Tính phần bù đại số của ma trận trực tuyến. Phần bù nhỏ và phần bù đại số
định thức bởi các phần tử của một hàng hoặc cột
Các tính chất khác liên quan đến khái niệm phần bù thứ và phần bù đại số
Sự định nghĩa. Người vị thành niên phần tử được gọi là định thức gồm các phần tử còn lại sau khi bị gạch bỏTôi-th cống vàjcột thứ tại giao điểm của phần tử này. Yếu tố thứ yếu của định thức N-thứ tự có thứ tự ( N- 1). Chúng ta sẽ ký hiệu nó bằng .
Ví dụ 1. Cho phép 
, Sau đó 
.
Phần nhỏ này có được từ A bằng cách gạch bỏ hàng thứ hai và cột thứ ba.
Sự định nghĩa.
Phần bù đại số
phần tử được gọi là phần tử thứ tương ứng, nhân với nat.e 
, Ở đâuTôi–số dòng vàj-cột tại giao điểm của phần tử này.
V.ІІІ. (Phân tích định thức thành các phần tử của một chuỗi nhất định). Định thức bằng tổng tích các phần tử của một hàng nhất định và phần bù đại số tương ứng của chúng.
.
Ví dụ 2. Vậy thì cứ để vậy đi
.
Ví dụ 3. Hãy tìm định thức của ma trận bằng cách khai triển nó thành các phần tử của hàng đầu tiên.
Về mặt hình thức, định lý này và các tính chất khác của định thức chỉ có thể áp dụng cho định thức của ma trận cấp không lớn hơn cấp ba, vì chúng ta chưa xem xét các định thức khác. Định nghĩa sau đây sẽ cho phép chúng ta mở rộng các tính chất này cho các định thức có cấp bất kỳ.
Sự định nghĩa. Bản ngã ma trận MỘT Bậc thứ n là số được tính bằng cách áp dụng tuần tự định lý khai triển và các tính chất khác của định thức.
Bạn có thể kiểm tra xem kết quả của các phép tính không phụ thuộc vào thứ tự áp dụng các thuộc tính trên cũng như cho hàng và cột nào. Sử dụng định nghĩa này, định thức được tìm thấy duy nhất.
Mặc dù định nghĩa này không chứa một công thức rõ ràng để tìm định thức, nhưng nó cho phép người ta tìm định thức đó bằng cách quy giản nó thành định thức của ma trận cấp thấp hơn. Những định nghĩa như vậy được gọi là tái phát.
Ví dụ 4. Tính định thức: .
Mặc dù định lý nhân tử hóa có thể được áp dụng cho bất kỳ hàng hoặc cột nào của một ma trận nhất định, nhưng sẽ thu được ít phép tính hơn nếu phân tích nhân tử dọc theo cột chứa càng nhiều số 0 càng tốt.
Vì ma trận không có phần tử bằng 0 nên chúng ta thu được chúng bằng tính chất 7). Nhân tuần tự dòng đầu tiên với các số (–5), (–3) và (–2) rồi cộng vào dòng thứ 2, 3, 4 và được:
Hãy khai triển định thức kết quả dọc theo cột đầu tiên và nhận được:
(ta lấy (–4) ở dòng thứ 1, (–2) ở dòng thứ 2, (–1) ở dòng thứ 3 theo tính chất 4) 
(vì định thức chứa hai cột tỉ lệ).
§ 1.3. Một số loại ma trận và định thức của chúng
Sự định nghĩa. vuông m một ma trận không có phần tử nào ở dưới hoặc trên đường chéo chính(=0 tại Tôi j, hoặc = 0 tại Tôi j) gọi điệnhình tam giác .
Hãy tiếp tục cuộc trò chuyện về các hành động với ma trận. Cụ thể là, trong quá trình nghiên cứu bài giảng này, bạn sẽ học cách tìm ma trận nghịch đảo. Học hỏi. Kể cả khi môn toán khó.
Ma trận nghịch đảo là gì? Ở đây chúng ta có thể rút ra sự tương tự với các số nghịch đảo: ví dụ, hãy xem xét số lạc quan 5 và số nghịch đảo của nó. Tích của các số này bằng một: . Mọi thứ đều tương tự với ma trận! Tích của một ma trận và ma trận nghịch đảo của nó bằng – ma trận đơn vị, là ma trận tương tự của đơn vị số. Tuy nhiên, trước tiên hãy giải quyết một vấn đề thực tế quan trọng, đó là tìm hiểu cách tìm ma trận nghịch đảo này.
