Determinați rangul matricei folosind metoda transformărilor elementare. Conceptul de rang de matrice

>>Rang matrice

Rangul matricei

Determinarea rangului unei matrice

Luați în considerare o matrice dreptunghiulară. Dacă în această matrice selectăm în mod arbitrar k linii şi k coloane, apoi elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k-lea. Determinantul acestei matrice se numește minor de ordinul k-lea matricea A. Evident, matricea A are minore de orice ordin de la 1 la cel mai mic dintre numerele m și n. Dintre toate minorele nenule ale matricei A, există cel puțin un minor a cărui ordine este cea mai mare. Se numește cel mai mare dintre ordinele minore diferite de zero ale unei matrice date rang matrici. Dacă rangul matricei A este r, aceasta înseamnă că matricea A are un minor de ordin diferit de zero r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r, este egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu r(A). Evident, relația este valabilă

Calcularea rangului unei matrice folosind minori

Rangul matricei se găsește fie prin metoda limitării minorilor, fie prin metoda transformărilor elementare. Când calculați rangul unei matrice folosind prima metodă, ar trebui să treceți de la minorii de ordin inferior la minorii de ordin superior. Dacă a fost deja găsit un D minor de ordinul k al matricei A, diferit de zero, atunci numai minorele de ordin (k+1) care mărginesc D minor necesită calcul, adică. conținându-l ca minor. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu k.

Exemplul 1.Găsiți rangul matricei folosind metoda limitării minorilor

.

Soluţie.Începem cu minorii de ordinul 1, adică. dintre elementele matricei A. Să alegem, de exemplu, un (element) minor M 1 = 1, situat în primul rând și prima coloană. Mărginind cu ajutorul celui de-al doilea rând și al treilea coloan, obținem un M 2 minor = diferit de zero. Ne întoarcem acum la minorii de ordinul 3 care se învecinează cu M2. Sunt doar două dintre ele (puteți adăuga o a doua sau a patra coloană). Să le calculăm: = 0. Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea s-au dovedit a fi egali cu zero. Rangul matricei A este doi.

Calcularea rangului unei matrice folosind transformări elementare

ElementarUrmătoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A~B.

CanonicO matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

.

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2, respectiv 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.

Să fie dată o matrice:

.

Să selectăm în această matrice șiruri arbitrare și coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
, situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să luăm în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, să trecem la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare pentru determinarea rangului unei matrice se numește metoda de limită (sau metoda de limită a minorilor).

Problema 1.4. Folosind metoda limitării minorilor, determinați rangul matricei
.

.

Luați în considerare marginile de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi trecem la considerarea unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm marginea de ordinul trei.

.

Deci, cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero este 2, prin urmare
.

Când rezolvați Problema 1.4, puteți observa că un număr de minori de ordinul doi sunt diferit de zero. În acest sens, se aplică următorul concept.

Definiția 1.14. O bază minoră a unei matrice este orice minoră diferită de zero a cărei ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema de bază minoră). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a ordine a fost egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
Și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică
.

Dacă matrice
Și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul matricei nu se modifică din cauza transformărilor elementare.

Vom numi transformări matrice elementare
oricare dintre următoarele operații pe o matrice:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Rearanjarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii ale cărei elemente sunt toate zero;

Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricea
Și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o formă de reprezentare a unei matrice atunci când, în marginea minoră de ordinul cel mai înalt decât zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

.

Aici
, elemente de matrice
mergi la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului Gauss este că, prin înmulțirea elementelor primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu factorii corespunzători, ne asigurăm că toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi procedați în același mod.

Problema 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

.

Pentru a facilita utilizarea algoritmului gaussian, puteți schimba prima și a treia linie.








.

Este evident că aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, puteți continua transformarea coloanelor.










.

Vom lua în considerare, de asemenea, o aplicație practică importantă a subiectului: studiul unui sistem de ecuații liniare pentru consistență.

Care este rangul unei matrice?

