Kiểm tra: Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến. Kiểm tra: Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến Kiểm tra hàm số nhiều biến in

Bộ môn: Toán cao cấp

Tiểu luận

trong môn "Toán cao cấp"

Đề tài: “Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến”

Tolyatti, 2008

Giới thiệu

Khái niệm hàm một biến không bao hàm tất cả các phụ thuộc tồn tại trong tự nhiên. Ngay cả trong những bài toán đơn giản nhất cũng có những đại lượng có giá trị được xác định bằng sự kết hợp giá trị của một số đại lượng.

Để nghiên cứu sự phụ thuộc như vậy, khái niệm hàm nhiều biến được đưa ra.

Khái niệm về hàm nhiều biến

Sự định nghĩa. Kích cỡ bạnđược gọi là hàm của nhiều biến độc lập ( x, y, z, …, t), nếu mỗi tập giá trị của các biến này gắn với một giá trị nào đó của đại lượng bạn.

Nếu biến là hàm của hai biến X Và Tại, khi đó sự phụ thuộc hàm được ký hiệu

z= f(x, y).

Biểu tượng fở đây xác định một tập hợp các hành động hoặc quy tắc để tính giá trị z cho một cặp giá trị nhất định X Và Tại.

Vì vậy, đối với chức năng z= x 2 + 3xy

Tại X= 1 và Tại= 1 chúng ta có z = 4,

Tại X= 2 và Tại= 3 chúng ta có z = 22,

Tại X= 4 và Tại= 0 chúng ta có z= 16, v.v.

Đại lượng được gọi tương tự bạn hàm ba biến x, y, z, nếu một quy tắc được đưa ra, như đối với một bộ ba giá trị nhất định x, y Và z tính giá trị tương ứng bạn:

bạn= F(x, y, z).

Đây là biểu tượng F xác định một tập hợp các hành động hoặc quy tắc để tính giá trị bạn, tương ứng với các giá trị này x, y Và z.

Vì vậy, đối với chức năng bạn= xy+ 2xz– 3yz

Tại X = 1, Tại= 1 và z= 1 chúng ta có bạn= 0,

Tại X = 1, Tại= -2 và z= 3 chúng ta có bạn= 22,

Tại X = 2, Tại= -1 và z= -2 chúng ta có bạn= -16, v.v.

Vì vậy, nếu, do một quy luật nào đó của mỗi quần thể P số ( x, y, z, …, t) từ một tập hợp nào đó E gán một giá trị cụ thể cho một biến bạn, sau đó bạn gọi là hàm của P biến x, y, z, …, t, được xác định trên tập hợp E, và được ký hiệu

bạn= f(x, y, z, …, t).

Biến x, y, z, …, tđược gọi là đối số của hàm, đặt E– Miền định nghĩa của hàm.

Giá trị riêng của hàm là giá trị của hàm tại một điểm nào đó M 0(x 0, y 0, z 0, …, t 0) và được chỉ định f (M 0) = f (x 0, y 0, z 0, …, t 0).

Miền của hàm là tập hợp tất cả các giá trị đối số tương ứng với bất kỳ giá trị thực nào của hàm.

Hàm hai biến z= f(x, y) trong không gian nó được biểu diễn bằng một bề mặt nào đó. Nghĩa là khi một điểm có tọa độ X, Tại chạy qua toàn bộ miền định nghĩa của hàm nằm trong mặt phẳng xOy, điểm không gian tương ứng, nói chung, mô tả bề mặt.

Hàm ba biến bạn= F(x, y, z) được coi là hàm của một điểm của một tập hợp điểm nhất định trong không gian ba chiều. Tương tự, hàm P biến bạn= f(x, y, z, …, t) được coi là hàm của một điểm nào đó P-không gian chiều.

Giới hạn của hàm nhiều biến

Để đưa ra khái niệm giới hạn của hàm số nhiều biến, ta giới hạn trong trường hợp hàm số hai biến X Và Tại. Theo định nghĩa, hàm f(x, y) có giới hạn tại điểm ( X 0, Tại 0), bằng số MỘT, ký hiệu như sau:

(họ cũng viết f(x, y) →MỘT Tại (x, y) → (X, Tại)), nếu nó được xác định trong một lân cận nào đó của điểm ( X, Tại), ngoại trừ có lẽ tại thời điểm này và nếu có giới hạn

bất kể xu hướng là gì ( X, Tại) dãy điểm ( xk, yk).

Cũng giống như trong trường hợp hàm một biến, có thể đưa ra một định nghĩa tương đương khác về giới hạn của hàm hai biến: hàm f có tại điểm ( X, Tại) giới hạn bằng MỘT, nếu nó được xác định trong một lân cận nào đó của điểm ( X, Tại) có lẽ ngoại trừ bản thân điểm này và với mọi ε > 0 đều có δ > 0 sao cho

| f(x, y) – MỘT| < ε(3)

cho tất cả (x, y)

0 < />< δ. (4)

Ngược lại, định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau: với mọi ε > 0 đều có lân cận δ của điểm ( X, Tại) sao cho đối với mọi người ( x, y) từ vùng lân cận này, khác với ( X, Tại), bất đẳng thức (3) được thỏa mãn.