Bạn cần biết và làm được gì để tìm ma trận nghịch đảo? Bạn phải có khả năng quyết định vòng loại. Bạn phải hiểu nó là gì ma trận và có thể thực hiện một số hành động với họ.
Có hai phương pháp chính để tìm ma trận nghịch đảo:
bằng cách sử dụng phép cộng đại số Và sử dụng các phép biến đổi cơ bản.
Hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp đầu tiên, đơn giản hơn.
Hãy bắt đầu với điều khủng khiếp và khó hiểu nhất. Hãy xem xét quảng trường ma trận. Ma trận nghịch đảo có thể được tìm thấy bằng công thức sau:
đâu là định thức của ma trận, là ma trận chuyển vị của phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.
Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ tồn tại đối với ma trận vuông, ma trận “hai nhân hai”, “ba nhân ba”, v.v.
Chỉ định: Như bạn có thể đã nhận thấy, ma trận nghịch đảo được biểu thị bằng chỉ số trên
Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - ma trận hai nhân hai. Tất nhiên, thông thường nhất là phải có "ba phần ba", tuy nhiên, tôi thực sự khuyên bạn nên nghiên cứu một nhiệm vụ đơn giản hơn để hiểu nguyên tắc chung của giải pháp.
Ví dụ:
Tìm nghịch đảo của một ma trận
Hãy quyết định. Thật thuận tiện để chia nhỏ chuỗi hành động theo từng điểm.
1) Đầu tiên ta tìm định thức của ma trận.
Nếu hiểu biết của bạn về hành động này chưa tốt, hãy đọc tài liệu Làm thế nào để tính định thức?
Quan trọng! Nếu định thức của ma trận bằng SỐ KHÔNG– ma trận nghịch đảo KHÔNG TỒN TẠI.
Trong ví dụ đang được xem xét, hóa ra, , có nghĩa là mọi thứ đều theo thứ tự.
2) Tìm ma trận số trẻ.
Để giải quyết vấn đề của chúng ta, không nhất thiết phải biết trẻ vị thành niên là gì, tuy nhiên nên đọc bài viết Cách tính định thức.
Ma trận con có cùng kích thước với ma trận, nghĩa là trong trường hợp này.
Điều duy nhất còn lại phải làm là tìm bốn số và đặt chúng thay vì dấu hoa thị.
Hãy quay lại ma trận của chúng ta
Trước tiên hãy nhìn vào phần tử trên cùng bên trái:
Làm thế nào để tìm thấy nó người vị thành niên?
Và điều này được thực hiện như sau: VUI LÒNG gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử này:
Số còn lại là thứ yếu của yếu tố này, mà chúng tôi viết trong ma trận trẻ vị thành niên:
Hãy xem xét phần tử ma trận sau:
Hãy gạch bỏ hàng và cột trong đó phần tử này xuất hiện:
Những gì còn lại là phần nhỏ của phần tử này, mà chúng tôi viết trong ma trận của mình:
Tương tự, chúng ta xét các phần tử của hàng thứ hai và tìm phần tử thứ yếu của chúng:
Sẵn sàng.
Nó đơn giản. Trong ma trận trẻ vị thành niên bạn cần ĐỔI DẤU HIỆU hai số:
Đây là những con số tôi đã khoanh tròn!
– ma trận cộng đại số các phần tử tương ứng của ma trận.
Và chỉ...
4) Tìm ma trận chuyển vị của phép cộng đại số.
– ma trận chuyển vị của phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.
5) Trả lời.
Hãy nhớ công thức của chúng tôi
Mọi thứ đã được tìm thấy!
Vậy ma trận nghịch đảo là: 
Tốt hơn là để lại câu trả lời như vậy. KHÔNG CẦN chia mỗi phần tử của ma trận cho 2, vì kết quả là số phân số. Sắc thái này được thảo luận chi tiết hơn trong cùng một bài viết. Hành động với ma trận.
Làm thế nào để kiểm tra giải pháp?
Bạn cần thực hiện phép nhân ma trận hoặc
Bài kiểm tra: 
Đã nhận được đã đề cập ma trận đơn vị là một ma trận với những cái bằng đường chéo chính và số không ở những nơi khác.
