Metoda multiplicatorului Lagrange pentru a găsi un extremum condiționat. Optimizare conditionata. Metoda multiplicatorului Lagrange

Metoda de determinare a unui extremum condiționat începe cu construirea unei funcții Lagrange auxiliare, care în regiunea soluțiilor fezabile atinge un maxim pentru aceleași valori ale variabilelor. X 1 , X 2 , ..., X n , care este aceeași cu funcția obiectiv z . Să fie rezolvată problema determinării extremului condiționat al funcției z = f(X) sub restricții φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Să compunem o funcție

Care e numit Funcția Lagrange. X , - factori constanți ( Multiplicatori de Lagrange). Rețineți că multiplicatorilor Lagrange li se poate da un sens economic. Dacă f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - venituri conforme cu planul X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) , și funcția φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - costurile i-a resursă corespunzătoare acestui plan, atunci X , este prețul (estimarea) resursei i-a, care caracterizează modificarea valorii extreme a funcției obiectiv în funcție de modificarea mărimii resursei i-a (estimare marginală). L(X) - functie n+m variabile (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Determinarea punctelor staționare ale acestei funcții duce la rezolvarea sistemului de ecuații

Este ușor să vezi asta . Astfel, sarcina de a găsi extremul condiționat al funcției z = f(X) se reduce la găsirea extremului local al funcției L(X) . Dacă se găsește un punct staționar, atunci problema existenței unui extremum în cele mai simple cazuri este rezolvată pe baza unor condiții suficiente pentru extremum - studierea semnului celei de-a doua diferenţiale d 2 L(X) într-un punct staționar, cu condiția ca variabila să crească Δx i - legate prin relații

obţinute prin diferenţierea ecuaţiilor de cuplare.

Rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare în două necunoscute folosind instrumentul Solution Finder

Setări Găsirea unei soluții vă permite să găsiți o soluție la un sistem de ecuații neliniare cu două necunoscute:

Unde
- funcţia neliniară a variabilelor X Și y ,
- constantă arbitrară.

Se știe că cuplul ( X , y ) este o soluție a sistemului de ecuații (10) dacă și numai dacă este o soluție a următoarei ecuații cu două necunoscute:

CU pe de altă parte, soluția sistemului (10) este punctele de intersecție a două curbe: f ] (X, y) = C Și f 2 (x, y) = C 2 la suprafata XOY.

Aceasta conduce la o metodă de găsire a rădăcinilor sistemului. ecuații neliniare:

Determinați (cel puțin aproximativ) intervalul de existență a unei soluții la sistemul de ecuații (10) sau ecuația (11). Aici este necesar să se țină cont de tipul de ecuații incluse în sistem, domeniul de definire al fiecăreia dintre ecuațiile acestora etc. Uneori se folosește selecția unei aproximări inițiale a soluției;

Tabelați soluția ecuației (11) pentru variabilele x și y pe intervalul selectat sau construiți grafice ale funcțiilor f 1 (X, y) = C, și f 2 (x,y) = C 2 (sistem(10)).

Localizați presupusele rădăcini ale unui sistem de ecuații - găsiți mai multe valori minime din tabel, tabelați rădăcinile ecuației (11) sau determinați punctele de intersecție ale curbelor incluse în sistemul (10).

4. Găsiți rădăcinile sistemului de ecuații (10) utilizând suplimentul Găsirea unei soluții.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

constă în înlocuirea constantelor arbitrare ck în soluţia generală

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

ecuația omogenă corespunzătoare

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

pe functii secundare ck(t), ale cărui derivate satisfac sistemul algebric liniar

Determinantul sistemului (1) este Wronskianul funcțiilor z1,z2,...,zn, care asigură solvabilitatea sa unică față de .

Dacă sunt antiderivate pentru , luate la valori fixe constante de integrare, apoi funcția

este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuații neomogene în prezența unei soluții generale la ecuația omogenă corespunzătoare este astfel redusă la cuadraturi.

Metoda Lagrange (metoda de variație a constantelor arbitrare)

O metodă pentru obținerea unei soluții generale a unei ecuații neomogene, cunoscând soluția generală a unei ecuații omogene fără a găsi o soluție anume.

Pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul al n-lea

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

unde y = y(x) - functie necunoscuta, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) - cunoscut, continuu, adevărat: 1) există n soluții liniar independente ale ecuației y1(x), y2 (x), ..., yn(x); 2) pentru orice valoare a constantelor c1, c2, ..., cn, funcția y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) este o rezolvarea ecuației; 3) pentru orice valorile initiale x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 există valori c*1, c*n, ..., c*n astfel încât soluția y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) satisface pentru x = x0 condiții inițiale y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Expresia y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) se numește decizie generală ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul al n-lea.

Mulțimea de n soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul n y1(x), y2(x), ..., yn(x) se numește sistemul fundamental de soluții ale ecuației.

Pentru o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți, există un algoritm simplu pentru construirea unui sistem fundamental de soluții. Vom căuta o soluție a ecuației sub forma y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, adică numărul l este rădăcina ecuației caracteristice ln + a1ln-1 + . .. + an-1l + an = 0. Partea stângă a ecuației caracteristice se numește polinomul caracteristic al ecuației diferențiale liniare: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Astfel, problema rezolvării unei ecuații liniare omogene de ordinul al n-lea cu coeficienți constanți se reduce la rezolvarea unei ecuații algebrice.

Dacă ecuația caracteristică are n rădăcini reale diferite l1№ l2 № ... № ln, atunci sistemul fundamental de soluții este format din funcțiile y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), iar soluția generală a ecuației omogene este: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

un sistem fundamental de soluții și o soluție generală pentru cazul rădăcinilor simple reale.

Dacă oricare dintre rădăcinile reale ale ecuației caracteristice se repetă de r ori (r-rădăcină multiplă), atunci în sistemul fundamental de soluții există r funcții corespunzătoare acestuia; dacă lk=lk+1 = ... = lk+r-1, atunci în sistem fundamental soluțiile ecuației includ r funcții: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

EXEMPLU 2. Sistem fundamental de soluții și soluție generală pentru cazul rădăcinilor reale multiple.

Dacă ecuația caracteristică are rădăcini complexe, atunci fiecare pereche de rădăcini complexe simple (cu multiplicitatea 1) lk,k+1=ak ± ibk din sistemul fundamental de soluții corespunde unei perechi de funcții yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

EXEMPLU 4. Sistem fundamental de soluții și soluție generală pentru cazul rădăcinilor simple complexe. Rădăcini imaginare.

Dacă o pereche complexă de rădăcini are multiplicitatea r, atunci o astfel de pereche lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, în sistemul fundamental de soluții corespunde funcțiilor exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

EXEMPLU 5. Sistem fundamental de soluții și soluție generală pentru cazul rădăcinilor complexe multiple.

Astfel, pentru a găsi o soluție generală la o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți, ar trebui: scrieți ecuația caracteristică; găsiți toate rădăcinile ecuației caracteristice l1, l2, ... , ln; notează sistemul fundamental de soluții y1(x), y2(x), ..., yn(x); scrieți expresia pentru soluția generală y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Pentru a rezolva problema Cauchy, trebuie să înlocuiți expresia pentru soluția generală în condițiile inițiale și să determinați valorile constantelor c1,..., cn, care sunt soluții ale sistemului liniar. ecuații algebrice c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Pentru o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul al n-lea

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

unde y = y(x) este o funcție necunoscută, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) sunt cunoscute, continue, valide: 1 ) dacă y1(x) și y2(x) sunt două soluții ale unei ecuații neomogene, atunci funcția y(x) = y1(x) - y2(x) este o soluție a ecuației omogene corespunzătoare; 2) dacă y1(x) este o soluție a unei ecuații neomogene și y2(x) este o soluție a ecuației omogene corespunzătoare, atunci funcția y(x) = y1(x) + y2(x) este o soluție pentru ecuația neomogenă; 3) dacă y1(x), y2(x), ..., yn(x) sunt n soluții liniar independente ale unei ecuații omogene și ych(x) este o soluție arbitrară a unei ecuații neomogene, atunci pentru orice valoare inițială ​​x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 există valori c*1, c*n, ..., c*n astfel încât soluția y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) satisface la x = x0 condițiile inițiale y*(x0)=y0, (y* )"(x0)=y0,1,...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Expresia y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) se numește soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul al n-lea.

Pentru a găsi soluții speciale de neomogene ecuatii diferentiale cu coeficienți constanți cu laturile drepte de forma: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), unde Pk(x), Qm(x) sunt polinoame de gradul k și m În consecință, există un algoritm simplu pentru construirea unei anumite soluții, numit metoda de selecție.

