Xác định hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khái niệm về thứ hạng ma trận

>>Xếp hạng ma trận

Xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này ta chọn tùy ý k dòng và k cột thì các phần tử tại giao điểm của hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là bậc thứ k ma trận A. Hiển nhiên, ma trận A có các số thứ tự bất kỳ từ 1 đến số nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phân số khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phân số có cấp lớn nhất. Cấp nhỏ khác 0 lớn nhất của một ma trận nhất định được gọi là thứ hạng ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, điều này có nghĩa là ma trận A có cấp nhỏ khác 0 r, nhưng mọi thứ tự nhỏ hơn r, bằng 0. Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng, mối quan hệ giữ

Tính thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng số trẻ vị thành niên

Thứ hạng của ma trận được tìm bằng phương pháp giáp phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo phương pháp đầu tiên, bạn nên chuyển từ cấp bậc thấp hơn sang cấp bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy D thứ thứ k của ma trận A, khác 0, thì chỉ có thứ tự (k+1) giáp với D thứ mới cần tính toán, tức là. chứa nó như một trẻ vị thành niên. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng k.

Ví dụ 1.Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp số phụ

Giải pháp.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên cấp 1, tức là. từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn một phần tử phụ M 1 = 1, nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Tiếp giáp với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng ta thu được M 2 thứ = khác 0. Bây giờ chúng ta chuyển sang trẻ vị thành niên bậc 3 giáp M2. Chỉ có hai trong số đó (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc thứ tư). Hãy tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp của bậc thứ ba hóa ra đều bằng 0. Thứ hạng của ma trận A là hai.

Tính thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột khác), nhân với một số nhất định.

Hai ma trận đó được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Nói chung, các ma trận tương đương không bằng nhau nhưng thứ hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B bằng nhau thì được viết như sau: A~B.

ChuẩnMa trận là ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp (số lượng có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác đều bằng 0, ví dụ:

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chính tắc. Thứ hạng của ma trận chính tắc bằng số lượng ma trận trên đường chéo chính của nó.

Ví dụ 2Tìm hạng của ma trận

và đưa nó về dạng kinh điển.

Giải pháp. Từ dòng thứ hai, trừ đi dòng đầu tiên và sắp xếp lại các dòng sau:

Bây giờ từ dòng thứ hai và thứ ba, chúng ta trừ dòng đầu tiên, nhân tương ứng với 2 và 5:

;

trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba; chúng ta nhận được một ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng được chuyển thành ma trận chuẩn. Bằng cách trừ cột đầu tiên nhân với các số phù hợp với tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ hàng đầu tiên và các phần tử của các hàng còn lại không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số phù hợp, từ tất cả các số tiếp theo, chúng ta chuyển về 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ hàng thứ hai và thu được ma trận chính tắc:

Cho một số ma trận:

Chúng ta hãy chọn trong ma trận này chuỗi tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận
, nằm ở giao điểm của các hàng và cột được chọn, được gọi là phần phụ ma trận bậc thứ
.

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận
là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Để tính hạng của một ma trận, người ta phải xem xét tất cả các phần tử thứ cấp của nó và nếu ít nhất một trong số chúng khác 0 thì tiến hành xem xét các phần tử thứ cấp của cấp cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp viền (hoặc phương pháp viền phụ).

Vấn đề 1.4. Dùng phương pháp giáp thứ, xác định hạng của ma trận
.

Ví dụ, hãy xem xét việc viền thứ tự đầu tiên,
. Sau đó chúng ta chuyển sang xem xét một số đường viền bậc hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích đường viền bậc ba.

Vậy cấp cao nhất của số thứ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, bạn có thể nhận thấy rằng một số số bé giáp bậc hai khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây được áp dụng.

Định nghĩa 1.14. Một thứ cơ bản của ma trận là bất kỳ thứ nào khác 0 có thứ tự bằng thứ hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ sở). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng 0). Để có yếu tố quyết định -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính thứ hạng của ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, thứ hạng của ma trận được tính toán dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
Và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
Và tương đương thì lưu ý
 .

Định lý 1.5. Thứ hạng của ma trận không thay đổi do các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi ma trận cơ bản
bất kỳ phép toán nào sau đây trên ma trận:

Thay hàng bằng cột và thay cột bằng hàng tương ứng;

Sắp xếp lại các hàng ma trận;

Gạch bỏ một dòng có các phần tử đều bằng 0;

Nhân một chuỗi với một số khác 0;

Cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì ma trận
Và là tương đương.

Khi tính hạng của ma trận, ma trận phải được quy về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn ma trận khi ở phần giáp thứ cấp cao nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

Đây
, phần tử ma trận
đi đến số không. Khi đó dạng biểu diễn của ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành dạng hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gauss là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các hệ số tương ứng, ta đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai đều nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển sang số không. Sau đó tiến hành theo cách tương tự.

Vấn đề 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách quy nó về dạng hình thang.

Để sử dụng thuật toán Gaussian dễ dàng hơn, bạn có thể hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.








.

