Меню
ГлавнаяФайлы и папки

Основы оцифровки. Типы сканирующих устройств. Как изменить размер изображения в фотошопе. Процесс интерполяции

Изменение разрешения путем интерполяции изображения

Лекция: Adobe Photoshop CS5 для дизайнера и фотографа

Adobe Photoshop CS5 - последняя версия легендарного графического редактора. Сам перевод названия программы "Фотомагазин" говорит о том, что это программа для фотографов. Программное обеспечение Adobe® Photoshop® CS5, соответствует мировым стандартам, позволяет создавать профессиональные изображения на высшем уровне. В новой версии вы сможете рисовать реалистичные иллюстрации, быстро создавать эффектные изображения HDR, устранять шумы, добавлять зернистость и настраивать виньетирование с помощью самых современных инструментов для обработки фотографий. В лекциях мы не будем глубоко вникать в теорию компьютерной графики, а заострим внимание на практике работы с фотоизображениями.

Основные понятия компьютерной графики

Для того, чтобы работать с Adobe Photoshop не механически, а с пониманием своих действий, пользователь должен иметь некоторые общие (базовые) представления о характеристиках цифровых изображений. Настоящая глава посвящена характеристикам растровых изображений, определяющим его качество. Дело в том, что любое цифровое изображение на компьютере характеризуются набором его таких параметров, как размер, разрешение, формат и тип цветовой модели. Перечисленные параметры и определяют качество растрового изображения, а также размер (вес) графического файла.

Разрешение изображения

Растровые изображения формируется из совокупности крошечных элементов, называемых пикселями. Пиксель является основным кирпичиком растровых изображений и это единица принята в компьютерной графике, подобно тому, как метр, килограмм и литр приняты для измерений в повседневной жизни.

Количество пикселей в изображении определяет его разрешение. Пиксели часто называют точками, тогда разрешение измеряется в dpi (dot per inch), то есть в количестве точек на дюйм.

Примечание

В компьютерной литературе существует путаница в терминах и некоторые из авторов разрешение мониторов измеряют в dpi (dot per inch), сканеров в ppi (pixel per inch) - пиксель на дюйм, а принтеров в lpi (line per inch) - линий на дюйм. Другие же авторы книг разрешение любого изображения, не зависимо от способа его получения измеряют только в dpi.

Если вдуматься, то становится очевидным, что чем выше разрешение, тем большее количество пикселей содержит изображение и тем большим количеством деталей (то есть - качеством) такое изображение характеризуется. С другой стороны, более высокое разрешение изображение прямо связано с большим размером файла такого изображения. Поэтому установка величины разрешения зависит от целей и задач компьютерного художника и для конкретной работы будет разной. Например, веб-дизайнеры обычно работают с изображениями 72-96 dpi, в то время как полиграфисты предпочитают разрешения изображений от 300 dpi и выше (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Изображение высокого разрешения слева (файл 977 Кб) и низкого разрешения справа (файл 41 Кб)

Глубина цвета

В черно-белых изображениях уровни яркости представляются в виде оттенков серого цвета, а в цветных изображениях эти уровни проявляются в виде различных цветовых тонов. При этом очевидно, что черно-белая фотография воспринимается как менее качественная по сравнению с фотографией цветной. Иначе говоря, чем больше оттенков цвета в изображении, тем выше его яркостное (цветовое) разрешение, называемое глубиной цвета, и тем большее число уровней яркости (цветов) будет содержать файл такого изображения.

Новый термин

Глубина цвета характеризует число воспроизводимых градаций яркости пикселя в черно-белых изображениях и количество отображаемых цветов в цветном изображении.

Для примера на рис. 1.2 показано одно и то же изображение, но с разной глубиной цвета: в два цвета сверху, и в 256 оттенков серого снизу. Из этой иллюстрации наглядно видно, что чем выше число воспроизводимых градаций яркости пикселя в черно-белых изображениях (и количество отображаемых цветов в цветном изображении), тем качество растрового изображения выше.

Рис. 1.2. Одно и то же изображение, но с разной глубиной цвета

С точки зрения цветовой глубины растровые изображения можно разбить на несколько типов:

Для монохромного черно-белого (Black and White) изображения используются только два типа ячеек: черные и белые. Поэтому для запоминания каждого пикселя требуется только 1 бит памяти компьютера. Такие изображения часто называются 1-битовыми изображениями. Соответственно, их цветовая разрешающая способность будет равна 1 бит/пиксель.

В другом типе растровых изображений, называемом оттенки серого (Grayscale), на каждый пиксель выделяется до 8 бит информации. Это позволяет оперировать с комбинацией из 256 градаций яркости, перекрывающей весь диапазон оттенков серого от черного до белого. Пример десятиступенчатой шкалы оттенков серого приведен на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Десять градаций серого цвета - от белого (100%) до черного (0%)

Для работы с изображениями, описание которых требует большого цветового разрешения, используются цветовые модели RGB, Lab и CMYK. В случае RGB-формата цвет каждого пикселя определяется комбинацией из трех цветов: красного, зеленого и голубого. В зависимости от назначения изображение может иметь 16 битовое, 24 битовое или 32 битовое цветовое разрешение (глубину цвета).

В CMYK-формате цвет каждого пикселя формируется с помощью четырех цветовых каналов: голубого, пурпурного, желтого и черного. Из-за наличия дополнительного канала цветовая модель CMYK содержит примерно на 25 процентов больше информации по сравнению с RGB-изображением.

Изменение разрешения путем интерполяции изображения

Если разрешение цифрового изображения, полученного посредством матрицы сканера (или цифровой фотокамеры) совпадает с числом светочувствительных элементов сканера (или камеры), то говорят о фактическом (аппаратном или физическом) разрешении. Однако как в аппаратуре оцифровки изображений, так и в графических программах предусмотрена возможность использования операции интерполяции (Resampling), то есть изменения разрешения, которая может быть реализована разными способами. Например, в программе Adobe Photoshop (рис. 1.4) реализованы три способа интерполяции - по соседним, билинейная и бикубическая.