Metoda de selecție sau metoda coeficienților nedeterminați este următoarea. Soluția necesară a ecuației se scrie sub forma: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, unde Pr(x), Qr(x ) sunt polinoame de gradul r = max(k, m) cu coeficienți necunoscuți pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Factorul xs se numește factor de rezonanță. Rezonanța apare în cazurile în care printre rădăcinile ecuației caracteristice există o rădăcină l =a ± ib de multiplicitate s. Acestea. dacă printre rădăcinile ecuației caracteristice a ecuației omogene corespunzătoare există una astfel încât partea sa reală să coincidă cu coeficientul din exponentul exponentului, iar partea sa imaginară coincide cu coeficientul din argument functie trigonometricaîn partea dreaptă a ecuației, iar multiplicitatea acestei rădăcini este s, atunci soluția parțială necesară conține un factor de rezonanță xs. Dacă nu există o astfel de coincidență (s=0), atunci nu există un factor de rezonanță.

Înlocuirea expresiei pentru soluția particulară în partea stanga ecuație, obținem un polinom generalizat de aceeași formă ca polinomul din partea dreaptă a ecuației, ai cărui coeficienți sunt necunoscuți.

Două polinoame generalizate sunt egale dacă și numai dacă coeficienții factorilor de forma xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) cu aceleași puteri t sunt egali. Echivalând coeficienții unor astfel de factori, obținem un sistem de 2(r+1) ecuații algebrice liniare pentru 2(r+1) necunoscute. Se poate demonstra că un astfel de sistem este consistent și are o soluție unică.

Metoda multiplicatoruluiLagrange(în literatura engleză „Metoda LaGrange a multiplicatorilor nedeterminați”) ˗ este o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor de optimizare care vă permite să determinați extremul „condițional” al funcției obiectiv (valoare minimă sau maximă)

în prezența unor restricții specificate asupra variabilelor sale sub formă de egalități (adică, aria valori acceptabile)

˗ acestea sunt valorile argumentului funcției ( parametri controlați) pe domeniul real la care valoarea funcției tinde spre un extrem. Utilizarea denumirii de extremum „condițional” se datorează faptului că variabilele sunt supuse condiție suplimentară, care limitează intervalul de valori acceptabile atunci când se caută extremul unei funcții.

Metoda multiplicatorului Lagrange permite ca problema căutării unui extremum condiționat al unei funcții obiective pe un set de valori admisibile să fie transformată într-o problemă de optimizare necondiționată a unei funcții.

În cazul în care funcţiile Și sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale, atunci există astfel de variabile λ care nu sunt simultan egale cu zero, în care este îndeplinită următoarea condiție:

Astfel, în conformitate cu metoda multiplicatorului Lagrange, pentru a găsi extremul funcției obiectiv pe mulțimea de valori admisibile, compun funcția Lagrange L(x, λ), care este optimizată în continuare:

unde λ ˗ este un vector de variabile suplimentare numite factori nedeterminați Lagrange.

Astfel, problema găsirii extremului condiționat al funcției f(x) a fost redusă la problema găsirii extremului necondiționat al funcției L(x, λ).

Și

Condiția necesară pentru extremul funcției Lagrange este dată de un sistem de ecuații (sistemul este format din ecuații „n + m”):

Rezolvarea acestui sistem de ecuații ne permite să determinăm argumentele funcției (X) la care valoarea funcției L(x, λ), precum și valoarea funcției țintă f(x) corespund extremului.

Mărimea multiplicatorilor Lagrange (λ) este de interes practic dacă constrângerile sunt prezentate sub forma cu un termen liber în ecuație (constant). În acest caz, putem considera în continuare (creșterea/scăderea) valoarea funcției obiectiv prin modificarea valorii constantei din sistemul de ecuații. Astfel, multiplicatorul Lagrange caracterizează rata de modificare a maximului funcției obiectiv atunci când constanta limită se modifică.

Există mai multe moduri de a determina natura extremului funcției rezultate:

Prima metodă: Fie coordonatele punctului extremum și valoarea corespunzătoare a funcției obiectiv. Se ia un punct apropiat de punct și se calculează valoarea funcției obiectiv:

Dacă , atunci există un maxim la punct.