Rõ ràng là ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng trang nhã hơn, bạn có thể tiếp tục chuyển đổi các cột.










.

Chúng tôi cũng sẽ xem xét một ứng dụng thực tế quan trọng của chủ đề: nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính đảm bảo tính nhất quán.

Thứ hạng của một ma trận là gì?

Đoạn văn hài hước của bài viết chứa đựng một lượng lớn sự thật. Chúng ta thường liên tưởng từ “cấp bậc” với một số loại thứ bậc, thường là với bậc thang nghề nghiệp. Một người càng có nhiều kiến thức, kinh nghiệm, khả năng, mối quan hệ, v.v. – vị trí và phạm vi cơ hội của anh ta càng cao. Trong thuật ngữ của giới trẻ, cấp bậc đề cập đến mức độ chung của “độ dốc”.

Và những người anh em toán học của chúng ta cũng sống theo những nguyên tắc tương tự. Hãy ngẫu nhiên dắt vài người đi dạo ma trận bằng không:

Hãy suy nghĩ về nó, nếu trong ma trận tất cả số không, vậy thì chúng ta có thể nói về thứ hạng nào? Mọi người đều quen thuộc với cách diễn đạt không chính thức “tổng số không”. Trong xã hội ma trận, mọi thứ đều giống hệt nhau:

Xếp hạng của ma trận số 0mọi kích thước đều bằng 0.

Ghi chú : Ma trận số 0 được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp “theta”

Để hiểu rõ hơn về thứ hạng của ma trận, sau đây tôi sẽ sử dụng tài liệu để trợ giúp hình học giải tích. Hãy xem xét số không vectơ không gian ba chiều của chúng ta, không đặt ra một hướng cụ thể và vô ích cho việc xây dựng cơ sở affine. Theo quan điểm đại số, tọa độ của vectơ này được viết dưới dạng ma trận“từng một” và hợp lý (theo nghĩa hình học được chỉ định) giả sử rằng thứ hạng của ma trận này bằng 0.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số khác không vectơ cột Và vectơ hàng:

Mỗi trường hợp có ít nhất một phần tử khác 0 và đó là điều gì đó!

Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng nào khác 0 (vectơ cột) đều bằng một

Và nói chung - nếu trong ma trận kích thước tùy ý có ít nhất một phần tử khác 0 thì hạng của nó không ít hơn các đơn vị.

Các vectơ hàng đại số và vectơ cột ở một mức độ trừu tượng nhất định, vì vậy chúng ta hãy quay lại với mối liên hệ hình học. Khác không vectơđịnh hướng rất rõ ràng trong không gian và thích hợp cho việc xây dựng nền tảng, do đó hạng của ma trận sẽ được coi là bằng một.

Thông tin lý thuyết : trong đại số tuyến tính, vectơ là một phần tử của không gian vectơ (được xác định thông qua 8 tiên đề), đặc biệt, có thể biểu diễn một hàng (hoặc cột) có thứ tự các số thực bằng các phép tính cộng, nhân với một số thực được xác định cho họ. Thông tin chi tiết hơn về vectơ có thể được tìm thấy trong bài viết Các phép biến đổi tuyến tính.

phụ thuộc tuyến tính(thể hiện qua nhau). Từ quan điểm hình học, dòng thứ hai chứa tọa độ của vectơ thẳng hàng , điều đó không hề thúc đẩy vấn đề gì trong việc xây dựng cơ sở ba chiều, theo nghĩa này là thừa. Như vậy, hạng của ma trận này cũng bằng một.

Hãy viết lại tọa độ của các vectơ thành cột ( chuyển đổi ma trận):

Điều gì đã thay đổi về thứ hạng? Không có gì. Các cột tỷ lệ thuận, có nghĩa là thứ hạng bằng một. Nhân tiện, lưu ý rằng cả ba dòng cũng tỷ lệ thuận. Chúng có thể được xác định bằng tọa độ ba vectơ thẳng hàng của mặt phẳng, trong đó chỉ một hữu ích cho việc xây dựng một cơ sở "phẳng". Và điều này hoàn toàn phù hợp với ý nghĩa hình học của chúng ta về thứ hạng.

Một tuyên bố quan trọng được rút ra từ ví dụ trên:

Thứ hạng của ma trận theo hàng bằng thứ hạng của ma trận theo cột. Tôi đã đề cập đến điều này một chút trong bài học về hiệu quả phương pháp tính định thức.

Ghi chú : sự phụ thuộc tuyến tính của các hàng hàm ý sự phụ thuộc tuyến tính của các cột (và ngược lại). Nhưng để tiết kiệm thời gian và theo thói quen, tôi hầu như sẽ luôn nói về sự phụ thuộc tuyến tính của dây.

Hãy tiếp tục huấn luyện thú cưng yêu quý của chúng ta. Hãy cộng tọa độ của một vectơ cộng tuyến khác vào ma trận ở hàng thứ ba :

Anh ấy có giúp chúng tôi xây dựng cơ sở ba chiều không? Dĩ nhiên là không. Cả ba vectơ đều đi qua lại trên cùng một đường và hạng của ma trận bằng một. Bạn có thể lấy bao nhiêu vectơ cộng tuyến tùy thích, chẳng hạn như 100, đặt tọa độ của chúng vào ma trận “một trăm nhân ba” và thứ hạng của một tòa nhà chọc trời như vậy sẽ vẫn là một.