Như vậy, ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.
Nếu bạn thực hiện hành động đó thì kết quả cũng sẽ là một ma trận nhận dạng. Đây là một trong số ít trường hợp phép nhân ma trận có tính chất giao hoán, chi tiết hơn có thể xem tại bài viết Tính chất của phép toán trên ma trận. Biểu thức ma trận. Cũng lưu ý rằng trong quá trình kiểm tra, hằng số (phân số) được đưa về phía trước và xử lý ở cuối - sau phép nhân ma trận. Đây là một kỹ thuật tiêu chuẩn.
Hãy chuyển sang một trường hợp phổ biến hơn trong thực tế - ma trận ba nhân ba:
Ví dụ:
Tìm nghịch đảo của một ma trận 
Thuật toán hoàn toàn giống với trường hợp “hai nhân hai”.
Ta tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức: , trong đó là ma trận chuyển vị của phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.
1) Tìm định thức của ma trận.
Ở đây yếu tố quyết định được tiết lộ trên dòng đầu tiên.
Ngoài ra, đừng quên điều đó, điều đó có nghĩa là mọi thứ đều ổn - tồn tại ma trận nghịch đảo.
2) Tìm ma trận số trẻ.
Ma trận trẻ vị thành niên có chiều “ba nhân ba” 
, và chúng ta cần tìm chín số.
Tôi sẽ xem xét kỹ hơn một vài trẻ vị thành niên:
Hãy xem xét phần tử ma trận sau: 
VUI LÒNG gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử này: 
Chúng ta viết bốn số còn lại theo định thức “hai nhân hai”. 
Yếu tố quyết định hai nhân hai này và là thứ yếu của phần tử này. Cần phải tính toán: 
Thế là xong, phần phụ đã được tìm thấy, chúng ta viết nó vào ma trận phần phụ của mình: 
Như bạn có thể đoán, bạn cần tính chín định thức hai nhân hai. Tất nhiên, quá trình này rất tẻ nhạt, nhưng trường hợp không nghiêm trọng nhất, nó có thể tồi tệ hơn.
Chà, để củng cố – tìm một phần nhỏ khác trong các bức ảnh: 
Hãy cố gắng tự mình tính toán các trẻ vị thành niên còn lại.
Kết quả cuối cùng: 
– ma trận phần tử thứ của các phần tử tương ứng của ma trận.
Việc tất cả trẻ vị thành niên đều có kết quả tiêu cực hoàn toàn là một tai nạn.
3) Tìm ma trận cộng đại số.
Trong ma trận trẻ vị thành niên cần thiết ĐỔI DẤU HIỆU chặt chẽ đối với các yếu tố sau: 
Trong trường hợp này:
Chúng tôi không xem xét việc tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận “bốn nhân bốn”, vì nhiệm vụ như vậy chỉ có thể được giao bởi một giáo viên tàn bạo (để học sinh tính một định thức “bốn nhân bốn” và 16 định thức “ba nhân ba” ). Trong thực tế của tôi chỉ có một trường hợp như vậy và khách hàng thử nghiệm đã phải trả giá khá đắt cho sự dằn vặt của tôi =).
Trong một số sách giáo khoa và sách hướng dẫn, bạn có thể tìm thấy một cách tiếp cận hơi khác để tìm ma trận nghịch đảo, nhưng tôi khuyên bạn nên sử dụng thuật toán giải đã nêu ở trên. Tại sao? Bởi vì khả năng bị nhầm lẫn trong tính toán và ký hiệu là ít hơn nhiều.
Ma trận trẻ vị thành niên
Cho một hình vuông ma trận A, thứ tự thứ n. Người vị thành niên một số phần tử a ij , định thức của ma trận thứ tự thứ n được gọi bản ngã(n - 1)thứ tự, thu được từ thứ tự ban đầu bằng cách gạch bỏ hàng và cột tại giao điểm của phần tử được chọn a ij. Ký hiệu là M ij.