Рис. 1.4. Способы интерполяции изображений в Adobe Photoshop

При интерполяции по соседним (Nearest Neighbor) для добавляемого программой пикселя берется значение пикселя соседнего с ним. То есть, если соседний пиксель красный, то и программа увеличивает разрешение изображения добавлением красного пикселя.



В случае билинейной (Bilinear) интерполяции графический редактор берет среднее цветовое значение пикселов с каждой стороны от вновь создаваемого. Например, между красным и белым цветом появится розовый.

Бикубическая (Bicubic) интерполяция усредняется значение группы не только непосредственно граничащих, но и всех соседних пикселов. Какой диапазон пикселов выбирается для усреднения и по какому алгоритму это усреднение происходит - этим отличаются способы бикубической интерполяции. На иллюстрации выше мы видим три варианта бикубической интерполяции в Adobe Photoshop.

Примечание

Разрешение изображения, полученное с помощью программной интерполяции всегда хуже реального (физического) разрешения, так как искусственное добавление пикселей снижает качество изображения (происходит потеря мелких его деталей). Иначе говоря, чем сильнее трансформируется изображение, тем больше оно деградирует.

Почему изображение, масштабированное с бикубической интерполяцией, выглядит не как в Фотошопе. Почему одна программа ресайзит быстро, а другая - нет, хотя результат одинаковый. Какой метод ресайза лучше для увеличения, а какой для уменьшения. Что делают фильтры и чем они отличаются.

Вообще, это было вступлением к другой статье, но оно затянулось и вылилось в отдельный материал.

Этот человек сидит среди ромашек, чтобы привлечь ваше внимание к статье.

Для наглядного сравнения я буду использовать изображения одинакового разрешения 1920×1280 (одно , второе), которые буду приводить к размерам 330×220, 1067×667 и 4800×3200. Под иллюстрациями будет написано, сколько миллисекунд занял ресайз в то или иное разрешение. Цифры приведены лишь для понимания сложности алгоритма, поэтому конкретное железо или ПО, на котором они получены, не так важно.

Ближайший сосед (Nearest neighbor)

Это самый примитивный и быстрый метод. Для каждого пикселя конечного изображения выбирается один пиксель исходного, наиболее близкий к его положению с учетом масштабирования. Такой метод дает пикселизированное изображение при увеличении и сильно зернистое изображение при уменьшении.

Вообще, качество и производительность любого метода уменьшения можно оценить по отношению количества пикселей, участвовавших в формировании конечного изображения, к числу пикселей в исходном изображении. Чем больше это отношение, тем скорее всего алгоритм качественнее и медленнее. Отношение, равное одному, означает что как минимум каждый пиксель исходного изображения сделал свой вклад в конечное. Но для продвинутых методов оно может быть и больше одного. Дак вот, если например мы уменьшаем изображение методом ближайшего соседа в 3 раза по каждой стороне, то это соотношение равно 1/9. Т.е. большая часть исходных пикселей никак не учитывается.




1920×1280 → 330×220 = 0,12 ms
1920×1280 → 1067×667 = 1,86 ms

Теоретическая скорость работы зависит только от размеров конечного изображения. На практике при уменьшении свой вклад вносят промахи кеша процессора: чем меньше масштаб, тем меньше данных используется из каждой загруженной в кеш линейки.

Метод осознанно применяется для уменьшения крайне редко, т.к. дает очень плохое качество, хотя и может быть полезен при увеличении. Из-за скорости и простоты реализации он есть во всех библиотеках и приложениях, работающих с графикой.

Аффинные преобразования (Affine transformations)

Аффинные преобразования - общий метод для искажения изображений. Они позволяют за одну операцию повернуть, растянуть и отразить изображение. Поэтому во многих приложениях и библиотеках, реализующих метод аффинных преобразований, функция изменения изображений является просто оберткой, рассчитывающей коэффициенты для преобразования.

Принцип действия заключается в том, что для каждой точки конечного изображения берется фиксированный набор точек исходного и интерполируется в соответствии с их взаимным положением и выбранным фильтром. Количество точек тоже зависит от фильтра. Для билинейной интерполяции берется 2x2 исходных пикселя, для бикубической 4x4. Такой метод дает гладкое изображение при увеличении, но при уменьшении результат очень похож на ближайшего соседа. Смотрите сами: теоретически, при бикубическом фильтре и уменьшении в 3 раза отношение обработанных пикселей к исходным равно 4² / 3² = 1,78. На практике результат значительно хуже т.к. в существующих реализациях окно фильтра и функция интерполяции не масштабируются в соответствии с масштабом изображения, и пиксели ближе к краю окна берутся с отрицательными коэффициентами (в соответствии с функцией), т.е. не вносят полезный вклад в конечное изображение. В результате изображение, уменьшенное с бикубическим фильтром, отличается от изображения, уменьшенного с билинейным, только тем, что оно еще более четкое. Ну а для билинейного фильтра и уменьшения в три раза отношение обработанных пикселей к исходным равно 2² / 3² = 0.44, что принципиально не отличается от ближайшего соседа. Фактически, аффинные преобразования нельзя использовать для уменьшения более чем в 2 раза. И даже при уменьшении до двух раз они дают заметные эффекты лесенки для линий.

Теоретически, должны быть реализации именно аффинных преобразований, масштабирующие окно фильтра и сам фильтр в соответствии с заданными искажениями, но в популярных библиотеках с открытым исходным кодом я таких не встречал.




1920×1280 → 330×220 = 6.13 ms
1920×1280 → 1067×667 = 17.7 ms
1920×1280 → 4800×3200 = 869 ms

Время работы заметно больше, чем у ближайшего соседа, и зависит от размера конечного изображения и размера окна выбранного фильтра. От промахов кеша уже практически не зависит, т.к. исходные пиксели используются как минимум по двое.