Chúng ta hãy làm quen với ma trận, các hàng của nó độc lập tuyến tính. Một cặp vectơ không thẳng hàng thích hợp để xây dựng cơ sở ba chiều. Thứ hạng của ma trận này là hai.

Thứ hạng của ma trận là gì? Các đường này dường như không tỷ lệ thuận... vì vậy, về mặt lý thuyết, chúng là ba. Tuy nhiên, thứ hạng của ma trận này cũng là hai. Tôi đã thêm hai dòng đầu tiên và viết kết quả ở phía dưới, tức là. biểu diễn tuyến tính dòng thứ ba đến hai dòng đầu tiên. Về mặt hình học, các hàng của ma trận tương ứng với tọa độ của ba vectơ đồng phẳng, và trong ba người này có một cặp bạn không thẳng hàng.

Bạn có thể thấy, sự phụ thuộc tuyến tính trong ma trận được xem xét là không rõ ràng và hôm nay chúng ta sẽ học cách đưa nó ra ngoài.

Tôi nghĩ nhiều người có thể đoán được thứ hạng của ma trận là gì!

Xét một ma trận có các hàng độc lập tuyến tính. Dạng vectơ cơ sở affine, và hạng của ma trận này là ba.

Như bạn đã biết, bất kỳ vectơ thứ tư, thứ năm, thứ mười của không gian ba chiều sẽ được biểu diễn tuyến tính dưới dạng các vectơ cơ sở. Vì vậy, nếu bạn thêm bất kỳ số hàng nào vào ma trận thì thứ hạng của nó vẫn sẽ bằng ba.

Lý luận tương tự có thể được thực hiện cho các ma trận có kích thước lớn hơn (tất nhiên là không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào).

Sự định nghĩa : Thứ hạng của ma trận là số hàng độc lập tuyến tính tối đa. Hoặc: Thứ hạng của ma trận là số cột độc lập tuyến tính tối đa. Vâng, số lượng của họ luôn giống nhau.

Một hướng dẫn thực tế quan trọng cũng được rút ra từ phần trên: thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước tối thiểu của nó. Ví dụ, trong ma trận bốn hàng và năm cột. Kích thước tối thiểu là bốn, do đó, thứ hạng của ma trận này chắc chắn sẽ không vượt quá 4.

Chỉ định: trong lý thuyết và thực tiễn thế giới không có tiêu chuẩn được chấp nhận chung để chỉ định thứ hạng của ma trận; bạn thường có thể tìm thấy: - như người ta nói, một người Anh viết một thứ, một người Đức viết một thứ khác. Do đó, dựa trên câu chuyện cười nổi tiếng về địa ngục của Mỹ và Nga, hãy biểu thị thứ hạng của ma trận bằng một từ bản địa. Ví dụ: . Và nếu ma trận "không có tên", trong đó có rất nhiều, thì bạn chỉ cần viết .

Làm thế nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng trẻ vị thành niên?

Nếu bà tôi có cột thứ năm trong ma trận của bà, thì bà sẽ phải tính một cột thứ 4 khác (“xanh lam”, “quả mâm xôi” + cột thứ 5).

Phần kết luận: bậc tối đa của số thứ khác 0 là ba, có nghĩa là .

Có lẽ không phải ai cũng hiểu hết câu này: số thứ cấp bậc 4 bằng 0, nhưng trong số các trẻ vị thành niên cấp 3 có một số khác 0 - do đó là bậc tối đa khác không thứ và bằng ba.

Câu hỏi đặt ra là tại sao không tính ngay định thức? Chà, thứ nhất, trong hầu hết các nhiệm vụ, ma trận không vuông và thứ hai, ngay cả khi bạn nhận được giá trị khác 0, nhiệm vụ rất có thể sẽ bị từ chối, vì nó thường liên quan đến giải pháp "từ dưới lên" tiêu chuẩn. Và trong ví dụ đang xem xét, định thức 0 của bậc 4 cho phép chúng ta phát biểu rằng hạng của ma trận chỉ nhỏ hơn bốn.

Tôi phải thừa nhận, tôi đã đưa ra vấn đề do chính tôi phân tích để giải thích rõ hơn về phương pháp giáp ranh với trẻ vị thành niên. Trong thực tế, mọi thứ đơn giản hơn:

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp cạnh phụ

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Khi nào thuật toán hoạt động nhanh nhất? Hãy quay lại ma trận 4x4 tương tự. . Rõ ràng, giải pháp sẽ ngắn gọn nhất trong trường hợp “tốt” góc trẻ vị thành niên:

Và, nếu , thì , ngược lại – .