Dacă , atunci există un minim la punct.

A doua cale: Stare suficientă, din care se poate determina natura extremului, este semnul celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. A doua diferență a funcției Lagrange este definită după cum urmează:

Dacă în punct dat minim, dacă , atunci funcția obiectiv f(x) are o condițională maxim.

A treia metodă: De asemenea, natura extremului funcției poate fi determinată luând în considerare Hessianul funcției Lagrange. Matricea Hessiană este o simetrică matrice pătrată derivate parțiale secunde ale unei funcții în punctul în care elementele matricei sunt simetrice față de diagonala principală.

Pentru a determina tipul de extremum (maxim sau minim al unei funcții), puteți folosi regula lui Sylvester:

1. Pentru ca a doua diferenta a functiei Lagrange sa fie de semn pozitiv este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să fie pozitive. În astfel de condiții, funcția în acest moment are un minim.

2. Pentru ca a doua diferenţială a funcţiei Lagrange să fie negativă în semn , este necesar ca minorele unghiulare ale funcției să se alterneze, iar primul element al matricei să fie negativesv. În astfel de condiții, funcția în acest punct are un maxim.

Prin minor unghiular înțelegem minorul situat în primele k rânduri și k coloane ale matricei originale.

Principala semnificație practică a metodei Lagrange este că vă permite să treceți de la optimizarea condiționată la optimizarea necondiționată și, în consecință, extindeți arsenalul de metode disponibile pentru rezolvarea problemei. Cu toate acestea, problema rezolvării unui sistem de ecuații, care se rezumă la aceasta metoda, V caz general nu mai ușor problema initialaîn căutarea unui extremum. Astfel de metode sunt numite indirecte. Utilizarea lor se explică prin necesitatea de a obține o soluție la o problemă extremă în formă analitică (de exemplu, pentru anumite calcule teoretice). La rezolvarea specifice probleme practice De obicei se folosesc metode directe, bazate pe procese iterative de calcul și comparare a valorilor funcțiilor optimizate.

Metoda de calcul

1 pas: Determinăm funcția Lagrange din funcția obiectivă dată și sistemul de constrângeri:

Redirecţiona

Pentru a adăuga comentariul dumneavoastră la articol, vă rugăm să vă înregistrați pe site.

CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema extremului condiționat la rezolvarea problemei extremului necondiționat. Luați în considerare modelul de programare neliniară:

(5.2)

Unde
– funcții cunoscute,

A
– coeficienți dați.

Rețineți că în această formulare a problemei, constrângerile sunt specificate prin egalități și nu există nicio condiție ca variabilele să fie nenegative. În plus, credem că funcțiile
sunt continue cu primele lor derivate parțiale.

Să transformăm condițiile (5.2) astfel încât în ​​partea stângă sau dreaptă a egalităților să existe zero:

(5.3)

Să compunem funcția Lagrange. Include funcția obiectiv (5.1) și părțile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții
. Vor fi atât de mulți coeficienți Lagrange câte constrângeri există în problemă.

Punctele extreme ale funcției (5.4) sunt punctele extreme ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1)-(5.2) este punctul extremum global al funcției Lagrange.

Într-adevăr, să se găsească o soluție
problemele (5.1)-(5.2), atunci condițiile (5.3) sunt îndeplinite. Să înlocuim planul
în funcția (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).

Astfel, pentru a găsi planul optim pentru problema inițială, este necesar să se examineze funcția Lagrange pentru extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero. Se numesc astfel de puncte staționar.

Să definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)

,

.

După egalizare zero derivate obținem sistemul m+n ecuatii cu m+n necunoscut

,(5.6)

În cazul general, sistemul (5.6)-(5.7) va avea mai multe soluții, care vor include toate maximele și minimele funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiectiv sunt calculate în toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cel mai mic va fi minimul global. În unele cazuri este posibil să se utilizeze condiţii suficiente pentru un extremum strict funcții continue (vezi problema 5.2 de mai jos):

lasa sa functioneze
este continuă și de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului său staționar (acestea.
)). Apoi:

A ) Dacă
, (5.8)

Acea – punctul de maxim strict al funcției
;

b) Dacă
, (5.9)

Acea – punctul de minim strict al funcției
;

G ) Dacă
,

atunci chestiunea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

În plus, unele soluții ale sistemului (5.6)-(5.7) pot fi negative. Ceea ce este incompatibil cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui să luați în considerare înlocuirea valorilor negative cu valori zero.