Epigraful plin de umor a articolului conține o cantitate mare de adevăr. De obicei, asociem cuvântul „rank” cu un fel de ierarhie, cel mai adesea cu o scară de carieră. Cu cât o persoană are mai multe cunoștințe, experiență, abilități, conexiuni etc. – cu cât este mai mare poziția și gama de oportunități. În termeni de tineret, rangul se referă la gradul general de „abruptitate”.

Iar frații noștri matematici trăiesc după aceleași principii. Să luăm câteva aleatorii la plimbare matrice zero:

Să ne gândim la asta, dacă în matrice toate zerourile, atunci despre ce rang putem vorbi? Toată lumea este familiarizată cu expresia informală „zero total”. În societatea matricelor totul este exact la fel:

Rangul matricei zeroorice dimensiune este egală cu zero.

Notă : Matricea zero este desemnată cu litera greacă „theta”

Pentru a înțelege mai bine rangul matricei, în continuare voi folosi materiale pentru a ajuta geometrie analitică. Luați în considerare zero vector spațiul nostru tridimensional, care nu stabilește o direcție anume și este inutil pentru construcție bază afină. Din punct de vedere algebric, coordonatele acestui vector sunt scrise în matrice„unul câte trei” și logic (în sensul geometric indicat) să presupunem că rangul acestei matrice este zero.

Acum să ne uităm la câteva diferit de zero vectori coloanăȘi vectori rând:


Fiecare instanță are cel puțin un element diferit de zero și asta e ceva!

Rangul oricărui vector rând diferit de zero (vector coloană) este egal cu unu

Și în general vorbind - dacă în matrice dimensiuni arbitrare există cel puțin un element diferit de zero, apoi rangul său nu mai puțin unitati.

Vectorii rând algebrici și vectorii coloană sunt într-o anumită măsură abstracti, așa că să revenim din nou la asocierea geometrică. Non-zero vector stabilește o direcție foarte definită în spațiu și este potrivit pentru construcție bază, prin urmare rangul matricei va fi considerat egal cu unu.

Informații teoretice : în algebra liniară, un vector este un element al unui spațiu vectorial (definit prin 8 axiome), care, în special, poate reprezenta un rând (sau coloană) ordonat de numere reale cu operațiile de adunare și înmulțire cu un număr real definite. pentru ei. Informații mai detaliate despre vectori pot fi găsite în articol Transformări liniare.

dependent liniar(exprimate unul prin altul). Din punct de vedere geometric, a doua linie conține coordonatele vectorului coliniar , care nu a avansat deloc problema în clădire bază tridimensională, fiind în acest sens de prisos. Astfel, rangul acestei matrice este, de asemenea, egal cu unu.

Să rescriem coordonatele vectorilor în coloane ( transpune matricea):

Ce s-a schimbat în ceea ce privește rangul? Nimic. Coloanele sunt proporționale, ceea ce înseamnă că rangul este egal cu unu. Apropo, rețineți că toate cele trei linii sunt, de asemenea, proporționale. Ele pot fi identificate cu coordonatele Trei vectori coliniari ai planului, din care unul singur util pentru construirea unei baze „plate”. Și acest lucru este în întregime în concordanță cu simțul nostru geometric al rangului.

Din exemplul de mai sus rezultă o afirmație importantă:

Rangul matricei în rânduri este egal cu rangul matricei în coloane. Am menționat deja puțin acest lucru în lecția despre eficient metode de calcul a determinantului.

Notă : dependența liniară a rândurilor implică dependența liniară a coloanelor (și invers). Dar pentru a economisi timp și din obișnuință, aproape întotdeauna voi vorbi despre dependența liniară a șirurilor.

Să continuăm dresajul nostru iubit animal de companie. Să adăugăm coordonatele altui vector coliniar la matricea din al treilea rând :

Ne-a ajutat să construim o bază tridimensională? Desigur că nu. Toți cei trei vectori merg înainte și înapoi pe aceeași cale, iar rangul matricei este egal cu unul. Puteți lua oricât de mulți vectori coliniari doriți, să zicem 100, să le puneți coordonatele într-o matrice „o sută cu trei”, iar rangul unui astfel de zgârie-nori va rămâne unul.

