Thực đơn
trang chủĐiện thoại

Yếu tố cơ bản của đồ họa fractal là. Đô họa may tinh

Đồ họa phân dạng, giống như vectơ, dựa trên về tính toán toán học. Tuy nhiên, yếu tố cơ bản của nó là chính nó công thức toán học, nghĩa là không có đối tượng nào được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính và hình ảnh được xây dựng riêng bằng phương trình hoặc hệ phương trình. Bằng cách này, cả cấu trúc thông thường đơn giản nhất và các hình minh họa phức tạp bắt chước cảnh quan thiên nhiên và các vật thể ba chiều đều được xây dựng.

Sự định nghĩa. Fractal - là một đối tượng, các bộ phận cơ bản riêng lẻ lặp lại (kế thừa) các thuộc tính của “ cha mẹ" cấu trúc.

Các khái niệm phân dạng Và hình học fractal(từ lat. vết gãy- bị phân mảnh) được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1975 bởi nhà toán học B. Mandelbrot để chỉ định không thường xuyên, Nhưng cấu trúc tương tự. Sự ra đời của hình học fractal gắn liền với việc ông xuất bản cuốn sách “Hình học Fractal của Tự nhiên” vào năm 1977, trong đó sự phát triển khoa học của các nhà khoa học làm việc trong lĩnh vực này (Poincaré, Julia, Cantor, v.v.) được kết hợp thành một hệ thống duy nhất. Từ quan điểm của đồ họa máy tính, hình học fractal là không thể thiếu khi xác định các đường và bề mặt có hình dạng khá phức tạp, cũng như khi tạo ra các vật thể có hình ảnh rất giống với hình ảnh tự nhiên.

Một trong những tính chất chính của fractal là chúng sự tự tương tự. Trong trường hợp đơn giản nhất, một phần nhỏ của fractal chứa thông tin về toàn bộ fractal. Có rất nhiều loại fractal. Có thể loại hữu ích nhất trong số đó là fractal dựa trên Hệ thống chức năng lặp (IFS)). phương pháp IFS, được phát minh bởi Michael Barnsley và các đồng nghiệp của ông tại Viện Công nghệ Hoa Kỳ. Georgia (Mỹ), liên quan đến việc xây dựng hình ảnh fractal dựa trên về sự giống nhau của họ các yếu tố riêng lẻ và bao gồm trong việc làm người mẫu Tổng cộng vẽ thành nhiều mảnh nhỏ hơn. Các phương trình đặc biệt cho phép bạn di chuyển, xoay và thay đổi tỷ lệ của từng phần riêng lẻ của hình ảnh, đóng vai trò là các khối xây dựng cho toàn bộ phần còn lại của hình ảnh.

Nổi tiếng nhất đối tượng fractal tự nhiên là cây, từ mỗi nhánh mà các nhánh nhỏ hơn tương tự với nó phân nhánh, từ những nhánh đó - thậm chí là những nhánh nhỏ hơn, v.v. Sự xuất hiện của các phần tử mới ở quy mô nhỏ hơn diễn ra theo một thuật toán khá đơn giản. Rõ ràng, một vật thể như vậy có thể được mô tả chỉ bằng một vài phương trình toán học. Nhiều vật thể tự nhiên khác cũng có đặc tính fractal: khi phóng to, một bông tuyết cũng trở thành fractal, tinh thể, thực vật, v.v. phát triển bằng thuật toán fractal.

Chúng ta hãy xem fractal đơn giản nhất được xây dựng như thế nào - tam giác fractal , nó còn được gọi là " Bông tuyết của Koch"(Hình 8.2.). Bằng cách sử dụng thuật toán đơn giản nhất, các hình tam giác có thể được xây dựng theo cách tương tự đến vô tận, điều này sẽ dẫn đến một đối tượng ở bất kỳ mức độ phức tạp nào. Hơn nữa, không giống như đồ họa vector, không có gì cần được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính ngoại trừ chính các phương trình. Tất cả thông tin cần thiết để tái tạo fractal này sẽ chỉ chiếm vài chục byte. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể nén dữ liệu bằng cách chọn thuật toán fractal phù hợp cho việc này không? Về nguyên tắc là có thể, và nghiên cứu tích cực hiện đang được tiến hành theo hướng này. Một số thuật toán fractal đã được phát triển cho phép nén một số loại tệp nhất định từ 30 lần trở lên.


8.6 Đồ họa ba chiều (3D).

đồ họa 3Dđã tìm thấy ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như tính toán khoa học, thiết kế kỹ thuật, mô hình hóa máy tính của các vật thể vật lý, v.v. Ví dụ: hãy xem xét phiên bản phức tạp nhất của mô hình ba chiều - tạo hình ảnh chuyển động của một vật thể thật. Ở dạng đơn giản cho mô hình hóa không gian của đối tượng yêu cầu:

§ Thiết kế Và tạo wireframe ảo (« bộ xương") của một đối tượng tương ứng đầy đủ nhất với hình dạng thực của nó;

§ Thiết kế Và tạo vật liệu ảo (kết cấu), các tính chất vật lý của hình ảnh tương tự như tính chất thực;

§ Áp dụng vật liệu ảo vào nhiều bộ phận bề mặt sự vật ( chiếu kết cấu lên một đối tượng);

§ Thiết lập các thông số vật lý của không gian, trong đó đối tượng sẽ được đặt, tức là thiết lập ánh sáng, trọng lực, tính chất khí quyển, v.v.;

§ Thiết lập quỹ đạo chuyển động sự vật;

§ Áp dụng hiệu ứng bề mặt cho câu chuyện hoạt hình cuối cùng.

Để tạo ra một thực tế mô hình wireframe của đối tượng sử dụng nguyên thủy hình học(hình chữ nhật, khối lập phương, quả bóng, hình nón và các hình khác) và trơn tru, cái gọi là bề mặt spline. Trong trường hợp sau, loại bề mặt được xác định bởi vị trí trong không gian lưới điểm kiểm soát, mỗi cái được gán hệ số, cài đặt bằng cấp cô ấy tác dụng lên một phần bề mặt, xác định vị trí gần điểm tham chiếu. Hình dạng và độ mịn của bề mặt nói chung phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm và độ lớn của các hệ số. Biến dạng vật thể trong trường hợp chung, nó được đảm bảo bởi sự chuyển động của cá nhân điểm kiểm soát khung liên quan đến lân cận điểm tham chiếu và ảnh hưởng đến chúng tùy theo khoảng cách giữa chúng với nhau. Các công cụ đặc biệt cho phép bạn xử lý các phần nguyên thủy tạo nên một đối tượng như một tổng thể duy nhất, có tính đến sự tương tác của chúng dựa trên một mô hình vật lý nhất định.

Sau khi hình thành" bộ xương» đối tượng, cần phải phủ lên bề mặt của nó bằng các vật liệu (kết cấu) cần thiết. Trong trường hợp này, cái gọi là trực quan hóa bề mặt, I E. tính toán hệ số trong suốt của nó, góc khúc xạ của tia sáng ở ranh giới của vật liệu và không gian xung quanh, v.v. Vẽ bề mặt đồ vật theo quy định, được thực hiện bằng phương pháp Gouraud hoặc Phong, đây là những thuật toán đặc biệt để tính toán và hình thành các sắc thái màu của các phần riêng lẻ của các bề mặt này.

Trong tất cả các tham số của không gian mà đối tượng được tạo sẽ tồn tại, theo quan điểm trực quan, điều quan trọng nhất là xác định nguồn sáng. TRONG đồ họa 3D Người ta thường sử dụng các nguồn sáng tương đương ảo của các nguồn sáng vật lý thực, chẳng hạn như Mặt trời ( nguồn phi điểm từ xa), bóng đèn ( nguồn điểm), chiếu sáng tự nhiên ngoài tầm nhìn của Mặt trời và Mặt trăng ( ánh sáng hòa tan), điểm sáng ( nguồn định hướng).