Sensul economic al multiplicatorilor Lagrange. Valoarea optimă a multiplicatorului
arată cât de mult se va modifica valoarea criteriului Z când resursa crește sau scade j cu o unitate, din moment ce

Metoda Lagrange poate fi folosită și în cazul în care constrângerile sunt inegalități. Astfel, găsirea extremului funcției
in conditii

,

realizat în mai multe etape:

1. Determinați punctele staționare ale funcției obiectiv, pentru care rezolvă un sistem de ecuații

.

2. Din punctele staționare, selectați cele ale căror coordonate îndeplinesc condițiile

3. Folosind metoda Lagrange, rezolvați problema cu constrângeri de egalitate (5.1)-(5.2).

4. Punctele găsite în a doua și a treia etapă sunt examinate pentru maximul global: valorile funcției obiective în aceste puncte sunt comparate - cea mai mare valoare corespunde planului optim.

Problema 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, considerată în prima secțiune, folosind metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă de un model matematic

.

Să compunem funcția Lagrange

Să găsim maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero

,

Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare de forma

Soluția sistemului de ecuații reprezintă un plan optim pentru distribuirea resurselor de apă în zonele irigate

, .

Cantitati
măsurată în sute de mii de metri cubi.
- suma venitului net la o sută de mii de metri cubi de apă de irigare. Prin urmare, prețul marginal al 1 m 3 de apă de irigare este egal cu
den. unitati

Venitul net suplimentar maxim din irigare va fi

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (unități den.)

Problema 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară

Să reprezentăm limitarea ca:

.

Să compunem funcția Lagrange și să determinăm derivatele ei parțiale

.

Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, derivatele sale parțiale ar trebui să fie egale cu zero. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații

.

Din prima ecuație rezultă

. (5.10)

Expresie înlocuiți în a doua ecuație

,

ceea ce presupune două soluţii pt :

Și
. (5.11)

Înlocuind aceste soluții în a treia ecuație, obținem

,
.

Valorile multiplicatorului Lagrange și ale necunoscutului Să calculăm folosind expresiile (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Astfel, avem două puncte extreme:

;
.

Pentru a afla dacă aceste puncte sunt puncte maxime sau minime, folosim condiții suficiente pentru extremul strict (5.8)-(5.9). Pre-exprimare pentru , obținut din constrângerea modelului matematic, substituim în funcția țintă

,

. (5.12)

Pentru a verifica condițiile unui extremum strict, ar trebui să determinăm semnul derivatei a doua a funcției (5.11) în punctele extreme pe care le-am găsit
Și
.

,
;

.

Prin urmare, (·)
este punctul minim al problemei inițiale (
), A (·)
– punct maxim.

Plan optim:

,
,
,

.

• Tutorial

Buna ziua tuturor. În acest articol vreau să arăt unul dintre metode grafice constructie modele matematice pentru sisteme dinamice, care se numește grafic de legături(„legare” - conexiuni, „grafic” - grafic). În literatura rusă, am găsit descrieri ale acestei metode doar în Manualul lui Tomsky Universitatea Politehnică, A.V. Voronin „MODELAREA SISTEMELOR MECATRONICE” 2008 Arătați și metoda clasică prin ecuația Lagrange de al 2-lea fel.

Metoda Lagrange

Nu voi descrie teoria, voi arăta etapele calculelor cu câteva comentarii. Personal, îmi este mai ușor să învăț din exemple decât să citesc teoria de 10 ori. Mi s-a părut că în literatura rusă, explicația acestei metode și, într-adevăr, matematica sau fizica în general, este foarte bogată în formule complexe, ceea ce necesită, în consecință, un fundal matematic serios. În timp ce studiam metoda Lagrange (studiez la Universitatea Politehnică din Torino, Italia), am studiat literatura rusă pentru a compara metodele de calcul și mi-a fost greu să urmăresc progresul rezolvării acestei metode. Chiar și amintindu-ne cursurile de modelare de la Institutul de Aviație din Harkov, derivarea unor astfel de metode a fost foarte greoaie și nimeni nu s-a deranjat să încerce să înțeleagă această problemă. Acesta este ceea ce m-am hotărât să scriu, un manual de construcție a modelelor matematice după Lagrange, deoarece s-a dovedit că nu este deloc dificil, este suficient să știi să calculezi derivatele în funcție de timp și derivatele parțiale. Pentru modele mai complexe se adaugă și matrice de rotație, dar nici în ele nu este nimic complicat.