Мое скромное мнение, что использование этого способа для произвольного уменьшения изображений попросту является багом , потому что результат получается очень плохой и похож на ближайшего соседа, а ресурсов на этот метод нужно значительно больше. Тем не менее, этот метод нашел широкое применение в программах и библиотеках. Самое удивительное, что этот способ используется во всех браузерах для метода канвы drawImage() (наглядный пример), хотя для простого отображения картинок в элементе используются более аккуратные методы (кроме IE, в нем для обоих случаев используются аффинные преобразования). Помимо этого, такой метод используется в OpenCV, текущей версии питоновской библиотеки Pillow (об этом я надеюсь написать отдельно), в Paint.NET.

Кроме того, именно этот метод используется видеокартами для отрисовки трехмерных сцен. Но разница в том, что видеокарты для каждой текстуры заранее подготавливают набор уменьшенных версий (mip-уровней), и для окончательной отрисовки выбирается уровень с таким разрешением, чтобы уменьшение текстуры было не более двух раз. Кроме этого, для устранения резкого скачка при смене mip-уровня (когда текстурированный объект приближается или отдаляется), используется линейная интерполяция между соседними mip-уровнями (это уже трилинейная фильтрация). Таким образом для отрисовки каждого пикселя трехмерного объекта нужно интерполировать между 2³ пикселями. Это дает приемлемый для быстро движущейся картинки результат за время, линейное относительно конечного разрешения.

Суперсемплинг (Supersampling)

С помощью этого метода создаются те самые mip-уровни, с помощью него (если сильно упростить) работает полноэкранное сглаживание в играх. Его суть в разбиении исходного изображения по сетке пикселей конечного и складывании всех исходных пикселей, приходящихся на каждый пиксель конечного в соответствии с площадью, попавшей под конечный пиксель. При использовании этого метода для увеличения, на каждый пиксель конечного изображения приходится ровно один пиксель исходного. Поэтому результат для увеличения равен ближайшему соседу.

Можно выделить два подвида этого метода: с округлением границ пикселей до ближайшего целого числа пикселей и без. В первом случае алгоритм становится малопригодным для масштабирования меньше чем в 3 раза, потому что на какой-нибудь один конечный пиксель может приходиться один исходный, а на соседний - четыре (2x2), что приводит к диспропорции на локальном уровне. В то же время алгоритм с округлением очевидно можно использовать в случаях, когда размер исходного изображения кратен размеру конечного, или масштаб уменьшения достаточно мал (версии разрешением 330×220 почти не отличаются). Отношение обработанных пикселей к исходным при округлении границ всегда равно единице.




1920×1280 → 330×220 = 7 ms
1920×1280 → 1067×667 = 15 ms
1920×1280 → 4800×3200 = 22,5 ms

Подвид без округления дает отличное качество при уменьшении на любом масштабе, а при увеличении дает странный эффект, когда большая часть исходного пикселя на конечном изображении выглядит однородной, но на краях видно переход. Отношение обработанных пикселей к исходным без округления границ может быть от единицы до четырех, потому что каждый исходный пиксель вносит вклад либо в один конечный, либо в два соседних, либо в четыре соседних пикселя.




1920×1280 → 330×220 = 19 ms
1920×1280 → 1067×667 = 45 ms
1920×1280 → 4800×3200 = 112 ms

Производительность этого метода для уменьшения ниже, чем у аффинных преобразований, потому что в расчете конечного изображения участвуют все пиксели исходного. Версия с округлением до ближайших границ обычно быстрее в несколько раз. Также возможно создать отдельные версии для масштабирования в фиксированное количество раз (например, уменьшение в 2 раза), которые будут еще быстрее.

Данный метод используется в функции gdImageCopyResampled() библиотеки GD, входящей в состав PHP, есть в OpenCV (флаг INTER_AREA), Intel IPP, AMD Framewave. Примерно по такому же принципу работает libjpeg, когда открывает изображения в уменьшенном в несколько раз виде. Последнее позволяет многим приложениям открывать изображения JPEG заранее уменьшенными в несколько раз без особых накладных расходов (на практике libjpeg открывает уменьшенные изображения даже немного быстрее полноразмерных), а затем применять другие методы для ресайза до точных размеров. Например, если нужно отресайзить JPEG разрешением 1920×1280 в разрешение 330×220, можно открыть оригинальное изображение в разрешении 480×320, а затем уменьшить его до нужных 330×220.

Свертки (Convolution)

Этот метод похож на аффинные преобразования тем, что используются фильтры, но имеет не фиксированное окно, а окно, пропорциональное масштабу. Например, если размер окна фильтра равен 6, а размер изображения уменьшается в 2,5 раза, то в формировании каждого пикселя конечного изображения принимает участие (2,5 * 6)² = 225 пикселей, что гораздо больше, чем в случае суперсемплинга (от 9 до 16). К счастью, свертки можно считать в 2 прохода, сначала в одну сторону, потом в другую, поэтому алгоритмическая сложность расчета каждого пикселя равна не 225, а всего (2,5 * 6) * 2 = 30. Вклад каждого исходного пикселя в конечный как раз определяется фильтром. Отношение обработанных пикселей к исходным целиком определяется размером окна фильтра и равно его квадрату. Т.е. для билинейного фильтра это отношение будет 4, для бикубического 16, для Ланцоша 36. Алгоритм прекрасно работает как для уменьшения, так и для увеличения.




1920×1280 → 330×220 = 76 ms
1920×1280 → 1067×667 = 160 ms
1920×1280 → 4800×3200 = 1540 ms

Скорость работы этого метода зависит от всех параметров: размеров исходного изображения, размера конечного изображения, размера окна фильтра.

Именно этот метод реализован в ImageMagick, GIMP, в текущей версии Pillow с флагом ANTIALIAS.