Să ne familiarizăm cu matricea, ale cărei rânduri liniar independent. O pereche de vectori necoliniari este potrivită pentru construirea unei baze tridimensionale. Rangul acestei matrice este doi.

Care este rangul matricei? Liniile par să nu fie proporționale... deci, în teorie, sunt trei. Cu toate acestea, rangul acestei matrice este, de asemenea, doi. Am adăugat primele două rânduri și am scris rezultatul în partea de jos, adică. exprimată liniar a treia linie prin primele două. Geometric, rândurile matricei corespund coordonatele a trei vectori coplanari, iar printre acești trei sunt și o pereche de camarazi necoliniari.

După cum puteți vedea, dependență liniarăîn matricea considerată nu este evidentă, iar astăzi vom învăța cum să o scoatem la lumină.

Cred că mulți oameni pot ghici care este rangul unei matrice!

Luați în considerare o matrice ale cărei rânduri liniar independent. Se formează vectori bază afină, iar rangul acestei matrice este de trei.

După cum știți, orice al patrulea, al cincilea, al zecelea vector al spațiului tridimensional va fi exprimat liniar în termeni de vectori de bază. Prin urmare, dacă adăugați orice număr de rânduri la o matrice, atunci rangul acesteia va fi tot egal cu trei.

Raționament similar poate fi efectuat pentru matrice de dimensiuni mai mari (desigur, fără nicio semnificație geometrică).

Definiție : Rangul unei matrice este numărul maxim de rânduri liniar independente. Sau: Rangul unei matrice este numărul maxim de coloane liniar independente. Da, numărul lor este întotdeauna același.

Din cele de mai sus rezultă și un ghid practic important: rangul matricei nu depășește dimensiunea minimă a acesteia. De exemplu, în matrice patru rânduri și cinci coloane. Dimensiunea minimă este patru, prin urmare, rangul acestei matrice cu siguranță nu va depăși 4.

Denumiri: în teoria și practica lumii nu există un standard general acceptat pentru desemnarea rangului unei matrice; cel mai adesea puteți găsi: - după cum se spune, un englez scrie una, un german alta. Prin urmare, pe baza celebrei glume despre iadul american și rusesc, să notăm rangul matricei cu un cuvânt nativ. De exemplu: . Și dacă matricea este „nenumită”, dintre care sunt multe, atunci puteți scrie pur și simplu .

Cum să găsiți rangul unei matrice folosind minori?

Dacă bunica mea ar avea o a cincea coloană în matrice, atunci ar trebui să calculeze un alt minor de ordinul al 4-lea („albastru”, „zmeura” + coloana a 5-a).

Concluzie: ordinea maximă a unui minor diferit de zero este trei, ceea ce înseamnă .

Poate că nu toată lumea a înțeles pe deplin această frază: un minor de ordinul al 4-lea este egal cu zero, dar printre minorii de ordinul al 3-lea a fost unul diferit de zero - prin urmare, ordinul maxim diferit de zero minor și egal cu trei.

Apare întrebarea, de ce să nu calculăm imediat determinantul? Ei bine, în primul rând, în majoritatea sarcinilor matricea nu este pătrată și, în al doilea rând, chiar dacă obțineți o valoare diferită de zero, sarcina va fi cel mai probabil respinsă, deoarece implică de obicei o soluție standard „de jos în sus”. Și în exemplul luat în considerare, determinantul zero al ordinului al patrulea ne permite să afirmăm că rangul matricei este doar mai mic de patru.

Trebuie să recunosc, am venit cu problema pe care am analizat-o eu însumi pentru a explica mai bine metoda limitării minorilor. În practică, totul este mai simplu:

Exemplul 2

Găsiți rangul unei matrice utilizând metoda marginilor minore

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Când funcționează algoritmul cel mai rapid? Să revenim la aceeași matrice patru pe patru. . Evident, soluția va fi cea mai scurtă în cazul „bunului” minori de colt:

Și, dacă , atunci , altfel – .

