Tích lũy tần số được sử dụng trong xây dựng. Nhóm dữ liệu và xây dựng chuỗi phân phối. Biểu diễn đồ họa của chuỗi biến thể

Chúng được trình bày dưới dạng chuỗi phân phối và được trình bày dưới dạng.

Một chuỗi phân phối là một trong những loại nhóm.

Phạm vi phân phối- thể hiện sự phân bố có trật tự của các đơn vị tổng thể đang được nghiên cứu thành các nhóm theo một đặc điểm khác nhau nhất định.

Tùy thuộc vào đặc điểm cơ bản của sự hình thành chuỗi phân phối, chúng được phân biệt thuộc tính và biến thể hàng phân phối:

• Thuộc tính- được gọi là chuỗi phân phối được xây dựng theo đặc tính định tính.
• Chuỗi phân phối được xây dựng theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần các giá trị của đặc tính định lượng được gọi là biến thể.

Cột đầu tiên cung cấp các giá trị định lượng của đặc tính khác nhau, được gọi là tùy chọn và được chỉ định. Tùy chọn rời rạc - được biểu thị dưới dạng số nguyên. Tùy chọn khoảng thời gian dao động từ và đến. Tùy thuộc vào loại tùy chọn, bạn có thể xây dựng một chuỗi biến thể rời rạc hoặc theo khoảng thời gian.
Cột thứ hai chứa số tùy chọn cụ thể, được biểu thị dưới dạng tần số hoặc tần số:

Tần số- đây là những con số tuyệt đối cho biết số lần một giá trị nhất định của một đặc tính xuất hiện trong tổng hợp, biểu thị . Tổng của tất cả các tần số phải bằng số lượng đơn vị trong toàn bộ quần thể.

Tần số() là tần số được biểu thị bằng phần trăm của tổng số. Tổng của tất cả các tần số được biểu thị bằng phần trăm phải bằng 100% theo phân số của một.

Biểu diễn đồ họa của chuỗi phân phối

Chuỗi phân phối được trình bày trực quan bằng hình ảnh đồ họa.

• Đa giác
• Biểu đồ
• tích lũy
• Ogives

Đa giác

Khi xây dựng một đa giác, các giá trị của đặc tính thay đổi được vẽ trên trục hoành (trục x) và tần số hoặc tần số được vẽ trên trục tung (trục y).

Đa giác trong hình. 6.1 dựa trên dữ liệu từ cuộc điều tra dân số vi mô của Nga năm 1994.

Tình trạng: Dữ liệu được cung cấp về việc phân bổ 25 nhân viên của một trong các doanh nghiệp theo các loại biểu thuế:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Nhiệm vụ: Xây dựng một chuỗi biến thể rời rạc và mô tả nó bằng đồ họa dưới dạng đa giác phân phối.
Giải pháp:
Trong ví dụ này, các tùy chọn là mức lương của nhân viên. Để xác định tần suất, cần tính số lượng nhân viên với loại biểu thuế tương ứng.

Đa giác được sử dụng cho chuỗi biến thể rời rạc.

Để xây dựng một đa giác phân phối (Hình 1), chúng tôi vẽ các giá trị định lượng của đặc tính khác nhau - các biến thể - dọc theo trục hoành độ (X) và tần số hoặc tần số dọc theo trục tọa độ.

Nếu các giá trị của một đặc tính được biểu thị dưới dạng các khoảng thì chuỗi đó được gọi là khoảng.
Chuỗi khoảng phân phối được mô tả bằng đồ họa dưới dạng biểu đồ, tích lũy hoặc ogive.

Bảng thống kê

Tình trạng: Dữ liệu được cung cấp về quy mô tiền gửi của 20 cá nhân trong một ngân hàng (nghìn rúp) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Nhiệm vụ: Xây dựng chuỗi biến thiên khoảng với các khoảng bằng nhau.
Giải pháp:

1. Quần thể ban đầu bao gồm 20 đơn vị (N = 20).
2. Sử dụng công thức Sturgess, chúng tôi xác định số lượng nhóm cần thiết được sử dụng: n=1+3.322*lg20=5
3. Hãy tính giá trị của khoảng bằng nhau: i=(152 - 2) /5 = 30 nghìn rúp
4. Hãy chia dân số ban đầu thành 5 nhóm với khoảng cách 30 nghìn rúp.
5. Chúng tôi trình bày kết quả phân nhóm vào bảng:

Với việc ghi đặc tính liên tục như vậy, khi cùng một giá trị xuất hiện hai lần (là giới hạn trên của một khoảng và giới hạn dưới của khoảng khác), thì giá trị này thuộc về nhóm trong đó giá trị này đóng vai trò là giới hạn trên.

biểu đồ cột

Để xây dựng biểu đồ, các giá trị ranh giới của các khoảng được biểu thị dọc theo trục abscissa và dựa trên chúng, các hình chữ nhật được xây dựng, chiều cao của nó tỷ lệ thuận với tần số (hoặc tần số).