Одно из преимуществ этого метода в том, что фильтры могут задаваться отдельной функцией, никак не привязанной к реализации метода. При этом функция самого фильтра может быть достаточно сложной без особой потери производительности, потому что коэффициенты для всех пикселей в одном столбце и для всех пикселей в одной строке считаются только один раз. Т.е. сама функция фильтра вызывается только (m + n) * w раз, где m и n - размеры конечного изображения, а w - размер окна фильтра. И наклепать этих функций можно множество, было бы математическое обоснование. В ImageMagick, например, их 15. Вот как выглядят самые популярные:

Билинейный фильтр (bilinear или triangle в ImageMagick)


Бикубический фильтр (bicubic , catrom в ImageMagick)


Фильтр Ланцоша (Lanczos)

Примечательно, что некоторые фильтры имеют зоны отрицательных коэффициентов (как например бикубический фильтр или фильтр Ланцоша). Это нужно для придания переходам на конечном изображении резкости, которая была на исходном.

Подождите! Мы кое о чем забыли! До этих пор мы говорили о "реальном", или оптическом разрешении (несмотря на то, что оно может быть не таким реальным, как вы думали). Разрешающую способность можно также подделать с помощью различных математических алгоритмов, дающих кажущееся разрешение, которое выше, чем та цифра, которая называется для оптического разрешения. Этот процесс называется интерполяцией.

В старые недобрые времена многие продавцы предпочли бы называть в качестве спецификации интерполированное значение разрешающей способности, если бы они его знали. В то время разрешающая способность была ниже (до появления доступных пленочных сканеров), поэтому искушение было очень велико. Так у планшетных сканеров, которые используются для получения изображений фотографий и подобных продуктов, реальное оптическое разрешение могло быть 300x300 выборок на дюйм. С помощью магии интерполяции тот же самый сканер мог выдавать поддельное разрешение в 600x600 выборок на дюйм или даже 1200x1200 выборок на дюйм. И именно это рекламировали бы продавцы. Доверчивые покупатели могли бы думать, что они покупают сканер с разрешением 1200x1200 выборок на дюйм, тогда как большая часть дополнительной четкости была бы математическим "шаманством".

К счастью, такими махинациями почти никто не занимается. Все продавцы в качестве первостепенной спецификации четкости называют оптическое разрешение своих сканеров, несмотря на то, что, как вы видели, и оптическое разрешение может не вполне точно отражать разрешающую способность сканера. Интерполированное разрешение скрыто в других спецификациях таким образом, чтобы они казались намного менее обманчивыми.

Даже при всем этом многие пользователи сканеров не вполне понимают, что такое интерполяция, и либо слишком сильно доверяют ей, либо, наоборот, слишком мало. На самом деле, хотя интерполированное разрешение не так хорошо, как оптическое, при правильном применении оно может оказаться достаточно полезным.

Интерполяция - это не что другое, как процесс, который во время сканирования применяется для изменения размеров изображения (в большую или меньшую сторону) или насыщенности цвета на какое-то другое значение, отличное от размера или насыщенности цвета оригинала. Хотя интерполяцией можно пользоваться для изменения информации о цвете или уменьшения отсканированного изображение по сравнению с оригиналом, в большей части случаев разговоры об интерполяции касаются изображения, на котором создаются новые пиксели, в результате чего конечное изображение становится больше отсканированного оригинала или получает большее разрешение. (Интерполяцию, которая используется для уменьшения изображения, обычно называют субдискретизацией.)

Не путайте интерполяцию с изменением масштаба. При увеличении масштаба изображения каждый пиксель дублируется определенное количество раз. Чтобы увеличить размер изображения втрое, каждый пиксель дублируется трижды. То же самое происходит при уменьшении масштаба изображения. При простом изменении масштаба уменьшение размера изображения на одну треть от оригинала означает отбрасывание каждого третьего пикселя (в надежде, что оставшиеся пиксели все-таки сохранят некое подобие оригинала). В любом случае на получившемся изображении, скорее всего, будут грубые края или "лесенки" на диагональных линиях.

Интерполяция - процесс намного более сложный. Вместо простого копирования пикселей используются интерполяционные алгоритмы, изучающие соседние пиксели и рассчитывающие новые, которые подгоняются так, чтобы переход между ними был как можно незаметнее, в идеальном случае формируя непрерывный переход от старых пикселей к новым. Упрощенно этот процесс можно описать следующим образом. Если на изображении был черный пиксель, а рядом с ним - белый, то при увеличении масштаба в два раза получилось бы два черных пикселя и два белых пикселя. При интерполяции мы получим исходные черный и белый пиксели, плюс один темно-серый пиксель и один светло-серый пиксель между ними, как показано на рис. 3.3.

Существуют различные способы интерполяции изображений, некоторые из них достаточно сложны. Ниже приводятся три самых распространенных метода.

- Метод ближайших соседей . При этом методе рассматривается пиксель, находящийся в непосредственной близости от обрабатываемого, и информация об этом пикселе используется для создания нового.

Поскольку в таком случае нужно проверять только каждый второй пиксель, это достаточно быстрый метод, хотя и не очень точный. Он не подходит для большей части фотографических изображений, содержащих плавные переходы между отдельными участками, поскольку дает в них заметно более зубчатые края. Если вы сканируете изображение с четкими границами, например, фрагмент текста или изображение, которое будет сохраняться в формате GIF, алгоритм ближайших соседей будет вполне пригоден. В таких случаях он дает меньшие файлы, при этом эффективно сохраняя резкие границы. На рис. 3.4 изображена буква А (один из типов изображений, для которых достаточно хорошо работает алгоритм ближайших соседей), а на рис. 3.5 показана увеличенная на 600% часть этой буквы после обработки с помощью данного.

- Билинейный метод . При этом методе проверяются пиксели по обе стороны от обрабатываемого пикселя. Он выполняется немного медленнее, чем алгоритм ближайших соседей, но может давать достаточно хорошие результаты для изображений, содержащих высококонтрастные элементы. Действие соответствующего алгоритма показано на рис. 3.6.