Gândirea nu este deloc ipotetică - există multe exemple în care întreaga chestiune este limitată doar la minori unghiulari.

Cu toate acestea, în unele cazuri, o altă metodă este mai eficientă și de preferat:

Cum să găsiți rangul unei matrice folosind metoda Gaussiană?

Paragraful este destinat cititorilor care sunt deja familiarizați metoda gaussianași mai mult sau mai puțin au pus mâna pe ea.

Din punct de vedere tehnic, metoda nu este nouă:

1) folosind transformări elementare, reducem matricea la o formă în trepte;

2) rangul matricei este egal cu numărul de rânduri.

Este absolut clar că folosind metoda Gaussiană nu modifică rangul matricei, iar esența aici este extrem de simplă: conform algoritmului, în timpul transformărilor elementare, toate rândurile proporționale inutile (dependente liniar) sunt identificate și eliminate, rezultând un „reziduu uscat” - numărul maxim de rânduri liniar independente.

Să transformăm vechea matrice familiară cu coordonatele a trei vectori coliniari:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie.

(2) Liniile zero sunt eliminate.

Astfel, a mai rămas o linie, deci . Inutil să spun că acest lucru este mult mai rapid decât calcularea a nouă zero minori de ordinul 2 și abia apoi tragerea unei concluzii.

Vă reamintesc că în sine matrice algebrică nimic nu poate fi schimbat, iar transformările sunt efectuate doar în scopul determinării rangului! Apropo, să ne oprim încă o dată la întrebarea, de ce nu? Matricea sursă transportă informații care sunt fundamental diferite de informațiile din matrice și rând. În unele modele matematice (fără exagerare), diferența într-un număr poate fi o chestiune de viață sau de moarte. ...Mi-am amintit de profesori de matematică din clasele primare și gimnaziale care tăiau fără milă notele cu 1-2 puncte pentru cea mai mică inexactitate sau abatere de la algoritm. Și a fost teribil de dezamăgitor când, în loc de un „A” aparent garantat, a ieșit „bun” sau chiar mai rău. Înțelegerea a venit mult mai târziu - cum altfel să-i încredințezi unei persoane sateliți, focoase nucleare și centrale electrice? Dar nu vă faceți griji, nu lucrez în aceste domenii =)

Să trecem la sarcini mai semnificative, unde, printre altele, ne vom familiariza cu tehnici de calcul importante metoda Gauss:

Exemplul 3

Găsiți rangul unei matrice folosind transformări elementare

Soluţie: este dată o matrice „patru cu cinci”, ceea ce înseamnă că rangul său nu este cu siguranță mai mare de 4.

În prima coloană, nu există 1 sau –1, prin urmare, sunt necesare acțiuni suplimentare pentru a obține cel puțin o unitate. De-a lungul existenței site-ului, mi s-a pus în mod repetat întrebarea: „Este posibil să rearanjam coloanele în timpul transformărilor elementare?” Aici, am rearanjat prima și a doua coloană și totul este în regulă! În majoritatea sarcinilor în care este utilizat metoda gaussiana, coloanele pot fi într-adevăr rearanjate. DAR NU ESTE NEVOIE. Și ideea nu este nici măcar în posibilă confuzie cu variabile, ideea este că în cursul clasic de matematică superioară această acțiune nu este în mod tradițional luată în considerare, așa că un astfel de încuviințare va fi privit FOARTE strâmb (sau chiar forțat să refacă totul).

Al doilea punct se referă la numere. Pe măsură ce iei decizia, este util să folosești următoarea regulă generală: transformările elementare ar trebui, dacă este posibil, să reducă numerele matriceale. La urma urmei, este mult mai ușor să lucrezi cu unu, doi, trei decât, de exemplu, cu 23, 45 și 97. Și prima acțiune vizează nu numai obținerea unuia în prima coloană, ci și eliminarea numerelor. 7 și 11.

Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3. Și la grămadă: prima linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu -1.

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale. Linia a 3-a și a 4-a au fost eliminate, a doua linie a fost mutată pe primul loc.

(3) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.

Matricea redusă la formă eșalonată are două rânduri.

Răspuns:

Acum este rândul tău să torturezi matricea de patru câte patru:

Exemplul 4

Găsiți rangul unei matrice folosind metoda Gaussiană

iti amintesc ca metoda gaussiana nu implică o rigiditate clară, iar decizia dvs. va diferi cel mai probabil de decizia mea. Un scurt exemplu de sarcină la sfârșitul lecției.

Ce metodă ar trebui să folosesc pentru a găsi rangul unei matrice?

În practică, adesea nu se precizează deloc ce metodă ar trebui folosită pentru a găsi rangul. Într-o astfel de situație, condiția ar trebui analizată - pentru unele matrice este mai rațional să se rezolve prin minori, în timp ce pentru altele este mult mai profitabil să se aplice transformări elementare:

Exemplul 5

Aflați rangul unei matrice

Soluţie: prima metoda dispare cumva imediat =)

Puțin mai sus, am sfătuit să nu ating coloanele matricei, dar când există o coloană zero, sau coloane proporționale/coincidente, atunci tot merită amputat:

(1) A cincea coloană este zero, eliminați-o din matrice. Astfel, rangul matricei nu este mai mare de patru. Prima linie a fost înmulțită cu –1. Aceasta este o altă caracteristică caracteristică a metodei Gauss, care transformă următoarea acțiune într-o plimbare plăcută:

(2) La toate liniile, începând de la a doua, s-a adăugat primul rând.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, a treia linie a fost împărțită cu 2, a patra linie a fost împărțită cu 3. A doua linie a fost adăugată la a cincea linie, înmulțită cu –1.

(4) A treia linie a fost adăugată la a cincea linie, înmulțită cu –2.

(5) Ultimele două rânduri sunt proporționale, al cincilea se elimină.

Rezultatul sunt 4 rânduri.

Răspuns:

Clădire standard cu cinci etaje pentru studiu independent:

Exemplul 6

Aflați rangul unei matrice

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că expresia „rangul matricei” nu este văzută atât de des în practică și, în majoritatea problemelor, puteți face fără ea cu totul. Dar există o sarcină în care conceptul în cauză este personajul principal și vom încheia articolul cu această aplicație practică:

Cum se studiază un sistem de ecuații liniare pentru consistență?

Adesea, pe lângă soluție sisteme de ecuații liniare conform condiției, se cere mai întâi să o examinăm pentru compatibilitate, adică să se dovedească că există vreo soluție. Un rol cheie în o astfel de verificare îl joacă Teorema Kronecker-Capelli, pe care o voi formula în forma necesară:

Dacă rang matrice de sistem egal cu rangul sistem de matrice extinsă, atunci sistemul este consistent, iar dacă acest număr coincide cu numărul de necunoscute, atunci soluția este unică.

Astfel, pentru a studia sistemul pentru compatibilitate este necesar să se verifice egalitatea , Unde - matricea sistemului(amintiți-vă terminologia din lecție metoda Gauss), A - matrice de sistem extinsă(adică o matrice cu coeficienți de variabile + o coloană de termeni liberi).

Pentru a lucra cu conceptul de rang matrice, vom avea nevoie de informații din tema „Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice”. În primul rând, acesta se referă la termenul „matrice minoră”, întrucât vom determina rangul matricei tocmai prin intermediul minorilor.

Rangul matricei este ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente- matrice ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de doi sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2. Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de 10 sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $A$ se notează astfel: $\rang A$ sau $r(A)$. Se presupune că rangul matricei zero $O$ este zero, $\rang O=0$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a forma o matrice minoră trebuie să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $F$ are dimensiunea $5\x 4$ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorelor sale este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $F$ nu poate fi mai mare de patru, adică. $\suna F≤4$.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că, dacă o matrice conține $m$ rânduri și $n$ coloane, atunci rangul ei nu poate depăși cel mai mic dintre $m$ și $n$, adică. $\rang A≤\min(m,n)$.

