Bảng chân lý 5 biến. I. Thời điểm tổ chức

Và điều đó sẽ đủ để bạn giải các biểu thức logic phức tạp. Chúng ta cũng sẽ xem xét thứ tự các phép toán logic này được thực hiện trong các biểu thức logic phức tạp và trình bày bảng sự thật cho mỗi phép toán logic. Chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng các chương trình của chúng tôi để giải các bài toán và. Ngoài một số lượng lớn các chương trình để giải quyết vấn đề, trang web còn chạy, nơi bạn luôn có thể đặt câu hỏi và nơi bạn luôn có thể được trợ giúp giải quyết vấn đề. Hãy sử dụng dịch vụ của chúng tôi vì sức khỏe của bạn!

Thuật ngữ, định nghĩa logic

Tuyên bố là một câu tuyên bố mà người ta có thể nói chắc chắn nó đúng hay sai (đúng (logic 1), sai (logic 0)).

Các phép toán logic- hành động tinh thần, kết quả của nó là sự thay đổi về nội dung hoặc phạm vi của các khái niệm, cũng như sự hình thành các khái niệm mới.

biểu thức Boolean- một tuyên bố hoặc ghi âm bằng miệng, cùng với số lượng không đổi, nhất thiết phải bao gồm các số lượng (đối tượng) thay đổi. Tùy thuộc vào giá trị của các biến (đối tượng) này, một biểu thức logic có thể nhận một trong hai giá trị có thể: true (logic 1) hoặc false (logic 0).

Biểu thức logic phức tạp- một biểu thức logic bao gồm một hoặc nhiều biểu thức logic đơn giản (hoặc các biểu thức logic phức tạp) được kết nối bằng các phép toán logic.

Các phép toán logic và bảng chân lý

1) Phép nhân hoặc kết hợp logic:

Một kết hợp là một biểu thức logic phức tạp được coi là đúng khi và chỉ khi cả hai biểu thức đơn giản đều đúng; trong mọi trường hợp khác, biểu thức phức tạp là sai.
Ký hiệu: F = A & B.

Bảng chân lý cho sự kết hợp

3) Sự phủ định hoặc đảo ngược logic:

Đảo ngược là một biểu thức logic phức tạp, nếu biểu thức logic ban đầu đúng thì kết quả phủ định sẽ sai và ngược lại, nếu biểu thức logic ban đầu sai thì kết quả phủ định sẽ đúng. Nói cách khác, thao tác này có nghĩa là hạt NOT hoặc từ NOT TRUE WHAT được thêm vào biểu thức logic ban đầu.

Bảng chân lý cho nghịch đảo

5) Tương đương logic hoặc tương đương:

Sự tương đương là một biểu thức logic phức tạp đúng khi và chỉ khi cả hai biểu thức logic đơn giản đều có cùng một giá trị đúng.

Bảng chân lý cho sự tương đương

MỘT	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Thứ tự các phép toán logic trong một biểu thức logic phức tạp

1. Đảo ngược;
2. Liên từ;
3. Phân chia;
4. Hàm ý;
5. Sự tương đương.

Dấu ngoặc đơn được sử dụng để thay đổi thứ tự quy định của các phép toán logic.

Đại số logic

Đại số logic

Đại số logic(Tiếng Anh) đại số logic) là một trong những nhánh chính của logic toán học, trong đó các phương pháp đại số được sử dụng trong các phép biến đổi logic.

Người sáng lập ra đại số logic là nhà toán học và logic học người Anh J. Boole (1815-1864), người đã xây dựng nền tảng giảng dạy logic của mình dựa trên sự tương tự giữa đại số và logic. Ông viết ra bất kỳ tuyên bố nào bằng cách sử dụng các ký hiệu của ngôn ngữ mà ông đã phát triển và nhận được “các phương trình”, tính đúng hay sai của chúng có thể được chứng minh dựa trên các quy luật logic nhất định, chẳng hạn như quy luật giao hoán, phân phối, kết hợp, v.v.

Hiện đại đại số logic là một nhánh của logic toán học và nghiên cứu các phép toán logic trên các phát biểu từ quan điểm giá trị đúng của chúng (đúng, sai). Các tuyên bố có thể đúng, sai hoặc chứa đựng sự thật và sự giả dối ở các tỷ lệ khác nhau.

Câu lệnh logic là bất kỳ câu tuyên bố nào mà nội dung của nó có thể được tuyên bố rõ ràng là đúng hoặc sai.

Ví dụ: “3 nhân 3 bằng 9”, “Arkhangelsk ở phía bắc Vologda” là những câu đúng, nhưng “Năm nhỏ hơn ba”, “Sao Hỏa là một ngôi sao” là sai.

Rõ ràng, không phải mọi câu đều có thể là một tuyên bố hợp lý, vì không phải lúc nào cũng có ý nghĩa khi nói về sự giả hay sự thật của nó. Ví dụ: câu “Khoa học máy tính là một môn học thú vị” là mơ hồ và cần thêm thông tin, và câu “Đối với học sinh lớp 10-A Ivanov A.A., khoa học máy tính là một môn học thú vị,” tùy thuộc vào sở thích của Ivanov A.A. , có thể mang ý nghĩa “đúng” hoặc “nói dối”.

Ngoại trừ đại số mệnh đề hai giá trị, trong đó chỉ có hai giá trị được chấp nhận - “true” và “false”, có đại số mệnh đề đa giá trị. Trong đại số như vậy, ngoài các giá trị “đúng” và “sai”, các giá trị chân lý như “có thể xảy ra”, “có thể”, “không thể”, v.v.

Trong đại số, logic có sự khác biệt đơn giản(sơ cấp) các câu lệnh, được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh (A, B, C, D, ...), và tổ hợp(tổng hợp), được tạo thành từ một số cái đơn giản sử dụng các liên kết logic, chẳng hạn như “không”, “và”, “hoặc”, “nếu và chỉ khi đó”, “nếu… thì”. Tính đúng hay sai của các phát biểu phức tạp thu được theo cách này được xác định bởi ý nghĩa của các phát biểu đơn giản.

Hãy ký hiệu nó là MỘT phát biểu “Đại số logic được áp dụng thành công vào lý thuyết mạch điện” và thông qua TRONG- “Đại số logic được sử dụng trong tổng hợp các mạch chuyển tiếp.”

Khi đó phát biểu ghép “Đại số logic được áp dụng thành công trong lý thuyết mạch điện và tổng hợp mạch rơle” có thể viết ngắn gọn là A và B; ở đây “và” là một từ nối logic. Rõ ràng là vì những phát biểu cơ bản A và B là đúng thì mệnh đề ghép là đúng A và B.

Mỗi liên kết logic được coi là một thao tác trên các câu lệnh logic và có tên cũng như ký hiệu riêng.

Chỉ có hai giá trị logic: đúng rồi) Và sai (SAI). Điều này tương ứng với biểu diễn kỹ thuật số - 1 Và 0 . Kết quả của mỗi phép toán logic có thể được viết dưới dạng bảng. Những bảng như vậy được gọi là bảng chân lý.

Các phép toán cơ bản của logic đại số

1. Phủ định logic, đảo ngược(lat. đảo ngược- đảo ngược) là một phép toán logic, kết quả là một câu lệnh mới được lấy từ một câu lệnh đã cho (ví dụ: A) không phải A), được gọi là phủ định của tuyên bố ban đầu, được biểu thị một cách tượng trưng bằng một thanh trên ($A↖(-)$) hoặc bởi các quy ước như �, "không", và đọc: “không phải A”, “A sai”, “A không đúng”, “phủ định của A”. Ví dụ: “Sao Hỏa là một hành tinh của hệ mặt trời” (câu A); “Sao Hỏa không phải là một hành tinh trong hệ mặt trời” ($A↖(-)$); câu “10 là số nguyên tố” (câu B) là sai; Câu “10 không phải là số nguyên tố” (câu B) là đúng.