Suy nghĩ hoàn toàn không mang tính giả thuyết - có nhiều ví dụ trong đó toàn bộ vấn đề chỉ giới hạn ở những vấn đề nhỏ góc cạnh.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một phương pháp khác hiệu quả và thích hợp hơn:

Làm cách nào để tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

Đoạn văn này dành cho những độc giả đã quen thuộc với phương pháp Gaussian và ít nhiều đã chạm tay vào anh ta.

Từ quan điểm kỹ thuật, phương pháp này không mới:

1) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta rút gọn ma trận về dạng từng bước;

2) thứ hạng của ma trận bằng số hàng.

Điều đó hoàn toàn rõ ràng sử dụng phương pháp Gaussian không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, và bản chất ở đây cực kỳ đơn giản: theo thuật toán, trong các phép biến đổi cơ bản, tất cả các hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) không cần thiết sẽ được xác định và loại bỏ, dẫn đến “dư lượng khô” - số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa.

Hãy biến đổi ma trận cũ quen thuộc với tọa độ của ba vectơ thẳng hàng:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên đã được thêm vào dòng thứ ba.

(2) Dòng 0 bị loại bỏ.

Vì vậy, còn lại một dòng, do đó . Không cần phải nói, điều này nhanh hơn nhiều so với việc tính chín số 0 bậc 2 và chỉ sau đó mới đưa ra kết luận.

Tôi nhắc nhở bạn rằng bản thân nó ma trận đại số không có gì có thể thay đổi và các phép biến đổi chỉ được thực hiện nhằm mục đích xác định thứ hạng! Nhân tiện, chúng ta hãy tập trung lại vào câu hỏi, tại sao không? Ma trận nguồn mang thông tin về cơ bản khác với thông tin của ma trận và hàng. Trong một số mô hình toán học (không cường điệu), sự khác biệt trong một con số có thể là vấn đề sống còn. ...Tôi nhớ đến những giáo viên toán tiểu học và trung học đã không thương tiếc trừ điểm 1-2 vì sai sót hoặc sai lệch nhỏ nhất so với thuật toán. Và thật đáng thất vọng khi thay vì chữ “A tưởng chừng như được đảm bảo” lại hóa ra là “tốt” hoặc thậm chí tệ hơn. Sự hiểu biết đến muộn hơn nhiều - làm cách nào khác để giao phó vệ tinh, đầu đạn hạt nhân và nhà máy điện cho một người? Nhưng đừng lo, tôi không làm việc trong những lĩnh vực này =)

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn, trong đó, trong số những việc khác, chúng ta sẽ làm quen với các kỹ thuật tính toán quan trọng Phương pháp Gauss:

Ví dụ 3

Tìm thứ hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Giải pháp: một ma trận “bốn nhân năm” được đưa ra, có nghĩa là thứ hạng của nó chắc chắn không quá 4.

Trong cột đầu tiên, không có 1 hoặc –1, do đó, cần phải thực hiện các hành động bổ sung để có được ít nhất một đơn vị. Trong suốt quá trình tồn tại của trang web, tôi đã nhiều lần đặt câu hỏi: "Có thể sắp xếp lại các cột trong quá trình biến đổi cơ bản không?" Ở đây, chúng tôi đã sắp xếp lại cột thứ nhất và thứ hai, mọi thứ đều ổn! Trong hầu hết các nhiệm vụ nơi nó được sử dụng phương pháp Gaussian, các cột thực sự có thể được sắp xếp lại. NHƯNG KHÔNG CẦN. Và vấn đề thậm chí không thể nhầm lẫn với các biến, vấn đề là trong quá trình cổ điển của toán học cao hơn, hành động này theo truyền thống không được xem xét, vì vậy một cái gật đầu như vậy sẽ bị nhìn RẤT quanh co (hoặc thậm chí buộc phải làm lại mọi thứ).

Điểm thứ hai liên quan đến các con số. Khi bạn đưa ra quyết định, sẽ rất hữu ích khi sử dụng quy tắc ngón tay cái sau: các phép biến đổi cơ bản, nếu có thể, nên giảm số ma trận. Xét cho cùng, việc làm việc với một, hai, ba sẽ dễ dàng hơn nhiều so với, chẳng hạn như với 23, 45 và 97. Và hành động đầu tiên không chỉ nhằm mục đích đạt được số một trong cột đầu tiên mà còn nhằm loại bỏ các con số 7 và 11.

Đầu tiên là giải pháp hoàn chỉnh, sau đó nhận xét:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –3. Và vào heap: dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 4, nhân với –1.

(2) Ba dòng cuối cùng tỷ lệ thuận. Dòng thứ 3 và thứ 4 bị loại bỏ, dòng thứ 2 được chuyển về vị trí đầu tiên.

(3) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

Ma trận rút gọn về dạng cấp bậc có hai hàng.

Trả lời:

Bây giờ đến lượt bạn tra tấn ma trận bốn nhân bốn:

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp Gaussian

tôi sẽ nhắc bạn điều đó phương pháp Gaussian không ngụ ý sự cứng nhắc rõ ràng và quyết định của bạn rất có thể sẽ khác với quyết định của tôi. Một ví dụ ngắn gọn về một nhiệm vụ ở cuối bài học.