Trong bộ lễ phục. 6.2. cho thấy biểu đồ phân bố dân số Nga năm 1997 theo nhóm tuổi.

Tình trạng: Việc phân bổ 30 nhân viên của công ty theo mức lương hàng tháng được đưa ra

Nhiệm vụ: Hiển thị chuỗi biến thiên theo khoảng thời gian bằng đồ họa dưới dạng biểu đồ và tích lũy.
Giải pháp:

1. Ranh giới chưa xác định của khoảng mở (đầu tiên) được xác định bởi giá trị của khoảng thứ hai: 7000 - 5000 = 2000 rúp. Với cùng một giá trị, chúng tôi tìm thấy giới hạn dưới của khoảng đầu tiên: 5000 - 2000 = 3000 rúp.
2. Để xây dựng biểu đồ trong hệ tọa độ hình chữ nhật, chúng ta vẽ dọc theo trục hoành các đoạn có giá trị tương ứng với các khoảng của chuỗi giãn tĩnh mạch.
   Các đoạn này đóng vai trò là đáy dưới và tần số (tần số) tương ứng đóng vai trò là chiều cao của các hình chữ nhật được tạo thành.
3. Hãy xây dựng một biểu đồ:

Để xây dựng các tích lũy cần tính toán các tần số (tần số) tích lũy. Chúng được xác định bằng cách tổng hợp tuần tự các tần số (tần số) của các khoảng trước đó và được ký hiệu là S. Tần số tích lũy cho biết có bao nhiêu đơn vị dân số có giá trị đặc trưng không lớn hơn giá trị đang được xem xét.

tích lũy

Sự phân bố của một đặc tính trong chuỗi biến thiên theo các tần số (tần số) tích lũy được mô tả bằng cách sử dụng phép tính tích lũy.

tích lũy hoặc một đường cong tích lũy, không giống như đa giác, được xây dựng từ các tần số hoặc tần số tích lũy. Trong trường hợp này, các giá trị của đặc tính được đặt trên trục abscissa và tần số hoặc tần số tích lũy được đặt trên trục tọa độ (Hình 6.3).

4. Hãy tính tần số tích lũy:
Tần số tích lũy của khoảng đầu tiên được tính như sau: 0 + 4 = 4, đối với khoảng thứ hai: 4 + 12 = 16; đối với số thứ ba: 4 + 12 + 8 = 24, v.v.

Khi xây dựng tích lũy, tần số (tần số) tích lũy của khoảng tương ứng được gán cho giới hạn trên của nó:

Ogiva

Ogivađược xây dựng tương tự như tích lũy với điểm khác biệt duy nhất là tần số tích lũy được đặt trên trục hoành và các giá trị đặc tính được đặt trên trục tọa độ.

Một loại tích lũy là đường cong nồng độ hoặc biểu đồ Lorentz. Để xây dựng đường cong nồng độ, thang đo tỷ lệ phần trăm từ 0 đến 100 được vẽ trên cả hai trục của hệ tọa độ hình chữ nhật, đồng thời, tần số tích lũy được biểu thị trên trục abscissa và các giá trị tích lũy của phần (tính theo phần trăm) theo thể tích của đặc tính được biểu thị trên trục tọa độ.

Sự phân bố đồng đều của đặc tính tương ứng với đường chéo của hình vuông trên đồ thị (Hình 6.4). Với sự phân bố không đồng đều, đồ thị biểu thị một đường cong lõm tùy thuộc vào mức độ tập trung của tính trạng.

Đa giác tần số

Chúng ta hãy cho một chuỗi phân phối được viết bằng bảng:

Bức tranh 1.

Định nghĩa 1

Đa giác tần số-- một đường đứt nét nối các điểm $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.