Một phép toán được sử dụng trên một đại lượng được gọi là đơn nhất. Bảng giá trị cho thao tác này trông giống như

Câu $A↖(-)$ là sai khi A đúng và đúng khi A sai.

Về mặt hình học, phủ định có thể được biểu diễn như sau: nếu A là một tập hợp các điểm nhất định thì $A↖(-)$ là phần bù của tập hợp A, tức là tất cả các điểm không thuộc tập hợp A.

2.Sự liên kết(lat. kết hợp- kết nối) - phép nhân logic, một phép toán yêu cầu ít nhất hai đại lượng logic (toán hạng) và kết nối hai hoặc nhiều câu lệnh bằng cách sử dụng liên kết "Và"(Ví dụ, "A và B"), được ký hiệu tượng trưng bằng dấu ∧ (A ∧ B) và đọc là: “A và B.” Các dấu hiệu sau đây cũng được dùng để biểu thị sự kết hợp: A ∙ B; A & B, A và B và đôi khi không có dấu giữa các câu lệnh: AB. Ví dụ về phép nhân logic: “Tam giác này là tam giác cân và vuông”. Một câu lệnh đã cho chỉ có thể đúng nếu cả hai điều kiện đều được đáp ứng, nếu không thì câu lệnh đó là sai.

MỘT	B	A∧B
1	0	0
0	1	0
0	0	0
1	1	1

Tuyên bố MỘT ∧ TRONG chỉ đúng nếu cả hai câu lệnh đều MỘT Và TRONG là đúng.

Về mặt hình học, sự kết hợp có thể được biểu diễn như sau: nếu A, B MỘT ∧ TRONG có một giao điểm của các bộ MỘT Và TRONG.

3. Phân ly(lat. phân ly- phép chia) - phép cộng logic, một thao tác kết nối hai hoặc nhiều câu lệnh bằng cách sử dụng liên kết "hoặc"(Ví dụ, "A hoặc B"), được ký hiệu tượng trưng bằng dấu ∨ (MỘT∨ TRONG) và đọc: "A hoặc B". Các dấu hiệu sau đây cũng được dùng để biểu thị sự phân ly: A + B; A hoặc B; A | B. Một ví dụ về phép cộng logic: “Số x chia hết cho 3 hoặc 5.” Tuyên bố này sẽ đúng nếu cả hai điều kiện hoặc ít nhất một trong các điều kiện đều được đáp ứng.

Bảng chân lý của phép toán có dạng

MỘT	B	MỘT ∨ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	1

Tuyên bố MỘT∨ TRONG chỉ sai khi cả hai câu lệnh đều MỘT Và TRONG SAI.

Về mặt hình học, phép cộng logic có thể được biểu diễn như sau: nếu A, B là một số tập hợp điểm thì MỘT ∨ TRONG là hợp của các tập hợp MỘT Và TRONG, tức là một hình kết hợp cả hình vuông và hình tròn.

4. Phân tách chặt chẽ, phép cộng modulo hai- một phép toán logic kết nối hai câu lệnh bằng cách sử dụng một liên kết "hoặc", được sử dụng theo nghĩa độc quyền, được biểu thị một cách tượng trưng bằng các dấu hiệu ∨ ∨ hoặc ⊕ ( MỘT ∨ ∨ BA ⊕ TRONG) và đọc: "A hoặc B". Một ví dụ về phép cộng modulo hai là phát biểu “Tam giác này tù hoặc nhọn”. Tuyên bố là đúng nếu bất kỳ một trong các điều kiện được đáp ứng.

Bảng chân lý của phép toán có dạng

MỘT	TRONG	MỘT⊕ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	0

Câu A ⊕ B chỉ đúng nếu câu A và B có nghĩa khác nhau.

5. hàm ý(lat. ngụ ý- kết nối chặt chẽ) - một thao tác logic kết nối hai câu lệnh bằng cách sử dụng liên kết "nếu... thì" thành một câu lệnh phức tạp, được biểu thị một cách tượng trưng bằng dấu → ( MỘT → TRONG) và đọc: “nếu A thì B”, “A ngụ ý B”, “từ A dẫn đến B”, “A ngụ ý B”. Dấu ⊃ (A ⊃ B) cũng được dùng để biểu thị hàm ý. Một ví dụ về hàm ý: “Nếu tứ giác thu được là hình vuông thì có thể mô tả một hình tròn xung quanh nó”. Thao tác này kết nối hai biểu thức logic đơn giản, trong đó biểu thức đầu tiên là điều kiện và biểu thức thứ hai là hệ quả. Kết quả của một phép toán chỉ sai khi tiền đề đúng và hệ quả sai. Ví dụ: “Nếu 3 * 3 = 9 (A), thì Mặt trời là một hành tinh (B)”, kết quả của hàm ý A → B là sai.

Bảng chân lý của phép toán có dạng

MỘT	TRONG	MỘT→TRONG
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Đối với hoạt động của hàm ý, câu nói đúng là bất cứ điều gì cũng có thể theo sau lời nói dối, nhưng chỉ có sự thật mới có thể theo sau sự thật.

6. Sự tương đương, hàm ý kép, sự tương đương(lat. aequalis- bằng nhau và lễ tình nhân- có hiệu lực) - một phép toán logic cho phép từ hai câu lệnh MỘT Và TRONG có được một biểu hiện mới A ≡ B có nội dung: "A tương đương với B". Các dấu hiệu sau đây cũng được sử dụng để biểu thị sự tương đương: ⇔, ∼. Hoạt động này có thể được thể hiện bằng các từ nối “khi đó và chỉ khi đó”, “cần và đủ”, “tương đương”. Một ví dụ về sự tương đương là phát biểu: “Một tam giác là vuông góc khi và chỉ khi một trong các góc bằng 90 độ”.

Bảng chân lý của phép toán tương đương có dạng

MỘT	TRONG	MỘT∼ TRONG
1	0	0
0	1	0
0	0	1
1	1	1

Phép toán tương đương ngược lại với phép cộng modulo hai và được đánh giá là đúng khi và chỉ khi giá trị của các biến giống nhau.

Biết ý nghĩa của các mệnh đề đơn giản, có thể xác định ý nghĩa của các mệnh đề phức tạp dựa trên bảng chân lý. Điều quan trọng cần biết là để biểu diễn bất kỳ hàm nào trong đại số logic, chỉ cần ba phép tính là đủ: kết hợp, tách và phủ định.

Mức độ ưu tiên của các phép toán logic như sau: phủ định ( "Không") có mức độ ưu tiên cao nhất thì kết hợp ( "Và"), sau sự kết hợp - phân ly ( "hoặc").

Với sự trợ giúp của các biến logic và các phép toán logic, bất kỳ câu lệnh logic nào cũng có thể được chính thức hóa, nghĩa là được thay thế bằng một công thức logic. Trong trường hợp này, các câu cơ bản tạo thành một câu lệnh ghép có thể hoàn toàn không liên quan về mặt ý nghĩa, nhưng điều này không ảnh hưởng đến việc xác định tính đúng hay sai của câu lệnh ghép. Ví dụ: câu lệnh “Nếu năm lớn hơn hai ( MỘT), thì Thứ Ba luôn đến sau Thứ Hai ( TRONG)" - hàm ý MỘT→ TRONG và kết quả của phép toán trong trường hợp này là “true”. Trong các phép toán logic, ý nghĩa của các câu lệnh không được tính đến mà chỉ xem xét tính đúng hay sai của chúng.

