Aflarea matricei inverse. Câteva proprietăți ale operațiilor pe matrice.Expresii matrice Pătrați toate elementele negative ale matricei

Trebuie remarcat faptul că pentru această operație pot fi folosite numai matrici pătrate. Un număr egal de rânduri și coloane este o condiție prealabilă pentru ridicarea unei matrice la o putere. În timpul calculului, matricea va fi înmulțită cu ea însăși de numărul necesar de ori.

Acest calculator online este conceput pentru a efectua operația de ridicare a unei matrice la o putere. Datorită utilizării sale, nu numai că veți face față rapid acestei sarcini, dar veți obține și o idee clară și detaliată a progresului calculului în sine. Acest lucru va ajuta la consolidarea mai bună a materialului obținut în teorie. După ce ați văzut un algoritm detaliat de calcul în fața dvs., veți înțelege mai bine toate subtilitățile acestuia și, ulterior, veți putea evita greșelile în calculele manuale. În plus, nu strică niciodată să-ți verifici calculele, iar acest lucru este cel mai bine făcut aici.

Pentru a ridica o matrice la o putere online, veți avea nevoie de o serie de pași simpli. Mai întâi de toate, specificați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga acesteia. Apoi introduceți numerele în câmpul matricei. De asemenea, trebuie să indicați puterea la care este ridicată matricea. Și apoi tot ce trebuie să faceți este să faceți clic pe butonul „Calculați” din partea de jos a câmpului. Rezultatul obținut va fi de încredere și precis dacă ați introdus cu atenție și corect toate valorile. Împreună cu acesta, vi se va furniza o transcriere detaliată a soluției.

Aici vom continua subiectul operațiunilor pe matrice începute în prima parte și vom analiza câteva exemple în care mai multe operații vor trebui aplicate simultan.

Ridicarea unei matrice la o putere.

Fie k un întreg nenegativ. Pentru orice matrice pătrată $A_(n\times n)$ avem: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; ori) $$

În acest caz, presupunem că $A^0=E$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.

Exemplul nr. 4

Dată o matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $A^2$ și $A^6$.

Conform definiției, $A^2=A\cdot A$, adică. pentru a găsi $A^2$ trebuie doar să înmulțim matricea $A$ cu ea însăși. Operația de înmulțire a matricei a fost discutată în prima parte a subiectului, așa că aici vom scrie pur și simplu procesul de rezolvare fără explicații detaliate:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Pentru a găsi matricea $A^6$ avem două opțiuni. Opțiunea 1: este trivial să continuați înmulțirea $A^2$ cu matricea $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Cu toate acestea, puteți lua o cale puțin mai simplă, folosind proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale. Să plasăm paranteze în expresia pentru $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Dacă rezolvarea primei metode ar necesita patru operații de înmulțire, atunci a doua metodă ar necesita doar două. Prin urmare, să mergem pe a doua cale:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 și 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 și -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Răspuns: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 și -140 \\ 70 și 239 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 5

Matrici date $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (matrice) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ dreapta)$. Găsiți matricea $D=2AB-3C^T+7E$.

Începem să calculăm matricea $D$ prin găsirea rezultatului produsului $AB$. Matricele $A$ și $B$ pot fi înmulțite, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$. Să notăm $F=AB$. În acest caz, matricea $F$ va avea trei coloane și trei rânduri, adică. va fi pătrat (dacă această concluzie nu pare evidentă, vezi descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect). Să găsim matricea $F$ calculând toate elementele sale:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(matrice) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(matrice) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(aliniat) $$

Deci $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Să mergem mai departe. Matricea $C^T$ este matricea transpusă pentru matricea $C$, adică. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. În ceea ce privește matricea $E$, este matricea identității. În acest caz, ordinea acestei matrice este de trei, adică. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

În principiu, putem continua să mergem pas cu pas, dar este mai bine să luăm în considerare expresia rămasă ca un întreg, fără a fi distras de acțiuni auxiliare. De fapt, ne rămân doar operațiile de înmulțire a matricelor cu un număr, precum și operațiile de adunare și scădere.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ dreapta)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Să înmulțim matricele din partea dreaptă a egalității cu numerele corespunzătoare (adică cu 2, 3 și 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 și 7 \end(array) \right) $$

Să facem ultimii pași: scădere și adunare:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (matrice) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(matrice) \right). $$

Problemă rezolvată, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Răspuns: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 6

Fie $f(x)=2x^2+3x-9$ și matricea $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Aflați valoarea lui $f(A)$.

