Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple. Inegalități trigonometrice simple și complexe

Primul punct este, ca de obicei, arcsin(-a)=-arcsina. Pentru a ajunge la al doilea punct, mergem pe calea superioară, adică în direcția de creștere a unghiului.

De data aceasta trecem dincolo de n. Cât mai mergem? Pe arcsin x. Aceasta înseamnă că al doilea punct este n+arcsin x. De ce nu există minus? Pentru că minusul din notația -arcsin a înseamnă mișcare în sensul acelor de ceasornic, dar am mers în sens invers acelor de ceasornic. Și, în final, adăugați 2pn la fiecare capăt al intervalului.

5) sinx>a, dacă a>1.

Cercul unitar se află în întregime sub linia dreaptă y=a. Nu există niciun punct deasupra liniei drepte. Deci nu există soluții.

6) sinx>-a, unde a>1.

În acest caz, întregul cerc unitar se află în întregime deasupra liniei drepte y=a. Prin urmare, orice punct satisface condiția sinx>a. Aceasta înseamnă că x este orice număr.

Și aici x este orice număr, deoarece punctele -n/2+2nn sunt incluse în soluție, în contrast cu inegalitatea strictă sinx>-1. Nu este nevoie să excludeți nimic.

Singurul punct de pe cerc care satisface această condiție este n/2. Ținând cont de perioada sinusului, soluția acestei inegalități este mulțimea punctelor x=n/2+2n.

De exemplu, rezolvați inegalitatea sinx>-1/2:

Inegalitățile sunt relații de forma a › b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹, › și nestrictive - ≥, ≤.

Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, în care F(x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .

Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹ 1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic; au fost dezvoltate două metode pentru aceasta.

Metoda 1 - Rezolvarea inegalităților prin reprezentarea grafică a unei funcții

Pentru a găsi un interval care îndeplinește condițiile inegalității sin x ‹ 1/2, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Pe axa de coordonate, construiți o sinusoidă y = sin x.
2. Pe aceeași axă, desenați un grafic al argumentului numeric al inegalității, adică o dreaptă care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
3. Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
4. Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.

Atunci când într-o expresie sunt prezente semne stricte, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a unei sinusoide este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:

Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluție trebuie inclus între paranteze drepte - . Răspunsul la problemă poate fi scris și ca următoarea inegalitate:

Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință folosind un cerc trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:

1. Mai întâi trebuie să desenați un cerc unitar.
2. Apoi trebuie să rețineți valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
3. Este necesar să se tragă o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
4. După aceea, tot ce rămâne este să selectați arcul de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
5. Notează răspunsul în forma cerută.

Să analizăm etapele soluției folosind exemplul inegalității sin x › 1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori

Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.

Dacă trebuie să rezolvați un exemplu pentru cos, atunci arcul de răspuns va fi situat simetric față de axa OX, nu OY. Puteți lua în considerare diferența dintre intervalele de soluție pentru sin și cos în diagramele de mai jos din text.

Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.

Arctangente și arccotangente sunt tangente la un cerc trigonometric, iar perioada minimă pozitivă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.

Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă trasăm valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Unghiuri

Sunt puncte de întrerupere pentru funcție, deoarece graficul tinde spre ele, dar nu ajunge niciodată la ele.

În cazul cotangentei, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.

Inegalități trigonometrice complexe

Dacă argumentul funcției de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o întreagă expresie care conține o necunoscută, atunci vorbim de o inegalitate complexă. Procesul și procedura de rezolvare sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la următoarea inegalitate:

Soluția grafică implică construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x folosind valori ale lui x alese arbitrar. Să calculăm un tabel cu coordonatele pentru punctele de control ale graficului:

Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.

Pentru a ușura găsirea unei soluții, să înlocuim argumentul funcției complexe

La rezolvarea inegalităților care conțin funcții trigonometrice, acestea se reduc la cele mai simple inegalități de forma cos(t)>a, sint(t)=a și altele similare. Și deja cele mai simple inegalități sunt rezolvate. Să ne uităm la diferite exemple de moduri de a rezolva inegalitățile trigonometrice simple.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea sin(t) > = -1/2.

Desenați un cerc unitar. Deoarece sin(t) prin definiție este coordonata y, se marchează punctul y = -1/2 pe axa Oy. Tragem o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa Ox. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.

Soluția acestei inegalități vor fi toate punctele cercului unitar situat deasupra acestor puncte. Cu alte cuvinte, soluția va fi arcul l. Acum este necesar să se indice condițiile în care un punct arbitrar va aparține arcului l.

Pt1 se află în semicercul drept, ordonata sa este -1/2, apoi t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pentru a descrie punctul Pt1, puteți scrie următoarea formulă:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate pentru t:

Păstrăm inegalitățile. Și deoarece funcția sinus este periodică, înseamnă că soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Raspuns: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea cos(t).<1/2.