Tôi nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng của ma trận?

Trong thực tế, người ta thường không nêu rõ nên sử dụng phương pháp nào để tìm thứ hạng. Trong tình huống như vậy, điều kiện cần được phân tích - đối với một số ma trận, việc giải thông qua các ma trận phụ sẽ hợp lý hơn, trong khi đối với các ma trận khác, việc áp dụng các phép biến đổi cơ bản sẽ có lợi hơn nhiều:

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận

Giải pháp: phương pháp đầu tiên bằng cách nào đó ngay lập tức biến mất =)

Cao hơn một chút, tôi khuyên không nên chạm vào các cột của ma trận, nhưng khi có cột bằng 0, hoặc cột tỷ lệ/trùng khớp thì vẫn đáng để cắt cụt:

(1) Cột thứ năm bằng 0, xóa nó khỏi ma trận. Như vậy, thứ hạng của ma trận không quá bốn. Dòng đầu tiên được nhân với –1. Đây là một tính năng đặc trưng khác của phương pháp Gauss, biến hành động sau thành một cuộc dạo chơi thú vị:

(2) Đối với tất cả các dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, dòng đầu tiên đã được thêm vào.

(3) Dòng đầu tiên nhân với –1, dòng thứ ba chia cho 2, dòng thứ tư chia cho 3. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ năm, nhân với –1.

(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ năm, nhân với –2.

(5) Hai dòng cuối tỷ lệ thuận, dòng thứ năm bị xóa.

Kết quả là 4 dòng.

Trả lời:

Tòa nhà 5 tầng tiêu chuẩn dành cho nghiên cứu độc lập:

Ví dụ 6

Tìm hạng của ma trận

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng cụm từ “thứ hạng ma trận” không thường thấy trong thực tế và trong hầu hết các vấn đề, bạn có thể thực hiện hoàn toàn mà không cần đến nó. Nhưng có một nhiệm vụ mà khái niệm được đề cập là nhân vật chính và chúng ta sẽ kết thúc bài viết bằng ứng dụng thực tế này:

Làm thế nào để nghiên cứu một hệ phương trình tuyến tính cho nhất quán?

Thông thường, bên cạnh giải pháp hệ phương trình tuyến tính Theo điều kiện, trước tiên người ta phải kiểm tra tính tương thích của nó, tức là chứng minh rằng có bất kỳ giải pháp nào tồn tại. Một vai trò quan trọng trong việc xác minh như vậy được thực hiện bởi Định lý Kronecker-Capelli, mà tôi sẽ xây dựng ở dạng cần thiết:

Nếu xếp hạng ma trận hệ thống ngang bằng với cấp bậc hệ ma trận mở rộng, thì hệ thống là nhất quán và nếu số này trùng với số ẩn thì nghiệm là duy nhất.

Vì vậy, để nghiên cứu tính tương thích của hệ thống cần phải kiểm tra sự đẳng thức , Ở đâu - ma trận hệ thống(nhớ lại các thuật ngữ trong bài Phương pháp Gauss), MỘT - ma trận hệ thống mở rộng(tức là một ma trận có hệ số các biến + một cột các thuật ngữ tự do).

Để làm việc với khái niệm xếp hạng ma trận, chúng ta sẽ cần thông tin từ chủ đề "Phần bù đại số và phần bù đại số. Các loại phần bù đại số và phần bù đại số." Trước hết, điều này liên quan đến thuật ngữ “ma trận thứ”, vì chúng ta sẽ xác định thứ hạng của ma trận một cách chính xác thông qua ma trận thứ.

Xếp hạng ma trận là cấp tối đa của các cấp dưới của nó, trong đó có ít nhất một cấp không bằng 0.

Ma trận tương đương- các ma trận có hạng bằng nhau.

Hãy để chúng tôi giải thích chi tiết hơn. Giả sử rằng trong số các phần tử bậc hai có ít nhất một phần tử khác 0. Và tất cả trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn hai đều bằng 0. Kết luận: hạng của ma trận là 2. Hoặc, ví dụ, trong số các phần tử thứ mười có ít nhất một giá trị không bằng 0. Và tất cả trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn 10 đều bằng 0. Kết luận: hạng của ma trận là 10.

Hạng của ma trận $A$ được ký hiệu như sau: $\rang A$ hoặc $r(A)$. Thứ hạng của ma trận 0 $O$ được giả định bằng 0, $\rang O=0$. Hãy để tôi nhắc bạn rằng để tạo thành một ma trận phụ, bạn cần gạch bỏ các hàng và cột, nhưng không thể gạch bỏ nhiều hàng và cột hơn số lượng ma trận chứa. Ví dụ: nếu ma trận $F$ có kích thước $5\times 4$ (tức là chứa 5 hàng và 4 cột), thì thứ tự tối đa của các phần tử phụ của nó là bốn. Sẽ không thể hình thành trẻ vị thành niên cấp năm nữa vì chúng sẽ yêu cầu 5 cột (và chúng tôi chỉ có 4 cột). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận $F$ không thể nhiều hơn 4, tức là. $\rang F<4$.