Ví dụ, hãy xem xét việc xây dựng một câu lệnh ghép từ các câu lệnh MỘT Và TRONG, điều này sẽ sai khi và chỉ nếu cả hai câu lệnh đều đúng. Trong bảng chân lý của phép cộng modulo hai, chúng ta tìm thấy: 1 ⊕ 1 = 0. Và ví dụ, phát biểu có thể như sau: “Quả bóng này hoàn toàn màu đỏ hoặc hoàn toàn màu xanh”. Vì vậy, nếu tuyên bố MỘT"Quả bóng này hoàn toàn màu đỏ" là một sự thật và một tuyên bố TRONG“Quả bóng này hoàn toàn màu xanh” là đúng thì mệnh đề ghép là sai, vì quả bóng không thể có cả hai màu đỏ và xanh cùng một lúc.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.Đối với các giá trị được chỉ định của X, hãy xác định giá trị của câu lệnh logic ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Giải pháp. Trình tự các thao tác như sau: đầu tiên là thực hiện các phép toán so sánh trong ngoặc đơn, sau đó là phép tách và cuối cùng là phép tính hàm ý. Phép tách ∨ là sai khi và chỉ khi cả hai toán hạng đều sai. Bảng chân lý cho hàm ý trông giống như

MỘT	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Từ đây chúng tôi nhận được:

1) với X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) với X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) với X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Ví dụ 2. Cho biết tập hợp các giá trị nguyên của X mà biểu thức и((X > 2) → (X > 5)) là đúng.

Giải pháp. Phép toán phủ định được áp dụng cho toàn bộ biểu thức ((X > 2) → (X > 5)), do đó, khi biểu thức и((X > 2) → (X > 5)) là đúng, biểu thức ((X > 2) →(X > 5)) là sai. Do đó, cần xác định giá trị nào của X mà biểu thức ((X > 2) → (X > 5)) là sai. Hoạt động hàm ý chỉ mang giá trị “sai” trong một trường hợp: khi lời nói dối xuất phát từ sự thật. Và điều này chỉ đúng với X = 3; X = 4; X = 5.

Ví dụ 3. Với từ nào sau đây phát biểu и(chữ cái đầu tiên là nguyên âm ∧ chữ cái thứ ba là nguyên âm) ⇔ một chuỗi gồm 4 ký tự sai? 1) assa; 2) kuku; 3) ngô; 4) lỗi; 5) người mạnh mẽ.

Giải pháp. Hãy xem xét tất cả các từ được đề xuất một cách tuần tự:

1) đối với từ assa, chúng ta nhận được: и(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - câu lệnh đúng;

2) đối với từ kuku, chúng ta nhận được: и (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - câu lệnh đúng;

3) đối với từ ngô ta nhận được: и (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - mệnh đề sai;

4) đối với lỗi từ, chúng ta nhận được: и (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - câu lệnh đúng;

5) đối với từ người mạnh mẽ, chúng ta nhận được: и (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - câu lệnh sai.

Biểu thức logic và sự biến đổi của chúng

Dưới biểu thức logic nên được hiểu là một bản ghi có thể lấy giá trị logic “true” hoặc “false”. Với định nghĩa này, trong số các biểu thức logic cần phân biệt:

• các biểu thức sử dụng các phép toán so sánh (“lớn hơn”, “nhỏ hơn”, “bằng”, “không bằng”, v.v.) và nhận các giá trị logic (ví dụ: biểu thức a > b, trong đó a = 5 và b = 7, bằng giá trị "false");
• các biểu thức logic trực tiếp liên quan đến đại lượng logic và các phép toán logic (ví dụ: A ∨ B ∧ C, trong đó A = true, B = false và C = true).

Biểu thức Boolean có thể bao gồm các hàm, phép toán đại số, phép toán so sánh và phép toán logic. Trong trường hợp này, mức độ ưu tiên của các hành động như sau:

1. tính toán các phụ thuộc hàm hiện có;
2. thực hiện các phép tính đại số (đầu tiên là nhân và chia, sau đó là trừ và cộng);
3. thực hiện các thao tác so sánh (theo thứ tự ngẫu nhiên);
4. thực hiện các phép toán logic (đầu tiên là các phép toán phủ định, sau đó là các phép toán nhân logic, phép cộng logic và cuối cùng là các phép toán hàm ý và tương đương).

Biểu thức Boolean có thể sử dụng dấu ngoặc đơn để thay đổi thứ tự thực hiện các phép toán.

Ví dụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ với a = 2, b = 3, A = true, B = false.

Giải pháp. Thứ tự đếm các giá trị:

1) b a + a b > a + b, sau khi thay thế chúng ta nhận được: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, tức là 17 > 2 + 3 = true;

2) A ∧ B = đúng ∧ sai = sai.

Do đó, biểu thức trong ngoặc đơn là (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = true ∨ false = true;

3) 12 = đúng;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Sau những tính toán này, cuối cùng chúng ta nhận được: true ∨ A ∧ true ∧ â € ∧ и true.

Bây giờ các phép toán phủ định, sau đó phải thực hiện phép nhân và phép cộng logic:

5) �B = �false = true; Âtrue = sai;

6) A ∧ đúng ∧ đúng ∧ sai = đúng ∧ đúng ∧ đúng ∧ sai = sai;

7) đúng ∨ sai = đúng.

Như vậy, kết quả của một biểu thức logic cho các giá trị đã cho là “true”.

Ghi chú. Xét rằng biểu thức ban đầu cuối cùng là tổng của hai số hạng và giá trị của một trong số chúng là 1 ≤ a = 1 2 = đúng, không cần tính toán thêm, chúng ta có thể nói rằng kết quả của toàn bộ biểu thức cũng là “đúng”. ”.

Các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức logic

Trong đại số logic, các định luật cơ bản được tuân theo cho phép biến đổi các biểu thức logic giống hệt nhau.

Pháp luật	Đối với ∨	Đối với ∧
Đi du lịch	A ∨ B = B ∨ A	A ∧ B = B ∧ A
liên từ	A ∨ (B ∨ C) = (B ∨ A) ∨ C	A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
Phân bổ	A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)	A ∨ B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Quy tắc của De Morgan	$(A ∨ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∧ B↖(-)$	$(A ∧ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∨ B↖(-)$
sự bình thường	A ∨ A = A	A ∧ A = A
Tiếp quản	A ∨ A ∧ B = A	A ∧ (A ∨ B) = A
Liên kết	(A ∧ B) ∨ (A↖(-) ∧ B) = B	(A ∨ B) ∧ (A↖(-) ∨ B) = B
Hoạt động của một biến với sự đảo ngược của nó	$A ∨ A↖(-)$ = 1	$A ∧ A↖(-)$ = 0
Hoạt động với hằng số	A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1	A ∧ 1 = A A ∧ 0 = 0
Âm kép	$A↖(=)$ = A

Việc chứng minh các phát biểu này được thực hiện dựa trên việc xây dựng bảng chân lý cho các bản ghi tương ứng.

Các phép biến đổi tương đương của các công thức logic có cùng mục đích như các phép biến đổi công thức trong đại số thông thường. Chúng dùng để đơn giản hóa các công thức hoặc rút gọn chúng về một dạng nhất định bằng cách sử dụng các định luật cơ bản của đại số logic. Dưới đơn giản hóa công thức, không chứa các phép toán hàm ý và tương đương, được hiểu là một phép biến đổi tương đương dẫn đến một công thức có số phép tính nhỏ hơn hoặc số biến ít hơn so với công thức ban đầu.