NGẮT TRANG--

Vì tọa độ của một điểm tùy ý ( x, y) lân cận của điểm ( X, Tại) có thể viết dưới dạng x = x+ Δ X, y = y+ Δ Tại, thì đẳng thức (1) tương đương với đẳng thức sau:

Chúng ta hãy xem xét một số hàm được xác định trong lân cận của điểm ( X, Tại), có lẽ ngoại trừ chính điểm này.

Đặt ω = (ω X, ω Tại) – một vectơ tùy ý có độ dài bằng một (|ω|2= ω X 2+ ω Tại 2= ​​1) và t> 0 – vô hướng. Xem điểm

(X 0+ tω X, y 0+ tω Tại) (0 < t)

tạo thành một tia ló ra từ ( X 0, Tại 0) theo hướng của vectơ ω. Với mỗi ω chúng ta có thể xét hàm

f(X 0+ tω X, y 0+ tω Tại) (0 < t< δ)

từ một biến vô hướng t, trong đó δ là một số khá nhỏ.

Giới hạn của hàm này (một biến) t)

/> f(X+ tω X, y+ tω Tại),

fỞ điểm ( X, Tại) theo hướng ω.

Ví dụ 1. Chức năng

xác định trên mặt phẳng ( x, y) ngoại trừ điểm X= 0, Tại= 0. Ta có (có tính đến điều đó // và />):

(với ε > 0 chúng ta đặt δ = ε/2 và sau đó | f(x, y) | < ε, если />< δ).

từ đó cho thấy giới hạn φ tại điểm (0, 0) theo các phương khác nhau nhìn chung là khác nhau (vectơ đơn vị của tia y= kx, X> 0 có dạng

Ví dụ 2. Hãy xem xét ở R 2 chức năng

/> (X 4+ Tại 2≠ 0).

Hàm này tại điểm (0, 0) trên bất kỳ dòng nào y= kxđi qua gốc tọa độ có giới hạn bằng 0:

/> tại X→ 0.

Tuy nhiên hàm này không có giới hạn tại các điểm (0, 0), vì khi y = x 2

Chúng ta sẽ viết /> nếu hàm fđược xác định trong một lân cận nào đó của điểm ( X, Tại), có lẽ ngoại trừ chính điểm đó ( X, Tại) và cho mọi người N> 0 tồn tại δ > 0 sao cho

|f(x, y) | > N,

ngay khi 0< />< δ.

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

Chúng ta cũng có thể nói về giới hạn f, Khi X, Tại→ ∞:

MỘTđẳng thức (5) phải được hiểu theo nghĩa với mọi ε > 0 đều tồn tại N> 0, dành cho tất cả mọi người X, Tại, mà | x| > N, |y| > N, chức năng fđược xác định và bất đẳng thức giữ

|f(x, y) – MỘT| < ε.

Đẳng thức có hiệu lực

nó có thể ở đâu X→ ∞, Tại→ ∞. Hơn nữa, như thường lệ, các giới hạn (hữu hạn) ở vế trái của chúng tồn tại nếu tồn tại giới hạn f và φ.

Hãy chứng minh (7) làm ví dụ.

Cho phép ( xk, yk) → (X, Tại) ((xk, yk) ≠ (X, Tại)); Sau đó

Do đó, giới hạn ở vế trái của (9) tồn tại và bằng vế phải của (9), và vì dãy ( xk, yk) có xu hướng ( X, Tại) theo định luật bất kỳ thì giới hạn này bằng giới hạn của hàm số f(x, y) ∙φ (x, y) Ở điểm ( X, Tại).

Định lý. nếu chức năng f(x, y) có giới hạn khác 0 tại điểm ( X, Tại), I E.

thì tồn tại δ > 0 sao cho với mọi X, Tại, thỏa mãn bất đẳng thức

0 < />< δ, (10)

nó thỏa mãn bất đẳng thức

Vì vậy, đối với như vậy (x, y)

những thứ kia. bất đẳng thức (11) được giữ. Từ bất đẳng thức (12) cho biểu thức (x, y) theo sau // từ // tại MỘT> 0 và />tại

MỘT< 0 (сохранение знака).

Theo định nghĩa, hàm f(x) = f(x 1, …, xN) = MỘT có một giới hạn tại điểm

x=> bằng với số MỘT, ký hiệu như sau:

(họ cũng viết f(x) → MỘT(x→ x)), nếu nó được xác định trên một lân cận nào đó của điểm x, có lẽ ngoại trừ cô ấy, và nếu có giới hạn

bất kể nguyện vọng là gì x chuỗi điểm Xk từ vùng lân cận được chỉ định ( k= 1, 2, ...), khác với x.

Một định nghĩa tương đương khác là: hàm f có tại thời điểm x giới hạn bằng MỘT, nếu nó được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x, ngoại trừ chính nó, và với mọi ε > 0 đều có δ > 0 sao cho

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

cho tất cả X, thỏa mãn bất đẳng thức

0 < |x– x| < δ.

