Aflarea matricei inverse. Operații de bază asupra matricilor (adunare, înmulțire, transpunere) și proprietățile acestora

Scopul serviciului. Calculator matrice conceput pentru rezolvarea expresiilor matriceale, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instrucțiuni. Pentru o soluție online, trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor.

Acțiuni asupra matricelor

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați un separator punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
va trebui să o scrieți astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular cu m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) este o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero și sunt notate cu 0.
Matrice de identitate se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale, dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare sunt egale.
Matrice singulară este o matrice al cărei determinant este egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrici.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice de aceeași dimensiune este o matrice de aceleași dimensiuni, ale cărei elemente se găsesc după formula . Notat cu C = A+B.

Exemplul 6. .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident A+0=A .
Să subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; Pentru matrice de dimensiuni diferite, operația de adăugare nu este definită.

Scăderea matricelor

Definiție . Diferența B-A a matricelor B și A de aceeași dimensiune este o matrice C astfel încât A+ C = B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul unei matrice cu un număr α este o matrice obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, .
Definiție . Să fie date două matrice și , iar numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B. Produsul lui A cu B este o matrice ale cărei elemente se găsesc după formula .
Notat cu C = A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A·B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane al primului factor este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea, iar produsul produce o matrice al cărei număr de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii folosind un calculator special online.

Exemplul 7. Matrici date Și . Găsiți matrice C = A·B și D = B·A.
Soluţie. În primul rând, rețineți că produsul A·B există deoarece numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A, adică. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8. Dată o matrice . Găsiți 3A 2 – 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Să remarcăm următorul fapt interesant.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, este posibil să nu apară o circumstanță similară, adică produsul matricelor diferite de zero se poate dovedi egal cu matricea nulă.

>> Matrici

4.1.Matrici. Operații pe matrice

O matrice dreptunghiulară de dimensiunea mxn este o colecție de numere mxn aranjate sub forma unui tabel dreptunghiular care conține m rânduri și n coloane. O vom scrie în formular

sau prescurtat ca A = (a i j) (i = ; j = ), numerele a i j sunt numite elementele sale; Primul index indică numărul rândului, al doilea - numărul coloanei. A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune se numesc egale dacă elementele lor aflate în aceleași locuri sunt egale pe perechi, adică A = B dacă a i j = b i j.

O matrice formată dintr-un rând sau o coloană se numește vector rând sau, respectiv, vector coloană. Vectorii coloană și vectorii rând sunt numiți pur și simplu vectori.

O matrice formată dintr-un număr este identificată cu acest număr. A de dimensiunea mxn, ale căror toate elementele sunt egale cu zero, se numesc zero și se notează cu 0. Elementele cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale. Dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane, adică m = n, atunci matricea se numește matrice pătrată de ordinul n. Matricele pătrate în care doar elementele diagonalei principale sunt diferite de zero se numesc diagonală și se scriu după cum urmează:

Dacă toate elementele a i i ale diagonalei sunt egale cu 1, atunci se numește unitate și se notează cu litera E:

.

O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele de deasupra (sau dedesubt) diagonalei principale sunt egale cu zero. Transpunerea este o transformare în care rândurile și coloanele sunt schimbate în același timp păstrându-și numerele. Transpunerea este indicată de un T în partea de sus.

Dacă rearanjam rândurile și coloanele în (4.1), obținem

,

care se va transpune faţă de A. În special, la transpunerea unui vector coloană se obţine un vector rând şi invers.

Produsul lui A și numărul b este o matrice ale cărei elemente se obțin din elementele corespunzătoare lui A prin înmulțirea cu numărul b: b A = (b a i j).

Suma A = (a i j) și B = (b i j) de aceeași dimensiune se numește C = (c i j) de aceeași dimensiune, ale cărei elemente sunt determinate de formula c i j = a i j + b i j.

Produsul AB este determinat prin ipoteza că numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Produsul AB, unde A = (a i j) și B = (b j k), unde i = , j= , k= , dat într-o anumită ordine AB, se numește C = (c i k), ale cărui elemente sunt determinate de urmatoarea regula:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4,2)

Cu alte cuvinte, elementul produsului AB este definit astfel: elementul al-lea rând și k-a coloană C este egal cu suma produselor elementelor din i-lea rând A și elementele corespunzătoare ale coloanei k-a B.

Exemplul 2.1. Aflați produsul lui AB și .

Soluţie. Avem: A de dimensiunea 2x3, B de dimensiunea 3x3, atunci produsul AB = C există și elementele lui C sunt egale

De la 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, de la 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, de la 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, iar produsul BA nu există.