Caracteristicile metodelor de modelare:

• Newton-Euler: ecuații vectoriale bazate pe echilibru dinamic fortaȘi momente
• Lagrange: ecuații scalare bazate pe funcții de stare asociate cu cinetică și potențial energii
• Numărul de obligațiuni: metoda bazata pe flux putereîntre elementele sistemului

Sa incepem cu exemplu simplu. Masă cu arc și amortizor. Ignorăm forța gravitației.

Fig 1. Masă cu arc și amortizor

În primul rând, desemnăm:

• sistem initial coordonate(NSK) sau sk fix R0(i0,j0,k0). Unde? Poți îndrepta cu degetul spre cer, dar prin răsturnarea vârfurilor neuronilor din creier, ideea trece prin plasarea NSC pe linia de mișcare a corpului M1.
• sisteme de coordonate pentru fiecare corp cu masă(avem M1 R1(i1,j1,k1)), orientarea poate fi arbitrară, dar de ce să-ți complici viața, setează-o cu diferență minimă față de NSC
• coordonate generalizate q_i(numărul minim de variabile care pot descrie mișcarea), în în acest exemplu o coordonată generalizată, mișcare numai de-a lungul axei j

Fig 2. Punem jos sisteme de coordonate și coordonate generalizate

Fig 3. Poziția și viteza corpului M1

Apoi vom găsi energiile cinetice (C) și potențiale (P) și funcția disipativă (D) pentru amortizor folosind formulele:

Fig 4. Formula completă pentru energie cinetică

În exemplul nostru nu există rotație, a doua componentă este 0.

Fig 5. Calculul energiei cinetice, potenţiale şi disipative

Ecuația Lagrange are următoarea formă:

Fig 6. Ecuația Lagrange și Lagrangiană

Delta W_i Acest munca virtuala perfecţionată de forţele şi momentele aplicate. Să o găsim:

Fig 7. Calculul muncii virtuale

Unde delta q_1 mișcare virtuală.

Inlocuim totul in ecuatia Lagrange:

Fig 8. Modelul de masă rezultat cu arc și amortizor

Aici s-a încheiat metoda lui Lagrange. După cum puteți vedea, nu este atât de complicat, dar este totuși un exemplu foarte simplu, pentru care, cel mai probabil, metoda Newton-Euler ar fi chiar mai simplă. Pentru sistemele mai complexe, unde vor fi mai multe corpuri rotite unul față de celălalt în unghiuri diferite, metoda Lagrange va fi mai ușoară.

Metoda graficului de legături

Vă voi arăta imediat cum arată modelul în bond-graph pentru un exemplu cu o masă, un arc și un amortizor:

Fig 9. Graficul de legătură a maselor cu arc și amortizor

Aici va trebui să spuneți puțină teorie, care va fi suficientă pentru a construi modele simple. Dacă cineva este interesat, puteți citi cartea ( Metodologia Bond Graph) sau ( Voronin A.V. Modelarea sistemelor mecatronice: tutorial. – Tomsk: Editura Universității Politehnice din Tomsk, 2008).

Să stabilim mai întâi asta sisteme complexe constau din mai multe domenii. De exemplu, un motor electric este format din părți sau domenii electrice și mecanice.

grafic de legături bazat pe schimbul de putere între aceste domenii, subsisteme. Rețineți că schimbul de putere, de orice formă, este întotdeauna determinat de două variabile ( putere variabila ) cu ajutorul cărora putem studia interacțiunea diferitelor subsisteme în cadrul unui sistem dinamic (vezi tabel).

După cum se poate observa din tabel, expresia puterii este aproape aceeași peste tot. În concluzie, Putere- Acest lucru " curgere - f" pe " efort - e».

Un efort(Engleză) efort) în domeniul electric aceasta este tensiunea (e), în domeniul mecanic este forța (F) sau cuplul (T), în hidraulică este presiunea (p).

curgere(Engleză) curgere) în domeniul electric este curent (i), în domeniul mecanic este viteza (v) sau viteza unghiulară (omega), în hidraulică este debitul sau debitul fluidului (Q).