- Бикубический метод . Самый распространенный метод интерполяции - бикубический, при котором для получения информации для создания новых, интерполированных пикселей, проверяются все окружающие пиксели. Этот метод используется по умолчанию во многих сканерах, а также в Photoshop. В последней версии Photoshop к основному алгоритму бикубической интерполяции добавлены еще два варианта - бикубическое сглаживание (Bicubic Smoother), лучше всего сглаживающее зубцы при увеличении изображения, и бикубическое увеличение резкости (Bicubic Sharper), сохраняющее детали при выполнении субдискретизации для уменьшения изображения. Бикубическая интерполяция показана на рис. 3.7.

Интерполяция - это процесс, который можно применять во время сканирования, если вам действительно нужно получить более высокое разрешение, поскольку самые сложные алгоритмы дают изображения, содержащие полезную информацию, которой не было бы на неприкрашенных отсканированных изображениях. При этом процессе дополнительные пиксели могут рассчитываться с удивительной степенью точности, точно имитируя те результаты, которые вы могли бы получить при более высоком разрешении. Лучше всего интерполяция работает для изображений со множеством деталей.

Какая-то интерполяция происходит при любом сканировании с разрешением, отличным от естественного разрешения сканера. Например, если реальное разрешение вашего сканера составляет 4000 выборок на дюйм, то всякий раз, когда вы сканируете с разрешением, скажем, 2000 spi, желая уменьшить размер файла для не очень важных изображений, конечное изображение формируется в помощью интерполяции. Если же сканер с разрешающей способностью 4000 spi позволяет выполнять сканирование с разрешением 8000 spi, интерполяция запускается для имитации более высокого разрешения. В некоторых сканерах интерполяция выполняется аппаратно при создании отсканированного изображения, тогда как в других этот этап выполняется с помощью программного обеспечения на компьютере.

Теперь для интерполяции множеств можно использовать формулу (1). Она примет вид:

Чтобы осуществить построение переходного множества при некотором значении t ,нужно сначала построить множества и , далее найти их сумму.

Пример 4. Пусть – круг радиуса с центром в точке = (0;0), – круг радиуса с центром в некоторой точке . Тогда интерполяционное множество () – это круг с центром в точке , расположенной на отрезке / /, радиуса (рис.9).

Рис.9. Интерполяция двух кругов

Действительно, зафиксировав некоторое значение t (), построим множества и . Окажемся в условиях примера 2. Переписав его результат в текущих обозначениях, получаем нужное утверждение. Видим, что в этом случае переходные изображения (круги) примыкают к общим касательным, проведённым к двум исходным кругам, т.е. результаты интерполяции очень хорошо согласуются с нашими наглядными представлениями о переходных изображениях.

Замечание. Из свойств арифметических операций над множествами следует, что аналогичная картина получится при интерполяции двух любых кругов. Действительно, круг радиуса с центром в произвольной точке может быть представлен в виде суммы круга радиуса с центром в точке (0;0) и множества, состоящего из одной точки (равносильно вектора ): = + . Тогда интерполяционная формула даёт:

= = + .

Остаётся заметить, что семейство векторов , , является переходным от вектора к нулевому вектору.

Таким образом, для удобства осуществления интерполяции (выполнения арифметических операций) можно всегда брать множества (фигуры), примыкающие к началу координат, поскольку произвольные заданные множества сводятся к такой ситуации сдвигом на определённые векторы. Эти векторы затем нужно тоже проинтерполировать (с тем же значением параметра t ).

Среди важных особенностей метода отметим факт, что при интерполяции двух многоугольников, вершины интерполяционного многоугольника получаются интерполяцией (с тем же значением t ) вершин исходных многоугольников. Это следует из того, что арифметические операции над множествами определяются через арифметические операции над отдельными их векторами. Получить «экстремальный» вектор в переходном множестве можно лишь, складывая соответствующие «экстремальные» векторы в исходных множествах.

Пример 5. Пусть – квадрат 2 x 2 с правой нижней вершиной в начале координат, – прямоугольник 4 x 5 с левой нижней вершиной в начале координат (стороны обеих фигур параллельны осям координат) (рис. 10). Построим интерполяционное множество .

1 способ. Воспользуемся формулой (2) при . Построив множества
и (их границы на рисунке 10 проведены пунктирными линиями), находим их сумму. Получим прямоугольник .

Рис.10. Интерполяция прямоугольников на основе арифметических операций

2 способ. Сопоставим соответствующие вершины исходных прямоугольников (в данном случае их соответствие очевидно, на рис. 11 оно показано отрезками); проинтерполировав каждую из этих пар точек (векторов) с заданным , получим вершины интерполяционного множества (прямоугольника).

Рис.11. Интерполяция прямоугольников путём интерполяции вершин

Снова обсуждаемый метод интерполяции даёт такой результат, какой мы ожидали бы увидеть.

Пример 6. Пусть – прямоугольные равнобедренные треугольники с гипотенузой h =100 и общей вершиной в начале координат. Тогда в результате интерполяции по Минковскому при получим шестиугольник (интерполяционное множество ) (рис. 12).

Рис.12. Интерполяция симметричных треугольников

Вычисления по интерполяционной формуле (2) сразу приводят к указанному итогу. В отличие от предыдущего примера, в случае данных треугольников сопоставление вершин, осуществляемое методом Минковского, как и сам результат, оказывается несколько неожиданным. Действительно, попарная интерполяция «верхних» и «нижних» вершин треугольников при даёт соответственно «верхнюю» и «нижнюю» вершины шестиугольника. А вот вершины прямых углов треугольников «интерполируются» с каждой из «верхней» и «нижней» вершин другого треугольника.

Результат примера 6, конечно, оставляет вопросы. Однако если вдуматься, то вряд ли мы сможем предложить «логичный» вариант переходного множества. Изначально предполагалось интерполировать «близкие», сходные изображения. См. также ниже замечание об особенностях интерполяции противоположных векторов.

Ещё более удивителен следующий случай.