Một số phép biến đổi của công thức logic tương tự như phép biến đổi công thức trong đại số thông thường (lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, sử dụng luật giao hoán và tổ hợp, v.v.), trong khi các phép biến đổi khác dựa trên các tính chất mà các phép toán của đại số thông thường không có ( sử dụng định luật phân phối cho sự kết hợp, định luật hấp thụ, sự dán dính, de Morgan, v.v.).

Hãy xem xét một số ví dụ về kỹ thuật và phương pháp được sử dụng để đơn giản hóa các công thức logic:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ иX1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ иX1 ∧ X2 = (X1 ∨ ÈX1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Để chuyển hóa ở đây, bạn có thể áp dụng luật bình đẳng, luật phân phối; hoạt động của một biến với nghịch đảo và hoạt động của một hằng số.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

Ở đây, để đơn giản, định luật hấp thụ được áp dụng.

3) и(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (X1 ∨ иX2) ∨ X2 = иX1 ∨ иX2 ∨ X2 = иX1 ∨ 1 = 1 .

Khi chuyển đổi, quy tắc de Morgan, phép toán của một biến với nghịch đảo của nó và phép toán với hằng số được áp dụng

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 1. Tìm biểu thức logic tương đương với biểu thức A ∧ â(€B ∨ C) .

Giải pháp. Chúng ta áp dụng quy tắc de Morgan cho B và C: и(€B ∨ C) = B ∧ иC.

Chúng ta thu được một biểu thức tương đương với biểu thức ban đầu: A ∧ â(€B ∨ C) = A ∧ B ∧ иC .

Trả lời: A ∧ B ∧ �C.

Ví dụ 2. Chỉ ra giá trị của các biến logic A, B, C, trong đó giá trị của biểu thức logic (A ∨ B) → (B ∨ иC ∨ B) là sai.

Giải pháp. Hoạt động của hàm ý chỉ sai nếu một tuyên bố sai xuất phát từ một tiền đề đúng. Do đó, đối với một biểu thức đã cho, tiền đề A ∨ B phải là “đúng” và hệ quả, tức là biểu thức B ∨ иC ∨ B, phải là “sai”.

1) A ∨ B — kết quả của phép phân tách là “đúng” nếu ít nhất một trong các toán hạng là “đúng”;

2) B ∨ иC ∨ B - biểu thức sai nếu tất cả các thuật ngữ đều có giá trị “false”, tức là B là “false”; ¨C là “false” và do đó biến C có giá trị “true”;

3) nếu chúng ta xem xét tiền đề và cho rằng B là “sai”, chúng ta thu được giá trị của A là “đúng”.

Trả lời: A đúng, B sai, C đúng.

Ví dụ 3. Số nguyên X lớn nhất mà câu lệnh (35

Giải pháp. Hãy viết bảng chân lý cho phép toán hàm ý:

MỘT	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Biểu thức X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Trả lời: X = 5.

Sử dụng biểu thức Boolean để mô tả các vùng hình học

Các biểu thức logic có thể được sử dụng để mô tả các vùng hình học. Trong trường hợp này, nhiệm vụ được xây dựng như sau: viết cho một vùng hình học nhất định một biểu thức logic lấy giá trị “true” cho các giá trị x, y khi và chỉ khi bất kỳ điểm nào có tọa độ (x; y) thuộc về đến miền hình học.

Hãy xem xét mô tả vùng hình học bằng cách sử dụng biểu thức logic bằng các ví dụ.

Ví dụ 1. Một hình ảnh của một vùng hình học được chỉ định. Viết biểu thức logic mô tả tập hợp các điểm thuộc nó.

1) .

Giải pháp. Một vùng hình học nhất định có thể được biểu diễn dưới dạng tập hợp các vùng sau: vùng thứ nhất - D1 - nửa mặt phẳng $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, vùng thứ hai - D2 - một đường tròn có tâm tại gốc $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Giao điểm của chúng D1 $∩$ D2 đại diện cho vùng mong muốn.

Kết quả: biểu thức logic $(x)/(-1)+(y)/(1) 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Diện tích này có thể được viết như sau: |x| 1 ∧ y 0 ∧ y ≥ -1 .

Ghi chú. Khi xây dựng một biểu thức logic, các bất đẳng thức lỏng lẻo được sử dụng, có nghĩa là ranh giới của các hình cũng thuộc về vùng tô bóng. Nếu bạn sử dụng các bất đẳng thức nghiêm ngặt thì ranh giới sẽ không được tính đến. Các ranh giới không thuộc khu vực thường được biểu thị bằng các đường chấm.

Bạn có thể giải bài toán nghịch đảo, cụ thể là: vẽ một vùng cho một biểu thức logic cho trước.

Ví dụ 2. Vẽ và tô màu vùng thỏa mãn điều kiện logic y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Giải pháp. Diện tích cần tìm là giao điểm của ba nửa mặt phẳng. Ta dựng các đường thẳng trên mặt phẳng (x, y) y = x; y = -x; y = 2. Đây là ranh giới của vùng và ranh giới cuối cùng y = 2 không thuộc về vùng, vì vậy chúng ta vẽ nó bằng một đường chấm. Để thỏa mãn bất đẳng thức y ≥ x, các điểm phải nằm bên trái đường thẳng y = x, và bất đẳng thức y = -x được thỏa mãn đối với các điểm nằm bên phải đường thẳng y = -x. Điều kiện y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Sử dụng các hàm logic để mô tả mạch điện

Các hàm logic rất hữu ích trong việc mô tả hoạt động của các mạch điện. Vì vậy, đối với mạch như trong Hình., trong đó giá trị của biến X là trạng thái của công tắc (nếu nó bật, giá trị của X là “true” và nếu nó tắt, giá trị là “false” ), giá trị này của Y là trạng thái của bóng đèn (nếu nó bật - giá trị là “true”, và nếu không - “false”), hàm logic sẽ được viết như sau: Y = X. Hàm Y được gọi là chức năng dẫn điện.

Đối với mạch như trong hình., hàm logic Y có dạng: Y = X1 ∪ X2, vì chỉ cần bật một công tắc là đủ để bóng đèn sáng. Trong mạch điện ở hình 2, để bóng đèn sáng thì phải bật cả hai công tắc nên hàm số dẫn điện có dạng: Y = X1 ∧ X2.

Đối với mạch phức tạp hơn, hàm dẫn điện sẽ có dạng: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Mạch cũng có thể chứa các tiếp điểm ngắn mạch. Trong trường hợp này, tiếp điểm mở đóng vai trò như một công tắc để đảm bảo bóng đèn sáng lên khi thả nút ra và không nhấn. Đối với các mạch như vậy, công tắc ngắt kết nối được mô tả bằng phủ định.

Hai sơ đồ này được gọi là tương đương, nếu dòng điện đi qua một trong hai vật đó thì nó cũng đi qua vật kia. Trong hai mạch tương đương, mạch đơn giản hơn là mạch có hàm dẫn điện chứa số phần tử nhỏ hơn. Nhiệm vụ tìm kiếm các mạch đơn giản nhất trong số các mạch tương đương là rất quan trọng.

Sử dụng bộ máy logic đại số trong thiết kế mạch logic

Toán học của đại số logic rất hữu ích trong việc mô tả hoạt động của phần cứng máy tính. Khi được xử lý trên máy tính, mọi thông tin đều được trình bày dưới dạng nhị phân, nghĩa là nó được mã hóa bởi một chuỗi 0 và 1. Việc xử lý tín hiệu nhị phân tương ứng với 0 và 1 được thực hiện trong máy tính bởi các phần tử logic. Cổng logic thực hiện các phép toán logic cơ bản VÀ, HOẶC, KHÔNG,được trình bày trong hình.