Sau khi kết thúc thiết kế Và hình dungđối tượng tiến tới " sự hồi sinh", tức là thiết lập các tham số chuyển động. Hoạt hình máy tính dựa trên khung hình chính. Trong khung đầu tiên, đối tượng được đặt ở vị trí ban đầu. Sau một khoảng thời gian nhất định (ví dụ: trong khung thứ năm), hướng mới của đối tượng sẽ được đặt, v.v. cho đến vị trí cuối cùng. Các khung trung gian được tính toán theo chương trình bằng thuật toán đặc biệt. Trong trường hợp này, không chỉ xảy ra sự gần đúng tuyến tính mà còn xảy ra sự thay đổi trơn tru về vị trí của các điểm tham chiếu của vật thể theo các điều kiện xác định bởi các quy luật tương tác của các vật thể với nhau, các mặt phẳng chuyển động cho phép, góc quay tối đa , giá trị gia tốc và tốc độ, v.v. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp động học nghịch đảo của chuyển động. Nó hoạt động tốt khi mô hình hóa các thiết bị cơ khí khác nhau. Trong trường hợp bắt chước các vật thể sống, cái gọi là mô hình bộ xương, khi một khung nhất định được tạo, có thể di chuyển tại các điểm đặc trưng của đối tượng được mô hình hóa. Chuyển động của các điểm này được tính toán theo phương pháp trước đó, sau đó một lớp vỏ các bề mặt được mô hình hóa được áp dụng cho khung và chúng được hiển thị bằng cách áp dụng các họa tiết có tính đến điều kiện ánh sáng.

Phương pháp hoạt hình tiên tiến nhất liên quan đến việc ghi lại các chuyển động thực tế của một vật thể. Để làm được điều này, các nguồn sáng được cố định tại các điểm kiểm soát trên vật thể và chuyển động đã chỉ định được ghi lại trên video hoặc phim. Sau đó, tọa độ từng khung hình của các điểm này được chuyển đến máy tính và gán cho phần tử tương ứng. điểm tham chiếu của mô hình wireframe. Kết quả là, chuyển động của vật thể mô phỏng thực tế không thể phân biệt được với chuyển động của nguyên mẫu sống.

Quá trình tính toán hình ảnh thực tế trong đồ họa máy tính được gọi là kết xuất(hình dung). Việc sử dụng các mô hình toán học phức tạp giúp mô phỏng các hiệu ứng vật lý như vụ nổ, mưa, lửa, khói, sương mù, v.v. Tuy nhiên, ứng dụng đầy đủ của chúng yêu cầu tài nguyên tính toán khá lớn và do đó thường chỉ được triển khai trên máy tính cá nhân ở các phiên bản đơn giản hóa. Khi hoàn thành kết xuất Hoạt hình máy tính 3D được sử dụng như một sản phẩm độc lập hoặc là các bộ phận hoặc khung riêng biệt của các sản phẩm khác.

Một khu vực đặc biệt của mô hình ba chiều trong thời gian thực trang điểm mô phỏng thiết bị kỹ thuật- ô tô, tàu thủy, máy bay và tàu vũ trụ. Họ phải mô hình hóa rất chính xác các thông số kỹ thuật của vật thể thật và các tính chất của môi trường vật lý xung quanh. Trong những trường hợp đơn giản hơn, chẳng hạn như khi dạy lái xe trên mặt đất, trình mô phỏng cũng có thể được thực hiện trên máy tính cá nhân.

Trong số các công cụ phần mềm để tạo và xử lý đồ họa ba chiều cho máy tính cá nhân, có thể phân biệt ba gói:

§ Studio 3D Max ( vững chãi Kinetix). Gói này được coi là bán chuyên nghiệp nhưng tài nguyên của nó khá đủ để phát triển hình ảnh ba chiều chất lượng cao của các vật thể vô tri. Các tính năng đặc biệt của nó là hỗ trợ cho hầu hết các bộ tăng tốc phần cứng hiện có 3D-đồ họa, hiệu ứng ánh sáng mạnh mẽ và một số lượng lớn phần mềm bổ sung từ các công ty bên thứ ba. Tương đối không yêu cầu tài nguyên phần cứng cho phép sử dụng 3D Studio tối đa ngay cả trên một PC tầm trung. Đồng thời, về mặt mô hình hóa và hoạt hình, nó vẫn thua kém các phần mềm hiện đại phát triển hơn.

§ Hình ảnh mềm 3D ( vững chãi Microsoft). Chương trình ban đầu được tạo cho các trạm đồ họa chuyên dụng và chỉ gần đây mới được chuyển đổi sang hệ điều hành các cửa sổ N.T. Nó nổi bật bởi khả năng mô hình hóa phong phú, một số lượng lớn các thông số vật lý và điện ảnh có thể điều chỉnh, mô-đun kết xuất chất lượng cao và khá nhanh cũng như nhiều tiện ích bổ sung phần mềm giúp mở rộng đáng kể các chức năng của gói. Tuy nhiên, trên nền tảng IBM PC Softimage 3D Nó trông hơi nặng và yêu cầu tài nguyên phần cứng khá mạnh.

§ Maya ( các công ty Bí danh, Mặt sóng, TDI). Một trong những gói tiên tiến nhất trong nhóm công cụ tạo và xử lý đồ họa 3D cho máy tính cá nhân về giao diện và chức năng. Có sẵn các phiên bản dành cho nhiều hệ điều hành khác nhau, bao gồm các cửa sổ N.T. Tất cả các công cụ Maya chia thành bốn nhóm: hoạt hình (Hoạt hình), người mẫu (Làm người mẫu), mô hình vật lý (Năng động) Và hình dung(Kết xuất). Gói này có thiết kế mô-đun và bao gồm các khối phần mềm cung cấp mô phỏng chất rắn vật lý, ghi chuyển động, xử lý âm thanh, xử lý mô hình ảo bằng các phương pháp đặc trưng cho công việc thực sự của các nhà điêu khắc và nghệ sĩ, cũng như kết hợp quay phim đời thực với hoạt hình máy tính, v.v.

Ngày nay, nó là loại đồ họa máy tính phổ biến thứ hai trong bốn loại (sau đây gọi là CG).

Ngoài ra còn có Raster và Vector. Một là để tạo ra những hình ảnh chân thực; Cái còn lại là để tạo các đối tượng hình học phức tạp; và Ba chiều - như một chế độ xem riêng biệt với các chế độ xem trước đó để tạo các hình ảnh và vật thể giống như hình ảnh ba chiều.


Fractal là nền tảng của đồ họa Fractal; nó là một hình được xây dựng bằng toán học, là một phần của bản sao chính xác của nó, lớn hơn nhiều lần so với một phần. Đổi lại, một hình lớn là một phần của một hình thậm chí còn lớn hơn.

Để hiểu rõ hơn, hãy tưởng tượng một hình tam giác gồm có ba hình tam giác, mỗi hình gồm có 3 hình tam giác nhỏ hơn, v.v. Điều này tạo ra một hình nhân lồng nhau, trong đó một bản sao được nhúng vào một bản sao lớn hơn. Nhưng điều này không có nghĩa là toàn bộ hình ảnh sẽ đơn điệu. Hơn nữa, từ những hình tam giác như vậy, bạn có thể tạo ra một bố cục phức tạp hơn nhiều, giống với một vật thể tự nhiên được tìm thấy trong cuộc sống hàng ngày. Quá trình kế thừa có thể được tiếp tục vô thời hạn mà không làm tăng kích thước tệp.