Định nghĩa này lần lượt tương đương với định nghĩa sau: với mọi ε > 0 đều có một lân cận bạn(x) điểm x như vậy đối với mọi người X/>bạn(x) , X≠ x, bất đẳng thức (13) được thỏa mãn.

Rõ ràng, nếu số MỘT có một giới hạn f(x) V. x, Cái đó MỘT có một giới hạn của hàm f(x 0 + h) từ h tại điểm 0:

và ngược lại.

Hãy xem xét một số chức năng f, được xác định tại mọi điểm lân cận của điểm x, có lẽ ngoại trừ điểm x; đặt ω = (ω1, ..., ω P) là một vectơ tùy ý có độ dài bằng một (|ω| = 1) và t> 0 – vô hướng. Xem điểm x+ tω (0 < t) hình thức nổi lên từ x tia theo hướng của vectơ ω. Với mỗi ω chúng ta có thể xét hàm

/> (0 < t< δω)

từ một biến vô hướng t, trong đó δω là một số phụ thuộc vào ω. Giới hạn của hàm này (từ một biến t)

nếu nó tồn tại thì đương nhiên gọi là giới hạn f tại điểm x theo hướng của vectơ ω.

Chúng ta sẽ viết /> nếu hàm fđược xác định ở một số vùng lân cận x, ngoại trư co le x, và cho mọi người N> 0 tồn tại δ > 0 sao cho | f(x) | >N, kể từ 0< |x– x| < δ.

Chúng ta có thể nói về giới hạn f, Khi X→ ∞:

Ví dụ, trong trường hợp số hữu hạn MỘTđẳng thức (14) phải được hiểu theo nghĩa với bất kỳ ε > 0 nào chúng ta có thể chỉ định như sau N> 0, dành cho điểm X, mà | x| > N, chức năng fđược xác định và bất đẳng thức đúng />.

Vậy giới hạn của hàm f(x) = f(x 1, ..., XP) từ P các biến được xác định bằng cách tương tự giống như đối với hàm hai biến.

Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc xác định giới hạn của hàm nhiều biến.

Con số MỘT gọi là giới hạn của hàm f(M) Tại M→ M, nếu với mọi số ε > 0 luôn tồn tại một số δ > 0 sao cho mọi điểm M, khác với M và thỏa mãn điều kiện | MM| < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – MỘT| < ε.

Giới hạn được ký hiệu là />Trong trường hợp hàm hai biến />

Định lý giới hạn. Nếu các chức năng f 1(M) Và f 2(M) Tại M→ M mỗi cái đều có xu hướng tới một giới hạn hữu hạn, khi đó:

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

Ví dụ 1. Tìm giới hạn của hàm số: />

Giải pháp. Hãy biến đổi giới hạn như sau:

Cho phép y= kx, thì />

Ví dụ 2. Tìm giới hạn của hàm số: />

Giải pháp. Hãy sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên />Sau đó />

Ví dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số: />

Giải pháp. Hãy sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai />Sau đó />

Tính liên tục của hàm nhiều biến

Theo định nghĩa, hàm f(x, y) liên tục tại điểm ( X, Tại), nếu nó được xác định trong một số vùng lân cận của nó, kể cả tại chính điểm đó ( X, Tại) và nếu giới hạn f(x, y) tại thời điểm này bằng giá trị của nó tại đó:

Điều kiện liên tục fỞ điểm ( X, Tại) có thể viết dưới dạng tương đương:

những thứ kia. chức năng f liên tục tại điểm ( X, Tại), nếu hàm số liên tục f(X+ Δ X, Tại+ Δ y) trên các biến Δ X, Δ Tại tại ∆ X= Δ y = 0.

Bạn có thể nhập số gia Δ Và chức năng Và= f(x, y) tại điểm (x, y) , tương ứng với số gia Δ X, Δ Tại tranh luận

Δ Và= f(X+ Δ X, Tại+ Δ y)– f(x, y)

và trong ngôn ngữ này xác định tính liên tục f V. (x, y) : chức năng f liên tục tại một điểm (x, y) , Nếu như

Định lý. Tổng, hiệu, tích và thương của liên tục tại điểm ( X, Tại) chức năng f và φ là một hàm liên tục tại điểm này, tất nhiên, trừ khi trong trường hợp thương φ ( X, Tại) ≠ 0.

Không thay đổi Với có thể được coi là một chức năng f(x, y) = Với từ các biến x, y. Nó liên tục trong các biến này bởi vì

/>|f(x, y) – f(X, Tại) | = |s - s| = 0 0.

Các chức năng khó khăn nhất tiếp theo là f(x, y) = X Và f(x, y) = Tại. Chúng cũng có thể được coi là chức năng của (x, y) , đồng thời chúng liên tục. Ví dụ, chức năng f(x, y) = X phù hợp với từng điểm (x, y) một số bằng X. Tính liên tục của hàm số này tại một điểm tùy ý (x, y) có thể chứng minh như thế này:

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

/>| f(X+ Δ X, Tại+ Δ y)– f(x, y) | = |f(X+ Δ x) – x| = | Δ X| ≤ />0.