În principiu, din însăși definiția rangului urmează metoda de găsire a acestuia. Procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Permiteți-mi să explic această diagramă mai detaliat. Să începem să raționăm de la bun început, adică. de la primul ordin minori ai unei matrice $A$.

1. Dacă toți minorii de ordinul întâi (adică, elementele matricei $A$) sunt egale cu zero, atunci $\rang A=0$. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
2. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $\rang A=1$. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 2$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
3. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $\rang A=2$. Dacă printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
4. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $\rang A=3$. Dacă printre minorii de ordinul al patrulea există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 4$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul al cincilea și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii de ordinul k să existe cel puțin unul diferit de zero, iar toți minorii de ordinul (k+1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi egal cu k. Poate fi o situație diferită: între minorii de ordinul k va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero, dar nu se va mai putea forma (k+1) minori de ordin. În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, egal cu k. În scurt, ordinea ultimului minor nenulu compus va fi egală cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, va fi ilustrat clar. Permiteți-mi să subliniez încă o dată că în exemplele acestui subiect vom găsi rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calcularea rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați, calcularea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare) sunt discutate în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesară începerea procedurii de găsire a gradului cu minorii de ordinul cel mai mic, așa cum s-a făcut în exemplele nr. 1 și nr. 2. Puteți trece imediat la minori de ordine superioară (vezi exemplul nr. 3).

Exemplul nr. 1

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(matrice) \right)$.

Această matrice are dimensiunea $3\xtime 5$, adică conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, minimul este 3, prin urmare rangul matricei $A$ nu este mai mare de 3, adică. $\rang A≤ 3$. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu vom mai putea forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică printre elementele matricei $A$) există și altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează numărul total de elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și este suficient. Deoarece printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, concluzionăm că $\rang A≥ 1$ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1, nr. 4 există elemente de următorul minor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(matrice) \right| $. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vezi proprietatea nr. 3 la tema proprietăților determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula nr. 1 din secțiunea privind calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Primul minor de ordinul doi pe care l-am testat sa dovedit a fi egal cu zero. Ce înseamnă acest lucru? Despre necesitatea verificării în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie se vor dovedi a fi toate zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ei va exista cel puțin un minor care este diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună scriind un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1 și nr. 5: $\left|\begin( matrice)(cc) 5 și 2 \\ 7 și 3 \end(matrice) \right|$. Să găsim valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Acest minor nu este egal cu zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Prin urmare $\rang A≥ 2$. Trebuie să trecem la studiul minorilor de ordinul trei.

Dacă alegem coloana nr. 2 sau coloana nr. 4 pentru a forma minori de ordinul trei, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (deoarece vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul trei, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să notăm acest minor și să îi găsim valoarea:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 2. Prin urmare, $\rang A=2$.

Răspuns: $\rang A=2$.

Exemplul nr. 2

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Să observăm imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $\rang A≤ 4$. Să începem să găsim rangul matricei.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1 și nr. 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Să o calculăm:

$$\stânga| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 2$.

Să trecem la minorii de ordinul trei. Să găsim, de exemplu, un minor ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$\stânga | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi egal cu zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie toate vor fi egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ele va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero (atunci vom începe să studiem minorii de ordinul al patrulea). Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul diferit de zero, deci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $A$. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $A$, deoarece această matrice conține 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul nr. 2 al subiectului "Reducerea ordinii determinantului. Descompunerea determinantului într-un rând (coloană)", așa că să luăm doar rezultatul final:

$$\stânga| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matrice)\right|=86. $$

Deci minorul de ordinul al patrulea nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: cel mai mare ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Răspuns: $\rang A=4$.

Exemplul nr. 3

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( matrice) \right)$.