Do đó, chúng tôi không thể không nhận thấy đồ họa Fractal và Vector rất giống nhau. Cả hai đều có trong cơ sở dữ liệu tệp thông tin về công thức toán học hoặc hệ thống công thức xác định đường viền của hình và kích thước cuối cùng của nó.

Đối với những người nghiên cứu loại đồ họa máy tính này dưới góc độ khoa học, sẽ rất hữu ích nếu biết về sự tồn tại của một số khái niệm cơ bản trong lĩnh vực này:

“Tam giác Fractal”, “Hình Fractal”, “Đối tượng Fractal”, “Đường Fractal”, “Thành phần Fractal”, “Đối tượng cha”, “Đối tượng kế tiếp”.

Do sự phổ biến gần đây của định dạng CGR này, ngày nay có khá nhiều cơ sở lý thuyết về mặt thuật ngữ và thực tiễn về việc tạo ra các phần tử lớn hoặc các phần tử khác.


Bây giờ thật khó để đánh giá thấp khả năng và tầm quan trọng của fractal trong việc tạo ra hình ảnh chân thực. Đồ họa máy tính Fractal cho phép bạn tạo các tác phẩm trừu tượng với khả năng thực hiện nhiều kỹ thuật khác nhau: chiều ngang và chiều dọc, hướng chéo, đối xứng và bất đối xứng, v.v. Do lịch sử ít ỏi và mức độ phổ biến kém nên rất ít người, kể cả lập trình viên, họa sĩ hoạt hình và họa sĩ bình thường trên thế giới thực sự quen thuộc và biết cách xử lý đồ họa Fractal ở mức phù hợp. Nó vẫn chưa được thực hành ở các trường đại học. Không có một từ nào được nhắc đến về cô ấy trong chương trình giảng dạy của trường. Nhưng hiện nay đây là loại đồ họa hứa hẹn nhất, thậm chí còn hứa hẹn hơn cả ba chiều.

Bạn có thể làm được nhiều hơn với fractal. Cấu trúc của fractal tương tự như các thành phần của tinh thể hoặc bông tuyết. Do đó, ở đầu ra, chúng ta có được một số thành phần màu sắc và hình dạng chưa từng có cho đến nay. Và tất cả chỉ vì một (2-3) công thức đơn giản, bằng cách thay đổi các biến mà bạn có thể thay đổi hoàn toàn hình ảnh.

Loại đồ họa này không thể thiếu khi tạo các vật thể lặp lại phức tạp bao gồm các phần giống nhau, chẳng hạn như mây, núi, nước, v.v. Trên thực tế, nhờ fractal, người ta đã tìm ra cách để triển khai hiệu quả các vật thể phi Euclid phức tạp, hình ảnh của chúng rất giống với hình ảnh tự nhiên. Chúng ta hãy lưu ý rằng ngoài đồ họa, còn có hội họa và âm nhạc. Tất cả đều được xây dựng trên công nghệ fractal.

Không thể tranh cãi thuận lợi fractal là:

  • Kích thước tệp thực thi nhỏ với hình ảnh lớn.
  • Khả năng mở rộng vô hạn và tăng độ phức tạp của hình ảnh.
  • Không thể thiếu trong việc xây dựng các hình phức tạp bao gồm các yếu tố tương tự (mây, nước, v.v.).
  • Tương đối dễ dàng trong việc tạo ra các tác phẩm phức tạp.
  • Chủ nghĩa ảnh thực.

sai sót:

  • Mọi tính toán đều do máy tính thực hiện, hình ảnh càng phức tạp thì tải cho CPU và RAM càng lớn.
  • Thiếu khả năng làm chủ công nghệ.
  • Phân phối và hỗ trợ kém bởi các hệ thống khác nhau.
  • Một phạm vi nhỏ của việc tạo đối tượng hình ảnh.
  • Hạn chế của các số liệu toán học của mẹ.

Nói chung là vẫn như mọi khi. Mọi thứ đều có ưu điểm và nhược điểm. Đồ họa thậm chí còn thiếu sót hơn theo cả hai cách.

FSBEI HE "Viện SƯ PHẠM BANG MORDOVIAN ĐƯỢC ĐẶT THEO THEO M. E. EVSEVIEV"

Khoa Vật lý và Toán học

Khoa Tin học và Khoa học Máy tính

HÌNH ẢNH FRACTAL TRONG CÔNG CỤ PHẦN MỀM ĐẶC BIỆT

Tóm tắt đã hoàn thành

Sinh viên năm thứ 5 nhóm MDI-113 Timoshina Svetlana

Hướng đào tạo 050100 “Giáo dục sư phạm”.

Hồ sơ đào tạo “Toán học” và “Tin học”.

Bản tóm tắt đã được kiểm tra bởi ______________________ T. V. Kormilitsina

Saransk 2017

Nội dung

Lời giới thiệu…………………………………….………….31.…......………..…….3-5

2. Phần mềm đặc biệt..............................…………..….…5-13

Kết luận……………………….………….13

Danh sách tài liệu tham khảo………………………..14

Giới thiệu

Ngày nay, đồ họa Fractal là loại đồ họa phổ biến thứ hai trong bốn loại đồ họa máy tính.

Ngoài ra còn có . Một là để tạo ra những hình ảnh chân thực; Cái còn lại là để tạo các đối tượng hình học phức tạp; Và – như một chế độ xem riêng biệt với các chế độ xem trước đó để tạo các hình ảnh và vật thể giống hình ảnh ba chiều.

Hình ảnh fractal được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ việc tạo họa tiết và hình nền thông thường đến phong cảnh tuyệt vời cho trò chơi máy tính hoặc minh họa sách. Hình ảnh fractal được tạo ra thông qua các phép tính toán học. Yếu tố cơ bản của đồ họa fractal chính là công thức toán học - điều này có nghĩa là không có đối tượng nào được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính và hình ảnh chỉ được xây dựng trên cơ sở các phương trình.
Bí ẩn của hình ảnh fractal không chỉ nằm ở một công thức thành công. Các khía cạnh khác cũng không kém phần quan trọng. Ví dụ: cài đặt màu sắc, bộ lọc chuyển đổi, v.v.
Có nhiều chương trình để tạo hình ảnh fractal. Các chương trình này có ưu điểm và nhược điểm của chúng. Với sự phát triển của công nghệ, số lượng chương trình tăng lên, chất lượng và khả năng của chúng được cải thiện.

    Thông tin chung về fractal và đồ họa fractal

Fractal (tiếng Latin fractus - bị nghiền nát) là một thuật ngữ chỉ một hình hình học có tính chất tự đồng dạng, nghĩa là bao gồm nhiều phần, mỗi phần giống với toàn bộ hình.

Đồ họa fractal, giống như đồ họa vector, dựa trên các phép tính toán học. Các yếu tố cơ bản của đồ họa fractal là bản thân các công thức toán học mô tả các đường và bề mặt tuyến tính, nghĩa là không có đối tượng nào được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính và hình ảnh được xây dựng độc quyền theo các công thức (phương trình).

Nhiều vật thể trong tự nhiên có đặc tính fractal, ví dụ như bờ biển, đám mây, tán cây, hệ tuần hoàn và hệ thống phế nang của con người hoặc động vật.

Fractals, đặc biệt là trên mặt phẳng, rất phổ biến do sự kết hợp giữa vẻ đẹp với sự dễ dàng xây dựng bằng máy tính.

