Nhân tử hóa - loại bỏ yếu tố chung. Máy tính trực tuyến. Đơn giản hóa một đa thức. Nhân đa thức

Định nghĩa 1

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ Quy tắc nhân một đơn thức với một đơn thức:

Để nhân một đơn thức với một đơn thức, trước tiên bạn phải nhân các hệ số của các đơn thức, sau đó, sử dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, nhân các biến có trong đơn thức.

ví dụ 1

Tìm tích của các đơn thức $(2x)^3y^2z$ và $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Giải pháp:

Đầu tiên hãy tính tích của các hệ số

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ trong bài tập này, chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân một số với một phân số - để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số đó với tử số của phân số và mẫu số không thay đổi

Bây giờ, hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số - tử số và mẫu số của một phân số có thể chia cho cùng một số, khác với $0$. Hãy chia tử số và mẫu số của phân số này cho $2$, nghĩa là giảm phân số này xuống $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ phân đoạn(3 )(2)$

Kết quả thu được hóa ra là một phân số không chính xác, tức là một phân số trong đó tử số lớn hơn mẫu số.

Hãy biến đổi phân số này bằng cách cô lập toàn bộ phần. Chúng ta nhớ rằng để tách một phần nguyên, cần viết phần dư của phép chia vào tử số của phần phân số, chia số vào mẫu số.

Chúng tôi đã tìm thấy hệ số của sản phẩm trong tương lai.

Bây giờ chúng ta sẽ nhân tuần tự các biến $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ở đây chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân lũy thừa có cùng cơ số: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Khi đó kết quả của phép nhân đơn thức sẽ là:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Sau đó, dựa trên quy tắc này, bạn có thể thực hiện tác vụ sau:

Ví dụ 2

Biểu diễn một đa thức đã cho dưới dạng tích của một đa thức và một đơn thức $(4x)^3y+8x^2$

Chúng ta hãy biểu diễn từng đơn thức có trong đa thức dưới dạng tích của hai đơn thức để tách ra một đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với đơn thức đầu tiên $(4x)^3y$. Hãy phân tích hệ số của nó thành các thừa số đơn giản: $4=2\cdot 2$. Chúng ta sẽ làm tương tự với hệ số của đơn thức thứ hai $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Lưu ý rằng hai thừa số $2\cdot 2$ được bao gồm trong cả hệ số thứ nhất và thứ hai, có nghĩa là $2\cdot 2=4$ - số này sẽ được đưa vào đơn thức tổng quát dưới dạng hệ số

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng trong đơn thức thứ nhất có $x^3$, và trong đơn thức thứ hai có cùng một biến với lũy thừa của $2:x^2$. Điều này có nghĩa là sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn biến $x^3$ như thế này:

Biến $y$ chỉ được bao gồm trong một số hạng của đa thức, có nghĩa là nó không thể được bao gồm trong đơn thức tổng quát.

Hãy tưởng tượng đơn thức thứ nhất và thứ hai có trong đa thức dưới dạng tích:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Lưu ý rằng đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai, là $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Bây giờ chúng ta áp dụng luật phân phối của phép nhân, khi đó biểu thức thu được có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai thừa số. Một trong các số nhân sẽ là tổng số nhân: $4x^2$ và số còn lại sẽ là tổng của các số nhân còn lại: $xy + 2$. Có nghĩa:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Phương pháp này được gọi là nhân tử hóa bằng cách loại bỏ một yếu tố chung.

Thừa số chung trong trường hợp này là đơn thức $4x^2$.

Thuật toán

Lưu ý 1

Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số của tất cả các đơn thức có trong đa thức - đó sẽ là hệ số của thừa số chung-đơn thức, mà chúng ta sẽ đặt ngoài ngoặc

Đơn thức bao gồm hệ số ở đoạn 2 và các biến ở đoạn 3 sẽ là một thừa số chung. có thể được lấy ra khỏi ngoặc như một yếu tố chung.

Ví dụ 3

Loại bỏ nhân tử chung $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Giải pháp:

Hãy tìm gcd của các hệ số; để làm được điều này chúng ta sẽ phân tách các hệ số thành các thừa số đơn giản

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Và chúng tôi tìm thấy sản phẩm của những thứ được bao gồm trong việc mở rộng từng loại:

Xác định các biến tạo nên mỗi đơn thức và chọn biến có số mũ nhỏ nhất

$a^3=a^2\cdot a$

Biến $b$ chỉ được đưa vào đơn thức thứ hai và thứ ba, nghĩa là nó sẽ không được đưa vào thừa số chung.

