt. nhiệm vụ của chúng ta là lấy $x$ ở bên trái trong cả hai bất đẳng thức.

Hãy di chuyển $\frac(\pi)(6)$ từ bên trái sang bên phải, chúng ta nhận được:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Đơn giản hóa, ta sẽ có:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Nhân bên trái và bên phải với $4$, chúng ta có:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Lắp ráp hệ thống vào khoảng, chúng tôi nhận được câu trả lời:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$