Một trong những người đầu tiên mô tả fractal động vào năm 1918 là nhà toán học người Pháp Gaston Julia trong tác phẩm dày vài trăm trang của ông. Nhưng nó thiếu bất kỳ hình ảnh nào. Máy tính đã hiển thị được những gì không thể mô tả được vào thời của Julia. Những ví dụ đầu tiên về các tập hợp tự tương tự với các tính chất khác thường xuất hiện vào thế kỷ 19 (ví dụ: tập Cantor). Thuật ngữ "fractal" được Benoit Mandelbrot đặt ra vào năm 1975 và trở nên phổ biến rộng rãi khi xuất bản cuốn sách "Hình học Fractal của tự nhiên" vào năm 1977.

Một nửa fractal khác với các fractal trừu tượng lý tưởng ở chỗ sự lặp lại của cấu trúc không đầy đủ và không chính xác. Hầu hết các cấu trúc giống fractal được tìm thấy trong tự nhiên (ranh giới đám mây, bờ biển, cây cối, lá cây, san hô, ...) đều là bán fractal, vì ở một quy mô nhỏ nào đó, cấu trúc fractal biến mất. Các cấu trúc tự nhiên không thể là các phân dạng hoàn hảo do những hạn chế do kích thước của tế bào sống và cuối cùng là do kích thước của các phân tử gây ra.

Đa fractal là một fractal phức tạp có thể được xác định không phải bằng một thuật toán xây dựng duy nhất mà bằng một số thuật toán liên tiếp. Mỗi người trong số họ tạo ra một mô hình có kích thước fractal riêng. Để mô tả một đa hình, một phổ đa hình được tính toán, bao gồm một số kích thước fractal vốn có trong các phần tử của một đa hình nhất định.

Prefractal là một hình hình học tự tương tự, mỗi đoạn của nó được lặp lại ở dạng đơn giản hóa khi tỷ lệ được giảm đi một số lần hữu hạn. Số mức tỷ lệ mà tại đó sự tương đồng được quan sát được gọi là thứ tự tiền phân đoạn. Khi bậc có xu hướng tiến tới vô cùng, prefractal chuyển thành fractal.

Phương pháp fractal đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực đồ họa máy tính, khoa học và nghệ thuật.

Đồ họa fractal, nói đúng ra, không phải là một phần của đồ họa vector, vì chúng cũng sử dụng rộng rãi các đối tượng raster. Fractals được sử dụng rộng rãi trong các trình soạn thảo raster (AdobePhotoshop) và vector (CorelDraw) cũng như đồ họa ba chiều (CorelBryce).

  1. Phần mềm đặc biệt

1. Chương trìnhTrình chỉnh sửa Fractal

Tốt nhất bạn nên bắt đầu làm quen với những kiến ​​thức cơ bản về đồ họa fractal bằng góiFractalBiên tập viên. Trình chỉnh sửa này (được tạo bởi Fractal Design và hiện thuộc sở hữu của Corel) về cơ bản là phiên bản rút gọn của chương trình Painter. Đây là một chương trình tuyệt vời để dạy không chỉ đồ họa máy tính mà đặc biệt là những kiến ​​​​thức cơ bản về vẽ. Lượng bộ nhớ cần thiết nhỏ (chỉ cần 10 MB để cài đặt), cũng như giao diện đơn giản mà ngay cả trẻ em cũng có thể truy cập được, cho phép sử dụng nó trong chương trình giảng dạy ở trường.

2. Chương trình Ultra Fractal


Ultra Fractal là giải pháp tốt nhất để tạo ra các hình ảnh fractal độc đáo, chất lượng chuyên nghiệp. Gói này có giao diện thân thiện với người dùng, với nhiều yếu tố gợi nhớ đến Photoshop (giúp bạn dễ học) và đi kèm với tài liệu minh họa cực kỳ chi tiết và đẹp mắt cùng một loạt hướng dẫn hướng dẫn bạn từng bước qua mọi khía cạnh. về làm việc với chương trình. Ultra Fractal được trình bày trong hai phiên bản: Phiên bản tiêu chuẩn và Phiên bản hoạt hình mở rộng, các khả năng của nó cho phép bạn không chỉ tạo hình ảnh fractal mà còn tạo hoạt ảnh dựa trên chúng. Các hình ảnh được tạo có thể được hiển thị ở độ phân giải cao, phù hợp để in và được lưu ở định dạng riêng của chương trình hoặc ở một trong các định dạng fractal phổ biến. Hình ảnh được hiển thị cũng có thể được xuất sang một trong các định dạng đồ họa raster (jpg, bmp, png và psd) và hoạt ảnh fractal hoàn chỉnh sang định dạng AVI.
Nguyên tắc tạo hình ảnh fractal khá truyền thống, điều đơn giản nhất là sử dụng một trong các công thức được cung cấp (trình duyệt tích hợp sẽ giúp bạn điều hướng hình thức có thể có của hình ảnh được tạo bởi công thức đã chọn), sau đó chỉnh sửa các tham số công thức theo cách mong muốn. Và nếu thử nghiệm không thành công thì các bước cuối cùng có thể dễ dàng được hoàn tác. Có rất nhiều công thức fractal được tạo sẵn và số lượng của chúng có thể được mở rộng bằng cách tải xuống các công thức mới từ trang web của chương trình. Người dùng có kinh nghiệm có thể thử vận ​​​​may trong việc tạo công thức của riêng mình, gói này có trình soạn thảo văn bản tích hợp hỗ trợ các mẫu cơ bản dựa trên cấu trúc tiêu chuẩn của ngôn ngữ lập trình công thức fractal.
Tuy nhiên, bạn không nên nghĩ rằng bí ẩn của hình ảnh fractal chỉ nằm ở công thức thành công. Các khía cạnh khác cũng không kém phần quan trọng. Ví dụ: cài đặt màu, bao gồm việc chọn tùy chọn màu và tinh chỉnh các tham số của nó. Việc điều chỉnh màu sắc được thực hiện ở cấp độ các gói đồ họa uy tín, ví dụ: độ dốc có thể được tạo và cấu hình độc lập, điều chỉnh nhiều tham số, bao gồm cả độ mờ và lưu chúng vào thư viện để sử dụng sau. Việc sử dụng các lớp với khả năng thay đổi chế độ hòa trộn của chúng và điều chỉnh độ trong suốt cho phép bạn tạo ra các fractal nhiều lớp và bằng cách xếp chồng các hình ảnh fractal lên nhau sẽ đạt được các hiệu ứng độc đáo. Sử dụng mặt nạ độ mờ đảm bảo rằng một số vùng nhất định của hình ảnh bị che. Bộ lọc chuyển đổi cho phép bạn thực hiện nhiều chuyển đổi khác nhau trên các mảnh hình ảnh đã chọn: chia tỷ lệ, phản chiếu, cắt theo mẫu, làm biến dạng thông qua xoáy hoặc gợn sóng, nhân lên như kính vạn hoa, v.v.