Nếu bạn tạo ra các hàm x, y và các phép cộng, trừ, nhân liên tục trong một số hữu hạn thì ta sẽ thu được các hàm gọi là đa thức trong x, y. Dựa vào các tính chất được xây dựng ở trên, đa thức trong biến x, y– hàm liên tục của các biến này cho mọi điểm (x, y) />R 2.

Thái độ P/ Q hai đa thức từ (x, y) là hàm hữu tỉ của (x, y) , rõ ràng là liên tục ở mọi nơi trên R 2, trừ điểm (x, y) , Ở đâu Q(x, y) = 0.

R(x, y) = X 3– Tại 2+ X 2Tại– 4

có thể là một ví dụ về đa thức từ (x, y) bậc ba và hàm

R(x, y) = X 4– 2X 2Tại 2+Tại 4

có một ví dụ về đa thức từ (x, y) độ thứ tư.

Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về một định lý phát biểu tính liên tục của một hàm số liên tục.

Định lý. Hãy để chức năng f(x, y, z) liên tục tại một điểm (x, y, z) không gian R 3 điểm (x, y, z) ) và các hàm

x= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (bạn, v)

liên tục tại một điểm (bạn, v) không gian R 2 điểm (bạn, v) ). Ngoài ra, hãy để

x= φ (bạn, v), y= ψ (bạn, v), z= χ (bạn, v) .

Sau đó, chức năng F(bạn, v) = f[ φ (bạn, v), ψ (bạn, v), χ (bạn, v) ] là liên tục (theo

(bạn, v) ) Ở điểm (bạn, v) .

Bằng chứng. Vì dấu của giới hạn có thể đặt dưới dấu của đặc tính của hàm liên tục nên

Định lý. Chức năng f(x, y) , liên tục tại điểm ( X, Tại) và không bằng 0 tại thời điểm này, giữ nguyên dấu của số f(X, Tại) trong lân cận nào đó của điểm ( X, Tại).

Theo định nghĩa, hàm f(x) = f(x 1, ..., XP) liên tục tại một điểm X= (X 1, ..., XP) , nếu nó được xác định trong một số vùng lân cận của nó, kể cả tại chính điểm đó X và nếu giới hạn của nó là tại điểm X bằng giá trị của nó trong đó:

Điều kiện liên tục f tại điểm X có thể được viết ở dạng tương đương:

những thứ kia. chức năng f(x) liên tục tại một điểm X, nếu hàm số liên tục f(X+ h) từ h tại điểm h= 0.

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

Bạn có thể nhập mức tăng f tại điểm X, tương ứng với mức tăng h= (h 1, ..., hP) ,

Δ hf(X) = f(X+ h) – f(X)

và trong ngôn ngữ của ông định nghĩa tính liên tục f V. X: chức năng f liên tục trong X, Nếu như

Định lý. Tổng, hiệu, tích và thương của liên tục tại một điểm X chức năng f(x) và φ (x) là một hàm liên tục tại điểm này, tất nhiên nếu trong trường hợp φ cụ thể (X) ≠ 0.

Bình luận. Tăng Δ hf(X) còn được gọi là mức tăng đầy đủ của hàm f tại điểm X.

Trong không gian RNđiểm X= (x 1, ..., XP) hãy thiết lập một tập hợp các điểm G.

A-tu viện X= (X 1, ..., XP) là điểm trong của tập hợp G, nếu có một quả bóng mở có tâm bên trong, hoàn toàn thuộc về G.

Một loạt G/>RNđược gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều ở trong.

Họ nói rằng các chức năng

X 1=φ1 (t), ..., XP= φ P(t)(a ∼ t ∙ b)

liên tục trên đoạn [ Một, b], xác định đường cong liên tục trong RN, nối các điểm X 1= (X 11, ..., X 1P) Và X 2= (X 21, ..., X 2P) , Ở đâu X 11=φ1 (MỘT), ..., X 1P= φ P(MỘT), X 21= φ1 (b) , ..., X 2P= φ P(b) . Thư t gọi là tham số đường cong.

Một loạt Gđược gọi là liên thông nếu bất kỳ hai điểm nào của nó X 1, X 2 có thể được nối bằng một đường cong liên tục thuộc G.

Tập mở liên thông được gọi là vùng.

Định lý. Hãy để chức năng f(x) được xác định và liên tục trên RN(tại mọi điểm RN). Rồi nhiều Gđiểm X, nơi nó thỏa mãn bất đẳng thức

f(x) > Với(hoặc f(x) < Với), bất kể hằng số Với, tồn tại một tập mở.

Trong thực tế, chức năng F(x) = f(x) – Với liên tục trên RN, và tập hợp tất cả các điểm X, Ở đâu F(x) > 0, trùng với G. Cho phép X/>G, khi đó có một quả bóng

| X–X| < δ,

trên đó F(x) > 0, tức là anh ấy thuộc về G và thời kỳ X/>G- nội bộ cho G.

Trường hợp với f(x) < Vớiđược chứng minh theo cách tương tự.