Hãy xem một ví dụ định thức của ma trận 3 - thứ tự của nó:
Khi đó theo định nghĩa người vị thành niên, người vị thành niên M 12 tương ứng với phần tử a 12 sẽ là bản ngã:
Đồng thời, với sự giúp đỡ trẻ vị thành niên có thể làm cho công việc tính toán dễ dàng hơn định thức của ma trận. Chúng ta cần phổ biến nó ra định thức ma trận dọc theo một số dòng và sau đó bản ngã sẽ bằng tổng của tất cả các phần tử của dòng này bởi phần tử phụ của chúng. Sự phân hủy định thức của ma trận 3 - thứ tự của nó sẽ như thế này:
|
|
|
Dấu ở phía trước tích là (-1) n, trong đó n = i + j.
Bổ sung đại số:
Phần bù đại số phần tử a ij được gọi là của nó người vị thành niên, được lấy bằng dấu "+" nếu tổng (i + j) là số chẵn và bằng dấu "-" nếu tổng này là số lẻ. Ký hiệu là A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.
Khi đó chúng ta có thể biểu diễn lại tính chất đã nêu ở trên. Định thức ma trận bằng tổng tích các phần tử của một hàng (hàng hoặc cột) nhất định ma trận tương ứng với chúng phép cộng đại số. Ví dụ:
4. Ma trận nghịch đảo và cách tính nó.
Cho A vuông ma trận thứ tự thứ n.
Quảng trường ma trận A được gọi là không suy biến nếu định thức ma trận(Δ = det A) không bằng 0 (Δ = det A ≠ 0). Ngược lại (Δ = 0) ma trận A được gọi là thoái hóa.
Ma trận, liên minh với ma trậnÀ, nó được gọi là ma trận
Ở đâu A ij - phần bù đại số phần tử a ij đã cho ma trận(nó được định nghĩa tương tự như phần bù đại số yếu tố định thức của ma trận).
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo A, nếu điều kiện được đáp ứng: A × A -1 = A -1 × A = E, trong đó E là đơn vị ma trận thứ tự tương tự như ma trận MỘT. Ma trận A -1 có cùng kích thước với ma trận MỘT.
ma trận nghịch đảo
Nếu có hình vuông ma trận X và A, thỏa mãn điều kiện: X × A = A × X = E, trong đó E là đơn vị ma trận thì theo thứ tự tương tự ma trận X được gọi là ma trận nghịch đảo vào ma trận A và được ký hiệu là A -1. Bất kỳ không suy biến ma trận Nó có ma trận nghịch đảo và hơn nữa, chỉ có một, tức là để có một hình vuông ma trận A đã có ma trận nghịch đảo, điều đó là cần thiết và đủ để bản ngãđã khác với số không.
Để có được ma trận nghịch đảo sử dụng công thức:
Trường hợp M ji được bổ sung người vị thành niên yếu tố a ji ma trận MỘT.
5. Xếp hạng ma trận. Tính thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.
Xét ma trận chữ nhật mxn. Chúng ta hãy chọn một số k hàng và k cột trong ma trận này, 1 £ k £ min (m, n) . Từ các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn, chúng ta soạn định thức thứ k. Tất cả các định thức như vậy được gọi là ma trận thứ. Ví dụ: đối với một ma trận, bạn có thể soạn các phần phụ bậc hai 
và thứ tự thứ nhất 1, 0, -1, 2, 4, 3.
Sự định nghĩa. Thứ hạng của ma trận là cấp cao nhất của phân số khác 0 của ma trận này. Ký hiệu hạng của ma trận r(A).
Trong ví dụ đã cho, thứ hạng của ma trận là hai, vì, ví dụ, thứ
Thật thuận tiện khi tính thứ hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Các phép biến đổi cơ bản bao gồm:
1) sắp xếp lại các hàng (cột);
2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;
3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó được nhân với một số nhất định.
Các phép biến đổi này không làm thay đổi thứ hạng của ma trận, vì người ta biết rằng 1) khi các hàng được sắp xếp lại, định thức đổi dấu và nếu nó không bằng 0 thì nó sẽ không còn như vậy nữa; 2) khi nhân một chuỗi định thức với một số không bằng 0 thì định thức được nhân với số đó; 3) phép biến đổi cơ bản thứ ba không làm thay đổi định thức chút nào. Do đó, bằng cách thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên một ma trận, người ta có thể thu được một ma trận mà dễ dàng tính được hạng của nó và do đó, của ma trận ban đầu.