Ở dạng tổng quát hơn, điều trên có nghĩa là nếu một ma trận chứa các hàng $m$ và cột $n$ thì thứ hạng của nó không thể vượt quá giá trị nhỏ nhất của $m$ và $n$, tức là. $\rang A<\min(m,n)$.

Về nguyên tắc, ngay từ định nghĩa của thứ hạng, phương pháp tìm nó đã được tuân theo. Quá trình tìm thứ hạng của ma trận, theo định nghĩa, có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ như sau:

Hãy để tôi giải thích sơ đồ này chi tiết hơn. Hãy bắt đầu lý luận ngay từ đầu, tức là. từ cấp thứ nhất của ma trận $A$.

Nếu tất cả các phần tử cấp một (tức là các phần tử của ma trận $A$) đều bằng 0 thì $\rang A=0$. Nếu trong số các phần tử bậc một có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 1$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên bậc hai.
Nếu tất cả các số hạng thứ hai đều bằng 0 thì $\rang A=1$. Nếu trong số các phần tử bậc hai có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 2$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp ba.
Nếu tất cả các số bậc ba đều bằng 0 thì $\rang A=2$. Nếu trong số các phần tử bậc ba có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 3$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp bốn.
Nếu tất cả các số bậc 4 đều bằng 0 thì $\rang A=3$. Nếu trong số các phần tử bậc 4 có ít nhất một phần tử không bằng 0 thì $\rang A ≥ 4$. Chúng tôi chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp năm, v.v.

Điều gì đang chờ đợi chúng ta ở phần cuối của thủ tục này? Có thể trong số các số thứ k sẽ có ít nhất một số khác 0 và tất cả các số thứ cấp (k+1) sẽ bằng 0. Điều này có nghĩa là k là cấp tối đa của các số trẻ vị thành niên, trong đó có ít nhất một số không bằng 0, tức là. thứ hạng sẽ bằng k. Có thể có một tình huống khác: trong số các cấp thứ k sẽ có ít nhất một cấp không bằng 0, nhưng sẽ không thể tạo thành cấp (k+1) cấp. Trong trường hợp này, hạng của ma trận cũng bằng k. Nói ngắn gọn, thứ tự của số thứ khác 0 được tạo cuối cùng sẽ bằng thứ hạng của ma trận.

Hãy chuyển sang các ví dụ trong đó quá trình tìm thứ hạng của ma trận, theo định nghĩa, sẽ được minh họa rõ ràng. Hãy để tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng trong các ví dụ của chủ đề này, chúng ta sẽ bắt đầu tìm thứ hạng của ma trận chỉ sử dụng định nghĩa về thứ hạng. Các phương pháp khác (tính hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ, tính hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản) sẽ được thảo luận trong các chủ đề sau.

Nhân tiện, không nhất thiết phải bắt đầu quy trình tìm thứ hạng với trẻ vị thành niên có thứ tự nhỏ nhất, như đã thực hiện trong ví dụ số 1 và số 2. Bạn có thể ngay lập tức chuyển sang trẻ vị thành niên ở cấp độ cao hơn (xem ví dụ số 3).

Ví dụ số 1

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Ma trận này có kích thước $3\times 5$, tức là gồm ba hàng và năm cột. Trong số 3 và 5, tối thiểu là 3, do đó hạng của ma trận $A$ không quá 3, tức là. $\rang A< 3$. Và sự bất bình đẳng này là hiển nhiên, vì chúng ta sẽ không còn có thể hình thành các phần tử cấp 4 nữa - chúng yêu cầu 4 hàng và chúng ta chỉ có 3 hàng. Hãy chuyển trực tiếp sang quá trình tìm hạng của một ma trận nhất định.

Trong số các phần tử cấp một (tức là trong số các phần tử của ma trận $A$) có những phần tử khác 0. Ví dụ: 5, -3, 2, 7. Nói chung, chúng ta không quan tâm đến tổng số phần tử khác 0. Có ít nhất một phần tử khác 0 - và thế là đủ. Vì trong số các phần tử bậc một có ít nhất một phần tử khác 0, nên chúng ta kết luận rằng $\rang A ≥ 1$ và tiến hành kiểm tra các phần tử bậc hai.

Hãy bắt đầu khám phá trẻ vị thành niên bậc hai. Ví dụ: tại giao điểm của hàng số 1, số 2 và cột số 1, số 4 có các phần tử phụ sau: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(mảng) \right| $. Đối với định thức này, tất cả các phần tử của cột thứ hai đều bằng 0, do đó bản thân định thức đó bằng 0, tức là $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (xem thuộc tính số 3 trong chủ đề về tính chất của định thức). Hoặc bạn có thể tính định thức này một cách đơn giản bằng cách sử dụng công thức số 1 từ phần tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Cấp thứ hai đầu tiên mà chúng tôi đã kiểm tra hóa ra bằng 0. Điều đó có nghĩa là gì? Về sự cần thiết phải kiểm tra thêm trẻ vị thành niên bậc hai. Hoặc tất cả chúng sẽ bằng 0 (và khi đó thứ hạng sẽ bằng 1), hoặc trong số chúng sẽ có ít nhất một thứ khác 0. Chúng ta hãy thử đưa ra lựa chọn tốt hơn bằng cách viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 2 và cột số 1 và số 5: $\left|\begin( mảng)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(mảng) \right|$. Hãy tìm giá trị của bậc hai bậc hai này:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Thứ này không bằng 0. Kết luận: trong số các trẻ vị thành niên bậc hai có ít nhất một số khác 0. Do đó $\rang A ≥ 2$. Chúng ta cần chuyển sang nghiên cứu trẻ vị thành niên cấp ba.