Dacă $f(x)=2x^2+3x-9$, atunci $f(A)$ este înțeles ca matrice:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Așa este definit un polinom dintr-o matrice. Deci, trebuie să înlocuim matricea $A$ în expresia pentru $f(A)$ și să obținem rezultatul. Deoarece toate acțiunile au fost discutate în detaliu mai devreme, aici voi da pur și simplu soluția. Dacă procesul de efectuare a operației $A^2=A\cdot A$ vă este neclar, atunci vă sfătuiesc să priviți descrierea înmulțirii matricelor din prima parte a acestui subiect.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 și 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 și 1 \\ 5 și 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Răspuns: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un suport electronic cu numele tuturor participanților la expediție înregistrați.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Există un articol interesant pe acest subiect, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la exemple mai complexe de fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, aceasta este o structură auto-similară, examinând detaliile căreia atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), la mărire vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art in the Name of Science: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii ca și în forma lor generală. Adică, dacă fac parte din fractal. va fi mărită la dimensiunea întregului, va apărea ca un întreg, fie exact, fie poate cu o ușoară deformare.”

Algebră liniară pentru manechine

Pentru a studia algebra liniară, puteți citi și aprofunda în cartea „Matrici și determinanți” de I. V. Belousov. Cu toate acestea, este scris într-un limbaj matematic strict și sec, ceea ce este greu de perceput pentru persoanele cu inteligență medie. Prin urmare, am făcut o repovestire a părților cele mai greu de înțeles ale acestei cărți, încercând să prezint materialul cât mai clar, folosind cât mai mult desene. Am omis demonstrațiile teoremelor. Sincer, nu le-am aprofundat eu însumi. Îl cred pe domnul Belousov! Judecând după munca sa, este un matematician competent și inteligent. Puteți descărca cartea lui de la http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Dacă aveți de gând să vă aprofundați în munca mea, trebuie să faceți acest lucru, deoarece mă voi referi adesea la Belousov.

Să începem cu definiții. Ce este o matrice? Acesta este un tabel dreptunghiular de numere, funcții sau expresii algebrice. De ce sunt necesare matrici? Ele facilitează foarte mult calculele matematice complexe. Matricea poate avea rânduri și coloane (Fig. 1).

Rândurile și coloanele sunt numerotate începând din stânga

de sus (Fig. 1-1). Când se spune: o matrice de mărimea m n (sau m cu n), ei înseamnă prin m numărul de rânduri, iar prin n numărul de coloane. De exemplu, matricea din Figura 1-1 este 4 cu 3, nu 3 cu 4.

Uită-te la fig. 1-3, ce matrici sunt acolo. Dacă o matrice este formată dintr-un rând, se numește matrice de rând, iar dacă este formată dintr-o coloană, atunci se numește matrice coloană. O matrice se numește pătrat de ordinul n dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane și egal cu n. Dacă toate elementele unei matrice sunt zero, atunci aceasta este o matrice zero. O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale sunt egale cu zero, cu excepția celor situate pe diagonala principală.

Voi explica imediat care este diagonala principală. Numerele rândurilor și coloanelor de pe el sunt aceleași. Merge de la stânga la dreapta de sus în jos. (Fig. 3) Elementele se numesc diagonală dacă sunt situate pe diagonala principală. Dacă toate elementele diagonale sunt egale cu unu (și restul sunt egale cu zero), matricea se numește identitate. Se spune că două matrici A și B de aceeași dimensiune sunt egale dacă toate elementele lor sunt aceleași.

2 Operații pe matrici și proprietățile acestora

Produsul unei matrice și al unui număr x este o matrice de aceeași dimensiune. Pentru a obține acest produs, trebuie să înmulțiți fiecare element cu acest număr (Figura 4). Pentru a obține suma a două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare (Fig. 4). Pentru a obține diferența A - B a două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să înmulțiți matricea B cu -1 și să adăugați matricea rezultată cu matricea A (Fig. 4). Pentru operațiile pe matrice sunt valabile următoarele proprietăți: A+B=B+A (proprietatea comutativității).

(A + B)+C = A+(B + C) (proprietate de asociativitate). Mai simplu spus, schimbarea locurilor termenilor nu schimbă suma. Următoarele proprietăți se aplică operațiilor pe matrice și numere:

(Notați numerele cu literele x și y, iar matricele cu literele A și B) x(yA)=(xy)A

Aceste proprietăți sunt similare cu proprietățile care se aplică operațiilor pe numere. Uite

exemple din Figura 5. Vezi și exemplele 2.4 - 2.6 din Belousov la pagina 9.

Înmulțirea matricei.

Înmulțirea a două matrice este definită numai dacă (tradus în rusă: matricele pot fi înmulțite numai dacă) atunci când numărul de coloane din prima matrice din produs este egal cu numărul de rânduri din a doua (Fig. 7, mai sus, paranteze albastre). Pentru a vă ajuta să vă amintiți: numărul 1 este mai mult ca o coloană. Rezultatul înmulțirii este o matrice de mărime (vezi Figura 6). Pentru a ne aminti mai ușor ce trebuie înmulțit cu ce, propun următorul algoritm: uitați-vă la Figura 7. Înmulțiți matricea A cu matricea B.

matricea A două coloane,

Matricea B are două rânduri - puteți înmulți.

1) Să ne ocupăm de prima coloană a matricei B (este singura pe care o are). Scriem această coloană într-o linie (transpune

coloana despre transpunere de mai jos).