Vì vậy, một hàm nhiều biến f(M) gọi là liên tục tại một điểm M, nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

a) chức năng f(M)được xác định tại điểm M và gần điểm này;

b) có giới hạn />;

Nếu tại thời điểm M Nếu ít nhất một trong các điều kiện này bị vi phạm thì hàm số tại thời điểm này sẽ bị gián đoạn. Điểm ngắt có thể hình thành các đường ngắt, bề mặt đứt, v.v. f(M)được gọi là liên tục trong miền G, nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền này.

Ví dụ 1. Tìm điểm dừng của hàm: z= ln(x 2+ y 2) .

Giải pháp. Chức năng z= ln(x 2+ y 2) bị gián đoạn tại một thời điểm X= 0, Tại= 0. Do đó, điểm VỀ(0, 0) là điểm dừng.

Ví dụ 2. Tìm điểm dừng của hàm: />

Giải pháp. Hàm không được xác định tại các điểm mà mẫu số tiến về 0, tức là. x 2+ y 2– z 2= ​​0. Do đó, bề mặt của hình nón

x 2+ y 2= z 2 là bề mặt gián đoạn.

Phần kết luận

Thông tin cơ bản về giới hạn và tính liên tục được tìm thấy trong môn toán ở trường.

Trong quá trình phân tích toán học, khái niệm giới hạn là một trong những khái niệm chính. Sử dụng giới hạn, đưa ra tích phân đạo hàm và tích phân xác định; giới hạn là phương tiện chính trong việc xây dựng lý thuyết chuỗi. Khái niệm giới hạn, xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17 trong công trình của Newton, được sử dụng và phát triển thêm trong lý thuyết chuỗi. Phần phân tích này xem xét các vấn đề liên quan đến tổng của một chuỗi đại lượng vô hạn (cả hằng số và hàm số).

Tính liên tục của một hàm cho ý tưởng về đồ thị của nó. Điều này có nghĩa là đồ thị là một đường liên tục và không bao gồm các phần riêng biệt. Tính chất này của hàm số được sử dụng rộng rãi trong kinh tế học.

Vì vậy, các khái niệm giới hạn và tính liên tục đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số nhiều biến.

Danh sách tài liệu được sử dụng

1. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Toán cao hơn: Sách giáo khoa cho các trường đại học. Tập 2: Phép tính vi phân và tích phân. Mátxcơva: Bustard, 2004, 512 tr.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridma M.N. Toán cao cấp dành cho các nhà kinh tế. Mátxcơva: Thống nhất, 2000, 271 tr.

3. Chernenko V.D. Toán học cao hơn trong các ví dụ và vấn đề. Sách giáo khoa dành cho đại học. St.Petersburg: Politekhnika, 2003, 703 tr.

4. elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

Đề tài: “Hàm của một số biến”

Chủ đề 3.Chức năng của một số biến

Định nghĩa hàm số hai biến, phương pháp thiết lập.

Dẫn một phần.

Cực trị của hàm hai biến

Độ dốc của hàm một biến

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền

NHỮNG GÌ HỌC SINH NÊN BIẾT

Câu hỏi kiểm soát

KIỂM TRA KIỂM SOÁT

1. Định nghĩa hàm số nhiều biến, cách thiết lập

Biến được gọi hàm hai biến số lượng Và trên một bộ
, nếu mỗi cặp giá trị
tương ứng với một giá trị duy nhất của số lượng.

Một cách tượng trưng, ​​​​hàm hai biến được ký hiệu như sau:


vân vân.

Các biến được gọi biến độc lập hoặc đối số chức năng , và rất nhiều
- miền của hàm . Vì hàm hai biến
miền định nghĩa là một số tập hợp các điểm trên mặt phẳng
, và phạm vi giá trị là khoảng trên trục
.

Ví dụ: - hàm hai biến.

Để thể hiện trực quan chức năng của hai thay đổi nyh được áp dụng đường mức.

Ví dụ 1.Đối với chức năng
xây dựng đồ thị và đường mức. Viết phương trình đường đồng mức đi qua điểm
.

Đồ thị của hàm tuyến tính là máy bay trong không gian.

Đối với hàm số, đồ thị là mặt phẳng đi qua các điểm
,
,
.

Đường cấp chức năng là những đường thẳng song song có phương trình là
.

Vì hàm tuyến tính của hai biến
đường mức được cho bởi phương trình
và đại diện một họ các đường thẳng song song trên một mặt phẳng

4

Đồ thị của hàm số 0 1 2 X

Đường cấp chức năng

Dẫn một phần

Hãy xem xét chức năng
. Hãy đưa ra biến tại điểm
tăng tùy ý
, rời đi giá trị biến không thay đổi. Gia số tương ứng của hàm được gọi là tăng riêng của hàm theo biến tại điểm
.

Được xác định tương tự tăng hàm một phầntheo biến: .

Ký hiệu cho đạo hàm riêng đối với : , ,
,
. Để tìm đạo hàm riêng
theo biến, các quy tắc để lấy đạo hàm của một biến được sử dụng, biến đếm không thay đổi.