Nếu chọn cột số 2 hoặc cột số 4 để tạo thành số thứ ba thì các số đó sẽ bằng 0 (vì chúng sẽ chứa cột 0). Vẫn chỉ kiểm tra một thứ tự thứ ba, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của cột số 1, số 3, số 5 và hàng số 1, số 2, số 3. Hãy viết ra thứ nhỏ này và tìm giá trị của nó:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Vì vậy, tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng 0. Thứ khác 0 cuối cùng mà chúng tôi biên soạn là bậc hai. Kết luận: thứ tự tối đa của các phần tử con, trong đó có ít nhất một số khác 0, là 2. Do đó, $\rang A=2$.

Trả lời: $\rang A=2$.

Ví dụ số 2

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Ta có ma trận vuông bậc bốn. Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng thứ hạng của ma trận này không vượt quá 4, tức là. $\rang A< 4$. Hãy bắt đầu tìm thứ hạng của ma trận.

Trong số các phần tử cấp một (tức là, trong số các phần tử của ma trận $A$) có ít nhất một phần tử không bằng 0, do đó $\rang A ≥ 1$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên bậc hai. Ví dụ: tại giao điểm của hàng số 2, số 3 và cột số 1 và số 2, chúng ta thu được số hạng thứ hai sau: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hãy tính toán nó:

$$\trái| \begin(mảng) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(mảng) \right|=0-10=-10. $$

Trong số các số bậc hai có ít nhất một số không bằng 0, do đó $\rang A ≥ 2$.

Hãy chuyển sang trẻ vị thành niên cấp ba. Ví dụ: chúng ta hãy tìm một phần tử phụ có các phần tử nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3, số 4 và cột số 1, số 2, số 4:

$$\trái | \begin(mảng) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(mảng) \right|=105-105=0. $$

Vì thứ thứ ba này hóa ra bằng 0 nên cần phải điều tra một thứ thứ ba khác. Hoặc tất cả chúng sẽ bằng 0 (khi đó hạng sẽ bằng 2), hoặc trong số chúng sẽ có ít nhất một giá trị không bằng 0 (khi đó chúng ta sẽ bắt đầu học các trẻ vị thành niên bậc bốn). Hãy xem xét một thứ cấp ba, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2, số 3, số 4 và cột số 2, số 3, số 4:

$$\trái| \begin(mảng) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(mảng) \right|=-28. $$

Trong số các phần tử bậc ba có ít nhất một số khác 0, do đó $\rang A ≥ 3$. Hãy chuyển sang kiểm tra trẻ vị thành niên cấp bốn.

Bất kỳ thứ bậc bốn nào cũng nằm ở giao điểm của bốn hàng và bốn cột của ma trận $A$. Nói cách khác, bậc bốn là định thức của ma trận $A$, vì ma trận này chứa 4 hàng và 4 cột. Định thức của ma trận này đã được tính ở ví dụ số 2 của đề tài “Giảm thứ tự của định thức. Phân rã định thức thành một hàng (cột)”, nên chỉ lấy kết quả thu được:

$$\trái| \begin(mảng) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (mảng)\right|=86. $$

Vì vậy bậc bốn thứ không bằng 0. Chúng ta không còn có thể đào tạo trẻ vị thành niên cấp năm nữa. Kết luận: cấp cao nhất của các số nhỏ, trong đó có ít nhất một số khác 0, là 4. Kết quả: $\rang A=4$.

Trả lời: $\rang A=4$.

Ví dụ số 3

Tìm hạng của ma trận $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( mảng) \right)$.

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng ma trận này chứa 3 hàng và 4 cột, vì vậy $\rang A< 3$. Trong các ví dụ trước, chúng ta đã bắt đầu quá trình tìm thứ hạng bằng cách xem xét các thứ cấp nhỏ nhất (đầu tiên). Ở đây chúng tôi sẽ cố gắng kiểm tra ngay những trẻ vị thành niên theo thứ tự cao nhất có thể. Đối với ma trận $A$ đây là các cấp số thứ ba. Xét một thứ bậc ba, các phần tử của nó nằm ở giao nhau của hàng số 1, số 2, số 3 và cột số 2, số 3, số 4:

$$\trái| \begin(mảng) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(mảng) \right|=-8-60-20=-88. $$

Vì vậy, thứ tự cao nhất của trẻ vị thành niên, trong đó có ít nhất một thứ không bằng 0, là 3. Do đó, thứ hạng của ma trận là 3, tức là. $\rang A=3$.