Nghĩa là, để xây dựng một đa giác tần số, cần vẽ các giá trị biến thể trên trục hoành và các tần số tương ứng dọc theo trục tọa độ. Các điểm kết quả được kết nối bằng một đường đứt nét:

Hình 2. Đa giác tần số.

Ngoài tần số thông thường, còn có khái niệm tần số tương đối.

Chúng ta thu được bảng phân bố tần số tương đối sau:

Hình 3.

Định nghĩa 2

Đa giác tần số tương đối-- một đường đứt nét nối các điểm $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.

Nghĩa là, để xây dựng một đa giác tần số, cần vẽ các giá trị biến thể trên trục hoành và các tần số tương đối tương ứng dọc theo trục tọa độ. Các điểm kết quả được kết nối bằng một đường đứt nét:

Hình 4. Đa giác tần số tương đối.

biểu đồ tần số

Ngoài khái niệm đa thức cho các giá trị liên tục, còn có khái niệm biểu đồ.

Lưu ý rằng diện tích của một hình chữ nhật như vậy là $\frac(n_ih)(h)=n_i$. Do đó, diện tích của toàn bộ hình bằng $\sum(n_i)=n$, tức là bằng thể tích mẫu.

Định nghĩa 4

Biểu đồ tần số tương đối-- một hình bậc bao gồm các hình chữ nhật có đáy -- các khoảng một phần của chiều dài $h$ và chiều cao $\frac(W_i)(h)$:

Hình 6. Biểu đồ tần số tương đối.

Lưu ý rằng diện tích của một hình chữ nhật như vậy là $\frac(W_ih)(h)=W_i$. Do đó, diện tích của toàn bộ hình là $\sum(W_i)=W=1$.

Ví dụ về các bài toán xây dựng đa giác và biểu đồ

ví dụ 1

Cho phân bố tần số có dạng:

Hình 7.

Xây dựng một đa giác có tần số tương đối.

Trước tiên chúng ta hãy xây dựng một chuỗi phân bố tần số tương đối bằng công thức $W_i=\frac(n_i)(n)$

Biểu diễn đồ họa của chuỗi biến thể

Việc biểu diễn bằng đồ họa mối quan hệ giữa các đại lượng giúp có thể hình dung mối quan hệ này một cách rõ ràng. Đồ thị có thể dùng làm cơ sở cho việc khám phá các thuộc tính, mối quan hệ và mẫu mới.

Các biểu đồ được sử dụng phổ biến nhất để mô tả chuỗi biến thể, tức là mối quan hệ giữa các giá trị thuộc tính và tần số tương ứng hoặc tần số tương đối, là đa giác, biểu đồ và tích lũy.

Đa giác thường được sử dụng để mô tả chuỗi rời rạc. Để xây dựng một đa giác trong hệ tọa độ hình chữ nhật, các giá trị của đối số, tức là các tùy chọn, được vẽ trên trục abscissa theo tỷ lệ được chọn tùy ý và trên trục tọa độ, cũng theo tỷ lệ được chọn tùy ý, các giá trị ​tần số hoặc tần số tương đối. Tỷ lệ được chọn sao cho đảm bảo độ rõ ràng cần thiết và bản vẽ có kích thước mong muốn. Tiếp theo, các điểm được xây dựng trong hệ tọa độ này, tọa độ của chúng là các cặp số tương ứng từ chuỗi biến thể. Các điểm kết quả được kết nối tuần tự bằng các đoạn thẳng. Điểm cực “trái” được nối với một điểm trên trục hoành độ, trục hoành của nó nằm ở bên trái của điểm đang đề cập ở cùng khoảng cách với trục hoành của điểm gần bên phải nhất. Tương tự, điểm cực “phải” cũng được nối với điểm trục x.

tích lũy phục vụ cho việc trình bày đồ họa của chuỗi biến thể tích lũy. Để xây dựng nó, các giá trị của đối số được vẽ trên trục abscissa và tần số tích lũy hoặc tần số tương đối tích lũy được vẽ trên trục tọa độ. Tỷ lệ trên mỗi trục được chọn tùy ý. Tiếp theo, các điểm được xây dựng có trục hoành bằng với các tùy chọn (trong trường hợp chuỗi rời rạc) hoặc ranh giới trên của các khoảng (trong trường hợp chuỗi khoảng) và tọa độ bằng tần số tương ứng (tần số tích lũy). Những điểm này được kết nối bởi các đoạn thẳng. Đường gãy kết quả là sự tích lũy.