Exemplul 2.2. Tabelul arată numărul de unități de produse expediate zilnic din fabricile de lactate 1 și 2 către magazinele M 1, M 2 și M 3, iar livrarea unei unități de produs din fiecare fabrică de lapte la magazinul M 1 costă 50 de den. unități, la magazinul M 2 - 70, și la M 3 - 130 den. unitati Calculați costurile zilnice de transport ale fiecărei fabrici.

Planta de lapte

Soluţie. Să notăm cu A matricea dată nouă în condiția, și prin
B - matrice care caracterizează costul livrării unei unități de produs către magazine, adică

,

Apoi matricea costurilor de transport va arăta astfel:

.

Așadar, prima fabrică cheltuiește zilnic 4.750 de denari pentru transport. unități, a doua - 3680 unități monetare.

Exemplul 2.3. Firma de cusut produce paltoane de iarna, paltoane demi-sezon si impermeabile. Ieșirea planificată pentru un deceniu este caracterizată de vectorul X = (10, 15, 23). Sunt utilizate patru tipuri de țesături: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabelul prezintă ratele de consum de țesături (în metri) pentru fiecare produs. Vectorul C = (40, 35, 24, 16) specifică costul unui metru de țesătură de fiecare tip, iar vectorul P = (5, 3, 2, 2) specifică costul transportului unui metru de țesătură de fiecare tip.

	Consumul de țesături
Palton de iarnă
Palton demi-sezon

1. Câți metri din fiecare tip de țesătură vor fi necesari pentru a finaliza planul?

2. Găsiți costul țesăturii cheltuit pentru coaserea fiecărui tip de produs.

3. Determinați costul întregii țesături necesare pentru a finaliza planul.

Soluţie. Să notăm cu A matricea dată nouă în condiția, adică,

apoi, pentru a găsi numărul de metri de țesătură necesari pentru a finaliza planul, trebuie să înmulțiți vectorul X cu matricea A:

Găsim costul țesăturii cheltuit pentru produse de cusut de fiecare tip prin înmulțirea matricei A și a vectorului C T:

.

Costul întregii țesături necesare pentru a finaliza planul va fi determinat de formula:

În cele din urmă, ținând cont de costurile de transport, întreaga sumă va fi egală cu costul țesăturii, adică 9472 den. unități, plus valoare

X A P T =
.

Deci, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (unități monetare).

Matricele în matematică sunt unul dintre cele mai importante obiecte de importanță practică. Adesea, o excursie în teoria matricelor începe cu cuvintele: „O matrice este o masă dreptunghiulară...”. Vom începe această excursie dintr-o direcție puțin diferită.

Agendele telefonice de orice dimensiune și cu orice cantitate de date despre abonați nu sunt altceva decât matrice. Astfel de matrici arată aproximativ astfel:

Este clar că toți folosim astfel de matrici aproape în fiecare zi. Aceste matrici vin cu un număr diferit de rânduri (variază ca un director emis de o companie de telefonie, care poate avea mii, sute de mii și chiar milioane de linii, și un notebook nou pe care tocmai l-ați început, care are mai puțin de zece linii) și coloane (un director de funcționari de un fel). O organizație în care pot exista coloane precum poziția și numărul biroului și aceeași agendă de adrese, unde este posibil să nu existe date cu excepția numelui și, prin urmare, există doar două coloane în ea - nume și număr de telefon).

Pot fi adăugate și multiplicate tot felul de matrice, precum și alte operații pot fi efectuate asupra lor, dar nu este nevoie să adăugați și să înmulțiți agende telefonice, nu există niciun beneficiu din acest lucru și, în plus, vă puteți folosi mintea.

Dar multe matrice pot și trebuie adăugate și multiplicate și astfel rezolvă diverse probleme stringente. Mai jos sunt exemple de astfel de matrici.

Matrice în care coloanele reprezintă producția de unități dintr-un anumit tip de produs, iar rândurile sunt anii în care se înregistrează producția acestui produs:

Puteți adăuga matrice de acest tip, care iau în considerare producția de produse similare de către diferite întreprinderi, pentru a obține date rezumative pentru industrie.

Sau matrice constând, de exemplu, dintr-o coloană, în care rândurile reprezintă costul mediu al unui anumit tip de produs:

Ultimele două tipuri de matrice pot fi înmulțite, iar rezultatul este o matrice de rând care conține costul tuturor tipurilor de produse pe an.