Ký hiệu cho các phần tử logic là tiêu chuẩn và được sử dụng khi vẽ các mạch logic của máy tính. Sử dụng các mạch này, bạn có thể thực hiện bất kỳ chức năng logic nào mô tả hoạt động của máy tính.

Về mặt kỹ thuật, một phần tử logic máy tính được thực hiện dưới dạng một mạch điện, là sự kết nối của nhiều bộ phận khác nhau: điốt, bóng bán dẫn, điện trở, tụ điện. Đầu vào của phần tử logic, còn được gọi là cổng, nhận tín hiệu điện ở mức điện áp cao và thấp, và một tín hiệu đầu ra cũng được phát ra ở mức cao hoặc thấp. Các mức này tương ứng với một trong các trạng thái của hệ nhị phân: 1 - 0; SỰ THẬT LÀ SAI. Mỗi phần tử logic có một ký hiệu riêng, biểu thị chức năng logic của nó, nhưng không cho biết loại mạch điện tử nào được triển khai trong đó. Điều này làm cho việc viết và hiểu các mạch logic phức tạp trở nên dễ dàng hơn. Hoạt động của mạch logic được mô tả bằng bảng chân lý. Ký hiệu trong sơ đồ OR là dấu “1” - từ ký hiệu lỗi thời của phép phân biệt là “>=1” (giá trị của phép phân biệt là 1 nếu tổng của hai toán hạng lớn hơn hoặc bằng 1). Dấu “&” trong sơ đồ AND là viết tắt của từ tiếng Anh and.

Mạch logic điện tử được tạo thành từ các phần tử logic thực hiện các hoạt động logic phức tạp hơn. Một tập hợp các phần tử logic bao gồm các phần tử NOT, OR, AND, với sự trợ giúp của chúng, bạn có thể xây dựng cấu trúc logic ở bất kỳ mức độ phức tạp nào, được gọi là hoàn thiện về mặt chức năng.

Xây dựng bảng chân lý của biểu thức logic

Đối với một công thức logic, bạn luôn có thể viết bảng sự thật, tức là trình bày một hàm logic nhất định ở dạng bảng. Trong trường hợp này, bảng phải chứa tất cả các kết hợp có thể có của các đối số hàm (công thức) và các giá trị hàm tương ứng (kết quả của công thức trên một tập hợp giá trị nhất định).

Một hình thức ghi thuận tiện khi tìm giá trị của hàm là một bảng chứa, ngoài giá trị của biến và giá trị hàm, còn có giá trị của các phép tính trung gian. Hãy xem xét một ví dụ về cách xây dựng bảng chân lý cho công thức $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

X1	X2	$(X1)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ \ X2	X1 ∧ X2	$(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$	$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$ ∨ X1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1	1	1

Nếu một hàm lấy giá trị 1 cho tất cả các tập hợp giá trị biến thì đó là hoàn toàn đúng; nếu với tất cả các bộ giá trị đầu vào, hàm lấy giá trị 0 thì đó là hoàn toàn sai; nếu tập hợp các giá trị đầu ra chứa cả 0 và 1 thì hàm được gọi khả thi. Ví dụ trên là một ví dụ về hàm đúng.

Biết dạng phân tích của hàm logic, bạn luôn có thể chuyển sang dạng bảng của hàm logic. Sử dụng một bảng chân lý cho trước, bạn có thể giải bài toán nghịch đảo, cụ thể là: với một bảng đã cho, xây dựng công thức giải tích cho một hàm logic. Có hai hình thức xây dựng sự phụ thuộc phân tích của hàm logic dựa trên hàm được chỉ định trong bảng.

1. Dạng chuẩn phân biệt (DNF)- tổng các tích được hình thành từ các biến và phủ định của chúng đối với các giá trị sai.

Thuật toán xây dựng DNF như sau:

1. trong bảng chân trị, các hàm chọn các tập đối số có dạng logic bằng 1 (“true”);
2. tất cả các bộ logic đã chọn được viết ra dưới dạng sản phẩm logic của các đối số, tuần tự kết nối chúng với nhau bằng cách sử dụng phép tính tổng logic (phân tách);
3. đối với các đối số sai, một phép toán phủ định sẽ được nhập vào bản ghi được xây dựng.

Ví dụ. Xây dựng hàm xác định số thứ nhất bằng số thứ hai bằng phương pháp DNF. Bảng chân lý của hàm trông giống như

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Giải pháp. Chúng tôi chọn các tập hợp giá trị đối số trong đó hàm bằng 1. Đây là hàng đầu tiên và thứ tư của bảng (chúng tôi không tính đến hàng tiêu đề khi đánh số).

Chúng ta viết ra tích logic của các đối số của các tập hợp này, kết hợp chúng với một tổng logic: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

Chúng tôi viết ra sự phủ định đối số của các tập hợp đã chọn có giá trị sai (hàng thứ tư của bảng; tập thứ hai trong công thức; phần tử thứ nhất và thứ hai): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Trả lời: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Dạng thông thường liên hợp (CNF)- tích của các tổng được hình thành từ các biến và số âm của chúng đối với các giá trị thực.

Thuật toán xây dựng CNF như sau:

1. trong bảng chân lý, các tập hợp đối số được chọn có dạng logic bằng 0 (“false”);
2. tất cả các tập logic đã chọn dưới dạng tổng logic của các đối số được viết tuần tự, kết nối chúng với nhau bằng cách sử dụng thao tác của một sản phẩm logic (kết hợp);
3. đối với các đối số đúng, một phép toán phủ định sẽ được nhập vào bản ghi được xây dựng.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 1. Hãy xem xét ví dụ trước, tức là xây dựng một hàm xác định rằng số thứ nhất bằng số thứ hai, sử dụng phương pháp CNF. Đối với một hàm cho trước, bảng chân trị của nó có dạng

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Giải pháp. Chúng tôi chọn các bộ giá trị đối số trong đó hàm bằng 0. Đây là dòng thứ hai và thứ ba (chúng tôi không tính đến dòng tiêu đề khi đánh số).

Chúng ta viết tổng logic của các đối số của các tập hợp này, kết hợp chúng thành một tích logic: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Chúng ta viết phủ định các đối số của các tập đã chọn có giá trị đúng (hàng thứ hai của bảng, tập đầu tiên của công thức, phần tử thứ hai; đối với dòng thứ ba và đây là tập thứ hai của công thức , phần tử đầu tiên): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Như vậy đã thu được bản ghi hàm logic trong CNF.

Trả lời: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Các giá trị hàm thu được bằng hai phương pháp là tương đương nhau. Để chứng minh nhận định này, chúng ta sử dụng các quy tắc logic: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Ví dụ 2. Xây dựng hàm logic cho bảng chân lý cho trước:

Công thức bắt buộc: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Nó có thể được đơn giản hóa: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Ví dụ 3.Đối với bảng chân lý đã cho, hãy xây dựng hàm logic bằng phương pháp DNF.

X1	X2	X3	F(X1, X2, X3)
1	1	1	1		X1 ∧ X2 ∧ X3
1	0	1	0
0	1	1	1		$(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3
0	0	1	0
1	1	0	1		X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$
1	0	0	1		X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3)↖(-)$
0	1	0	0
0	0	0	0

Công thức bắt buộc: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

Công thức khá phức tạp và cần được đơn giản hóa:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Bảng chân lý để giải các bài toán logic

Biên dịch bảng chân trị là một trong những cách giải các bài toán logic. Khi sử dụng phương pháp giải này, các điều kiện chứa đựng vấn đề sẽ được ghi lại bằng các bảng được biên dịch đặc biệt.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 1. Tạo bảng chân lý cho một thiết bị bảo mật sử dụng ba cảm biến và được kích hoạt khi chỉ có hai trong số chúng bị chập mạch.