2) Copiați această linie astfel încât să obținem o matrice de dimensiunea matricei A.

3) Înmulțiți elementele acestei matrice cu elementele corespunzătoare ale matricei A.

4) Adăugăm produsele rezultate în fiecare rând și obținem o matrice de produse de două rânduri și o coloană.

Figura 7-1 prezintă exemple de matrice de înmulțire care au dimensiuni mai mari.

1) Aici prima matrice are trei coloane, ceea ce înseamnă că a doua trebuie să aibă trei rânduri. Algoritmul este exact același ca în exemplul anterior, doar că aici sunt trei termeni în fiecare linie, nu doi.

2) Aici a doua matrice are două coloane. Mai întâi executăm algoritmul cu prima coloană, apoi cu a doua și obținem o matrice „două câte doi”.

3) Aici coloana celei de-a doua matrice este formată dintr-un element; coloana nu se va modifica din cauza transpunerii. Și nu este nevoie să adăugați nimic, deoarece prima matrice are o singură coloană. Efectuăm algoritmul de trei ori și obținem o matrice de trei câte trei.

Următoarele proprietăți au loc:

1. Dacă există suma B + C și produsul AB, atunci A (B + C) = AB + AC

2. Dacă produsul AB există, atunci x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Dacă produsele AB și BC există, atunci A (BC) = (AB) C.

Dacă produsul matriceal AB există, atunci produsul matriceal BA poate să nu existe. Chiar dacă produsele AB și BA există, ele se pot dovedi a fi matrici de dimensiuni diferite.

Ambele produse AB și BA există și sunt matrici de aceeași dimensiune numai în cazul matricelor pătrate A și B de același ordin. Cu toate acestea, chiar și în acest caz, AB poate să nu fie egal cu BA.

Exponentiație

Ridicarea unei matrice la o putere are sens doar pentru matrice pătrată (vă gândiți de ce?). Atunci puterea întreagă pozitivă m a matricei A este produsul dintre m matrice egal cu A. La fel ca pentru numere. Prin gradul zero al unei matrice pătrate A înțelegem o matrice de identitate de același ordin ca A. Dacă ați uitat ce este o matrice de identitate, priviți Fig. 3.

La fel ca în cazul numerelor, sunt valabile următoarele relații:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Vezi exemple de la Belousov la pagina 20.

Matrici de transpunere

Transpunerea este transformarea matricei A în matricea AT,

în care rândurile matricei A sunt scrise pe coloanele AT menținând ordinea. (Fig. 8). Poți spune altfel:

Coloanele matricei A sunt scrise în rândurile matricei AT, păstrând ordinea. Observați cum transpunerea modifică dimensiunea matricei, adică numărul de rânduri și coloane. De asemenea, rețineți că elementele de pe primul rând, prima coloană și ultimul rând, ultima coloană rămân pe loc.

Următoarele proprietăți sunt valabile: (AT )T =A (transpunere

matrice de două ori - obțineți aceeași matrice)

(xA)T =xAT (prin x înțelegem un număr, prin A, desigur, o matrice) (dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu un număr și să transpuneți, puteți mai întâi să înmulțiți, apoi să transpuneți sau invers )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Matrici simetrice și antisimetrice

Figura 9, stânga sus, prezintă o matrice simetrică. Elementele sale, simetrice față de diagonala principală, sunt egale. Și acum definiția: matrice pătrată

A se numește simetric dacă AT =A. Adică, o matrice simetrică nu se schimbă atunci când este transpusă. În special, orice matrice diagonală este simetrică. (O astfel de matrice este prezentată în Fig. 2).

Acum uitați-vă la matricea antisimetrică (Fig. 9, mai jos). Cum diferă de simetric? Rețineți că toate elementele sale diagonale sunt zero. Matricele antisimetrice au toate elementele diagonale egale cu zero. Gândește-te de ce? Definiție: O matrice pătrată A se numește

antisimetric dacă AT = -A. Să notăm câteva proprietăți ale operațiilor pe simetrice și antisimetrice

matrici. 1. Dacă A și B sunt matrice simetrice (antisimetrice), atunci A + B este o matrice simetrică (antisimetrică).

2. Dacă A este o matrice simetrică (antisimetrică), atunci xA este, de asemenea, o matrice simetrică (antisimetrică). (de fapt, dacă înmulțiți matricele din figura 9 cu un număr, simetria va fi încă păstrată)

3. Produsul AB a două matrice simetrice sau a două matrice antisimetrice A și B este o matrice simetrică pentru AB = BA și antisimetrică pentru AB = -BA.

4. Dacă A este o matrice simetrică, atunci A m (m = 1, 2, 3, ...) este o matrice simetrică. În cazul în care o

O matrice antisimetrică, atunci Am (m = 1, 2, 3, ...) este o matrice simetrică pentru m par și antisimetrică pentru impar.

5. O matrice pătrată arbitrară A poate fi reprezentată ca o sumă a două matrice. (să numim aceste matrici, de exemplu A(s) și A(a) )

A=A (s)+A (a)