Luând aceste notații, obținem o expresie pentru putere:

Fig 10. Formula de putere prin variabile de putere

În limbajul bond-graph, legătura dintre două subsisteme care schimbă putere este reprezentată de o legătură. legătură). De aceea se numește această metodă bond-graf sau g raf-conexiuni, graf conectat. Sa luam in considerare diagramă bloc conexiuni într-un model cu motor electric (acesta nu este încă un grafic de legătură):

Fig 11. Diagrama bloc a fluxului de putere între domenii

Dacă avem o sursă de tensiune, atunci, în consecință, generează tensiune și o transferă la motor pentru înfășurare (de aceea săgeata este îndreptată spre motor), în funcție de rezistența înfășurării, apare un curent conform legii lui Ohm (direcționat de la motor la sursă). În consecință, o variabilă este o intrare în subsistem, iar a doua trebuie să fie Ieșire din subsistem. Aici tensiunea ( efort) - curentul de intrare ( curgere) - Ieșire.

Dacă utilizați o sursă de curent, cum se va schimba diagrama? Dreapta. Curentul va fi direcționat către motor, iar tensiunea către sursă. Apoi curentul ( curgere) - tensiune de intrare ( efort) - Ieșire.

Să ne uităm la un exemplu în mecanică. Forță care acționează asupra unei mase.

Fig 12. Forța aplicată masei

Diagrama bloc va fi după cum urmează:

Fig 13. Diagramă bloc

În acest exemplu, Forța ( efort) – variabilă de intrare pentru masă. (Forța aplicată masei)
Conform celei de-a doua legi a lui Newton:

Masa răspunde cu viteză:

În acest exemplu, dacă o variabilă ( forta - efort) este Intrareîn domeniul mecanic, apoi o altă variabilă de putere ( viteză - curgere) – devine automat Ieșire.

Pentru a distinge unde este intrarea și unde este ieșirea, se folosește linie verticala la capătul unei săgeți (conexiuni) între elemente, această linie se numește semn de cauzalitate sau cauzalitate (cauzalitate). Se dovedește: forța aplicată este cauza, iar viteza este efectul. Acest semn este foarte important pentru construirea corectă a unui model de sistem, deoarece cauzalitatea este o consecință a comportamentului fizic și a schimbului de puteri a două subsisteme, prin urmare alegerea locației semnului de cauzalitate nu poate fi arbitrară.

Fig 14. Desemnarea cauzalității

Această linie verticală arată ce subsistem primește forța ( efort) și ca rezultat produc un flux ( curgere). În exemplul cu masă ar fi așa:

Fig 14. Relație cauzală pentru forța care acționează asupra masei

Este clar din săgeată că intrarea pentru masă este - forta, iar rezultatul este viteză. Acest lucru se face pentru a nu aglomera diagrama cu săgeți și pentru a sistematiza construcția modelului.

Următorul punct important. Impulsul generalizat(cantitatea de mișcare) și in miscare(variabile energetice).

Tabelul variabilelor de putere și energie în diferite domenii

Tabelul de mai sus introduce două mărimi fizice suplimentare utilizate în metoda bond-graph. Sunt chemați impuls generalizat (R) Și mișcare generalizată (q) sau variabile energetice și pot fi obținute prin integrarea variabilelor de putere în timp:

Fig 15. Relația dintre variabilele de putere și energie

În domeniul electric :

Pe baza legii lui Faraday, Voltaj la capetele conductorului este egală cu derivata fluxului magnetic prin acest conductor.

A Puterea curentă - cantitate fizica, egal cu raportul cantitatea de sarcină Q care trece prin secțiunea transversală a conductorului într-un timp t până la valoarea acestui interval de timp.

Domeniul mecanic:

Din legea a 2-a a lui Newton, Forta– derivată în timp a impulsului

Și în mod corespunzător, viteză- derivată în timp a deplasării:

Să rezumam:

Elemente de baza

Toate elementele din sisteme dinamice, poate fi împărțit în componente cu doi poli și patru poli.
Sa luam in considerare componente bipolare:

Surse
Există surse atât de efort, cât și de flux. Analogie în domeniul electric: sursa de efort – sursa de tensiune, sursa fluxului – sursa actuala. Semnele cauzale pentru surse ar trebui să fie doar așa.