Sự định nghĩa. Ma trận thu được từ ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản được gọi là tương đương và được ký hiệu MỘT TRONG.
Định lý. Thứ hạng của ma trận không thay đổi trong quá trình biến đổi ma trận cơ bản.
Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, bạn có thể giảm ma trận về dạng được gọi là dạng bước, khi việc tính thứ hạng của nó không khó.
Ma trận được gọi từng bước nếu nó có dạng:
Rõ ràng hạng của ma trận cấp bậc bằng số hàng khác 0 , bởi vì có cấp bậc thứ không bằng 0:
.
Sự định nghĩa. Nếu trong định thức bậc n ta chọn tùy ý k hàng và k cột thì các phần tử giao nhau giữa các hàng và cột này tạo thành ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông như vậy được gọi là bậc thứ k .
Ký hiệu là Mk. Nếu k=1 thì bậc thứ nhất là một phần tử của định thức.
Các phần tử tại giao điểm của (n-k) hàng và (n-k) cột còn lại tạo thành một ma trận vuông có cấp độ (n-k). Định thức của ma trận như vậy được gọi là thứ yếu, thêm vàođến trẻ vị thành niên M k . Ký hiệu là Mn-k.
Phần bù đại số của M k thứ chúng ta sẽ gọi nó là một số phụ bổ sung, được lấy bằng dấu “+” hoặc “-”, tùy thuộc vào tổng số của tất cả các hàng và cột chứa M k phụ là chẵn hay lẻ.
Nếu k=1 thì phần bù đại số của phần tử một ý kiến tính theo công thức
MỘT ik =(-1) i+k M tôi,ở đâu M tôi- thứ tự nhỏ (n-1).
Định lý. Tích của bậc thứ k và phần bù đại số của nó bằng tổng của một số số hạng nhất định của định thức D n.
Bằng chứng
1. Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Cho M k thứ chiếm góc trên bên trái của định thức, tức là nằm trên các dòng đánh số 1, 2, ..., k thì M n-k thứ sẽ chiếm các dòng k+1, k+2, ... , N.
Chúng ta hãy tính phần bù đại số của M k thứ. A-tu viện,
MỘT n-k =(-1) s M n-k, trong đó s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), thì
(-1) giây=1 và A n-k = M n-k. Chúng tôi nhận được
M k MỘT n-k = M k M n-k. (*)
Chúng ta lấy một số hạng tùy ý của M k thứ
, (1)
trong đó s là số lần đảo ngược trong sự thay thế
và một số hạng tùy ý M n-k
trong đó s * là số lần đảo ngược trong thay thế
(4)
Nhân (1) và (3), ta được
Tích gồm n phần tử nằm ở các hàng và cột khác nhau của định thức D. Do đó, tích này là thành phần của định thức D. Dấu của tích (5) được xác định bằng tổng các nghịch đảo của các phép thay thế (2) và (4), còn dấu của tích tương tự trong định thức D được xác định bằng số nghịch đảo s k trong phép thế
Rõ ràng là s k =s+s * .
Do đó, trở về đẳng thức (*), ta thu được tích M k MỘT n-k chỉ bao gồm các số hạng của định thức.
2. Đặt M nhỏ k nằm trong hàng có số tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và trong các cột có số j 1, j 2, ..., j k, Và tôi 1< i 2 < ...< i k Và j 1< j 2 < ...< j k .
Sử dụng tính chất của định thức, sử dụng chuyển vị, chúng ta sẽ chuyển số thứ sang góc trên bên trái. Chúng ta thu được định thức D ¢, trong đó M thứ k chiếm góc trên bên trái và M¢ phụ bổ sung n-k là góc dưới bên phải thì theo chứng minh ở điểm 1, ta thu được tích M k M¢ n-k là tổng của một số phần tử nhất định của định thức D ¢, lấy dấu riêng của chúng. Nhưng D¢ thu được từ D bằng cách sử dụng ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) chuyển vị chuỗi và ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) chuyển vị cột. Tức là mọi việc đã xong
(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Do đó, số hạng của định thức D và D ¢ khác nhau về dấu (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, do đó tích (-1) s M k M¢ n-k sẽ bao gồm một số số hạng nhất định của định thức D, được lấy cùng dấu như chúng có trong định thức này.
Định lý Laplace. Nếu trong định thức bậc n, chúng ta chọn tùy ý k hàng (hoặc k cột) 1£k£n-1, thì tổng các tích của tất cả các phân số thứ k có trong các hàng đã chọn và phần bù đại số của chúng bằng định thức D .
Bằng chứng
Hãy chọn các dòng ngẫu nhiên tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và chúng tôi sẽ chứng minh điều đó
Trước đây người ta đã chứng minh rằng tất cả các phần tử ở vế trái của đẳng thức đều được chứa dưới dạng các phần tử trong định thức D. Chúng ta hãy chứng minh rằng mỗi phần tử trong định thức D chỉ thuộc một trong các phần tử đó. Quả thực, mọi thứ ts giống như t s =. nếu trong sản phẩm này chúng ta lưu ý đến các yếu tố có chỉ số đầu tiên tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và soạn tích của chúng, khi đó bạn có thể nhận thấy rằng sản phẩm thu được thuộc cấp thứ k. Do đó, các số hạng còn lại, được lấy từ n-k hàng và n-k cột còn lại, tạo thành một phần tử thuộc phần bù phụ, và do đó, có tính đến dấu, thuộc phần bù đại số, do đó, bất kỳ số hạng nào ts chỉ rơi vào một trong các tích, điều này chứng tỏ định lý.
Kết quả(định lý về khai triển định thức liên tiếp) . Tổng các tích các phần tử của một hàng nhất định của định thức và các phần bù đại số tương ứng bằng định thức.
(Chứng minh như một bài tập.)
Định lý. Tổng tích các phần tử của hàng thứ i của định thức bằng các phần bù đại số tương ứng với các phần tử của hàng thứ j (i¹j) bằng 0.
Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm về phần bù đại số và phần phụ. Việc trình bày tài liệu dựa trên các thuật ngữ được giải thích trong chủ đề "Ma trận. Các loại ma trận. Thuật ngữ cơ bản". Chúng ta cũng sẽ cần một số công thức để tính định thức. Vì chủ đề này chứa rất nhiều thuật ngữ liên quan đến phần bù thứ và đại số nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.
$M_(ij)$ thứ của phần tử $a_(ij)$
$M_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ ma trận $A_(n\times n)$ đặt tên cho định thức của ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j (tức là hàng và cột tại giao điểm trong đó phần tử nằm ở vị trí $a_(ij)$).
Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc 4: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$. Hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(32)$, tức là hãy tìm $M_(32)$. Đầu tiên, hãy viết $M_(32)$ nhỏ rồi tính giá trị của nó. Để soạn $M_(32)$, chúng ta xóa hàng thứ ba và cột thứ hai khỏi ma trận $A$ (chính tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai mà phần tử $a_(32)$ nằm ). Chúng ta sẽ thu được một ma trận mới, định thức của ma trận này là cần số $M_(32)$:
Phần nhỏ này dễ dàng tính toán bằng công thức số 2 từ chủ đề tính toán:
$$ M_(32)=\left| \begin(mảng) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(mảng) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$
Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(32)$ là 579, tức là $M_(32)=579$.
Thông thường, thay vì cụm từ “phần tử ma trận thứ yếu” trong tài liệu, người ta lại tìm thấy “yếu tố thứ yếu xác định”. Bản chất vẫn giữ nguyên: để thu được phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$, bạn cần gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j khỏi định thức ban đầu. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức mới, là định thức thứ của phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(12)$ của định thức $\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(mảng) \right|$. Để viết ra $M_(12)$ thứ cần thiết, chúng ta cần xóa hàng đầu tiên và cột thứ hai khỏi định thức đã cho:
Để tìm giá trị của phần này, chúng ta sử dụng công thức số 1 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:
$$ M_(12)=\left| \begin(mảng) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(mảng) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$
Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(12)$ là 83, tức là $M_(12)=83$.
Phần bù đại số $A_(ij)$ của phần tử $a_(ij)$
Cho một ma trận vuông $A_(n\times n)$ (tức là một ma trận vuông cấp n).
Phần bù đại số$A_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ của ma trận $A_(n\times n)$ được tìm thấy theo công thức sau: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$
trong đó $M_(ij)$ là phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$.