3. Chương trình Fractal Explorer


Fractal Explorer là một chương trình tạo hình ảnh fractal và điểm thu hút ba chiều với khả năng khá ấn tượng. Nó có giao diện cổ điển trực quan có thể được tùy chỉnh theo sở thích của người dùng và hỗ trợ các định dạng hình ảnh fractal tiêu chuẩn (*.frp; *.frs; *.fri; *.fro; *.fr3, *.fr4, v.v.) . Hình ảnh fractal đã hoàn thành được lưu ở định dạng *.frs và có thể được xuất sang một trong các định dạng đồ họa raster (jpg, bmp, png và gif) và hoạt ảnh fractal được lưu dưới dạng tệp AVI.
Có thể tạo fractal theo hai cách - dựa trên các hình ảnh fractal cơ bản được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức được cung cấp hoặc từ đầu. Tùy chọn đầu tiên giúp bạn có thể thu được kết quả thú vị tương đối đơn giản, vì việc chọn công thức thích hợp không khó, đặc biệt vì trình duyệt tệp thuận tiện sẽ cho phép bạn đánh giá chất lượng của fractal từ cơ sở dữ liệu ngay cả trước khi tạo hình ảnh fractal dựa trên nó . Hình ảnh fractal thu được theo cách này có thể thay đổi bảng màu, thêm hình nền vào đó và xác định chế độ trộn của lớp fractal và lớp nền, cũng như mức độ trong suốt của lớp fractal. Sau đó, có thể chuyển đổi hình ảnh fractal, chia tỷ lệ nếu cần, xác định kích thước của hình ảnh và hiển thị nó. Tạo một hình ảnh từ đầu khó khăn hơn nhiều và liên quan đến việc chọn một trong hai phương pháp. Bạn có thể chọn loại fractal từ gần 150 tùy chọn. Sau đó chuyển sang thay đổi các tham số khác nhau: thiết lập bảng màu, nền, v.v. Hoặc bạn có thể thử tạo công thức tùy chỉnh của riêng mình bằng trình biên dịch tích hợp sẵn. Trước khi hiển thị hình ảnh hoàn thiện, có thể cần phải thực hiện hiệu chỉnh cân bằng màu tự động và/hoặc hiệu chỉnh thủ công độ sáng, độ tương phản và độ bão hòa.
4. Chương trình ChaosPro


ChaosPro là một trong những trình tạo hình ảnh fractal miễn phí tốt nhất, nhờ đó bạn có thể dễ dàng tạo ra vô số hình ảnh fractal đẹp đến kinh ngạc. Chương trình có giao diện rất đơn giản và thân thiện với người dùng, cùng với khả năng tự động tạo các fractal, nó cho phép bạn kiểm soát hoàn toàn quá trình này bằng cách thay đổi một số lượng lớn cài đặt (số lần lặp, bảng màu, mức độ mờ, hình chiếu tính năng, kích thước hình ảnh, v.v.). Ngoài ra, hình ảnh được tạo có thể có nhiều lớp (có thể kiểm soát chế độ hòa trộn lớp) và có thể áp dụng toàn bộ loạt bộ lọc cho chúng. Tất cả những thay đổi áp đặt lên các fractal đang được xây dựng sẽ được phản ánh ngay lập tức trong cửa sổ xem. Các fractal đã tạo có thể được lưu ở định dạng riêng của chương trình hoặc ở một trong các loại fractal chính nhờ sự hiện diện của trình biên dịch tích hợp. Hoặc xuất sang hình ảnh raster hoặc đối tượng 3D (nếu trước đó đã thu được biểu diễn 3D của fractal).
Danh sách các tính năng của chương trình:

điều chỉnh màu sắc chính xác, đảm bảo chuyển tiếp độ dốc mượt mà của các màu với nhau;

xây dựng đồng thời một số fractal trong các cửa sổ khác nhau;

khả năng tạo hoạt ảnh dựa trên hình ảnh fractal với định nghĩa về các giai đoạn hoạt ảnh chính, có thể khác nhau ở bất kỳ tham số biến nào: góc quay và xoay, tham số màu sắc, v.v.;

tạo ra các biểu diễn ba chiều của fractals dựa trên hình ảnh hai chiều thông thường;

hỗ trợ nhiều định dạng hình ảnh fractal tiêu chuẩn, hình ảnh có thể được nhập và chỉnh sửa trong môi trường ChaosPro.

5. Chương trình Apophys


Apophys là một công cụ thú vị để tạo fractal dựa trên các công thức fractal cơ bản. Fractals được tạo bằng các công thức làm sẵn có thể được chỉnh sửa và thay đổi ngoài khả năng nhận dạng bằng cách điều chỉnh các tham số khác nhau. Vì vậy, ví dụ: trong trình chỉnh sửa, bạn có thể biến đổi chúng bằng cách thay đổi các hình tam giác bên dưới các fractal hoặc bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi mà bạn thích: biến dạng giống như sóng, phối cảnh, làm mờ Gaussian, v.v. Sau đó, bạn nên thử nghiệm với màu sắc, chọn một trong các tùy chọn tô màu gradient cơ bản. Danh sách các màu tô tích hợp khá ấn tượng và nếu cần, bạn có thể tự động chọn màu tô phù hợp nhất cho hình ảnh raster hiện có, điều này rất quan trọng, chẳng hạn như khi tạo nền fractal theo cùng kiểu với các hình ảnh khác của một dự án nhất định. Nếu cần, có thể dễ dàng điều chỉnh gamma và độ sáng, thay đổi nền, chia tỷ lệ đối tượng fractal và làm rõ vị trí của nó trên nền. Bạn cũng có thể tạo ra nhiều đột biến khác nhau theo phong cách mong muốn để tạo ra kết quả. Sau khi hoàn thành, bạn nên đặt kích thước của hình ảnh fractal cuối cùng và viết phiên bản trực quan hóa của nó dưới dạng tệp đồ họa (jpg, bmp, png).

6. Chương trình huyền bí


Mystica là một trình tạo phổ biến các hình ảnh và kết cấu 2D và 3D tuyệt vời độc đáo mà sau này có thể được sử dụng trong nhiều dự án khác nhau, chẳng hạn như làm kết cấu thực cho các trang Web, hình nền máy tính để bàn hoặc hình nền tuyệt vời có thể được sử dụng, chẳng hạn như trong thiết kế phòng trẻ em.sách. Gói này có giao diện không chuẩn và khá phức tạp và có thể hoạt động ở hai chế độ: Mẫu (dành cho người mới bắt đầu và chứa tối thiểu các cài đặt) và Chuyên gia (dành cho chuyên gia). Hình ảnh được tạo có thể có kích thước bất kỳ và sau đó được xuất sang các định dạng đồ họa 2D phổ biến. Trực tiếp từ cửa sổ chương trình, bạn có thể gửi chúng qua email, xuất bản chúng trong thư viện Html hoặc tạo video dựa trên chúng ở định dạng divx, mpeg4, v.v.. Công cụ 3D tích hợp của chương trình có thể được sử dụng để tạo cảnh 3D dành cho các trò chơi trên máy tính, chẳng hạn như hình nền và phong cảnh tuyệt vời .
Việc tạo hình ảnh được thực hiện trên cơ sở các công thức fractal được nhúng trong gói và hệ thống chuẩn bị hình ảnh đa cấp và bao gồm các cài đặt màu sắc rất chi tiết, khả năng biến đổi đơn giản các phần tử được tạo và nhiều biến đổi khác. Chúng bao gồm áp dụng các bộ lọc, thay đổi ánh sáng, điều chỉnh màu sắc, độ sáng và độ tương phản, thay đổi vật liệu được sử dụng trong quá trình tạo, thêm các cấu trúc “hỗn loạn” vào hình ảnh, v.v.

Phần kết luận

Loại đồ họa này không thể thiếu khi tạo các vật thể lặp lại phức tạp bao gồm các phần giống nhau, chẳng hạn như mây, núi, nước, v.v. Trên thực tế, nhờ fractal, người ta đã tìm ra cách để triển khai hiệu quả các vật thể phi Euclid phức tạp, hình ảnh của chúng rất giống với hình ảnh tự nhiên. Chúng ta hãy lưu ý rằng ngoài đồ họa, còn có hội họa và âm nhạc. Tất cả đều được xây dựng trên công nghệ fractal.

Những lợi thế không thể chối cãi của fractal là:

    Kích thước tệp thực thi nhỏ với hình ảnh lớn.