Să desenăm un cerc unitar. Deoarece, conform definiției, cos(t) este coordonata x, marchem punctul x = 1/2 pe graficul pe axa Ox.
Tragem o linie dreaptă prin acest punct paralelă cu axa Oy. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.

Soluțiile vor fi toate punctele cercului unitar care aparțin arcului l. Să găsim punctele t1 și t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Am obținut inegalitatea pentru t: pi/3

Deoarece cosinusul este o funcție periodică, soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Răspuns: pi/3+2*pi*n

Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea tg(t)< = 1.

Perioada tangentei este egală cu pi. Să găsim soluții care aparțin intervalului (-pi/2;pi/2) semicerc drept. Apoi, folosind periodicitatea tangentei, notăm toate soluțiile acestei inegalități. Să desenăm un cerc unitar și să marchem o linie de tangente pe el.

Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului T = tg(t) trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Mulțimea acestor puncte va alcătui raza AT. Mulțimea punctelor Pt care va corespunde punctelor acestei raze este arcul l. Mai mult, punctul P(-pi/2) nu aparține acestui arc.

Leonard Euler. Timpul trece, iar trigonometria se întoarce la școlari. Jacob Bernoulli. Apare în sistemul începuturilor analizei matematice. Până acum s-a format și dezvoltat trigonometria. Doctrina măsurării poliedrelor. Direcții de dezvoltare a trigonometriei plane. Elevul trebuie să îndeplinească trigonometria de trei ori. Dezvoltarea trigonometriei din secolul al XVI-lea până în zilele noastre. Construirea unui sistem general de cunoștințe trigonometrice și aferente.

„„Derivată a unei funcții” nota 10” - „Metoda fluctuațiilor”. Formulele derivate sunt utilizate pe scară largă astăzi, de exemplu, în analiza economică. Determinați intervalele de creștere și scădere ale funcției: y = x3 - x2 - 8x + 2. Informații istorice. Definiție. Formula derivată se găsește adesea în lucrările matematicienilor celebri din secolul al XVII-lea. Aplicarea derivatelor în economie. Aplicarea derivatelor în matematică. Derivata este unul dintre conceptele fundamentale ale matematicii.

„“Ecuații trigonometrice” clasa a 10-a” - Nu faceți niciodată ceea ce nu știți. Definiție. Oferă rădăcini. Ecuația cot t = a. Sin x. Continuați propoziția. Găsiți rădăcinile ecuației. Valori din interval. Să luăm o mostră din rădăcini. X= tan x. Rezolvați ecuația. Serii de rădăcini. Are sens expresia? Ecuații trigonometrice. Ecuația. Ctg x = 1. Ecuația tg t = a. Pentru că de 4x. Sin x =1. Este adevărată egalitatea?

„Ecuații” - Chimie. Matematica Evului Mediu Islamic. Matematica în India antică. Ecuațiile sunt peste tot în jurul nostru. Apariția simbolului egal. Matematica în Egiptul Antic. Metoda algebrică. Fizică. Unde sunt folosite ecuațiile astăzi? Algebră. Aritmetica lui Diophantus. Biologie. Apariția simbolurilor cu litere. Puțină istorie. Economie. Metode de rezolvare a ecuațiilor. Soluţie. Metoda analitica. Numar necunoscut. Ce este o ecuație?

„Semnificația fizică și geometrică a derivatului” - Diferențierea. Newton este creatorul primei „tablouri mecanice ale lumii” științifice. Sensul geometric al derivatei unei funcții. Derivată a unei funcții. Semnificația fizică și geometrică a derivatei unei funcții. Schimbări și procese care au loc în univers. Diferențierea este o metodă matematică unică. Explicația semnificației fizice a funcției derivate. Sensul fizic al derivatei unei funcții. Vă mulțumim pentru atenție.

„Inegalități trigonometrice” - Ecuație. Sin x > a. Cos x 0. Cele mai simple inegalități. Inegalități. Algoritm de rezolvare. Exemple.

Majoritatea elevilor nu le plac inegalitățile trigonometrice. Dar în zadar. După cum spunea un personaj,

„Doar că nu știi să le gătești”

Deci, cum să „gătim” și cu ce să trimitem inegalitatea cu sine ne vom da seama în acest articol. O vom rezolva în cel mai simplu mod - folosind cercul unitar.

Deci, în primul rând, avem nevoie de următorul algoritm.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților cu sinus:

1. pe axa sinusului trasăm numărul $a$ și trasăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului până când se intersectează cu cercul;
2. punctele de intersecție ale acestei drepte cu cercul vor fi umbrite dacă inegalitatea nu este strictă și nu umbrite dacă inegalitatea este strictă;
3. zona de soluție a inegalității va fi situată deasupra liniei și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$>$”, iar sub linie și până la cerc dacă inegalitatea conține semnul „$<$”;
4. pentru a găsi punctele de intersecție, rezolvăm ecuația trigonometrică $\sin(x)=a$, obținem $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. punând $n=0$, găsim primul punct de intersecție (este situat fie în primul, fie în al patrulea trimestru);
6. pentru a găsi al doilea punct, ne uităm în ce direcție trecem prin zonă până la al doilea punct de intersecție: dacă în direcție pozitivă, atunci ar trebui să luăm $n=1$, iar dacă în direcție negativă, atunci $n=- 1$;
7. ca răspuns, intervalul se notează de la punctul de intersecție mai mic $+ 2\pi n$ la cel mai mare $+ 2\pi n$.