Matrici, definiții de bază

Un tabel dreptunghiular format din numere aranjate în m linii şi n coloane se numește mn-matrice (sau pur și simplu matrice ) și este scris astfel:

(1)

În matricea (1) numerele se numesc ei elemente (ca și în determinant, primul indice înseamnă numărul rândului, al doilea – coloana la intersecția căreia se află elementul; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matricea se numește dreptunghiular , Dacă .

Dacă m = n, atunci matricea este numită pătrat , iar numărul n este al acestuia în ordine .

Determinant al unei matrice pătrate A este un determinant ale cărui elemente sunt elementele unei matrice A. Este indicat prin simbolul | A|.

Matricea pătrată se numește Nimic special (sau nedegenerat , nesingular ), dacă determinantul său nu este zero și special (sau degenerat , singular ) dacă determinantul său este zero.

Matricele sunt numite egal , dacă au același număr de rânduri și coloane și toate elementele corespunzătoare se potrivesc.

Matricea se numește nul , dacă toate elementele sale sunt egale cu zero. Vom nota matricea zero prin simbol 0 sau .

De exemplu,

Matrice-rând (sau litere mici ) se numește 1 n-matrice, și matrice-coloană (sau coloană ) – m 1-matrice.

Matrice A", care se obține din matrice A se numește schimbarea rândurilor și coloanelor din acesta transpus relativ la matrice A. Astfel, pentru matricea (1) matricea transpusă este

Operație de tranziție a matricei A" transpus cu privire la matrice A, se numește transpunere matriceală A. Pentru mn-matricea transpusă este nm-matrice.

Matricea transpusă în raport cu matricea este A, acesta este

(A")" = A .

Exemplul 1. Găsiți matricea A" , transpus cu privire la matrice

și aflați dacă determinanții matricei originale și transpuse sunt egali.

Diagonala principală O matrice pătrată este o linie imaginară care leagă elementele sale, pentru care ambii indici sunt aceiași. Aceste elemente sunt numite diagonală .

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele din diagonala principală sunt egale cu zero diagonală . Nu toate elementele diagonale ale unei matrice diagonale sunt neapărat nenule. Unele dintre ele pot fi egale cu zero.

O matrice pătrată în care elementele de pe diagonala principală sunt egale cu același număr, diferit de zero și toate celelalte sunt egale cu zero, se numește matrice scalară .

Matrice de identitate se numește matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul. De exemplu, matricea de identitate de ordinul trei este matricea

Exemplul 2. Matrici date:

Soluţie. Să calculăm determinanții acestor matrici. Folosind regula triunghiului, găsim

Determinant de matrice B să calculăm folosind formula

Înțelegem cu ușurință asta

Prin urmare, matricele Ași sunt nesingular (nedegenerat, nesingular), iar matricea B– special (degenerat, singular).

Determinantul matricei identitare de orice ordin este evident egal cu unu.

Rezolvați singur problema matricei și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 3. Matrici date

,

,

Determinați care dintre ele sunt nesingulare (nedegenerate, nesingulare).

Aplicarea matricelor în modelarea matematică și economică

Datele structurate despre un anumit obiect sunt înregistrate simplu și convenabil sub formă de matrice. Modelele matriceale sunt create nu numai pentru a stoca aceste date structurate, ci și pentru a rezolva diverse probleme cu aceste date folosind algebra liniară.

Astfel, un model matriceal binecunoscut al economiei este modelul input-output, introdus de economistul american de origine rusă Vasily Leontiev. Acest model se bazează pe ipoteza că întregul sector de producție al economiei este împărțit în n industrii curate. Fiecare industrie produce un singur tip de produs, iar industriile diferite produc produse diferite. Datorită acestei diviziuni a muncii între industrii, există conexiuni inter-industriale, al căror sens este că o parte din producția fiecărei industrii este transferată altor industrii ca resursă de producție.

Volumul produsului i-a-a industrie (măsurată printr-o anumită unitate de măsură), care a fost produsă în perioada de raportare, se notează cu și se numește producție completă i-a industrie. Problemele pot fi plasate convenabil n-rând component al matricei.

Număr de unități i-industrie care trebuie cheltuită j-industria pentru producerea unei unităţi a producţiei sale este desemnată şi numită coeficient de cost direct.

Definiția 1. Dimensiunea matricei Am n este un tabel dreptunghiular de m rânduri și n coloane, format din numere sau alte expresii matematice (numite elemente de matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, sau

Definiția 2. Două matrice
Și
se numesc aceeași dimensiune egal, dacă acestea coincid element cu element, i.e. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Folosind matrice, este ușor de înregistrat unele dependențe economice, de exemplu, tabele de distribuție a resurselor pentru anumite sectoare ale economiei.