Giải pháp. Rõ ràng, kết quả của lời giải sẽ là một bảng trong đó hàm Y(X1, X2, X3) mong muốn sẽ có giá trị “true” nếu bất kỳ hai biến nào có giá trị “true”.

X1	X2	X3	Y(X1, X2, X3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Ví dụ 2. Lập lịch học trong ngày, lưu ý rằng bài học khoa học máy tính chỉ có thể là bài học thứ nhất hoặc thứ hai, bài học toán - bài học thứ nhất hoặc thứ ba, và bài học vật lý - bài học thứ hai hoặc thứ ba. Có thể tạo một lịch trình đáp ứng tất cả các yêu cầu không? Có bao nhiêu lựa chọn lập lịch?

Giải pháp. Vấn đề có thể được giải quyết dễ dàng nếu bạn tạo bảng thích hợp:

	bài học đầu tiên	Bài 2	Bài 3
Khoa học máy tính	1	1	0
toán học	1	0	1
Vật lý	0	1	1

Bảng cho thấy có hai lựa chọn cho lịch trình mong muốn:

1. toán học, khoa học máy tính, vật lý;
2. khoa học máy tính, vật lý, toán học.

Ví dụ 3. Ba người bạn đến trại thể thao - Peter, Boris và Alexey. Mỗi người trong số họ đều thích hai môn thể thao. Được biết, có sáu môn thể thao như vậy: bóng đá, khúc côn cầu, trượt tuyết, bơi lội, quần vợt, cầu lông. Người ta cũng biết rằng:

1. Boris là con cả;
2. một cầu thủ bóng đá trẻ hơn một cầu thủ khúc côn cầu;
3. chơi bóng đá và khúc côn cầu và Peter sống cùng một nhà;
4. khi một cuộc cãi vã nảy sinh giữa một vận động viên trượt tuyết và một vận động viên quần vợt, Boris đã hòa giải họ;
5. Peter không thể chơi quần vợt hoặc cầu lông.

Mỗi cậu bé thích môn thể thao nào?

Giải pháp. Chúng ta hãy lập một bảng và phản ánh các điều kiện của bài toán trong đó, điền vào các ô tương ứng các số 0 và 1, tùy thuộc vào câu lệnh tương ứng là sai hay đúng.

Vì có sáu loại hình thể thao nên hóa ra tất cả các cậu bé đều quan tâm đến các môn thể thao khác nhau.

Từ điều kiện 4, Boris không quan tâm đến trượt tuyết hoặc quần vợt, và từ điều kiện 3 và 5, Peter không biết chơi bóng đá, khúc côn cầu, quần vợt và cầu lông. Do đó, môn thể thao yêu thích của Peter là trượt tuyết và bơi lội. Hãy đặt cái này vào bảng và điền số 0 vào các ô còn lại của cột “Trượt tuyết” và “Bơi lội”.

Bảng cho thấy chỉ Alexey mới có thể chơi quần vợt.

Từ điều kiện 1 và 2, Boris không phải là cầu thủ bóng đá. Vì vậy, Alexey chơi bóng đá. Hãy tiếp tục điền vào bảng. Hãy nhập số 0 vào các ô trống của dòng “Alexey”.

Cuối cùng chúng tôi cũng biết rằng Boris quan tâm đến khúc côn cầu và cầu lông. Bảng cuối cùng sẽ trông như thế này:

Trả lời: Peter thích trượt tuyết và bơi lội, Boris chơi khúc côn cầu và cầu lông, còn Alexey chơi bóng đá và quần vợt.

Biểu thức logic. Mỗi câu lệnh ghép có thể được biểu diễn dưới dạng một công thức (biểu thức logic), bao gồm các biến logic, biểu thị các tuyên bố, và dấu hiệu của các phép toán logic, biểu thị các hàm logic.

Để viết một câu lệnh ghép dưới dạng biểu thức logic bằng ngôn ngữ hình thức (ngôn ngữ của đại số logic), trong câu lệnh ghép cần xác định được các câu lệnh đơn giản và mối liên hệ logic giữa chúng.

Chúng ta hãy viết dưới dạng biểu thức logic câu lệnh ghép “(2 - 2 = 5 hoặc 2-2 = 4) và (2 2 ≠ 5 hoặc 2-2 ≠ 4)". Hãy phân tích câu lệnh ghép. Nó chứa hai câu lệnh đơn giản:

A =“2 2 = 5” - sai (0),

B = “2 2 = 4 >> - đúng (1).

Khi đó câu lệnh ghép có thể được viết dưới dạng sau:

"(A hoặc TRONG) Và (⌐A hoặc (⌐ TRONG)".

Bây giờ bạn cần viết câu lệnh dưới dạng biểu thức logic, có tính đến trình tự các phép toán logic. Khi thực hiện các phép toán logic, thứ tự thực hiện chúng sau đây được xác định: đảo ngược, kết hợp, phân tách. Dấu ngoặc đơn có thể được sử dụng để thay đổi thứ tự đã chỉ định:

F = (MỘT v TRONG) & (⌐ MỘT v ⌐ TRONG).

Tính đúng hay sai của các câu lệnh ghép có thể được xác định một cách thuần túy về mặt hình thức, được hướng dẫn bởi các định luật đại số mệnh đề mà không cần dựa vào nội dung ngữ nghĩa của các câu lệnh.

Chúng ta hãy thay thế các giá trị của các biến logic vào biểu thức logic và sử dụng bảng chân lý của các phép toán logic cơ bản, chúng ta thu được giá trị của hàm logic:

F = (AvB)&(⌐ Av⌐ B) = (0v1)&(1v0) = 1 & 1 = 1 .

Các bảng sự thật.Đối với mỗi câu lệnh ghép (biểu thức logic), có thể xây dựng một bảng chân lý xác định tính đúng hay sai của nó cho tất cả các kết hợp có thể có của các giá trị ban đầu của các câu lệnh đơn giản (biến logic).

Khi xây dựng bảng chân lý, nên hướng dẫn theo một trình tự hành động nhất định.

Đầu tiên, bạn cần xác định số hàng trong bảng chân lý. Nó bằng số lượng kết hợp có thể có của các giá trị biến logic có trong một biểu thức logic. Nếu số lượng biến logic bằng nhau N, Cái đó:

số dòng = 2 n .

Trong trường hợp của chúng tôi, hàm logic F = (AvB)&(⌐ Av⌐ B) có 2 biến và do đó số hàng trong bảng chân lý phải là 4.

Thứ hai, cần xác định số cột trong bảng chân trị bằng số biến logic cộng với số phép toán logic.

Trong trường hợp của chúng tôi, số lượng biến là hai và số phép toán logic là năm, nghĩa là số cột của bảng chân lý là bảy.

Thứ ba, cần xây dựng một bảng chân lý với số hàng và cột được chỉ định, chỉ định các cột và nhập vào bảng các tập hợp giá trị có thể có của các biến logic ban đầu.

Thứ tư, cần điền vào bảng chân trị theo cột, thực hiện các phép toán logic cơ bản theo trình tự yêu cầu và đúng với bảng chân lý của chúng (Bảng 4.4). Bây giờ chúng ta có thể xác định giá trị của hàm Boolean cho bất kỳ tập hợp giá trị biến Boolean nào.