Пример 7. Пусть – отрезки на осях координат: ,

Тогда – квадрат со стороной единица, нижние вершины которого расположены в точках (1;0) и (2;0) (рис. 13).

Рис.13. Интерполяция отрезков

Множества и представляют собой соответственно отрезки и . Складывая их /прибавляя к каждой точке (вектору) отрезка отрезок (всевозможные векторы из него)/, получаем квадрат. В условиях примера 7 по наглядным представлениям переходным множеством, очевидно, должен бы быть отрезок, но особенности метода интерполяции приводят к прямоугольнику.

Анализируя разобранные примеры, можно увидеть, что алгоритм Минковского даёт блестящие результаты в случаях, когда:

1) ,

Установка свойств отображения

В приложении Image Processing Toolbox существует возможность настройки установок, которые контролируют некоторые свойства функций отображения изображений imshow и imtool. Например, использование установок приложения позволяет описать коэффициент увеличения, который применяется при выводе изображений с помощью функций imtool и imshow.

В рамках данного вопроса рассмотрим

  • Список установок, которые поддерживаются приложением.
  • Описание процесса получения текущих значений установок с использованием функции iptgetpref.
  • Описание процесса установки текущих значений установок с использованием функции iptsetpref.

Установки приложения

Приложение Image Processing Toolbox поддерживает несколько установок, которые влияют на способ отображения изображений с помощью функций imshow и imtool. В таблице приведен список установок и их короткое описание. Для получения более детальной информации относительно установок приложения и их значений см. описание функции iptsetpref.

Установки приложения Описание
ImshowBorder Этот параметр может принимать два значения - "loose" и "tight". Если параметр ImshowBorder принимает значение "loose", то изображение будет отображаться функцией imshow с отступом от края окна figure. Таким образом, в окне остается место для дополнительных надписей. Используется по умолчанию. Если параметр ImshowBorder принимает значение "tight", то изображение будет отображаться функцией imshow так, чтобы оно занимало все окно figure.
ImshowAxesVisible Этот параметр может принимать два значения - "on" и "off". Если параметр ImshowAxesVisible принимает значение "on", то при выводе изображения функцией imshow в окне figure будут дополнительно выведены оси координат. Если же параметр ImshowAxesVisible принимает значение "off", то оси координат выводиться не будут. Значение параметра "off" устанавливается по умолчанию.
ImshowInitialMagnification Управляет коэффициентом увеличения, который используется функцией imshow при выводе изображения.
ImtoolInitialMagnification Контролирует коэффициент увеличения в приложении Image Tool, которое используется для масштабирования изображений.

Получение значений установок приложения

Для определения текущих значений используется функция iptgetpref. Рассмотрим пример использования функции iptgetpref для определения значения свойства imtoolInitialMagnification.

Iptgetpref("ImtoolInitialMagnification") ans = 100

Для более детальной информации см. описание функции iptgetpref.

Установка значений свойств приложения

Для установки значений свойств приложения используется функция iptsetpref. Рассмотрим пример использования функции iptsetpref для установки свойств отображения, которые приводят к тому, что при вызове функции imshow будет изменятся размер окна отображения в соответствии с размерами отображаемого изображения и значением свойства "ImshowBorder".

Iptsetpref("ImshowBorder", "tight");

Для более детальной информации см. описание функции iptsetpref.

Пространственные преобразования

Рассмотрим основные функции пространственных преобразований, которые реализованы в приложении Image Processing Toolbox.

Терминология Описание основных терминов, которые используются при обработке изображений
Интерполяция Пространственный (или временной) прогноз значений неизвестных значений пикселей между истинными значениями пикселей.
Изменение размеров изображения с помощью функции imresize.
Вращение изображений Использование функции imrotate для поворота изображений.
Вырезание изображения Использование функции imcrop для вырезания прямоугольной части изображения.
Описание основных свойств пространственных преобразований в приложении.

Интерполяция

Как уже отмечалось выше, интерполяция - это пространственный (или временной) прогноз значений неизвестных значений пикселей между истинными значениями пикселей. Например, для изменения размеров изображений используется один из методов интерполяции. Методы двумерной интерполяции используются также при повороте изображений (функция imrotate) и при анализе изображений с помощью функции improfile.

Методы интерполяции

Приложение Image Processing Toolbox использует три встроенных алгоритма интерполяции:

  • Интерполяция по ближайшему соседу - используется значение ближайшего пикселя.
  • Билинейная интерполяция - используется интерполяция по билинейной поверхности.
  • Бикубическая интерполяция - используется интерполяция по бикубической поверхности.

Типы изображений

В функциях, которые используют интерполяцию, в качестве аргумента указывается название метода интерполяции. Для большинства функций это интерполяция с использованием значений ближайших пикселей. Этот метод дает приемлемые результаты для всех типов изображений и является единственным методом, который используется для индексных изображений. Для яркостных и RGB изображений лучше использовать билинейную или бикубическую интерполяцию, поскольку, в большинстве случаев, эти методы обеспечивают лучший результат, чем при использовании интерполяции с использованием значения ближайших пикселей.

Для RGB изображений интерполяция выполняется отдельно для красной, зеленой и синей составляющих. В принципе, это не совсем корректно, поскольку приводит к нарушению цветового баланса.

Для бинарных изображений интерполяция даст эффект, если проводить ее осознанно. При использовании билинейной или бикубической интерполяции вычисленные значения пикселей на результирующем изображении не всегда будут равны 0 или 1. Результат обработки также зависит от формата исходного изображения:

  • Если данные исходного изображения представлены в формате double, то результирующее изображение будет полутоновым и представленным в формате double. Таким образом, результирующее изображение не будет бинарным, поскольку содержит значения из диапазона между 0 и 1.
  • Если исходное изображение представлено в формате uint8, то результирующее изображение будет бинарным и представленным в формате uint8. Значения интерполирующих пикселей будут округлены к 0 и 1, а результирующее изображение будет представлено в формате uint8.