Să observăm imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $\rang A≤ 3$. În exemplele anterioare, am început procesul de găsire a rangului luând în considerare minorii de ordinul cel mai mic (primul). Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai înaltă ordine posibilă. Pentru matricea $A$ acestea sunt minorii de ordinul trei. Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $\rang A=3$.

Răspuns: $\rang A=3$.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este, în cazul general, o sarcină destul de intensivă în muncă. De exemplu, o matrice relativ mică de dimensiunea $5\xtime 4$ are 60 de minori de ordinul secund. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi va trebui să studiezi minorii de ordinul trei, dintre care această matrice are 40 de piese. De obicei ei încearcă să folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă și dacă vrei să înveți sa rezolve probleme, Acea rezolva-le.»
D. Polya (1887-1985)

(Matematician. A adus o mare contribuție la popularizarea matematicii. A scris mai multe cărți despre cum să rezolvi probleme și cum să predai rezolvarea problemelor.)

Luați în considerare matricea

Să evidențiem în ea k-rânduriȘi k-coloane (k≤(min(m,n))). Din elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate vom compune un determinant kth Ordin. Toți astfel de determinanți sunt numiți minorii acestei matrice.

Să luăm în considerare toți minorii posibili ai matricei A, diferit de zero.

Rangul matricei A este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu zero.

Se numește un minor a cărui ordine determină rangul matricei de bază.

O matrice poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei A notat cu r(A). Dacă r(A)=r(B), apoi matricele AȘi ÎN sunt numite echivalent. Ei scriu A̴∼B.

Proprietățile rangului matricei:

1. Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă.
2. Dacă ștergeți rândul (coloana) zero din matrice, rangul matricei nu se va modifica.
3. Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.

Prin transformări elementare înțelegem:

• Rearanjarea rândurilor matricei;
• Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
• Adăugarea elementelor unei linii a elementelor corespunzătoare unei alte linii, înmulțite cu un număr arbitrar.

Atunci când se calculează rangul unei matrice, pot fi utilizate transformări elementare, metoda de reducere a matricei la o formă în trepte și metoda limitării minorilor.

Metodă pentru reducerea unei matrice la o treaptă Ideea este că, cu ajutorul transformărilor elementare, această matrice este redusă la o matrice în trepte.

Matricea se numește călcat , dacă în fiecare dintre liniile sale primul element diferit de zero este la dreapta decât în ​​precedentul (adică se obțin pași, înălțimea fiecărei trepte trebuie să fie egală cu unu).

Exemple de matrice de etape:

Exemple de matrice non-eșalon:

EXEMPLU: Aflați rangul matricei:

SOLUŢIE:

Să reducem această matrice la o matrice în trepte folosind transformări elementare.

1. Schimbați prima și a treia linie.

2. Primim zerouri sub unu în prima coloană.

Adunând prima linie înmulțită cu (-3) la a doua linie, prima linie înmulțită cu (-5) la a treia linie și prima linie înmulțită cu (-3) la a patra linie, obținem

Pentru a fi mai clar unde mai trebuie să obțineți zerouri, să desenăm pași în matrice. (Matricea va fi treptă dacă există zerouri peste tot sub trepte)

3. Adunând a doua linie înmulțită cu (-1) la a treia linie și a doua linie înmulțită cu (-1) la a patra linie, obținem zerouri sub pașii din a doua coloană.

Dacă desenăm din nou pașii, vom vedea că matricea este în trepte.

Rangul ei este r=3(numărul de rânduri ale matricei trepte, în fiecare dintre care cel puțin un element este diferit de zero). Prin urmare, rangul acestei matrice r=3.

Soluția poate fi scrisă astfel:

(Numerele romane indică numerele de linii)

Răspuns: r=3.

Comanda minora k+1, conţinând un minor de ordin k numit învecinat cu minorul.

Metoda marginală minoră se bazează pe faptul că rangul unei matrice date este egal cu ordinea unui minor al acestei matrice care este diferit de zero, iar toți minorii care o mărginesc sunt egali cu zero.