Bảng 4.4. Bảng chân trị hàm logic

F=(AvB)&(⌐ Av⌐ B)

						(AvB)&(⌐Av⌐B)

Các biểu thức logic tương đương Các biểu thức logic mà các cột cuối cùng của bảng chân lý trùng nhau được gọi là tương đương.Để biểu thị các biểu thức logic tương đương, dấu “=” được sử dụng.

Hãy chứng minh rằng các biểu thức logic ⌐A &⌐B Và ⌐(AvB) là tương đương. Trước tiên chúng ta hãy xây dựng bảng chân trị cho biểu thức logic ⌐A &⌐B(Bảng 4.5).

Bảng 4.5. Bảng chân lý biểu thức logic ⌐A& ⌐B

				⌐MỘT&⌐ TRONG

Bây giờ hãy xây dựng bảng chân trị cho một biểu thức logic ⌐(AvB) (Bảng 4.6).

Bảng 4.6. Bảng chân lý biểu thức logic ⌐(AvB)

			⌐(AvB)

Các giá trị ở các cột cuối cùng của bảng chân lý là như nhau nên các biểu thức logic là tương đương:

⌐A & ⌐B = ⌐(AvB).

Các phép toán logic cơ bản

Phủ định (đảo ngược), từ tiếng Latin inversio - Tôi lật lại:

Tương ứng với trợ từ NOT, cụm từ NOT TRUE THAT;

Ký hiệu: không phải A, A, -A;

bảng sự thật:

Nghịch đảo của biến Boolean là đúng nếu bản thân biến đó sai và ngược lại, nghịch đảo là sai nếu biến đó đúng.

Ví dụ: A = (Bên ngoài đang có tuyết rơi).

A=(Việc bên ngoài đang có tuyết là không đúng)

A=(Bên ngoài trời không có tuyết);

Phép cộng logic (phân tách), từ tiếng Latin disjunctio - Tôi phân biệt:

Tương ứng với công đoàn HOẶC;

Ký hiệu: +, hoặc, hoặc, V;

Bảng sự thật:

Một mệnh đề phân biệt là sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đề đều sai.

Ví dụ: F=(Bên ngoài trời nắng gắt hoặc có gió thổi mạnh);

Phép nhân logic (kết hợp), từ liên hợp Latin - Tôi kết nối:

Tương ứng với liên từ AND

(theo ngôn ngữ tự nhiên: cả A và B, cả A và B, A cùng B, A, dù B, A, trong khi B);

Ký hiệu: H, , &, u, ^, và;

Bảng sự thật:

Một liên từ đúng khi và chỉ khi cả hai phát biểu đều đúng.

Ví dụ: F=(Bên ngoài trời nắng và gió thổi mạnh);

Bất kỳ câu lệnh phức tạp nào cũng có thể được viết bằng các phép toán logic cơ bản AND, OR, NOT. Bằng cách sử dụng các mạch logic AND, OR, NOT, bạn có thể thực hiện một hàm logic mô tả hoạt động của nhiều thiết bị máy tính khác nhau.

2) Bảng chân lý là bảng mô tả hàm logic.

Trong trường hợp này, “hàm logic” được hiểu là hàm trong đó giá trị của các biến (tham số của hàm) và giá trị của chính hàm đó biểu thị chân lý logic. Ví dụ: trong logic hai giá trị, chúng có thể lấy các giá trị “true” hoặc “false” (hoặc hoặc).

Việc gán các hàm theo dạng bảng không chỉ được tìm thấy trong logic mà còn đối với các hàm logic, các bảng hóa ra đặc biệt thuận tiện và kể từ đầu thế kỷ 20, cái tên đặc biệt này đã được gán cho chúng. Bảng chân lý đặc biệt thường được sử dụng trong đại số Boolean và các hệ thống logic nhiều giá trị tương tự.

Liên hợp là một phép toán logic, trong ứng dụng của nó càng gần với phép kết “và” càng tốt. Phép nhân logic, đôi khi chỉ đơn giản là “AND”.

Phân tách là một phép toán logic, trong ứng dụng của nó càng gần với liên từ “hoặc” theo nghĩa “cái này, cái kia, hoặc cả hai cùng một lúc”. phép cộng hợp lý, đôi khi chỉ là “HOẶC”.

Hàm ý là một liên kết logic nhị phân, trong ứng dụng của nó gần với liên từ “nếu... thì…” Hàm ý được viết dưới dạng tiền đề và hệ quả; các mũi tên có hình dạng khác và hướng theo một hướng khác cũng được sử dụng (điểm luôn chỉ vào hậu quả).

Tương đương (hoặc tương đương) là một phép toán logic hai vị trí. Thường được biểu thị bằng ký hiệu ≡ hoặc ↔.

7. Biểu thức logic, bảng chân lý của biểu thức logic.

Biểu thức logic là một bản ghi hoặc phát biểu bằng miệng, cùng với các hằng số, nhất thiết phải bao gồm các đại lượng (đối tượng) có thể thay đổi. Tùy thuộc vào giá trị của các biến này, một biểu thức logic có thể nhận một trong hai giá trị có thể: TRUE (logic 1) hoặc FALSE (logic 0)

Biểu thức logic phức tạp là một biểu thức logic bao gồm một hoặc nhiều biểu thức logic đơn giản (hoặc phức tạp) được kết nối bằng các phép toán logic.

Các phép toán logic và bảng chân lý

Phép nhân logic LIÊN TỤC - biểu thức phức tạp mới này sẽ chỉ đúng nếu cả hai biểu thức đơn giản ban đầu đều đúng. Một liên từ xác định sự kết nối của hai biểu thức logic bằng cách sử dụng liên từ AND.

Phép cộng logic - DISUNCTION - biểu thức phức tạp mới này sẽ đúng khi và chỉ khi ít nhất một trong các biểu thức ban đầu (đơn giản) là đúng. Sự phân tách xác định sự kết nối của hai biểu thức logic bằng cách sử dụng kết hợp OR

Phủ định logic: ĐẢO NGƯỢC - nếu biểu thức ban đầu đúng thì kết quả của phủ định sẽ sai và ngược lại, nếu biểu thức ban đầu sai thì kết quả của phủ định sẽ đúng/ Thao tác này có nghĩa là hạt NOT hoặc từ FALSE được thêm vào biểu thức logic ban đầu.

Ý nghĩa logic: IMPLICATION - kết nối hai biểu thức logic đơn giản, trong đó biểu thức thứ nhất là điều kiện (A) và biểu thức thứ hai (B) là hệ quả của điều kiện này. Kết quả của hàm IMPLICATION chỉ là FALSE khi điều kiện A đúng và hệ quả B sai. Nó được biểu thị bằng ký hiệu “do đó” và được thể hiện bằng các từ IF…, THEN…

Tương đương logic: TƯƠNG ĐƯƠNG - xác định kết quả so sánh hai biểu thức logic đơn giản A và B. Kết quả của TƯƠNG ĐƯƠNG là một biểu thức logic mới sẽ đúng khi và chỉ khi cả hai biểu thức gốc đồng thời đúng hoặc sai. Được biểu thị bằng ký hiệu "tương đương"

Thứ tự các phép toán logic trong một biểu thức logic phức tạp:

1. đảo ngược

2. liên từ

3. sự tách rời

4. hàm ý

5. sự tương đương

Dấu ngoặc đơn được sử dụng để thay đổi thứ tự thực hiện các thao tác đã chỉ định.

Xây dựng bảng chân lý cho các biểu thức phức tạp:

Số dòng = 2n + 2 dòng cho tiêu đề (n là số câu đơn giản)

Số cột = số biến + số phép toán logic

Khi xây dựng bảng, cần tính đến tất cả các kết hợp có thể có của các giá trị logic 0 và 1 của biểu thức gốc. Sau đó - xác định thứ tự các hành động và lập một bảng có tính đến các bảng chân lý của các phép toán logic cơ bản.