Limitarea algoritmului

Important: d algoritm dat nu funcționează pentru inegalitățile de forma $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Cazuri speciale la rezolvarea inegalităților cu sinus

De asemenea, este important să rețineți următoarele cazuri, care sunt mult mai convenabile de rezolvat logic fără a utiliza algoritmul de mai sus.

Cazul special 1. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)\leq 1.$

Datorită faptului că intervalul de valori al funcției trigonometrice $y=\sin(x)$ nu este mai mare decât modulo $1$, atunci partea stângă a inegalității la orice$x$ din domeniul definiției (și domeniul definiției sinusului este toate numerele reale) nu este mai mare de $1$. Și, prin urmare, în răspuns scriem: $x \in R$.

Consecinţă:

$\sin(x)\geq -1.$

Cazul special 2. Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< 1.$

Aplicând un raționament similar cu cazul special 1, aflăm că partea stângă a inegalității este mai mică de $1$ pentru toți $x \in R$, cu excepția punctelor care sunt soluții ale ecuației $\sin(x) = 1$. Rezolvând această ecuație, vom avea:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Și, prin urmare, în răspuns scriem: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Consecinţă: inegalitatea se rezolvă în mod similar

$\sin(x) > -1.$

Exemple de rezolvare a inegalităților folosind un algoritm.

Exemplul 1: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Să marchem coordonata $\frac(1)(2)$ pe axa sinusoială.
2. Să desenăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului și care trece prin acest punct.
3. Să marchem punctele de intersecție. Ele vor fi umbrite pentru că inegalitatea nu este strictă.
4. Semnul de inegalitate este $\geq$, ceea ce înseamnă că pictăm zona de deasupra liniei, adică. semicerc mai mic.
5. Găsim primul punct de intersecție. Pentru a face acest lucru, transformăm inegalitatea în egalitate și o rezolvăm: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Setăm în continuare $n=0$ și găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Găsim al doilea punct. Zona noastră merge în direcția pozitivă din primul punct, ceea ce înseamnă că setăm $n$ egal cu $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Astfel, soluția va lua forma:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Exemplul 2: Rezolvați inegalitatea:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Să marchem coordonata $-\frac(1)(2)$ pe axa sinusului și să trasăm o dreaptă paralelă cu axa cosinusului și care trece prin acest punct. Să marchem punctele de intersecție. Nu vor fi umbrite, deoarece inegalitatea este strictă. Semnul de inegalitate $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

În plus, presupunând $n=0$, găsim primul punct de intersecție: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Zona noastră merge în direcția negativă din primul punct, ceea ce înseamnă că setăm $n$ egal cu $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Deci, soluția acestei inegalități va fi intervalul:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Acest exemplu nu poate fi rezolvat imediat folosind un algoritm. Mai întâi trebuie să-l transformi. Facem exact ceea ce am face cu o ecuație, dar nu uitați de semn. Împărțirea sau înmulțirea cu un număr negativ îl inversează!

Deci, să mutăm tot ce nu conține o funcție trigonometrică în partea dreaptă. Primim:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Să împărțim părțile din stânga și din dreapta la $-2$ (nu uitați de semn!). Vom avea:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Din nou avem o inegalitate pe care nu o putem rezolva folosind un algoritm. Dar aici este suficient să schimbi variabila:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Obținem o inegalitate trigonometrică care poate fi rezolvată folosind algoritmul:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Această inegalitate a fost rezolvată în Exemplul 1, deci să împrumutăm răspunsul de acolo:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Cu toate acestea, decizia nu s-a încheiat încă. Trebuie să ne întoarcem la variabila inițială.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Să ne imaginăm intervalul ca un sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

În partea stângă a sistemului există o expresie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), care aparține intervalului. Limita stângă a intervalului este responsabilă pentru prima inegalitate, iar limita dreaptă este responsabilă pentru a doua. Mai mult, parantezele joacă un rol important: dacă paranteza este pătrată, atunci inegalitatea va fi relaxată, iar dacă este rotundă, atunci va fi strictă. sarcina noastră este să obținem $x$ din stânga în ambele inegalităţi.

Să mutăm $\frac(\pi)(6)$ din partea stângă în partea dreaptă, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Simplificand, vom avea:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Înmulțind părțile stânga și dreaptă cu $4$, obținem:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Asamblând sistemul în interval, obținem răspunsul:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$