Definiția 3. Dacă numărul de rânduri ale unei matrice coincide cu numărul coloanelor acesteia, i.e. m = n, atunci se numește matricea ordine pătratăn, in caz contrar dreptunghiular.

Definiția 4. Tranziția de la matricea A la matricea A m, în care rândurile și coloanele sunt schimbate menținând ordinea, se numește transpunere matrici.

Tipuri de matrice: pătrat (dimensiunea 33) -
,

dreptunghiular (dimensiune 25) -
,

diagonala -
, singur -
, zero -
,

matrice-rând -
, matrice-coloană -.

Definiția 5. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale, adică. acestea sunt elementele:
.

Definiția 6. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n se numesc elemente ale diagonalei secundare dacă suma indicilor lor este egală cu n + 1, adică. acestea sunt elementele: .

1.2. Operații pe matrice.

1 0 . Cantitate două matrice
Și
de aceeași dimensiune se numește matrice C = (cu ij), ale cărei elemente sunt determinate de egalitatea cu ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Proprietățile operației de adunare a matricei.

Pentru orice matrice A, B, C de aceeași dimensiune, sunt valabile următoarele egalități:

1) A + B = B + A (comutativitate),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociativitate).

2 0 . Munca matrici
pe număr  numită matrice
aceeași dimensiune ca matricea A și b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

(A) = ()A (asociativitatea înmulțirii);

(A+B) = A+B (distributivitatea înmulțirii relativ la adunarea matricei);

(+)A = A+A (distributivitatea înmulțirii relativ la adunarea numerelor).

Definiția 7. Combinație liniară de matrici
Și
de aceeași dimensiune se numește expresie de forma A+B, unde  și  sunt numere arbitrare.

3 0 . Produsul A  În matrice A și, respectiv, B de dimensiunea mn și nk, se numesc matrice C de dimensiunea mk, astfel încât elementul cu ij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i. a matricei A și a j-a coloană a matricei B, adică. cu ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produsul AB există numai dacă numărul de coloane ale matricei A coincide cu numărul de rânduri ale matricei B.

Proprietățile operației de înmulțire a matricei:

(AB)C = A(BC) (asociativitate);

(A+B)C = AC+BC (distributivitatea în raport cu adăugarea matricei);

A(B+C) = AB+AC (distributivitatea în raport cu adăugarea matricei);

AB  BA (nu comutativ).

Definiția 8. Matricele A și B, pentru care AB = BA, se numesc navetă sau navetă.

Înmulțirea unei matrice pătrate de orice ordin cu matricea de identitate corespunzătoare nu schimbă matricea.

Definiția 9. Transformări elementare Următoarele operații se numesc matrice:

Schimbați două rânduri (coloane).

Înmulțirea fiecărui element al unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero.

Adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare ale altui rând (coloană).

Definiția 10. Matricea B obtinuta din matricea A folosind transformari elementare se numeste echivalent(notat cu BA).

Exemplul 1.1. Găsiți o combinație liniară de matrice 2A–3B dacă

,
.

,
,

.

Exemplu 1.2. Aflați produsul matricelor
, Dacă

.

Rezolvare: deoarece numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice, atunci produsul matricelor există. Ca rezultat, obținem o nouă matrice
, Unde

Ca rezultat obținem
.

Curs 2. Determinanti. Calculul determinanților de ordinul doi și trei. Proprietățile determinanțilorn-a ordine.

Acțiuni pe o matrice

1. Adunarea și scăderea matricelor:

Adunarea și scăderea matricelor- una dintre cele mai simple acțiuni asupra lor, pentru că este necesar să se adună sau să scadă elementele corespunzătoare a două matrice. Principalul lucru de reținut este că numai matricele pot fi adăugate și scăzute aceleasi marimi, adică cele care au același număr de rânduri și același număr de coloane.

De exemplu, să fie date două matrice de dimensiune egală 2x3, adică. cu două rânduri și trei coloane:

Suma a două matrici:

Diferența a două matrice:

2. Înmulțirea unei matrice cu un număr:

Înmulțirea unei matrice cu un număr - procesul de înmulțire a unui număr cu fiecare element al unei matrice.