    Khả năng mở rộng vô hạn và tăng độ phức tạp của hình ảnh.

    Không thể thiếu trong việc xây dựng các hình phức tạp bao gồm các yếu tố tương tự (mây, nước, v.v.).

    Tương đối dễ dàng trong việc tạo ra các tác phẩm phức tạp.

    Chủ nghĩa ảnh thực.

Sai sót:

    Mọi tính toán đều do máy tính thực hiện, hình ảnh càng phức tạp thì tải cho CPU và RAM càng lớn.

    Thiếu khả năng làm chủ công nghệ.

    Phân phối và hỗ trợ kém bởi các hệ thống khác nhau.

    Một phạm vi nhỏ của việc tạo đối tượng hình ảnh.

    Hạn chế của các số liệu toán học của mẹ.

Nói chung là vẫn như mọi khi. Mọi thứ đều có ưu điểm và nhược điểm. Đồ họa thậm chí còn thiếu sót hơn theo cả hai cách.

Văn học

    Mandelbrot, B. Hình học fractal của tự nhiên / B. Mandelbort.−

M.: "Viện nghiên cứu máy tính", 2002.

    Feder, E. Fractals / E. Feder. − M: “Mir”, 1991.

Đồ họa phân dạng

Khái niệm về fractal và lịch sử xuất hiện của đồ họa fractal. Khái niệm về kích thước và tính toán của nó. Fractal hình học. Fractal đại số. Hệ thống chức năng lặp. Fractal ngẫu nhiên. Fractal và sự hỗn loạn.

Khái niệm về fractal và lịch sử xuất hiện của đồ họa fractal

Có lẽ bạn đã từng nhìn thấy những bức tranh khá khéo léo, không rõ nội dung được miêu tả là gì, nhưng sự khác thường về hình thức của chúng vẫn khiến chúng mê hoặc và thu hút sự chú ý. Theo quy luật, đây là những dạng khéo léo dường như không phù hợp với bất kỳ mô tả toán học nào. Ví dụ, bạn đã nhìn thấy các mẫu trên kính sau khi sương giá hoặc, ví dụ, các vết mờ thông minh được để lại trên một tờ giấy bằng bút mực, vì vậy những thứ tương tự có thể được viết ra dưới dạng một loại thuật toán nào đó, và do đó, có thể có thể được giải thích một cách dễ dàng trên máy tính. Những tập hợp như vậy được gọi là phân dạng. Fractals không giống với các hình mà chúng ta quen thuộc, được biết đến từ hình học, và chúng được xây dựng theo các thuật toán nhất định và các thuật toán này có thể được mô tả trên màn hình bằng máy tính. Nói chung, nếu chúng ta đơn giản hóa mọi thứ một chút, thì fractal là một loại phép biến đổi được áp dụng nhiều lần cho hình ban đầu.

Những ý tưởng đầu tiên về hình học fractal nảy sinh vào thế kỷ 19. ca trưởng bằng cách sử dụng thủ tục đệ quy (lặp lại) đơn giản, biến một đường thẳng thành một tập hợp các điểm không được kết nối (cái gọi là Bụi Cantor). Anh ấy sẽ lấy một dòng và loại bỏ phần trung tâm thứ ba rồi lặp lại tương tự với các phần còn lại. đậu phộngđã vẽ một loại đường đặc biệt (xem hình). Để vẽ nó, Peano đã sử dụng thuật toán sau.

Bước đầu tiên, anh lấy một đoạn thẳng và thay nó bằng 9 đoạn ngắn hơn 3 lần so với độ dài của đoạn thẳng ban đầu (Phần 1 và 2 của Hình 1). Sau đó, anh ấy làm tương tự với từng đoạn của đường kết quả. Và cứ thế đến vô cùng. Tính độc đáo của nó là nó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng. Người ta đã chứng minh rằng với mọi điểm trên mặt phẳng đều có thể tìm được một điểm thuộc đường thẳng đậu phộng. Đường cong đậu phộng Và Bụi Cantorđã vượt xa các đối tượng hình học thông thường. Họ không có một kích thước rõ ràng. Bụi Cantor dường như được xây dựng trên cơ sở đường thẳng một chiều, nhưng bao gồm các điểm và Đường cong đậu phộngđược xây dựng trên cơ sở đường một chiều và kết quả là một mặt phẳng. Trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, xuất hiện các bài toán mà cách giải của chúng dẫn đến những kết quả kỳ lạ tương tự như những gì được mô tả (chuyển động Brown, giá cổ phiếu).

Cho đến thế kỷ 20, dữ liệu về những vật thể kỳ lạ như vậy vẫn được tích lũy mà không cần nỗ lực hệ thống hóa chúng. Đó là cho đến khi tôi tiếp nhận chúng Benoit Mandelbrot– cha đẻ của hình học fractal hiện đại và từ ngữ phân dạng. Khi làm nhà phân tích toán học tại IBM, ông đã nghiên cứu tiếng ồn trong các mạch điện tử không thể mô tả được bằng thống kê. Dần dần so sánh các sự kiện, ông đã khám phá ra một hướng đi mới trong toán học - hình học fractal.

Chính Mandelbrot đã đặt ra từ này phân dạng từ tiếng Latin fractus, có nghĩa là bị gãy (chia thành nhiều phần). Và một trong những định nghĩa của fractal là một hình hình học bao gồm các phần và có thể được chia thành các phần, mỗi phần sẽ đại diện cho một bản sao nhỏ hơn của tổng thể (ít nhất là xấp xỉ).

Càng sớm càng mandelbrot phát hiện ra khái niệm phân dạng, hóa ra chúng ta thực sự bị bao quanh bởi họ. Các thỏi kim loại và đá có tính chất fractal, sự sắp xếp của cành, kiểu lá và hệ thống mao mạch của thực vật là fractal; hệ tuần hoàn, thần kinh, bạch huyết ở cơ thể động vật, lưu vực sông fractal, bề mặt mây, bờ biển, địa hình đồi núi...

Để hình dung rõ hơn về fractal, chúng ta hãy xem xét một ví dụ được đưa ra trong cuốn sách “Hình học Fractal của tự nhiên” của B. Mandelbrot, cuốn sách đã trở thành kinh điển - “Chiều dài bờ biển nước Anh là bao nhiêu?” Câu trả lời cho câu hỏi này không đơn giản như nó có vẻ. Tất cả phụ thuộc vào độ dài của công cụ chúng ta sẽ sử dụng. Bằng cách đo bờ bằng thước km, chúng ta sẽ có được chiều dài nào đó. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ bỏ lỡ nhiều vịnh và bán đảo nhỏ có kích thước nhỏ hơn nhiều so với tuyến của chúng tôi. Bằng cách giảm kích thước của thước xuống, chẳng hạn như 1 mét, chúng ta sẽ tính đến các chi tiết này của cảnh quan và theo đó, chiều dài của bờ biển sẽ trở nên lớn hơn. Chúng ta hãy đi xa hơn và đo chiều dài bờ bằng thước milimet, chúng ta sẽ tính đến những chi tiết lớn hơn milimet, chiều dài sẽ còn lớn hơn. Kết quả là, câu trả lời cho một câu hỏi tưởng chừng đơn giản như vậy có thể khiến bất cứ ai bối rối - chiều dài bờ biển nước Anh là vô tận.

Tính chất chính của fractal là sự tự tương tự. Bất kỳ mảnh vi mô nào của fractal bằng cách này hay cách khác đều tái tạo cấu trúc toàn cầu của nó. Trong trường hợp đơn giản nhất, một phần của fractal chỉ đơn giản là một fractal nhỏ hơn.

Do đó, công thức cơ bản để xây dựng fractal: lấy một họa tiết đơn giản và lặp lại nó, liên tục giảm kích thước. Cuối cùng, một cấu trúc sẽ xuất hiện để tái tạo mô típ này trên mọi quy mô.

Chúng tôi lấy một đoạn và bẻ một phần ba ở giữa của nó một góc 60 độ. Sau đó, chúng tôi lặp lại thao tác này với từng phần của đường gãy thu được - v.v. Kết quả là chúng ta có được fractal đơn giản nhất - đường cong ba chiều, được phát hiện vào năm 1904 bởi nhà toán học Helga von Koch.

Nếu ở mỗi bước, bạn không chỉ giảm mô típ chính mà còn dịch chuyển và xoay nó, bạn có thể có được các hình dạng trông thú vị và chân thực hơn, chẳng hạn như một chiếc lá dương xỉ hoặc thậm chí toàn bộ bụi cây của chúng. Hoặc bạn có thể xây dựng một địa hình fractal rất đáng tin cậy và bao phủ nó bằng một khu rừng rất đẹp. Ví dụ: trong 3D Studio Max, thuật toán fractal được sử dụng để tạo cây. Và điều này cũng không ngoại lệ - hầu hết các kết cấu địa hình trong trò chơi máy tính hiện đại đều đại diện cho fractals. Những ngọn núi, khu rừng và những đám mây trong ảnh là những hình ảnh phân dạng.

Các tệp hình ảnh Fractal có phần mở rộng là 5. Thông thường, tệp ở định dạng năm sẽ nhỏ hơn một chút so với tệp ở định dạng jpg, nhưng điều ngược lại cũng có thể xảy ra. Điều thú vị nhất bắt đầu nếu bạn nhìn vào những bức ảnh với độ phóng đại ngày càng tăng. Các tệp ở định dạng jpg gần như ngay lập tức thể hiện tính chất rời rạc của chúng - bậc thang tục ngữ xuất hiện. Nhưng các tệp thứ năm, giống như các fractal phù hợp, với độ phóng đại ngày càng tăng cho thấy mức độ chi tiết mới trong cấu trúc, duy trì tính thẩm mỹ của hình ảnh.

Khái niệm kích thước và cách tính kích thước

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta liên tục gặp phải các chiều không gian. Chúng tôi ước tính chiều dài của con đường, tìm hiểu diện tích của căn hộ, v.v. Khái niệm này khá trực quan và có vẻ như không cần làm rõ. Đường này có thứ nguyên 1. Điều này có nghĩa là bằng cách chọn điểm tham chiếu, chúng ta có thể xác định bất kỳ điểm nào trên đường này bằng 1 số - dương hoặc âm. Hơn nữa, điều này áp dụng cho tất cả các đường - hình tròn, hình vuông, hình parabol, v.v.

Thứ nguyên 2 có nghĩa là chúng ta có thể xác định duy nhất bất kỳ điểm nào bằng hai số. Đừng nghĩ rằng hai chiều có nghĩa là phẳng. Bề mặt của hình cầu cũng có hai chiều (nó có thể được xác định bằng hai giá trị - các góc như chiều rộng và kinh độ).

Nếu chúng ta nhìn nó từ quan điểm toán học, thì kích thước được xác định như sau: đối với các vật thể một chiều, việc nhân đôi kích thước tuyến tính của chúng sẽ dẫn đến tăng kích thước (trong trường hợp này là chiều dài) theo hệ số hai (2 ^1).

Đối với các đối tượng hai chiều, việc tăng gấp đôi kích thước tuyến tính sẽ dẫn đến tăng kích thước (ví dụ: diện tích hình chữ nhật) lên bốn lần (2^2).

Đối với các vật thể 3 chiều, việc tăng gấp đôi kích thước tuyến tính sẽ dẫn đến thể tích tăng gấp tám lần (2^3), v.v.

Hãy tính kích thước của đường cong Peano. Đường thẳng ban đầu gồm ba đoạn có chiều dài X được thay thế bằng 9 đoạn ngắn hơn ba lần. Do đó, khi đoạn tối thiểu tăng lên 3 lần thì độ dài của toàn bộ đường thẳng tăng lên 9 lần và D=log(9)/log(3)=2 là vật thể hai chiều.

Khi kích thước của một hình thu được từ một số đối tượng (đoạn) đơn giản lớn hơn kích thước của các đối tượng này, chúng ta đang xử lý một fractal.

Fractal hình học

Đây là nơi lịch sử của fractal bắt đầu. Loại fractal này có được thông qua các cấu trúc hình học đơn giản. Thông thường, khi xây dựng các fractal này, họ làm như sau: họ lấy một “hạt giống” - một tiên đề - một tập hợp các phân đoạn trên cơ sở đó fractal sẽ được xây dựng. Tiếp theo, một bộ quy tắc được áp dụng cho “hạt giống” này, biến nó thành một loại hình hình học nào đó. Tiếp theo, bộ quy tắc tương tự được áp dụng lại cho từng phần của hình này. Với mỗi bước, hình sẽ ngày càng phức tạp hơn và nếu chúng ta thực hiện vô số phép biến đổi, chúng ta sẽ nhận được fractal hình học.

Đã xem xét trước đây Đường cong đậu phộng là một fractal hình học. Trong bộ lễ phục. Dưới đây là các ví dụ khác về fractal hình học (từ trái sang phải Bông tuyết của Koch, Liszt, Tam giác Sierpinski).


Cơm. Bông tuyết Koch


Cơm. Tờ giấy


Cơm. Tam giác Sierpinki

Trong số các fractal hình học này, một fractal rất thú vị và khá nổi tiếng là - Bông tuyết của Koch. Nó được xây dựng trên cơ sở của một tam giác đều. Mỗi dòng được thay thế bằng 4 dòng, mỗi dòng có độ dài bằng 1/3 chiều dài ban đầu. Do đó, với mỗi lần lặp, chiều dài của đường cong tăng thêm một phần ba. Và nếu chúng ta thực hiện vô số lần lặp, chúng ta sẽ có được một fractal - một bông tuyết Koch có chiều dài vô hạn. Hóa ra đường cong vô hạn của chúng ta bao phủ một diện tích giới hạn.

Kích thước của bông tuyết Koch (khi bông tuyết tăng gấp 3 lần thì chiều dài của nó tăng gấp 4 lần) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Cái gọi là Hệ thống L. Bản chất của các hệ thống này là có một bộ ký hiệu hệ thống nhất định, mỗi ký hiệu biểu thị một hành động cụ thể và một bộ quy tắc chuyển đổi ký hiệu.

Fractal đại số

Nhóm fractal lớn thứ hai là đại số. Chúng có tên như vậy vì chúng được xây dựng trên cơ sở các công thức đại số, đôi khi rất đơn giản. Có một số phương pháp để thu được fractal đại số. Một trong những phương pháp này là phép tính lặp lại (lặp đi lặp lại) của hàm Zn+1=f(Zn), trong đó Z là số phức và f là một hàm nhất định. Việc tính toán hàm này tiếp tục cho đến khi đáp ứng một điều kiện nhất định. Và khi điều kiện này được đáp ứng, một dấu chấm sẽ hiển thị trên màn hình. Trong trường hợp này, các giá trị hàm cho các điểm khác nhau của mặt phẳng phức có thể có hành vi khác nhau:

    có xu hướng tiến tới vô cùng theo thời gian.

    có xu hướng về 0

    nhận một số giá trị cố định và không vượt quá chúng.

    hành vi hỗn loạn, không có xu hướng.

Để minh họa các fractal đại số, hãy chuyển sang các tác phẩm kinh điển - bộ Mandelbrot.