При использовании интерполяции с использованием значений ближайших пикселей результат будет всегда бинарным, так как значения интерполируемых пикселей берутся из исходного изображения.

Изменение размеров изображения

Для изменения размеров изображения используется функция imresize. При использовании функции imresize необходимо

  • Описать размер результирующего изображения.
  • Описать выбранный метод интерполяции.
  • Описать фильтр препарирования изображений.

При использовании функции imresize размер результирующего изображения можно указать двумя путями:

  • через описание коэффициента увеличения.
  • через описание размеров результирующего изображения.

Использование коэффициента увеличения

Для увеличения изображения необходимо, чтобы коэффициент увеличения был больше 1. Для уменьшения изображения необходимо, чтобы коэффициент увеличения находился в диапазоне между 0 и 1. Например, с помощью команды, которая написана ниже, реализуется увеличение изображения I в 1.25 раз.

I = imread("circuit.tif"); J = imresize(I,1.25); imshow(I) figure, imshow(J)

Описание размера результирующего изображения

Существует возможность описать размер результирующего изображения в виде вектора, который содержит два числа - количество строк и столбцов результирующего изображения. Рассмотрим пример создания результирующего изображения Y, которое состоит из 100 строк и 150 столбцов.

Y = imresize(X,)

Примечание. Если при описании размеров результирующего изображения не сохранены пропорции соотношения сторон исходного изображения, то результирующее изображение будет искажено.

Описание метода интерполяции

По умолчанию функция imresize для формирования результирующего изображения использует метод интерполяции на основе значений ближайших пикселей. Однако можно задать также другой метод интерполяции. В таблице приведен список опций, которыми задаются методы интерполяции в функции imresize.

Рассмотрим пример, когда функция imresize использует билинейную интерполяцию.

Y = imresize(X,,"bilinear")

Использование фильтров препарирования изображений

Изменение размеров изображения может привести к возникновению артефактов на изображении, что отражается на его качестве.

Поэтому при уменьшении изображений с использованием билинейной или бикубической интерполяции, функция imresize автоматически использует низкочастотный фильтр для уменьшения артефактов на результирующем изображении.

Функция imresize может не применять низкочастотный фильтр, если используется интерполяция по соседним элементам. Интерполяция по соседним элементам используется, в основном, для индексных изображений, а низкочастотная фильтрация для индексных изображений не применяется.

Также можно создать свой фильтр для проведения низкочастотной фильтрации. Для более детальной информации см. описание функции imresize.

Поворот изображений

Для поворота изображений используется функция imrotate. При использовании функции imrotate нужно указать два основных аргумента:

  1. изображение, которое нужно повернуть;
  2. угол поворота.

Угол поворота можно описать в градусах. Если задать положительное значение, то функция imrotate будет вращать изображение против часовой стрелки, если задать отрицательное значение, то функция imrotate буде вращать изображение по часовой стрелке. Рассмотрим пример поворота изображения I на 35 градусов против часовой стрелки.

J = imrotate(I,35);

В качестве необязательных аргументов в функции imrotate также можно описать

  1. метод интерполяции;
  2. размер результирующего изображения.

Описание метода интерполяции

По умолчанию, функция imrotate использует интерполяцию по соседним элементам для определения значений пикселей результирующего изображения. Также пользователь может использовать другой метод интерполяции. В таблице подан список поддерживаемых интерполяционных методов.

Рассмотрим пример поворота изображения на 35° против часовой стрелки с использованием билинейной интерполяции.

I = imread("circuit.tif"); J = imrotate(I,35,"bilinear"); imshow(I) figure, imshow(J)

Описание размера результирующего изображения

По умолчанию, функция imrotate создает результирующее больше, так чтобы поместить исходное изображение, которое размещено под указанным углом. Пикселям, которые находятся за пределами изображения, устанавливается значение 0 и они являются фоном результирующего изображения. Если в функции imrotate в качестве аргумента указать опцию "crop", то результирующее изображение будет обрезано до размеров исходного изображения. Для более детальной информации см. описание функции imrotate.

Вырезание изображений

Для выделения прямоугольной части изображения используется функция imcrop. При использовании функции imcrop необходимо указать два основных аргумента:

  1. исходное изображение;
  2. координаты прямоугольника, которым определяется площадь вырезания.

Существует также другой путь использования функции imcrop. Он заключается в том, что не всегда нужно указывать прямоугольник, который вырезается на изображении. Этот прямоугольник можно задать интерактивно. В этом случае курсор изменяет свой вид и принимает форму крестика. Нажатие на левую клавишу мыши свидетельствует о выборе одного угла прямоугольника, а место курсора в момент отпуска клавиши мыши свидетельствует о выборе другого угла. Таким образом поверх изображения будет наложен прямоугольник, который определяет вырезаемую часть изображения.

Imshow circuit.tif I = imcrop; imshow(I);

Выполнение основных пространственных преобразований

Для выполнения основных двумерных пространственных преобразований используется функция imtransform.

При использовании функции imtransform необходимо указать два основных аргумента:

  • исходное изображение;
  • структуру пространственных преобразований (TFORM), которая определяет тип нужных преобразований.

Описание типа преобразований

При описании типа преобразований необходимо использовать структуру TFORM. Существует два пути использования TFORM:

  • использование функции maketform;
  • использование функции cp2tform.

Использование maketform

При использовании функции maketform необходимо описать тип нужных преобразований. В таблице приведен список типов преобразований в алфавитном порядке, который поддерживается функцией maketform.

Тип преобразования Описание
"affine" Преобразования, которые включают сдвиг, поворот, масштабирование и другие похожие функции преобразования изображений. При этом прямые линии остаются прямыми, параллельные остаются параллельными, а прямоугольник может превратиться в параллелограмм.
"box" Отдельный случай аффинных преобразований, когда каждая размерность масштабируется независимо.
"composite" Структура двух или более преобразований.
"custom" Преобразование, которое определено пользователем и вызывается с помощью функции imtransform.
"projective" При этом типе преобразований прямые линии остаются прямыми, а параллельные сходятся в одной точке. Эта точка может находиться как в пределах изображения, так и за его пределами.