Trả lời: $\rang A=3$.

Nói chung, việc tìm thứ hạng của ma trận theo định nghĩa, trong trường hợp chung, là một công việc khá tốn công. Ví dụ: một ma trận tương đối nhỏ có kích thước $5\times 4$ có 60 số hạng thứ hai. Và ngay cả khi 59 trong số chúng bằng 0, thì số thứ 60 có thể khác 0. Sau đó, bạn sẽ phải học trẻ vị thành niên cấp ba, trong đó ma trận này có 40 mảnh. Thông thường họ cố gắng sử dụng các phương pháp ít rườm rà hơn, chẳng hạn như phương pháp giáp phần phụ hoặc phương pháp biến đổi tương đương.

“Muốn học bơi thì hãy mạnh dạn xuống nước, muốn học bơi thì hãy dũng cảm xuống nước. để giải quyết vấn đề, Cái đó giải quyết chúng.»
D. Polya (1887-1985)

(Nhà toán học. Đã có đóng góp to lớn cho việc phổ biến toán học. Đã viết một số cuốn sách về cách giải quyết vấn đề và cách dạy giải quyết vấn đề.)

Hãy xem xét ma trận

Hãy làm nổi bật trong đó hàng k Và cột k (k<(min(m,n))). Từ các phần tử nằm tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn, ta sẽ soạn định thức thứ kđặt hàng. Tất cả các yếu tố quyết định như vậy được gọi là trẻ vị thành niên của ma trận này.

Hãy xem xét tất cả các phần tử nhỏ có thể có của ma trận MỘT, khác 0.

Xếp hạng ma trận MỘT là cấp lớn nhất của cấp số khác 0 của ma trận này.

Nếu tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0 thì hạng của ma trận này được lấy bằng 0.

Một trẻ vị thành niên có thứ tự xác định thứ hạng của ma trận được gọi là nền tảng.

Một ma trận có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Xếp hạng ma trận MỘTđóng góp bởi r(A). Nếu như r(A)=r(B), khi đó các ma trận MỘT Và TRONGđược gọi là tương đương. Họ viết A̴∼B.

Thuộc tính xếp hạng ma trận:

Khi một ma trận được hoán vị, thứ hạng của nó không thay đổi.
Nếu xóa hàng (cột) 0 khỏi ma trận thì thứ hạng của ma trận sẽ không thay đổi.
Thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình biến đổi ma trận cơ bản.

Bằng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi muốn nói:

Sắp xếp lại các hàng ma trận;
Nhân một chuỗi với một số khác 0;
Thêm vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác, nhân với một số tùy ý.

Khi tính hạng của ma trận, có thể sử dụng các phép biến đổi cơ bản, phương pháp rút gọn ma trận về dạng từng bước và phương pháp viền phụ.

Phương pháp giảm ma trận thành từng bướcÝ tưởng là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ma trận này được rút gọn thành ma trận bước.

Ma trận được gọi là bước , nếu trong mỗi dòng của nó, phần tử đầu tiên khác 0 nằm ở bên phải so với phần tử trước đó (tức là đạt được các bước thì chiều cao của mỗi bước phải bằng một).

Ví dụ về ma trận bước:

Ví dụ về ma trận không cấp bậc:

VÍ DỤ: Tìm hạng của ma trận:

GIẢI PHÁP:

Chúng ta hãy rút gọn ma trận này thành ma trận bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

1. Hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba.

2. Chúng ta có các số 0 dưới 1 ở cột đầu tiên.

Bằng cách cộng dòng đầu tiên nhân với (-3) vào dòng thứ hai, dòng đầu tiên nhân với (-5) vào dòng thứ ba và dòng đầu tiên nhân với (-3) vào dòng thứ tư, chúng ta có được

Để làm rõ hơn những nơi khác mà bạn cần lấy số 0, hãy vẽ các bước trong ma trận. (Ma trận sẽ được bước nếu có số 0 ở mọi nơi trong các bước)

3. Bằng cách cộng dòng thứ hai nhân với (-1) vào dòng thứ ba và dòng thứ hai nhân với (-1) vào dòng thứ tư, chúng ta nhận được các số 0 theo các bước trong cột thứ hai.

Nếu vẽ lại các bước, chúng ta sẽ thấy ma trận có bước.

Cấp bậc của cô ấy là r=3(số hàng của ma trận bước, trong đó mỗi hàng có ít nhất một phần tử khác 0). Vì vậy, hạng của ma trận này r=3.

Giải pháp có thể được viết như thế này:

(Chữ số La Mã biểu thị số dòng)

Trả lời: r=3.

Thứ tự nhỏ k+1, chứa thứ tự thứ yếu k gọi điện giáp với trẻ vị thành niên.

Phương pháp biên giới nhỏ dựa trên thực tế là thứ hạng của một ma trận nhất định bằng thứ tự của một phần tử nhỏ của ma trận này khác 0 và tất cả các phần tử thứ cấp giáp nó đều bằng 0.