Fig 16. Legături cauzale și desemnarea surselor

Componenta R – element disipativ

Componenta I – element inerțial

Componenta C – element capacitiv

După cum se poate observa din figuri, diferite elemente ale aceluiași tipul R,C,I descrise prin aceleași ecuații. DOAR există o diferență pentru capacitatea electrică, trebuie doar să o rețineți!

Componente cvadrupol:

Să ne uităm la două componente: un transformator și un girator.

Ultimele componente importante din metoda bond-graph sunt conexiunile. Există două tipuri de noduri:

Asta e cu componentele.

Principalii pași pentru stabilirea relațiilor cauzale după construirea unui grafic de legături:

1. Oferă conexiuni cauzale tuturor surse
2. Treceți prin toate nodurile și puneți relațiile cauzale după punctul 1
3. Pentru componentele I atribuiți o relație cauzală de intrare (efortul este inclus în această componentă), pt componentele C atribuiți cauzalitatea ieșirii (efortul provine din această componentă)
4. Repetați punctul 2
5. Introduceți legături cauzale pentru componentele R

Astfel se încheie mini-cursul de teorie. Acum avem tot ce ne trebuie pentru a construi modele.
Să rezolvăm câteva exemple. Sa incepem cu circuit electric, este mai bine să înțelegeți analogia construirii unui grafic de legături.

Exemplul 1

Să începem să construim un grafic de legătură cu o sursă de tensiune. Doar scrieți Se și puneți o săgeată.

Vezi, totul este simplu! Să privim mai departe, R și L sunt conectate în serie, ceea ce înseamnă că același curent curge în ele, dacă vorbim în variabile de putere - același flux. Care nod are același flux? Răspunsul corect este 1-nod. Conectăm sursa, rezistența (componenta - R) și inductanța (componenta - I) la 1-nod.

În continuare, avem capacitatea și rezistența în paralel, ceea ce înseamnă că au aceeași tensiune sau forță. 0-node este potrivit ca nimeni altul. Conectăm capacitatea (componenta C) și rezistența (componenta R) la nodul 0.

De asemenea, conectăm nodurile 1 și 0 între ele. Direcția săgeților este aleasă în mod arbitrar direcția conexiunii afectează doar semnul din ecuații.

Veți obține următorul grafic de conexiune:

Acum trebuie să stabilim relații cauzale. Urmând instrucțiunile pentru succesiunea plasării lor, să începem cu sursa.

1. Avem o sursă de tensiune (efort), o astfel de sursă are o singură opțiune de cauzalitate - ieșire. Să punem.
2. Urmează componenta I, să vedem ce recomandă. Am pus
3. L-am pus jos pentru 1-nod. Mânca
4. Un nod 0 trebuie să aibă o intrare și toate conexiunile cauzale de ieșire. Avem o zi liberă deocamdată. Cautam componente C sau I. Am gasit. Am pus
5. Să enumerăm ce a mai rămas

Asta e tot. Este construit graficul Bond. Ura, tovarăși!

Tot ce rămâne este să scriem ecuațiile care descriu sistemul nostru. Pentru a face acest lucru, creați un tabel cu 3 coloane. Primul va conține toate componentele sistemului, al doilea va conține variabila de intrare pentru fiecare element, iar al treilea va conține variabila de ieșire pentru aceeași componentă. Am definit deja intrarea și ieșirea prin relații cauzale. Deci nu ar trebui să fie probleme.

Să numărăm fiecare conexiune pentru a ușura înregistrarea nivelurilor. Luăm ecuațiile pentru fiecare element din lista componentelor C, R, I.

După ce am compilat un tabel, definim variabilele de stare, în acest exemplu sunt 2 dintre ele, p3 și q5. În continuare trebuie să scrieți ecuațiile de stare:

Gata, modelul este gata.

Exemplul 2. Aș dori să îmi cer scuze imediat pentru calitatea fotografiei, principalul lucru este că puteți citi

Să rezolvăm un alt exemplu pt sistem mecanic, același pe care l-am rezolvat folosind metoda Lagrange. Voi arăta soluția fără comentarii. Să verificăm care dintre aceste metode este mai simplă și mai ușoară.

În Matbala au fost compilate ambele modele matematice cu aceiași parametri, obținute prin metoda Lagrange și bond-graph. Rezultatul este mai jos: Adăugați etichete