Использование cp2tform

При использовании функции cp2tform создается TFORM, когда необходимо выполнять такие преобразования, как подгонка данных, например, при полиномиальных преобразованиях.

Примечание. При использовании функции imtransform структура TFORM выполняет двумерные пространственные преобразования. Если изображение содержит больше, чем две размерности, например, RGB изображения, то двумерные преобразования автоматически применяются ко всем двумерным составляющим. Для определения n-мерных преобразований используется функция tformarray.

Выполнение преобразований

После определения типа преобразований в структуре TFORM, существует возможность их выполнения путем вызова функции imtransform.

Рассмотрим пример использования функции imtransform для выполнения проективных преобразований с изображением шахматной доски.

I = checkerboard(20,1,1); figure; imshow(I) T = maketform("projective",,... ); R = makeresampler("cubic","circular"); K = imtransform(I,T,R,"Size",,"XYScale",1); figure, imshow(K)

Различные опции функции imtransform контролируют разные аспекты преобразований. Например, как видно из предыдущего преобразования, отдельные установки должны контролировать количество и размещение копий исходного изображения на результирующем изображении. Также контролируется размер результирующего изображения. В приложении Image Processing Toolbox есть достаточно много примеров с использованием функции imtransform и других похожих функций, которые выполняют различные типы пространственных преобразований.

Линейная фильтрация и проектирование фильтров

Приложение Image Processing Toolbox содержит некоторое число функций, которые проектируют и реализуют двумерную линейную фильтрацию данных изображения. Рассмотри эти вопросы в таком порядке:

Рассмотрим еще некоторые термины, которые также буду в дальнейшем применяться при рассмотрении материала.

Термин Описание
Convolution (свертка) Операция над локальной окрестностью, где каждый результирующий пиксель представляет собой взвешенную сумму исходных пикселей. Вес определяется ядром свертки. С помощью операции свертки можно реализовать такие методы обработки изображений как сглаживание, повышение резкости и усиление границ объектов изображения.
convolution kernel (ядро свертки) Матрица весов, которая используется при выполнении свертки.
Correlation (корреляция) Операция над локальной окрестностью, где каждый результирующий пиксель представляет собой взвешенную сумму пикселей локальной окрестности. Весы определяются ядром корреляции. Понятие корреляции очень тесно связано с понятием свертки.
correlation kernel (ядро корреляции) Для реализации функции корреляции используется весовая функция. Ядра корреляции можно получить с помощью функции проектирования фильтров в Image Processing Toolbox. Ядра корреляции представляют собой ядро свертки, которое повернуто на 180 градусов.
FIR filter (фильтр с конечной импульсной характеристикой, КИХ-фильтр) В приложении существует ряд функций для расчета коэффициентов цифрового КИХ фильтра, в частности, методом Ремеза. Особенностью их использования является то, что исходные данные задаются в виде желаемой АЧХ произвольной сложности.
frequency response (частотная характеристика или частотный отклик) Математическая функция, с помощью которой можно оценивать работу фильтра на различных частотах.
neighborhood operation (операция с использованием значений соседних элементов) Операция, в результате которой значение каждого пикселя вычисляется на основе значений окрестных пикселей. Свертка, методы морфологической обработки и медианная фильтрация являются примерами операций с использованием соседних пикселей.
window method (локальные методы обработки) Методы обработки, при которых учитываются локальные особенности изображения.

Линейная фильтрация

Фильтрация представляет собой технологию модификации или улучшения изображения. Например, существует большое количество фильтров для усиления некоторых особенностей изображения или их удаления. Речь может идти о подчеркивании границ, выделении областей по некоторым признакам (например, цветовым) и т.п.

Как уже отмечалось ранее, существует ряд методов, в которых значения пикселей обработанного изображения вычисляются на основании значений окрестных пикселей. Разница между этими методами состоит в том, каким образом учитываются значения соседних пикселей. Отметим, что на основании значений соседних пикселей можно говорить об особенностях локальных окрестностей изображения.

Линейная фильтрация представляет собой такой вид обработки, при которой значения пикселей обработанного изображения формируются в результате линейных операций над значениями пикселей окрестности исходного изображения.

Поскольку этот вид фильтрации довольно часто применяется при обработке изображений, рассмотрим некоторые вопросы линейной фильтрации более детально, в частности

  • Фильтрация с использованием convolution и correlation.
  • Выполнение фильтрации с использованием функции imfilter и др.

Свертка

Линейная фильтрация изображений может быть реализована с помощью так называемой операции свертки. При реализации этой операции значения результирующих пикселей вычисляются как взвешенная сумма пикселей исходного изображения. Матрица весов называется ядром свертки, она известна еще как фильтр.

Рассмотрим пример. Пусть изображение представляет собой набор пикселей со значениями, представленными в виде матрицы

A =

а ядро свертки представлено таким образом

H =

Рассмотрим пример вычисления результирующего пикселя с координатами (2,4). Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Развернуть ядро свертки на 180 градусов относительно центрального элемента.
  2. Умножить каждое значение веса в матрице свертки на соответствующее значение пикселя в матрице A.
  3. Просуммировать результат умножения.


Корреляция

Операция корреляции очень похожа на операцию свертки в плане реализации. При вычислении корреляции значение результирующего пикселя представляет собой взвешенную сумму окрестных пикселей. Разница состоит в том, что матрица весов перед вычислениями не поворачивается. Рассмотрим аналогичный пример вычисления значения результирующего пикселя (2,4). Исходная матрица изображения и ядро корреляции взяты из предыдущего примера. Для этого необходимо реализовать следующие шаги:

  1. Перемножаем каждое значение веса и на соответствующее значение элемента матрицы исходного изображения.
  2. Суммируем все результаты умножения, которые получены в п.1.

В результате значение пикселя (2,4) будет равно


Вычисление значения результирующего пикселя (2,4)