Hãy soạn một đơn thức gồm hệ số tìm được ở bước 2, các biến tìm được ở bước 3, ta được: $3a$ - đây sẽ là ước chung. Sau đó:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Định nghĩa 1

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ Quy tắc nhân một đơn thức với một đơn thức:

ví dụ 1

Tìm tích của các đơn thức $(2x)^3y^2z$ và $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Giải pháp:

Đầu tiên hãy tính tích của các hệ số

Kết quả thu được hóa ra là một phân số không chính xác, tức là một phân số trong đó tử số lớn hơn mẫu số.

Chúng tôi đã tìm thấy hệ số của sản phẩm trong tương lai.

Bây giờ chúng ta sẽ nhân tuần tự các biến $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ở đây chúng ta đã sử dụng quy tắc nhân lũy thừa có cùng cơ số: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Khi đó kết quả của phép nhân đơn thức sẽ là:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Sau đó, dựa trên quy tắc này, bạn có thể thực hiện tác vụ sau:

Ví dụ 2

Biểu diễn một đa thức đã cho dưới dạng tích của một đa thức và một đơn thức $(4x)^3y+8x^2$

Biến $y$ chỉ được bao gồm trong một số hạng của đa thức, có nghĩa là nó không thể được bao gồm trong đơn thức tổng quát.

Hãy tưởng tượng đơn thức thứ nhất và thứ hai có trong đa thức dưới dạng tích:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Lưu ý rằng đơn thức chung, sẽ là thừa số của cả đơn thức thứ nhất và thứ hai, là $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Phương pháp này được gọi là nhân tử hóa bằng cách loại bỏ một yếu tố chung.

Thừa số chung trong trường hợp này là đơn thức $4x^2$.

Thuật toán

Lưu ý 1

Đơn thức bao gồm hệ số ở đoạn 2 và các biến ở đoạn 3 sẽ là một thừa số chung. có thể được lấy ra khỏi ngoặc như một yếu tố chung.

Ví dụ 3

Loại bỏ nhân tử chung $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Giải pháp:

Hãy tìm gcd của các hệ số; để làm được điều này chúng ta sẽ phân tách các hệ số thành các thừa số đơn giản

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Và chúng tôi tìm thấy sản phẩm của những thứ được bao gồm trong việc mở rộng từng loại:

Xác định các biến tạo nên mỗi đơn thức và chọn biến có số mũ nhỏ nhất

$a^3=a^2\cdot a$

Biến $b$ chỉ được đưa vào đơn thức thứ hai và thứ ba, nghĩa là nó sẽ không được đưa vào thừa số chung.

Hãy soạn một đơn thức gồm hệ số tìm được ở bước 2, các biến tìm được ở bước 3, ta được: $3a$ - đây sẽ là ước chung. Sau đó:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với các quy tắc đóng ngoặc của thừa số chung và học cách tìm nó trong các ví dụ và biểu thức khác nhau. Hãy nói về cách một thao tác đơn giản, lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc, cho phép bạn đơn giản hóa các phép tính. Chúng ta sẽ củng cố kiến thức và kỹ năng có được bằng cách xem xét các ví dụ về độ phức tạp khác nhau.

Yếu tố chung là gì, tại sao phải tìm nó và nó được lấy ra khỏi ngoặc với mục đích gì? Hãy trả lời những câu hỏi này bằng cách xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình. Vế trái của phương trình là một đa thức bao gồm các số hạng tương tự. Phần chữ cái chung cho các số hạng này, nghĩa là nó sẽ là thừa số chung. Hãy đặt nó ra khỏi dấu ngoặc:

Trong trường hợp này, việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc đã giúp chúng ta chuyển đa thức thành đơn thức. Vì vậy, chúng tôi đã có thể đơn giản hóa đa thức và phép biến đổi của nó đã giúp chúng tôi giải phương trình.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ khác nhau, nhưng chúng tôi sử dụng cùng một phương pháp giải: chúng tôi đã lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Chúng tôi thấy rằng thao tác đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung cho những trường hợp đặc biệt này, nhưng phải làm gì trong trường hợp tổng quát, với một đa thức tùy ý?