De exemplu, să fie dată matricea A:

Să înmulțim numărul 3 cu matricea A:

3. Înmulțirea a două matrice:

Înmulțirea a două matrici este posibilă numai cu condiția ca numărul de coloane din prima matrice să fie egal cu numărul de rânduri din a doua. Noua matrice, care se va obține prin înmulțirea matricelor, va fi formată dintr-un număr de rânduri egal cu numărul de coloane din prima matrice și un număr de coloane egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Să presupunem că există două matrici de dimensiuni 3x4 și 4x2, adică. prima matrice are 3 rânduri și 4 coloane, iar a doua matrice are 4 rânduri și 2 coloane. Deoarece numărul de coloane din prima matrice (4) este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice (4), atunci matricele pot fi înmulțite, noua matrice va avea dimensiunea de 3x2, adică. 3 rânduri și 2 coloane.

Vă puteți imagina toate acestea sub forma unei diagrame:

Odată ce v-ați decis asupra mărimii noii matrice care va fi obținută prin înmulțirea a două matrice, puteți începe să umpleți această matrice cu elemente. Dacă trebuie să completați primul rând al primei coloane a acestei matrice, atunci trebuie să înmulțiți fiecare element din primul rând al primei matrice cu fiecare element al primei coloane a celei de-a doua matrice, dacă umplem al doilea rând de prima coloană, apoi vom lua fiecare element din al doilea rând al primei matrice și vom înmulți cu prima coloană a celei de-a doua matrice etc.

Să vedem cum arată în diagramă:

Să vedem cum arată cu un exemplu:

Sunt date două matrice:

Să găsim produsul acestor matrici:

4. Diviziunea matricei:

Diviziunea matricei- o acţiune asupra matricelor, care în acest concept nu se regăseşte în manuale. Dar dacă este necesar să se împartă matricea A în matricea B, atunci în acest caz se utilizează una dintre proprietățile gradelor:

Conform acestei proprietăți, împărțim matricea A la matricea B:

Ca urmare, problema împărțirii matricelor se reduce la înmulțire matrice inversă matricea B la matricea A.

matrice inversă

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).

Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.

Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.

Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A si atribuim in dreapta matricei de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost efectuate corect.

Răspuns:

Determinanți ai matricelor (Determinanți) Determinanți ai matricilor (Determinanți)

Determinanți matrici, metoda nr. 1:

Determinant al unei matrice pătrate(det A) este un număr care poate fi calculat din elementele sale matrici dupa formula:

Unde M 1k - determinant matriceal(determinant) obținut din original matrici prin tăierea primului rând și a coloanei a k-a. Trebuie remarcat faptul că calificative au doar pătrat matrici, adică matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. Prima formulă vă permite să calculați determinant matriceal conform primului rând, este valabilă și formula de calcul determinant al matricei pentru prima coloană:

In general vorbind, determinant matriceal poate fi calculată pe orice rând sau coloană matrici, adică formula este corecta:

Evident, diferit matrici poate avea la fel calificative. Determinant al matricei identitare este egal cu 1. Pentru cele specificate matrici Iar numărul M 1k se numește minorul suplimentar al elementului matrici un 1k. Astfel, putem concluziona că fiecare element matrici are propriul său minor suplimentar. Minori suplimentari există doar în pătrat matrici.

Minor suplimentar al unui element pătrat arbitrar matrici a ij este egal cu determinant al matricei, obtinut din original matrici prin tăierea al-lea rând și j-a coloană.

Determinanți matrici, metoda nr. 2:

Determinant de matrice primul ordin, sau determinant de ordinul întâi, elementul a 11 se numește:

Determinant de matrice ordinul doi, sau determinant de ordinul al doilea este un număr care se calculează prin formula:

Determinant de matrice ordinul al treilea sau determinant al treilea ordin este un număr care se calculează prin formula:

Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană matrici. Fiecare termen este format din produsul a trei factori.

Semne cu care membrii determinant al matricei incluse în formulă aflarea determinantului matricei al treilea ordin poate fi determinat folosind schema dată, care se numește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și determinați din cifra din stânga, iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și determinați din cifra din dreapta.

Cometariu:

Calcul determinanți matrici ordinul al patrulea și superior conduce la calcule mari deoarece:

Pentru de ordinul întâi găsim un termen format dintr-un factor;

Pentru aflarea determinantului matricei de ordinul doi, trebuie să calculați o sumă algebrică a doi termeni, în care fiecare termen constă din produsul a doi factori;

Pentru aflarea determinantului matricei de ordinul al treilea, trebuie să calculați o sumă algebrică de șase termeni, unde fiecare termen constă din produsul a trei factori;

Pentru aflarea determinantului matricei de ordinul al patrulea, trebuie să calculați o sumă algebrică de douăzeci și patru de termeni, în care fiecare termen constă din produsul a patru factori etc.

Determinați numărul de termeni de găsit determinant al matricei, într-o sumă algebrică, se poate calcula factorialul: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...