Cơm. bộ Mandelbrot

Để xây dựng nó, chúng ta cần số phức. Số phức là một số gồm hai phần - thực và ảo và được ký hiệu là a + bi. Phần thực a là một số bình thường trong biểu diễn của chúng ta và bi là phần ảo. i được gọi là đơn vị ảo vì nếu bình phương i, chúng ta nhận được -1.

Số phức có thể được cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và căn bậc ba, nhưng chúng không thể so sánh được. Một số phức có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm trên mặt phẳng có tọa độ X là phần thực a và Y là hệ số của phần ảo b.

Về mặt chức năng, tập hợp Mandelbrot được định nghĩa là Zn+1=Zn*Zn+C. Để xây dựng tập Mandelbrot, chúng ta sẽ sử dụng thuật toán BASIC.

Với a=–2 đến 2 " với mọi số thực a từ –2 đến 2

Với b=–2 đến 2 " cho mọi số ảo b từ –2 đến 2

“Thuộc tập Mandelbrot

"Lặp lại 255 lần (đối với chế độ 256 màu)

Đối với lần lặp = 1 đến 255

"Đã kiểm tra - nó không thuộc về

Nếu abs(Zn)>2 thì Lake=False: Thoát

“Chúng tôi đã vẽ một chấm đen thuộc về “hồ” của Mandelbrot.

Nếu Lake=True thì PutPixel(a,b,BLACK)

"Hãy vẽ một điểm không thuộc tập hợp hoặc nằm trên đường biên.

Khác PutPixel(a, b, iteration)

Bây giờ tôi sẽ mô tả chương trình bằng lời. Đối với tất cả các điểm trên mặt phẳng phức trong khoảng từ –2+2i đến 2+2i, chúng ta thực hiện Zn=Z0*Z0+C một số lần đủ lớn, mỗi lần kiểm tra giá trị tuyệt đối của Zn. Nếu giá trị này lớn hơn 2, chúng ta vẽ một điểm có màu bằng số lần lặp mà giá trị tuyệt đối vượt quá 2, nếu không chúng ta vẽ một điểm đen. Toàn bộ bộ Mandelbrot đang tràn ngập vinh quang trước mắt chúng ta.

Màu đen ở giữa cho thấy tại những điểm này hàm số có xu hướng bằng 0 - đây là bộ Mandelbrot. Bên ngoài tập hợp này, hàm số tiến tới vô cùng. Và điều thú vị nhất là ranh giới của tập hợp. Chúng là fractal. Tại ranh giới của tập hợp này, hàm hoạt động không thể đoán trước – hỗn loạn.

Bằng cách thay đổi chức năng và các điều kiện để thoát khỏi chu kỳ, bạn có thể nhận được các fractal khác. Ví dụ: thay biểu thức С=a+bi bằng biểu thức Z0=a+bi và gán các giá trị tùy ý cho С chúng ta nhận được bộ Julia, cũng là một fractal đẹp.

Tính tự tương tự cũng xuất hiện ở tập Mandelbrot.

Fractal ngẫu nhiên

Một đại diện điển hình của lớp fractal này " Huyết tương".

Cơm. Huyết tương

Để xây dựng nó, hãy lấy một hình chữ nhật và xác định màu cho mỗi góc của nó. Tiếp theo, chúng ta tìm điểm trung tâm của hình chữ nhật và tô nó bằng màu bằng trung bình số học của các màu ở các góc của hình chữ nhật cộng với một số ngẫu nhiên. Số ngẫu nhiên càng lớn thì hình vẽ sẽ càng “rách rưới”. Ví dụ, nếu chúng ta nói rằng màu của một điểm là độ cao so với mực nước biển, thì thay vì plasma, chúng ta sẽ có một dãy núi. Theo nguyên tắc này, các ngọn núi được mô hình hóa trong hầu hết các chương trình. Sử dụng một thuật toán tương tự như plasma, một bản đồ chiều cao được xây dựng, nhiều bộ lọc khác nhau được áp dụng cho nó và một kết cấu được áp dụng.

Hệ thống chức năng lặp (IFS)

Nhóm fractal này đã trở nên phổ biến nhờ các công trình Michael Barnsley từ Georgia Tech. Anh ấy đã cố gắng mã hóa hình ảnh bằng cách sử dụng fractals. Sau khi được cấp bằng sáng chế cho một số ý tưởng mã hóa hình ảnh bằng cách sử dụng fractal, ông đã thành lập công ty Iterated Systems, công ty này một thời gian sau đã phát hành sản phẩm đầu tiên, Images Incorporated, trong đó hình ảnh có thể được chuyển đổi từ dạng raster sang fractal FIF.

Điều này làm cho nó có thể đạt được tỷ lệ nén cao. Ở mức nén thấp, chất lượng của ảnh kém hơn chất lượng của định dạng JPEG, nhưng ở mức nén cao, ảnh lại có chất lượng cao hơn. Trong mọi trường hợp, định dạng này không được ưa chuộng nhưng công việc cải thiện nó vẫn đang được tiến hành. Xét cho cùng, định dạng này không phụ thuộc vào độ phân giải của hình ảnh. Vì hình ảnh được mã hóa bằng công thức nên nó có thể được phóng to đến bất kỳ kích thước nào và các chi tiết mới sẽ xuất hiện chứ không chỉ kích thước pixel sẽ tăng lên.

Nếu trong hệ thống L (các fractal đại số), chúng ta đang nói về việc thay thế một đường thẳng bằng một đa giác nhất định, thì trong IFS, trong mỗi lần lặp, chúng ta thay thế một đa giác nhất định (hình vuông, hình tam giác, hình tròn) bằng một tập hợp đa giác, mỗi đa giác đó là chịu sự biến đổi affine. Với các phép biến đổi affine, ảnh gốc thay đổi tỷ lệ, được dịch song song dọc theo từng trục và quay theo một góc nhất định.

Fractal và sự hỗn loạn

Khái niệm fractal gắn bó chặt chẽ với khái niệm hỗn loạn. Sự hỗn loạn là thiếu khả năng dự đoán. Sự hỗn loạn xảy ra trong các hệ thống động khi, đối với hai giá trị ban đầu rất gần nhau, hệ thống hoạt động hoàn toàn khác nhau. Một ví dụ về hệ động lực hỗn loạn là thời tiết (các nhà khí tượng học nói đùa: “Một cái đập cánh của con bướm ở Texas sẽ dẫn đến một cơn bão ở Florida”).

Hành vi hỗn loạn có thể được minh họa rõ ràng bằng cách sử dụng cái gọi là phương trình logistic x=c*x(1–x). Biểu hiện này xuất phát từ sinh học, bởi vì... nó là một mô hình thô của một quần thể động vật. Vì vậy, khi nghiên cứu hoạt động của chức năng này, một đặc điểm thú vị của nó đã trở nên rõ ràng. Nếu c – hệ số tăng trưởng dân số nằm trong khoảng từ 1 đến 3 thì sau một số lần lặp nhất định, quần thể sẽ ổn định.

Khi c = 3, hàm của chúng ta phân nhánh - sau một số lần lặp nhất định, chúng ta đi đến tình huống trong đó dân số cao trong một năm được thay thế bằng dân số thấp trong năm tiếp theo và giá trị của biểu thức dường như nhảy giữa hai giá trị.

Tại c=3,45 nó lại phân nhánh và chúng ta đã có chu kỳ 4 năm.

Và tại thời điểm 3,57 sự hỗn loạn bắt đầu. Các giá trị biểu thức không có tính tuần hoàn hay cấu trúc. Hình vẽ cho thấy sự phụ thuộc của hành vi của hàm vào giá trị của c.