VÍ DỤ: tạo bảng chân lý cho biểu thức logic phức tạp D = notA & (B+C)

A, B, C là ba câu đơn giản, do đó:

số dòng = 23 +2 = 10 (n=3, vì có 3 phần tử đầu vào A, B, C)

số cột: 1) A

4) not A là nghịch đảo của A (ký hiệu là E)

5) B + C là phép tách (ký hiệu là F)

6) D = không phải A & (B+C), tức là D = E & F là phép toán kết hợp

A B C E = không phải A (không phải 1) F = B+C (2+3) D = E&F (4*5)

Trong mạch kỹ thuật số, tín hiệu số là tín hiệu có thể nhận hai giá trị, được coi là logic "1" và logic "0".

Các mạch logic có thể chứa tới 100 triệu đầu vào và những mạch khổng lồ như vậy tồn tại. Hãy tưởng tượng rằng hàm Boolean (phương trình) của mạch như vậy bị mất. Làm thế nào để khôi phục nó với ít mất thời gian nhất và không có lỗi? Cách hiệu quả nhất là chia sơ đồ thành các tầng. Với phương pháp này, hàm đầu ra của từng phần tử ở tầng trước được ghi lại và thay thế cho đầu vào tương ứng ở tầng tiếp theo. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét phương pháp phân tích mạch logic này với tất cả các sắc thái của nó.

Các mạch logic được triển khai bằng cách sử dụng các phần tử logic: “NOT”, “AND”, “OR”, “AND-NOT”, “OR-NOT”, “XOR” và “Equivalence”. Ba phần tử logic đầu tiên cho phép bạn triển khai bất kỳ hàm logic nào, bất kể phức tạp đến đâu, trên cơ sở Boolean. Chúng tôi sẽ giải quyết các vấn đề về mạch logic được thực hiện chính xác trên cơ sở Boolean.

Một số tiêu chuẩn được sử dụng để chỉ định các phần tử logic. Phổ biến nhất là Mỹ (ANSI), Châu Âu (DIN), quốc tế (IEC) và Nga (GOST). Hình dưới đây mô tả các ký hiệu của các phần tử logic trong các tiêu chuẩn này (để phóng to, bạn có thể nhấp vào hình bằng nút chuột trái).

Trong bài học này, chúng ta sẽ giải các bài toán về mạch logic, trong đó các phần tử logic được chỉ định theo tiêu chuẩn GOST.

Các bài toán về mạch logic có hai loại: nhiệm vụ tổng hợp các mạch logic và nhiệm vụ phân tích mạch logic. Chúng ta sẽ bắt đầu với loại nhiệm vụ thứ hai, vì theo thứ tự này, chúng ta có thể nhanh chóng học cách đọc các mạch logic.

Thông thường, liên quan đến việc xây dựng các mạch logic, các chức năng của đại số logic được xem xét:

• ba biến (sẽ được xem xét trong các bài toán phân tích và trong một bài toán tổng hợp);
• bốn biến (trong các bài toán tổng hợp, tức là ở hai đoạn cuối).

Hãy xem xét việc xây dựng (tổng hợp) các mạch logic

• trên cơ sở Boolean "VÀ", "HOẶC", "KHÔNG" (ở đoạn áp chót);
• trong các căn cứ chung “VÀ-KHÔNG” và “HOẶC-KHÔNG” (ở đoạn cuối).

Vấn đề phân tích mạch logic

Nhiệm vụ của phân tích là xác định hàm f, được thực hiện bởi một mạch logic nhất định. Khi giải quyết một vấn đề như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi tuân thủ chuỗi hành động sau.

1. Sơ đồ logic được chia thành các tầng. Các bậc được gán số thứ tự.
2. Đầu ra của mỗi phần tử logic được chỉ định theo tên của chức năng mong muốn, được trang bị chỉ mục kỹ thuật số, trong đó chữ số đầu tiên là số cấp và các chữ số còn lại là số sê-ri của phần tử trong cấp.
3. Đối với mỗi phần tử, một biểu thức phân tích được viết để kết nối hàm đầu ra của nó với các biến đầu vào. Biểu thức được xác định bởi hàm logic được thực hiện bởi phần tử logic đã cho.
4. Việc thay thế một số hàm đầu ra thông qua các hàm khác được thực hiện cho đến khi thu được hàm Boolean, được biểu thị dưới dạng các biến đầu vào.

Ví dụ 1.

Giải pháp. Chúng tôi chia mạch logic thành các tầng, được hiển thị trong hình. Hãy viết ra tất cả các chức năng, bắt đầu từ cấp 1:

x, y, z :

x	y	z					f
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Ví dụ 2. Tìm hàm Boolean của mạch logic và xây dựng bảng chân trị cho mạch logic.

Ví dụ 3. Tìm hàm Boolean của mạch logic và xây dựng bảng chân trị cho mạch logic.

Chúng ta tiếp tục cùng nhau tìm kiếm hàm Boolean của mạch logic

Ví dụ 4. Tìm hàm Boolean của mạch logic và xây dựng bảng chân trị cho mạch logic.

Giải pháp. Chúng tôi chia sơ đồ logic thành các tầng. Hãy viết ra tất cả các chức năng, bắt đầu từ cấp 1:

Bây giờ hãy viết ra tất cả các hàm, thay thế các biến đầu vào x, y, z :

Kết quả là chúng ta nhận được chức năng mà mạch logic thực hiện ở đầu ra:

.

Bảng chân lý cho mạch logic này:

x	y	z			f
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Ví dụ 5. Tìm hàm Boolean của mạch logic và xây dựng bảng chân trị cho mạch logic.

Giải pháp. Chúng tôi chia sơ đồ logic thành các tầng. Cấu trúc của mạch logic này, không giống như các ví dụ trước, có 5 tầng chứ không phải 4. Nhưng một biến đầu vào - biến thấp nhất - chạy qua tất cả các tầng và nhập trực tiếp phần tử logic ở tầng đầu tiên. Hãy viết ra tất cả các chức năng, bắt đầu từ cấp 1:

Bây giờ hãy viết ra tất cả các hàm, thay thế các biến đầu vào x, y, z :

Kết quả là chúng ta nhận được chức năng mà mạch logic thực hiện ở đầu ra:

.

Bảng chân lý cho mạch logic này:

x	y	z			f
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Bài toán tổng hợp mạch logic trên cơ sở Boolean

Sự phát triển của một mạch logic theo mô tả phân tích của nó được gọi là bài toán tổng hợp mạch logic.

Mỗi phép tách (tổng logic) tương ứng với một phần tử “OR”, số lượng đầu vào của phần tử này được xác định bởi số lượng biến trong phép tách. Mỗi kết hợp (tích logic) tương ứng với một phần tử “AND”, số lượng đầu vào của phần tử này được xác định bởi số lượng biến trong kết hợp. Mỗi phủ định (đảo ngược) tương ứng với một phần tử “NOT”.

Thiết kế logic thường bắt đầu bằng việc xác định chức năng logic mà mạch logic phải thực hiện. Trong trường hợp này chỉ đưa ra bảng chân lý của mạch logic. Chúng ta sẽ chỉ phân tích một ví dụ như vậy, tức là chúng ta sẽ giải một bài toán hoàn toàn trái ngược với bài toán phân tích mạch logic đã trình bày ở trên.

Ví dụ 6. Xây dựng một mạch logic thực hiện một hàm với bảng chân lý cho trước.