Chúng ta hãy tìm phần bù đại số của phần tử $a_(32)$ của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, tức là hãy tìm $A_(32)$. Trước đây chúng tôi đã tìm thấy $M_(32)=579$ nhỏ, vì vậy chúng tôi sử dụng kết quả thu được:
Thông thường, khi tìm phần bù đại số, phần bù nhỏ không được tính riêng mà chỉ sau đó phần bù đó mới được tính. Ghi chú nhỏ bị bỏ qua. Ví dụ: hãy tìm $A_(12)$ nếu $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end ( mảng) \right)$. Theo công thức $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Tuy nhiên, để có được $M_(12)$ chỉ cần gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ hai của ma trận $A$ là đủ, vậy tại sao lại đưa ra một ký hiệu bổ sung cho số thứ? Chúng ta hãy viết ngay biểu thức của phần bù đại số $A_(12)$:
Thứ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$
Nếu ở hai đoạn trước chúng ta chỉ nói về ma trận vuông thì ở đây chúng ta cũng sẽ nói về ma trận hình chữ nhật, trong đó số hàng không nhất thiết phải bằng số cột. Vì vậy, hãy cho ma trận $A_(m\times n)$, tức là. một ma trận gồm m hàng và n cột.
Thứ tự thứ k nhỏ ma trận $A_(m\times n)$ là định thức có các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột của ma trận $A$ (giả sử $k< m$ và $k< n$).
Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ và viết ra cái gì -hoặc thứ ba nhỏ. Để viết số thứ ba bậc ba, chúng ta cần chọn ba hàng và ba cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ: lấy các hàng được đánh số 2, 4, 6 và các cột được đánh số 1, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ đặt các phần tử của phần tử phụ được yêu cầu. Trong hình, các phần tử phụ được hiển thị bằng màu xanh lam:
Thứ tự thứ nhất được tìm thấy ở giao điểm của một hàng và một cột, tức là. cấp số thứ nhất bằng các phần tử của ma trận đã cho.
Bậc thứ k của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ được gọi chủ yếu, nếu trên đường chéo chính của một phần tử cho trước chỉ có các phần tử đường chéo chính của ma trận $A$.
Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phần tử đường chéo chính là các phần tử của ma trận có chỉ số bằng nhau: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$, v.v. Ví dụ: đối với ma trận $A$ được xem xét ở trên, các phần tử như vậy sẽ là $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8 đô la. Chúng được đánh dấu bằng màu hồng trong hình:
Ví dụ: nếu trong ma trận $A$, chúng ta gạch bỏ các hàng và cột được đánh số 1 và 3, thì tại giao điểm của chúng sẽ có các phần tử cấp hai, trên đường chéo chính sẽ chỉ có các phần tử đường chéo của ma trận $A$ (các phần tử $a_(11) =-1$ và $a_(33)=18$ của ma trận $A$). Do đó, chúng ta có được một thứ chính thứ hai:
Đương nhiên, chúng ta có thể lấy các hàng và cột khác, chẳng hạn như số 2 và 4, từ đó thu được một thứ chính khác của thứ tự thứ hai.
Giả sử một số $M$ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$ không bằng 0, tức là. $M\neq 0$. Trong trường hợp này, tất cả các trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn k đều bằng 0. Khi đó $M$ nhỏ được gọi nền tảng, và các hàng và cột chứa các phần tử của phần tử cơ bản được gọi là chuỗi cơ sở Và cột cơ sở.
Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Chúng ta hãy viết số thứ của ma trận này, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của các hàng đánh số 1, 2, 3 và các cột đánh số 1, 3, 4. Ta được một số thứ ba:
Chúng ta hãy tìm giá trị của thứ này bằng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:
$$ M=\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(mảng) \right|=4+3+6-2=11. $$
Vì vậy, $M=11\neq 0$. Bây giờ chúng ta hãy thử soạn bất kỳ trẻ vị thành niên nào có thứ tự cao hơn ba. Để tạo một thứ bậc bốn, chúng ta phải sử dụng hàng thứ tư, nhưng tất cả các phần tử của hàng này đều bằng 0. Do đó, bất kỳ trẻ vị thành niên bậc bốn nào cũng sẽ có một hàng bằng 0, có nghĩa là tất cả các trẻ vị thành niên bậc bốn đều bằng 0. Chúng ta không thể tạo cấp thứ năm trở lên vì ma trận $A$ chỉ có 4 hàng.