Đạo hàm riêng của hàm số theo một biến gọi là giới hạn :

.

Chỉ định: , ,
,
. Để tìm đạo hàm riêng đối với một biến một biến được coi là hằng số .

Ví dụ 2. Tìm các giá trị đạo hàm riêng của hàm số tại điểm
.

Xem hằng số và vi phân là hàm của một biến, chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với:

.

Hãy tính giá trị của đạo hàm này tại điểm
: .

Xem xét hằng số và vi phân là một hàm, chúng ta tìm thấy đạo hàm riêng đối với:

.

Hãy tính giá trị đạo hàm tại điểm:

Ví dụ 3. Đối với chức năng
tìm đạo hàm riêng
,
và tính giá trị của chúng tại điểm
.

Đạo hàm riêng của hàm số
theo biến được giả định là nó không đổi:

Chúng ta hãy tìm đạo hàm riêng của hàm đối với , giả sử không đổi:

Hãy tính các giá trị đạo hàm riêng tại
,
:

;
.

Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến còn được gọi là riêng tư đạo hàm cấp một hoặc đạo hàm riêng bậc nhất.

Đạo hàm riêng bậc hai hàm số nhiều biến được gọi là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một, nếu chúng tồn tại.

Hãy viết đạo hàm riêng bậc 2 của hàm số:

;
;

;
.

;
vân vân.

Nếu đạo hàm riêng hỗn hợp của hàm nhiều biến liên tục tại một điểm nào đó
, sau đo họ bằng nhau tại thời điểm này. Điều này có nghĩa là đối với hàm hai biến, các giá trị của đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự vi phân:
.

Ví dụ 4.Đối với hàm số, hãy tìm đạo hàm riêng bậc hai
Và
.

Đạo hàm từng phần hỗn hợp được tìm thấy bằng cách lấy vi phân tuần tự của hàm đối với (giả sử không đổi), sau đó lấy vi phân đạo hàm
bởi (coi như hằng số).

Phát sinh
được tìm thấy bằng cách lấy đạo hàm đầu tiên của hàm đối với , thì đạo hàm Qua .

Các đạo hàm từng phần hỗn hợp đều bằng nhau:
.

Đạo hàm riêng bậc hai theo đạo hàm riêng theo X, và bởi Tại, chúng ta thu được đạo hàm riêng bậc ba.

Ví dụ 5. Tìm đạo hàm riêng bậc hai của hàm số
.

Chúng tôi liên tục tìm thấy

3. Cực trị của hàm hai biến

Tối đa (tối thiểu ) chức năng
tại điểm M 0 (x 0 ,y 0) giá trị của nó được gọi
, lớn hơn (nhỏ hơn) tất cả các giá trị khác của nó được chấp nhận tại các điểm
, đủ gần điểm
và khác với nó.

Điểm tối đa và tối thiểu được gọi là điểm cực độ, và các giá trị của hàm tại những điểm này được gọi là vô cùng .

Điều kiện cần để đạt cực trị. Nếu hàm khả vi
có cực trị tại điểm
, thì đạo hàm riêng của nó tại điểm này bằng 0, tức là

. Các điểm tại đó
Và
, được gọi là đứng im điểm chức năng
.

Điều kiện đủ để đạt cực trị. Giả sử là một điểm dừng của hàm số và cho
,
,
. Hãy soạn định thức
. Sau đó:

Nếu như
, thì tại một điểm đứng yên
không cực đoan;

Nếu như
, khi đó có một cực trị tại điểm đó và đạt cực đại nếu A< 0,tối thiểu nếu
;

Nếu như
, thì cần phải nghiên cứu bổ sung.

Ví dụ 6. Xét hàm cực trị
.

Ta tìm đạo hàm riêng cấp một:
;
Giải hệ phương trình
chúng ta nhận được hai điểm dừng:
Và
. Ta tìm đạo hàm riêng bậc hai:
,
,
. Chúng tôi kiểm tra từng điểm dừng.

4. Độ dốc của hàm hai biến

.

Thuộc tính chuyển màu

Ví dụ 7. Cho một hàm
. Tìm gradient của hàm số tại một điểm
và xây dựng nó.

Hãy tìm tọa độ của gradient - đạo hàm riêng.

Tại điểm
dốc tương đương với . Sự bắt đầu của vectơ
tại điểm , và kết thúc tại điểm .

5

5. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong một vùng

Xây dựng vấn đề. Cho một vùng giới hạn đóng trên mặt phẳng được xác định bởi hệ bất đẳng thức có dạng
. Cần tìm các điểm trong vùng mà tại đó hàm nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Quan trọng là bài toán tìm cực trị, mô hình toán học của nó chứa ràng buộc tuyến tính(phương trình, bất đẳng thức) và tuyến tính chức năng
.

Xây dựng vấn đề. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
dưới những hạn chế

Bởi vì đối với tuyến tính hàm nhiều biến không có điểm tới hạn bên trong vùng đất
, thì giải pháp tối ưu mang lại cực trị cho hàm mục tiêu chỉ đạt được trên ranh giới của khu vực. Đối với một vùng được xác định bởi các ràng buộc tuyến tính, các điểm cực trị có thể là điểm góc. Điều này cho phép chúng ta xem xét giải pháp cho vấn đề phương pháp đồ họa.