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Xét đa thức . Đa thức này là tổng của hai đơn thức. Đơn thức là tích của một số, một hệ số và một phần chữ cái. Như vậy, trong đa thức của chúng ta, mỗi đơn thức được biểu diễn bằng tích của một số và lũy thừa, tích của các thừa số. Các thừa số có thể giống nhau đối với mọi đơn thức. Chính những yếu tố này cần được xác định và đưa ra khỏi khung. Đầu tiên, chúng ta tìm nhân tử chung cho các hệ số, là các số nguyên.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Chúng ta đã rút ra được quy tắc cho hệ số nguyên. Bạn cần tìm gcd của họ và lấy nó ra khỏi khung. Hãy củng cố quy tắc này bằng cách giải thêm một ví dụ nữa.

Chúng ta đã xem xét quy tắc gán thừa số chung cho hệ số nguyên, hãy chuyển sang phần chữ cái. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm những chữ cái có trong tất cả các đơn thức, sau đó chúng tôi xác định cấp độ cao nhất của chữ cái có trong tất cả các đơn thức: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Chúng ta đã xem xét các quy tắc trừ cho các hệ số nguyên và biến chữ cái một cách riêng biệt, nhưng thông thường bạn cần áp dụng chúng cùng nhau để giải ví dụ. Hãy xem một ví dụ:

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.

Bài học đại số ở lớp 7.

Đề tài: “Bỏ ước chung ra khỏi ngoặc”.

Sách giáo khoa Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. và vân vân.

Mục tiêu bài học:

giáo dục –

xác định mức độ nắm vững của học sinh về tổ hợp kiến thức, kỹ năng sử dụng kỹ năng nhân, chia;

phát triển khả năng áp dụng phân tích nhân tử của đa thức bằng cách đặt nhân tử chung ra khỏi ngoặc;

áp dụng phép loại bỏ thừa số chung trong ngoặc khi giải phương trình.

Phát triển –

thúc đẩy sự phát triển khả năng quan sát, khả năng phân tích, so sánh và rút ra kết luận;

phát triển kỹ năng tự chủ khi thực hiện nhiệm vụ.

giáo dục -

bồi dưỡng trách nhiệm, hoạt động, tính độc lập, lòng tự trọng khách quan.

Loại bài học: kết hợp.

Kết quả học tập chính:

có thể lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc;

có thể vận dụng phương pháp này khi giải bài tập.

Di chuyểnbài học.

1 mô-đun (30 phút).

1. Thời gian tổ chức.

lời chào hỏi;

chuẩn bị cho sinh viên đi làm.

2. Kiểm tra bài tập về nhà.

Kiểm tra tình trạng sẵn sàng (trong ca trực), trao đổi các vấn đề phát sinh.

3 . Cập nhật kiến thức cơ bản.

N Tìm GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

GCD là gì?

Việc phân chia quyền lực có cùng căn cứ được thực hiện như thế nào?

Phép nhân lũy thừa cùng cơ số được thực hiện như thế nào?

Với các độ này (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Đặt tên cho độ có số mũ nhỏ nhất, cùng cơ số, cùng số mũ

Chúng ta hãy lặp lại luật phân phối của phép nhân. Hãy viết nó dưới dạng thư

a (b + c) = ab + ac

* - dấu nhân

Hoàn thành bài tập nói về việc áp dụng tính chất phân phối. (Chuẩn bị trên bảng).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)

Bài làm được viết trên bảng kín, các em giải và ghi kết quả lên bảng. Các bài toán về nhân đơn thức với đa thức.

Để bắt đầu, tôi đưa ra cho bạn một ví dụ về nhân một đơn thức với một đa thức:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Đừng giặt!

Viết quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức dưới dạng đồ thị.

Một ghi chú xuất hiện trên bảng:

Tôi có thể viết thuộc tính này là:

Trong biểu mẫu này, chúng ta đã sử dụng ký hiệu để đánh giá các biểu thức một cách đơn giản.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Phần còn lại là nói miệng, hãy kiểm tra câu trả lời:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Định luật nào đã giúp bạn tìm ra cách tính đơn giản? (Phân bổ)

Thật vậy, luật phân phối giúp đơn giản hóa các biểu thức.

4 . Xác định mục tiêu và chủ đề của bài học. Đếm bằng lời nói. Đoán chủ đề của bài học.

Làm việc theo cặp.

Thiệp dành cho các cặp đôi.

Hóa ra việc phân tích thành nhân tử của một biểu thức là phép toán nghịch đảo của phép nhân từng số hạng của một đơn thức với một đa thức.

Hãy xem ví dụ tương tự mà học sinh đã giải nhưng theo thứ tự ngược lại. Phân tích nhân tử có nghĩa là lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ xem xét các khái niệm phân tích nhân tử của đa thức và lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, đồng thời chúng ta sẽ học cách áp dụng những khái niệm này khi làm bài tập.

Thuật toán lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Ước chung lớn nhất của các hệ số.

Các biến chữ cái giống nhau.

Thêm mức độ nhỏ nhất cho các biến bị loại bỏ.

Khi đó các đơn thức còn lại của đa thức được viết trong ngoặc đơn.

Ước chung lớn nhất được tìm thấy ở các lớp thấp hơn, biến chung ở mức độ nhỏ nhất có thể nhìn thấy ngay. Và để tìm nhanh đa thức còn lại trong ngoặc các bạn cần luyện tập sử dụng số 657.

5. Học tiểu học với việc nói to.

Số 657 (1 cột)

Học phần 2 (30 phút).

1. Kết quả của 30 phút đầu tiên.

A) Phép biến đổi nào được gọi là phân tích nhân tử của đa thức?

B) Tính chất nào dựa trên việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc?

Q) Nhân tử chung được lấy ra khỏi ngoặc như thế nào?

2. Hợp nhất sơ cấp.

Các biểu thức được viết trên bảng. Tìm lỗi trong các đẳng thức này nếu có và sửa chúng.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3y).

4) a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Kiểm tra sự hiểu biết ban đầu.

Làm việc với tự kiểm tra. 2 người ở phía sau

Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:

Kiểm tra bằng lời nói bằng cách nhân.

4. Chuẩn bị cho học sinh các hoạt động chung.

Hãy bỏ hệ số đa thức ra khỏi ngoặc (giáo viên giải thích).

Phân tích đa thức thành nhân tử.

Trong biểu thức này, chúng ta thấy rằng có một yếu tố giống nhau có thể được đưa ra khỏi ngoặc. Vì vậy, chúng tôi nhận được:

Các biểu thức và ngược nhau nên trong một số trường hợp bạn có thể sử dụng đẳng thức này . Chúng tôi thay đổi dấu hiệu hai lần! Thừa số đa thức

Có những biểu thức trái ngược nhau ở đây và bằng cách sử dụng danh tính trước đó, chúng ta nhận được mục nhập sau: .

Và bây giờ chúng ta thấy rằng nhân tử chung có thể được lấy ra khỏi ngoặc.

Trong ví dụ đã xem xét, thừa số chung là hiển nhiên, nhưng liệu có dễ dàng tìm thấy nó trong một đa thức tùy ý không?

Hãy tìm ý nghĩa của biểu thức: .

Trong ví dụ này, việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh tính chia hết thành biểu thức.

Biểu thức thu được có thể chia hết cho , theo yêu cầu cần chứng minh. Một lần nữa, việc lấy nhân tử chung đã cho phép chúng ta giải được bài toán.

Hãy giải quyết một ví dụ nữa. Hãy chứng minh rằng biểu thức chia hết cho mọi số tự nhiên: .

Biểu thức là tích của hai số tự nhiên liền kề. Một trong hai số chắc chắn sẽ là số chẵn, nghĩa là biểu thức sẽ chia hết cho .

Nhắc lại rằng đa thức là tổng của các đơn thức.

Thật dễ dàng để tìm ra thừa số chung, nhưng hãy xác định gcd của các hệ số: .

Hãy xem một ví dụ khác: .

Hãy tìm , điều này sẽ cho phép chúng ta xác định ước chung cho biểu thức này: .

Trong ví dụ này chỉ có một biến chữ cái chung, nhưng có thể có nhiều biến, như trong ví dụ sau:

Hãy làm phức tạp ví dụ bằng cách tăng số lượng đơn thức:

Sau khi loại bỏ nhân tử chung, ta chuyển tổng đại số thành tích.

Đôi khi có thể khó xác định biểu thức nào còn lại trong ngoặc đơn, hãy xem một thủ thuật đơn giản sẽ cho phép bạn giải quyết nhanh chóng vấn đề này.

Hệ số chung cũng có thể là giá trị mong muốn:

Thừa số chung có thể không chỉ là một số hoặc một đơn thức mà còn có thể là bất kỳ biểu thức nào, chẳng hạn như trong phương trình sau.