Chúng tôi đã tìm thấy cấp độ thứ ba không bằng 0. Trong trường hợp này, tất cả các số thứ cấp cao hơn đều bằng 0, do đó, số thứ mà chúng ta đang xem xét là cơ bản. Các hàng của ma trận $A$ nơi chứa các phần tử của phần tử thứ này (hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba) là các hàng cơ bản và các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư của ma trận $A$ là các cột cơ bản.
Tất nhiên, ví dụ này không quan trọng vì mục đích của nó là thể hiện rõ ràng bản chất của thể thứ cơ bản. Nói chung, có thể có một số trẻ vị thành niên cơ bản và thông thường quá trình tìm kiếm trẻ vị thành niên như vậy phức tạp và sâu rộng hơn nhiều.
Hãy giới thiệu một khái niệm khác - giáp ranh.
Cho bậc thứ k $M$ của ma trận $A_(m\times n)$ nằm ở giao điểm của k hàng và k cột. Hãy thêm một hàng và cột khác vào tập hợp các hàng và cột này. Cấp thứ thứ (k+1) được gọi là cạnh nhỏ với giá $M$ nhỏ.
Ví dụ: hãy nhìn vào ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (mảng) \right)$. Hãy viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2 và số 5, cũng như cột số 2 và số 4.
Hãy thêm một hàng số 1 khác vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ phụ và cột số 5 vào tập hợp các cột. Chúng ta thu được một $M"$ thứ mới (đã thuộc bậc thứ ba), các phần tử của nó nằm ở giao điểm của các hàng số 1, số 2, số 5 và cột số 2, số 4, số 5. Các phần tử của $M$ thứ trong hình được đánh dấu bằng màu hồng và Các phần tử chúng ta thêm vào $M$ thứ có màu xanh lục:
$M"$ thứ là thứ tiếp giáp với $M$ thứ. Tương tự, thêm hàng số 4 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ thứ và cột số 3 vào tập hợp các các cột, chúng ta thu được $M""$ (bậc thứ ba):
Âm thứ $M""$ cũng là âm thứ giáp với $M$ thứ.
Thứ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Bổ sung trẻ vị thành niên. Phần bù đại số của ma trận vuông.
Hãy quay trở lại ma trận vuông một lần nữa. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một trẻ vị thành niên bổ sung.
Cho một số $M$ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Định thức bậc (n-k), các phần tử của nó thu được từ ma trận $A$ sau khi xóa các hàng và cột chứa $M$ thứ, được gọi là định thức thứ, bổ sung cho thứ yếu$M$.
Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc năm: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Hãy chọn hàng số 1 và số 3, cũng như cột số 2 và số 5. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có các phần tử $M$ thứ cấp thứ hai:
Bây giờ, hãy xóa khỏi ma trận $A$ hàng số 1, số 3 và cột số 2 và số 5, tại giao điểm của chúng có các phần tử của $M$ phụ (các hàng và cột bị loại bỏ được hiển thị trong màu đỏ trong hình dưới đây). Các phần tử còn lại tạo thành $M"$ thứ:
$M"$ thứ, có thứ tự là $5-2=3$, là thứ bổ sung cho $M$ thứ.
Phần bù đại số cho trẻ vị thành niên$M$ của ma trận vuông $A_(n\times n)$ được gọi là biểu thức $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, trong đó $\alpha$ là tổng của số hàng và số cột của ma trận $A$, trên đó chứa các phần tử của $M$ thứ, và $M"$ là phần phụ của $M$ thứ.
Cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ” thường được thay thế bằng cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ”.
Ví dụ, hãy xem xét ma trận $A$, trong đó chúng ta đã tìm thấy ma trận cấp hai $ M=\left| \begin(mảng) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ và thứ thứ ba bổ sung của nó: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (mảng) \right|$ Hãy ký hiệu phần bù đại số của $M$ thứ là $M^*$ Khi đó, theo định nghĩa:
$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$
Tham số $\alpha$ bằng tổng số hàng và số cột chứa $M$ phụ. Tiểu khu này nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3 và cột số 2, số 5. Do đó, $\alpha=1+3+2+5=11$. Vì thế:
$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$
Về nguyên tắc, sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba, bạn có thể hoàn thành phép tính, thu được giá trị $M^*$:
$$ M^*=-\left| \begin(mảng) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(mảng) \right|=-30. $$