Công thức hình học của bài toán. Tìm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính điểm mà đường mức đi qua, tương ứng với giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm tuyến tính có hai biến.

Trình tự:

điểm A của đường mức vào khu vực. Điểm này xác định điểm có giá trị tối thiểu của hàm;

điểm B của “lối ra” của đường đồng mức khỏi khu vực. Điểm này xác định điểm có giá trị lớn nhất của hàm.

4. Tìm tọa độ điểm A bằng cách giải hệ phương trình các đường thẳng cắt nhau tại điểm A và tính giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tương tự - cho điểm B và giá trị lớn nhất của hàm
.

Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
trong lĩnh vực giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính

1. Hãy xây dựng Miền nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyến tính. Để làm điều này, chúng ta sẽ dựng các nửa mặt phẳng và tìm giao điểm của chúng. Hãy coi điểm đó là “điểm kiểm soát”
, cái mà Không thuộc vêđường thẳng biên.

Tại

1

Trực tiếp()
- điểm để xây dựng
Và
. Bởi vì
đúng thì nửa mặt phẳng hướng về điểm điều khiển.

Trực tiếp()
xây dựng theo điểm
Và
; bất bình đẳng
đúng, nửa mặt phẳng hướng về điểm điều khiển..

Trực tiếp()
được xây dựng bằng điểm
Và
; nửa mặt phẳng hướng về điểm điều khiển..

Bất bình đẳng
Và
chỉ ra rằng diện tích mong muốn (giao điểm của tất cả các nửa mặt phẳng) nằm ở phần tư tọa độ đầu tiên.

2. Hãy xây dựng độ dốc chức năng- vectơ có tọa độ
với gốc tại gốc. vuông góc với gradient chúng ta sẽ xây dựng một trong đường mức.

3. Chuyển động song song của đường mức theo hướng dốc Hãy tìm điểm “vào” của đường mức vào khu vực - đây là điểm O(0,0). Hãy tính giá trị của hàm tại thời điểm này: .

4. Tiếp tục di chuyển đường mức theo hướng gradient, chúng ta sẽ tìm được điểm “thoát” của đường mức khỏi khu vực - đây là điểm A. Để xác định tọa độ của nó, ta giải hệ phương trình đường thẳng và:
Giải hệ phương trình
Và
.

5. Tính giá trị của hàm số tại điểm
: .

Trả lời:
,
.

NHỮNG GÌ HỌC SINH NÊN BIẾT

1. Khái niệm hàm số nhiều biến.

2. Miền và tập giá trị của hàm nhiều biến.

3. Khái niệm đường mức.

4. Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.

5. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến.

6. Cực trị của hàm nhiều biến.

7. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong diện tích.

Câu hỏi kiểm soát

Khái niệm hàm nhiều biến. Miền định nghĩa, phương pháp thiết lập, đường mức của hàm hai biến

Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

Cực trị của hàm nhiều biến

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền

KIỂM TRA KIỂM SOÁT

Hàm số nào sau đây là hàm số phụ thuộc vào hai biến:

Một)
; b)
; V)
; G)
.

2. Về chức năng
đạo hàm riêng đối với một biến bằng:

Một)
; b)
; V)
; G)
., tại điểm đó bằng... a) 1; b) 0; trong 1; đ) 4.

12. Độ dốc của trường vô hướng tại một điểm là vectơ...

MỘT) b)

đĩa CD)

13. Đạo hàm riêng của hàm số theo một biến tại một điểm bằng...

MỘT) e b) 2 e c) 3đ) 3

14. Giá trị hàm tối đa dưới những hạn chế

Bằng... (điền đáp án).

15. Vùng lời giải khả thi của bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng:

Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là...

A) 10 b) 14 c) 13 d) 11

16. Vùng lời giải khả thi của bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng:

Khi đó giá trị cực đại của hàm bằng…

A) 29 b) 31 c) 27 d) 20

17. Giá trị cực đại của hàm mục tiêu z=x 1 +2x 2 theo điều kiện hạn chế bằng: a) 13 b) 12 c) 8 d) 6

18. Giá trị lớn nhất của hàm số bị ràng buộc là… (điền đáp án).

chức năng một sốbiến 4.1. Nhiệm vụ cho đề tài“Sự khác biệt chức năngmột sốbiến" Nhiệm vụ 1. Tìm và miêu tả miền tồn tại trên mặt phẳng chức năng... 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chức năng z = f(x,y), được xác định...

Cơ quan Giáo dục Liên bang Cơ quan giáo dục nhà nước về giáo dục chuyên nghiệp đại học

"Đại học Kỹ thuật Hàng hải Bang St. Petersburg"

(SPbGMTU)

Khoa Toán

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

E.S. Baranova, N.V. Vasilyeva

Chủ đề 6. Phép tính vi phân

hàm nhiều biến

Saint Petersburg

E.S. Baranova, N.V. Vasilyeva. Toán học. Chuyên đề 6. Giải tích vi phân hàm số nhiều biến. Sách giáo khoa Lợi ích. SPb.: Nhà xuất bản. Trung tâm Đại học Y khoa bang St. Petersburg, 2005. p. 43.