Để rõ ràng, các biểu đồ phân phối thống kê khác nhau được xây dựng, đặc biệt là đa giác và biểu đồ.

Sự định nghĩa. Đa giác tần số gọi là đường đứt nét, các đoạn nối các điểm (x 1, n 1), (x 2, n 2), ..., (x k, n k).

Để xây dựng một đa giác tần số, các tùy chọn x i được vẽ trên trục hoành, và các tần số tương ứng n i được vẽ trên trục tọa độ. Các điểm (x i, n i) được nối với nhau bằng các đường thẳng và thu được đa giác tần số.

Sự định nghĩa. Đa giác tần số tương đối gọi là đường đứt đoạn, các đoạn nối các điểm (x 1, w 1), (x 2, w 2), ..., (x k, w k).

Để xây dựng một đa giác tần số, các tùy chọn x i được vẽ trên trục hoành và w i được vẽ trên trục tọa độ. Các điểm (x i, w i) được nối với nhau bằng các đường thẳng và thu được đa giác có tần số tương đối.

Hình vẽ cho thấy một đa giác có tần số tương đối của phân bố sau:

Cơm. 6. Đa giác tần số tương đối.

Trong trường hợp đặc tính liên tục, nên xây dựng biểu đồ, trong đó khoảng chứa tất cả các giá trị quan sát được của đặc tính được chia thành nhiều khoảng từng phần có độ dài h và cho mỗi khoảng một phần n i được tìm thấy - tổng tần số của các biến thể rơi vào khoảng thứ i.

Sự định nghĩa. biểu đồ tần sốđược gọi là một hình bậc bao gồm các hình chữ nhật, các đáy của chúng là các khoảng một phần có chiều dài h và chiều cao bằng tỷ số (mật độ tần số).

Cơm. 7. Biểu đồ tần số.

Để xây dựng biểu đồ tần số, các khoảng từng phần được bố trí trên trục hoành độ và các đoạn song song với trục hoành độ được vẽ phía trên chúng một khoảng .

Diện tích của hình chữ nhật một phần thứ i bằng =─ tổng tần số của biến thể của khoảng thứ i; do đó, diện tích của biểu đồ tần số bằng tổng của tất cả các tần số, tức là cỡ mẫu n.

Hình 2 thể hiện biểu đồ tần số của phân bố thể tích n=100 được cho trong Bảng 1.

Sự định nghĩa. Biểu đồ tần số tương đốiđược gọi là một hình bậc bao gồm các hình chữ nhật, các đáy của chúng là các khoảng một phần có chiều dài h và chiều cao bằng tỷ số (mật độ tần số tương đối).

Để xây dựng biểu đồ tần số tương đối, các khoảng từng phần được vẽ trên trục hoành và các đoạn song song với trục hoành ở một khoảng cách được vẽ phía trên chúng. Diện tích của hình chữ nhật một phần thứ i bằng =─ tần số tương đối của các biến thể rơi vào khoảng thứ i. Do đó, diện tích biểu đồ của tần số tương đối bằng tổng của tất cả các tần số tương đối, nghĩa là sự thống nhất.

Kết quả của việc lấy mẫu là bảng phân bố tần số sau đây.

Xây dựng đa giác tần số và phân bố tần số tương đối.

Đầu tiên, hãy xây dựng một đa giác tần số.

Cơm. 8. Dải tần số.

Để xây dựng một đa giác có tần số tương đối, chúng ta sẽ tìm tần số tương đối bằng cách chia tần số cho cỡ mẫu n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

Chúng tôi nhận được

Hãy xây dựng một đa giác có tần số tương đối.

Cơm. 9. Đa giác tần số tương đối.

2. Xây dựng biểu đồ tần số và phân bổ tần số tương đối.

Hãy tìm mật độ tần số:

Giải pháp.

Chúng tôi xây dựng điểm dựa trên dữ liệu từ bảng. Chúng tôi kết nối các điểm kết quả với các đoạn thẳng. Hãy chú ý đến các điểm (0; 0) và (13; 0), nằm trên trục hoành độ và có số trục hoành của chúng lần lượt nhỏ hơn và lớn hơn 1, trục hoành của điểm ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải. Dải tần số được hiển thị trong hình.

Nếu một đa giác được xây dựng bằng cách sử dụng dữ liệu từ một chuỗi khoảng thì điểm giữa của các khoảng tương ứng được lấy làm hoành độ của các điểm. Các điểm cực bên trái và bên phải được nối với các điểm của trục x - điểm giữa của các khoảng gần nhất, tần số của chúng bằng 0. Tất nhiên, trong trường hợp này, đa giác chỉ phản ánh gần đúng sự phụ thuộc của tần số vào các giá trị của đối số.

tích lũy phục vụ cho việc trình bày đồ họa của chuỗi biến thể tích lũy. Để xây dựng nó, các giá trị của đối số được vẽ trên trục abscissa và tần số tích lũy hoặc tần số tương đối tích lũy được vẽ trên trục tọa độ. Tỷ lệ trên mỗi trục được chọn tùy ý. Tiếp theo, các điểm được xây dựng có trục hoành bằng với các tùy chọn (trong trường hợp chuỗi rời rạc) hoặc ranh giới trên của các khoảng (trong trường hợp chuỗi khoảng) và tọa độ bằng tần số tương ứng (tần số tích lũy). Những điểm này được kết nối bởi các đoạn thẳng. Đường gãy kết quả là sự tích lũy.

Ví dụ về xây dựng tích lũy

Dựa trên dữ liệu bảng, hãy biên soạn một chuỗi biến thể tích lũy để xây dựng một chuỗi tích lũy.

Giải pháp.

Hãy tạo một chuỗi biến thể tích lũy (xem bảng bên dưới), mà chúng tôi sẽ xây dựng một chuỗi tích lũy.

Biểu đồđược sử dụng để mô tả chuỗi khoảng. Để xây dựng biểu đồ dựa trên dữ liệu của chuỗi biến thể ở các khoảng bằng nhau, cũng như để xây dựng đa giác, các giá trị của đối số được vẽ trên trục abscissa và các giá trị tần số hoặc tần số tương đối được vẽ trên trục tọa độ. Tiếp theo, người ta xây dựng các hình chữ nhật, đáy của chúng là các đoạn của trục hoành, chiều dài của chúng bằng chiều dài của các khoảng và chiều cao là các đoạn có độ dài tỷ lệ với tần số hoặc tần số tương đối của các khoảng tương ứng.

Kết quả là, một hình bậc thang thu được ở dạng hình chữ nhật dịch chuyển về phía nhau, diện tích của chúng tỷ lệ thuận với tần số (hoặc tần số tương đối).

Nếu các khoảng không bằng nhau thì các giá trị mật độ phân bố (tuyệt đối hoặc tương đối) sẽ được vẽ trên trục hoành theo thang đo được chọn tùy ý. Do đó, chiều cao của các hình chữ nhật mà chúng ta xây dựng phải bằng mật độ của các khoảng tương ứng.

Khi mô tả bằng đồ họa một chuỗi biến thể bằng biểu đồ, mật độ được mô tả như thể nó không đổi trong mỗi khoảng. Trên thực tế, như một quy luật, đây không phải là trường hợp. Nếu bạn vẽ đồ thị phân bố theo các phần của khoảng, bạn có thể đảm bảo rằng mật độ phân bố ở các phần khác nhau của khoảng không giữ nguyên. Mật độ thu được trước đó chỉ đại diện cho một số mật độ trung bình. Vì vậy, biểu đồ không mô tả sự thay đổi thực tế về mật độ phân bố mà chỉ mô tả mật độ phân bố trung bình ở mỗi khoảng.

Nếu biểu đồ phân bố khoảng được xây dựng thì có thể thu được đa giác có cùng phân bố bằng cách nối trung điểm của các đáy trên của hình chữ nhật với các đoạn thẳng.

Ví dụ về xây dựng biểu đồ

Dựa trên kết quả kiểm tra môn toán của học sinh lớp 7, dữ liệu về sự sẵn có của các nhiệm vụ kiểm tra (tỷ lệ giữa số học sinh hoàn thành đúng nhiệm vụ trên số học sinh được kiểm tra), được trình bày trong bảng dưới đây.
Bài kiểm tra có 25 nhiệm vụ. Xây dựng biểu đồ.

Giải pháp.

Trên trục hoành, chúng ta vẽ 7 đoạn có chiều dài 10. Trên đó, giống như trên các đế, chúng ta xây dựng các hình chữ nhật, chiều cao của chúng lần lượt là 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Hình bậc thang thu được là hình mong muốn biểu đồ.

Ví dụ về xây dựng biểu đồ

Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn dữ liệu được đưa ra trong ví dụ trước (xem bảng bên dưới.). Xây dựng biểu đồ.