Il. 9. Bàn 22. Danh mục: 7 đầu sách.

Ấn phẩm này dành cho sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật để tổ chức công việc độc lập của họ. Sách giáo khoa được phát triển dưới dạng một bản tóm tắt về ngành học đang được nghiên cứu. Nó bao gồm một kế hoạch chuyên đề, trích từ lịch giảng và các lớp thực hành về chủ đề “Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến”, tài liệu lý thuyết về chủ đề này, với một số lượng lớn các bài toán điển hình được phân tích, cũng như các câu hỏi kiểm tra lý thuyết. và các câu hỏi chuẩn bị cho kỳ thi. Để tự kiểm soát kiến ​​thức đã tiếp thu, cuốn sách bao gồm một bài kiểm tra, trong đó trình bày các nhiệm vụ kiểm tra với các câu trả lời trắc nghiệm, được xây dựng trên cơ sở bộ kiến ​​thức và kỹ năng cần thiết về chủ đề đang học. Ở cuối sách hướng dẫn có danh sách tài liệu được đề xuất và đáp án cho bài kiểm tra.

Công việc được thực hiện theo đơn đặt hàng và với sự hỗ trợ của Khoa Đào tạo Mục tiêu và Hợp đồng dành cho các Chuyên gia của Đại học Y khoa Bang St. Petersburg.

E.S. Baranova, N.V. Vasilyeva

Chuyên đề 6. Giải tích vi phân hàm nhiều biến

Tóm tắt môn học "Toán học"

Biên tập viên N.N.Katrushenko

© SPbGMTU, 2005

1. Kế hoạch chuyên đề 2-học kỳ thứ.

2. Trích từ lịch bài giảng.

3. Tài liệu lý thuyết.

4. Câu hỏi trắc nghiệm về lý thuyết.

5. Các câu hỏi chuẩn bị cho kỳ thi.

6. Trích kế hoạch lịch các lớp thực hành.

7. Trắc nghiệm chuyên đề 6: “Phép vi phân của hàm số”

nhiều biến số."

9. Đáp án bài kiểm tra.

1. KẾ HOẠCH CHUYÊN ĐỀ HỌC KỲ 2

2. TRÍCH LỊCH BÀI GIẢNG

6. Giải tích vi phân hàm số nhiều biến (14 giờ)

10. Không gian số liệu n - chiều. Hàm của n biến. Hàm hai biến. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến. Đạo hàm riêng và ý nghĩa hình học của chúng (2 giờ).

11. Chức năng khả vi. Điều kiện cần để có khả năng phân biệt. Điều kiện đủ để khả vi. Đạo hàm của hàm phức N

biến. Tổng đạo hàm (2 giờ).

12. Hàm vi phân n biến. Ước tính lỗi. Phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của bề mặt. Ý nghĩa hình học của vi phân của hàm hai biến (2 giờ).

13. Đạo hàm và vi phân cấp cao hơn. Chức năng tiềm ẩn.

14. Cực trị của hàm hai biến: định nghĩa, điều kiện cần, điều kiện đủ. Chức năng cực đỉnh n biến. (2 giờ).

15. Các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (2 giờ).

3. TÀI LIỆU LÝ THUYẾT

Bảng 2. Nội dung

1. Chức năng của một số biến.

1.1. Sản phẩm trực tiếp của bộ, không gian n - chiềuR n

1.2. Vùng lân cận trong không gian Rn. Phân loại điểm. Mở và

đóng cửa

bộ

1.3. Hàm của n biến. Giới hạn và tính liên tục của hàm số n biến.

2. Sự khác biệt của chức năng n biến.

1.4. Đạo hàm riêng của hàm số n biến.

2.1. Chức năng khả vi. Điều kiện để có sự khác biệt.

2.2. Đạo hàm của hàm phức. Đạo hàm đầy đủ.

3. Vi phân hàm của một số biến.

1.5. Định nghĩa vi phân của một hàm nhiều biến và các tính chất của nó.

1.6. Tính bất biến của công thức vi phân bậc nhất của hàm số nhiều biến.

1.7. Ý nghĩa hình học của vi phân của hàm hai biến. Phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của bề mặt.

1.8. Tính toán gần đúng và ước lượng sai số.

4. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao hơn.

5. Đạo hàm của hàm số nhiều biến được xác định ngầm định.

5.1. Chức năng ngầm định. Tính khả vi của một hàm ẩn. Công thức tính thương số

đạo hàm của hàm hai biến được xác định ngầm định.

5.2. Đạo hàm của hàm ẩn được cho bởi hệ phương trình. Định thức Jacobi.

6. Cực trị của hàm nhiều biến.

6.1. Công thức hàm Taylor n biến.

6.2. Cực trị của hàm hai biến.

6.3. Cực trị của hàm n biến.

6.4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến.