Thực đơn
trang chủẢnh và video

Tại sao hệ thống số không có vị trí đã mất đi ý nghĩa của chúng Hệ thống số không có vị trí Các loại hệ thống số

Ký hiệu - đây là cách biểu diễn số và các quy tắc tương ứng khi thao tác trên số. Các hệ thống số khác nhau tồn tại trong quá khứ và được sử dụng ngày nay có thể được chia thành không có vị trí Và vị trí. Các dấu hiệu dùng khi viết số, được gọi là bằng số.

TRONG hệ thống số không có vị trí ý nghĩa của một chữ số không phụ thuộc vào vị trí của nó trong số.

Một ví dụ về hệ thống số không theo vị trí là hệ thống La Mã (chữ số La Mã). Trong hệ thống La Mã, các chữ cái Latinh được sử dụng làm số:

Ví dụ 1. Số CCXXXII được tạo thành từ hai trăm, ba chục và hai đơn vị và bằng hai trăm ba mươi hai.

Trong chữ số La Mã, các chữ số được viết từ trái sang phải theo thứ tự giảm dần. Trong trường hợp này, giá trị của chúng được cộng lại với nhau. Nếu một số nhỏ hơn được viết ở bên trái và số lớn hơn ở bên phải thì giá trị của chúng sẽ bị trừ.

Ví dụ 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Ví dụ 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

TRONG hệ thống số vị trí giá trị được biểu thị bằng một chữ số trong ký hiệu số phụ thuộc vào vị trí của nó. Số chữ số được sử dụng được gọi là cơ số của hệ thống số vị trí.

Hệ thống số được sử dụng trong toán học hiện đại là hệ thập phân vị trí. Cơ sở của nó là mười, bởi vì Bất kỳ số nào được viết bằng mười chữ số:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bản chất vị trí của hệ thống này rất dễ hiểu khi sử dụng ví dụ về bất kỳ số có nhiều chữ số nào. Ví dụ, trong số 333, ba số đầu tiên có nghĩa là ba trăm, số thứ hai - ba chục, số thứ ba - ba đơn vị.

Để viết số trong hệ vị trí có cơ số N Phải có bảng chữ cái từ N con số Thông thường đối với việc này N < 10 используют N chữ số Ả Rập đầu tiên và khi nào N> 10 chữ cái được thêm vào mười chữ số Ả Rập. Dưới đây là ví dụ về bảng chữ cái của một số hệ thống:

Nếu bạn cần chỉ ra cơ sở của hệ thống mà một số thuộc về thì nó sẽ được gán một chỉ số dưới cho số này. Ví dụ:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Trong hệ thống số có cơ số q (q-ary hệ thống số) đơn vị của các chữ số là lũy thừa liên tiếp của một số q. qđơn vị của bất kỳ loại nào tạo thành một đơn vị của loại tiếp theo. Để viết một số vào q hệ thống số -ary cần thiết q các dấu hiệu (chữ số) khác nhau đại diện cho các số 0, 1, ..., q– 1. Viết số q V. q hệ thống số -ary có dạng 10.

Dạng viết mở rộng của số

Cho phép AQ- số trong hệ thống cơ sở q, ai - các chữ số của một hệ thống số đã cho có trong bản ghi số MỘT, N+ 1 - số chữ số của phần nguyên của số, tôi- số chữ số của phần phân số:

Dạng mở rộng của số MỘTđược gọi là bản ghi có dạng:

Ví dụ: đối với số thập phân:

Các ví dụ sau đây cho thấy dạng mở rộng của số thập lục phân và số nhị phân:

Trong bất kỳ hệ thống số nào, cơ số của nó được viết là 10.

Nếu tất cả các số hạng ở dạng mở rộng của số không thập phân được biểu diễn trong hệ thập phân và biểu thức thu được được tính theo các quy tắc số học thập phân thì sẽ thu được một số trong hệ thập phân bằng số đã cho. Nguyên lý này dùng để chuyển đổi từ hệ phi thập phân sang hệ thập phân. Ví dụ, việc chuyển các số viết ở trên sang hệ thập phân được thực hiện như sau:

Chuyển đổi số thập phân sang hệ thống số khác

Chuyển đổi số nguyên

Toàn bộ số thập phân X cần phải được chuyển đổi thành một hệ thống có cơ sở q: X = (Một N Một n-1 …Một 1 Một 0)q. Chúng ta cần tìm các chữ số có nghĩa của số: . Hãy biểu diễn số ở dạng mở rộng và thực hiện phép biến đổi giống hệt nhau:

Từ đó rõ ràng rằng Một 0 có số dư khi chia một số X mỗi số q. Biểu thức trong ngoặc là thương số nguyên của phép chia này. Hãy ký hiệu nó bằng X 1. Thực hiện các phép biến đổi tương tự, ta được:

Kể từ đây, Một 1 là số dư của phép chia X 1 mỗi q. Tiếp tục chia với số dư, ta sẽ thu được dãy chữ số của số cần tìm. Con số MỘT trong chuỗi phân chia này sẽ là thương số cuối cùng, nhỏ hơn q.

Hãy để chúng tôi xây dựng quy tắc kết quả: vì điều đó để chuyển đổi một số nguyên thập phân sang một hệ thống số có cơ số khác, bạn cần:

1) thể hiện cơ sở của hệ thống số mới trong hệ thống số thập phân và thực hiện mọi hành động tiếp theo theo quy tắc số học thập phân;

2) chia tuần tự số đã cho và các thương số không đầy đủ thu được cho cơ số của hệ thống số mới cho đến khi chúng ta thu được thương số không đầy đủ nhỏ hơn số chia;

3) đưa số dư kết quả là các chữ số của một số trong hệ thống số mới vào đúng bảng chữ cái của hệ thống số mới;

4) soạn một số trong hệ thống số mới, viết nó bắt đầu từ thương số cuối cùng.

Ví dụ 1. Chuyển số 37 10 sang dạng nhị phân.

Để chỉ định các chữ số trong một số, chúng tôi sử dụng ký hiệu: Một 5 Một 4 Một 3 Một 2 Một 1 Một 0

Từ đây: 37 10 = l00l0l 2

Ví dụ 2. Chuyển đổi số thập phân 315 sang hệ bát phân và thập lục phân:

Nó như sau: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Hãy nhớ rằng 11 10 = B 16.

Phân số thập phân X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, Một –1 Một –2 … Một–m+1 Một–m)q. Chúng ta cần tìm các chữ số có nghĩa của số: Một –1 ,Một –2 , …, Một–m. Hãy tưởng tượng số ở dạng khai triển và nhân nó với q:

Từ đó rõ ràng rằng Một–1 X mỗi số q. Hãy ký hiệu bằng X 1 một phần của sản phẩm và nhân nó với q:

Kể từ đây, Một –2 có toàn bộ một phần của công việc X 1 mỗi số q. Tiếp tục nhân, chúng ta sẽ thu được một dãy số. Bây giờ hãy xây dựng một quy tắc: Để chuyển một phân số thập phân sang một hệ số có cơ số khác, bạn cần:

1) nhân liên tiếp số đã cho và phần phân số thu được của tích với cơ số của hệ thống số mới cho đến khi phần phân số của tích bằng 0 hoặc đạt được độ chính xác cần thiết để biểu thị số trong hệ thống số mới;

2) đưa các phần nguyên thu được của tác phẩm là các chữ số của số trong hệ thống số mới vào theo bảng chữ cái của hệ thống số mới;

3) soạn phần phân số của số trong hệ thống số mới, bắt đầu từ phần nguyên của tích đầu tiên.

Ví dụ 3. Chuyển đổi phân số thập phân 0,1875 sang hệ nhị phân, bát phân và thập lục phân.

Ở đây cột bên trái chứa phần nguyên của các số và cột bên phải chứa phần phân số.

Do đó: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Chuyển đổi hỗn số chứa phần nguyên và phần phân số được thực hiện theo hai giai đoạn. Phần nguyên và phần phân số của số gốc được dịch riêng bằng thuật toán thích hợp. Trong bản ghi cuối cùng của một số trong hệ thống số mới, phần nguyên được phân tách khỏi phần phân số bằng dấu phẩy (dấu chấm).

Tính toán nhị phân

Theo nguyên lý của John von Neumann, máy tính thực hiện các phép tính trong hệ thống số nhị phân. Trong khuôn khổ khóa học cơ bản, việc giới hạn bản thân trong việc xem xét các phép tính với số nguyên nhị phân là đủ. Để thực hiện các phép tính với số có nhiều chữ số, bạn cần biết quy tắc cộng, quy tắc nhân số có một chữ số. Đây là những quy tắc:

Nguyên tắc giao hoán của phép cộng và phép nhân có tác dụng trong tất cả các hệ thống số. Kỹ thuật thực hiện phép tính với số có nhiều chữ số trong hệ nhị phân cũng tương tự như hệ thập phân. Nói cách khác, các thủ tục cộng, trừ và nhân một “cột” và chia cho một “góc” trong hệ nhị phân được thực hiện giống như trong hệ thập phân.

Hãy xem xét các quy tắc trừ và chia số nhị phân. Phép trừ là nghịch đảo của phép cộng. Từ bảng cộng trên ta có quy tắc trừ như sau:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Sau đây là ví dụ về phép trừ số có nhiều chữ số:

Kết quả thu được có thể được kiểm tra bằng cách cộng hiệu với dấu trừ. Kết quả phải là một số giảm dần.

Phép chia là phép toán nghịch đảo của phép nhân. Trong bất kỳ hệ thống số nào, bạn không thể chia cho 0. Kết quả của phép chia cho 1 bằng số bị chia. Chia một số nhị phân cho 10 2 sẽ chuyển vị trí thập phân sang trái một vị trí, tương tự như chia một số thập phân cho mười. Ví dụ:

Phép chia cho 100 sẽ dịch dấu thập phân sang trái 2 chữ số, v.v. Trong khóa học cơ bản, bạn không cần phải xem xét các ví dụ phức tạp về chia số nhị phân có nhiều chữ số. Mặc dù những sinh viên có năng lực có thể đối phó với chúng bằng cách hiểu các nguyên tắc chung.

Việc biểu diễn thông tin được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính ở dạng nhị phân thực sự của nó khá cồng kềnh do số lượng chữ số lớn. Điều này đề cập đến việc ghi lại thông tin đó trên giấy hoặc hiển thị trên màn hình. Đối với những mục đích này, người ta thường sử dụng hệ thống bát phân nhị phân hoặc thập lục phân nhị phân hỗn hợp.

Có một mối quan hệ đơn giản giữa biểu diễn nhị phân và thập lục phân của một số. Khi chuyển đổi một số từ hệ thống này sang hệ thống khác, một chữ số thập lục phân tương ứng với mã nhị phân gồm bốn chữ số. Sự tương ứng này được phản ánh trong bảng nhị phân-thập lục phân:

Bảng thập lục phân nhị phân

Kết nối này dựa trên thực tế là 16 = 2 4 và số tổ hợp bốn chữ số khác nhau của các số 0 và 1 là 16: từ 0000 đến 1111. Do đó việc chuyển đổi số từ hệ thập lục phân sang nhị phân và ngược lại được thực hiện thông qua chuyển đổi hình thức theo bảng thập lục phân nhị phân.

Dưới đây là ví dụ về chuyển đổi nhị phân 32 bit sang thập lục phân:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Nếu biểu diễn thông tin nội bộ dưới dạng thập lục phân thì có thể dễ dàng chuyển đổi nó thành mã nhị phân. Ưu điểm của biểu diễn thập lục phân là ngắn hơn 4 lần so với biểu diễn nhị phân. Nên cho học sinh ghi nhớ bảng nhị phân - thập lục phân. Sau đó, thực sự đối với họ, biểu diễn thập lục phân sẽ trở nên tương đương với biểu diễn nhị phân.

Trong hệ bát phân nhị phân, mỗi chữ số bát phân tương ứng với một bộ ba chữ số nhị phân. Hệ thống này cho phép bạn giảm mã nhị phân xuống 3 lần.

Hệ thống số - chúng là gì? Ngay cả khi không biết câu trả lời cho câu hỏi này, mỗi chúng ta chắc chắn sẽ sử dụng hệ thống số trong cuộc sống và không nhận thức được nó. Đúng vậy, ở số nhiều! Tức là không phải một mà là nhiều. Trước khi đưa ra ví dụ về hệ thống số không theo vị trí, chúng ta hãy hiểu vấn đề này và nói về hệ thống số vị trí.

Cần tài khoản

Từ xa xưa, con người đã có nhu cầu đếm, tức là bằng trực giác, họ nhận ra rằng bằng cách nào đó họ cần thể hiện tầm nhìn định lượng về sự vật và sự kiện. Bộ não mách bảo tôi rằng cần phải sử dụng đồ vật để đếm. Những thứ tiện lợi nhất luôn là các ngón tay, và điều này cũng dễ hiểu vì chúng luôn có sẵn (hiếm khi có ngoại lệ).

Vì vậy, các đại diện cổ xưa của loài người đã phải uốn cong các ngón tay của họ theo nghĩa đen - chẳng hạn để chỉ ra số lượng voi ma mút bị giết. Những yếu tố như vậy của tài khoản chưa có tên mà chỉ là hình ảnh trực quan, so sánh.

Hệ thống số vị trí hiện đại

Hệ thống số là một phương pháp (cách) biểu diễn các giá trị định lượng và số lượng bằng cách sử dụng các dấu hiệu nhất định (ký hiệu hoặc chữ cái).

Cần phải hiểu tính vị trí và tính phi vị trí trong phép đếm là gì trước khi đưa ra ví dụ về hệ thống số không vị trí. Có nhiều hệ thống số vị trí. Những thuật ngữ sau đây hiện được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kiến ​​thức khác nhau: nhị phân (chỉ bao gồm hai phần tử quan trọng: 0 và 1), sáu thập phân (số ký tự - 6), bát phân (8 ký tự), nhị thập phân (mười hai ký tự), thập lục phân (bao gồm mười sáu ký tự) ). Hơn nữa, mỗi chuỗi ký hiệu trong hệ thống đều bắt đầu từ con số 0. dựa trên việc sử dụng mã nhị phân - hệ thống số vị trí nhị phân.

Hệ thống số thập phân

Vị trí là sự hiện diện ở các mức độ khác nhau của các vị trí quan trọng trong đó đặt dấu hiệu của một số. Điều này có thể được chứng minh tốt nhất bằng cách sử dụng hệ thống số thập phân làm ví dụ. Suy cho cùng, đây là thứ chúng ta đã quen sử dụng từ khi còn nhỏ. Có mười dấu hiệu trong hệ thống này: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hãy lấy số 327. Nó có ba dấu hiệu: 3, 2, 7. Mỗi dấu hiệu nằm ở một vị trí ở vị trí riêng của nó (chỗ). Số bảy chiếm vị trí dành riêng cho các giá trị đơn (đơn vị), hai - hàng chục và ba - hàng trăm. Vì số có ba chữ số nên chỉ có ba vị trí trong đó.

Dựa vào những điều trên, số thập phân có ba chữ số như vậy có thể được mô tả như sau: ba trăm, hai chục và bảy đơn vị. Hơn nữa, tầm quan trọng (tầm quan trọng) của các vị trí được tính từ trái sang phải, từ vị trí yếu (một) đến vị trí mạnh hơn (hàng trăm).

Chúng tôi cảm thấy rất thoải mái trong hệ thống số vị trí thập phân. Chúng ta có mười ngón tay trên bàn tay và trên bàn chân cũng vậy. Năm cộng năm - vì vậy, nhờ có ngón tay, từ nhỏ chúng ta có thể dễ dàng tưởng tượng ra số mười. Đây là lý do tại sao trẻ em có thể dễ dàng học bảng cửu chương năm và mười. Bạn cũng có thể dễ dàng học cách đếm tiền giấy, thường là bội số (nghĩa là chia hết mà không có phần dư) cho năm và mười.

Các hệ thống số vị trí khác

Trước sự ngạc nhiên của nhiều người, cần phải nói rằng không chỉ trong hệ đếm thập phân, bộ não của chúng ta mới quen với việc thực hiện một số phép tính nhất định. Cho đến nay, nhân loại sử dụng hệ thống số sáu và số thập phân. Nghĩa là, trong hệ thống như vậy chỉ có sáu ký tự (trong sixex): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trong hệ thập phân có mười hai ký tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , A, B, trong đó A - biểu thị số 10, B - biểu thị số 11 (vì phải có một dấu).

Phán xét cho chính mình. Chúng ta đếm thời gian theo số sáu phải không? Một giờ là sáu mươi phút (sáu chục), một ngày là hai mươi bốn giờ (hai lần mười hai), một năm là mười hai tháng, v.v... Tất cả các khoảng thời gian đều dễ dàng khớp với chuỗi thập lục phân và thập nhị phân. Nhưng chúng ta đã quá quen với việc đó đến nỗi thậm chí không còn nghĩ đến nó khi đếm ngược thời gian.

Hệ thống số không có vị trí đơn nhất

Cần phải quyết định nó là gì - một hệ thống số không có vị trí. Đây là hệ thống ký hiệu không có vị trí của ký hiệu số hoặc nguyên lý “đọc” số không phụ thuộc vào vị trí. Nó cũng có những quy tắc riêng để ghi chép hoặc tính toán.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về các hệ thống số không có vị trí. Chúng ta hãy quay trở lại thời cổ đại. Mọi người cần đếm và đã nghĩ ra phát minh đơn giản nhất - nút thắt. Hệ thống số không vị trí có dạng nút. Ví dụ, một vật phẩm (một túi gạo, một con bò đực, v.v.) được tính khi mua hoặc bán và một nút thắt được buộc trên một sợi dây.

Kết quả là số nút thắt trên sợi dây bằng số bao gạo được mua (ví dụ). Nhưng đây cũng có thể là những vết khía trên thanh gỗ, trên phiến đá, v.v. Hệ thống số này được gọi là hệ thống nút thắt. Nó có tên thứ hai - đơn nguyên hoặc đơn vị ("uno" trong tiếng Latin có nghĩa là "một").

Rõ ràng là hệ thống số này không có tính vị trí. Rốt cuộc, chúng ta có thể nói về những vị trí nào khi chỉ có một (vị trí)! Thật kỳ lạ, ở một số nơi trên Trái đất, hệ thống số đơn nhất không có vị trí vẫn được sử dụng.

Ngoài ra các hệ thống số không có vị trí bao gồm:

  • Roman (chữ cái - ký hiệu Latin dùng để viết số);
  • Ai Cập cổ đại (tương tự như La Mã, các biểu tượng cũng được sử dụng);
  • theo thứ tự bảng chữ cái (các chữ cái trong bảng chữ cái đã được sử dụng);
  • Tiếng Babylon (chữ hình nêm - họ sử dụng "nêm" thẳng và ngược);
  • Tiếng Hy Lạp (cũng được phân loại theo bảng chữ cái).

Hệ thống số La Mã

Đế chế La Mã cổ đại cũng như nền khoa học của nó rất tiến bộ. Người La Mã đã mang đến cho thế giới nhiều phát minh hữu ích về khoa học và nghệ thuật, bao gồm cả hệ thống đếm của họ. Hai trăm năm trước, chữ số La Mã được sử dụng để biểu thị số tiền trong tài liệu kinh doanh (do đó tránh được việc làm giả).

Bây giờ chúng ta đã biết một ví dụ về hệ thống số không có vị trí. Ngoài ra, hệ thống La Mã được sử dụng tích cực, nhưng không phải để tính toán toán học mà cho các hành động có mục tiêu hẹp. Ví dụ, người ta thường sử dụng số La Mã để chỉ ngày tháng lịch sử, thế kỷ, số tập, phần và chương trong các ấn phẩm sách. Dấu hiệu La Mã thường được sử dụng để trang trí mặt số đồng hồ. Và đánh số La Mã cũng là một ví dụ về hệ thống số không theo vị trí.

Người La Mã đánh số bằng chữ cái Latinh. Hơn nữa, họ viết ra các con số theo những quy tắc nhất định. Có một danh sách các ký hiệu chính trong hệ thống số La Mã, nhờ đó tất cả các số được viết mà không có ngoại lệ.

Quy tắc soạn số

Số lượng yêu cầu có được bằng cách thêm các dấu hiệu (chữ cái Latinh) và tính tổng của chúng. Chúng ta hãy xem cách các dấu hiệu được viết một cách tượng trưng trong hệ thống La Mã và cách “đọc” chúng. Chúng ta hãy liệt kê các định luật cơ bản về hình thành số trong hệ thống số không theo vị trí La Mã.

  1. Số bốn - IV, bao gồm hai dấu hiệu (I, V - một và năm). Nó có được bằng cách trừ dấu nhỏ hơn khỏi dấu lớn hơn nếu nó ở bên trái. Khi dấu nhỏ hơn nằm ở bên phải, bạn cần cộng thêm thì sẽ được số sáu - VI.
  2. Bạn cần thêm hai dấu hiệu giống hệt nhau cạnh nhau. Ví dụ: SS là 200 (C là 100) hoặc XX là 20.
  3. Nếu chữ số đầu tiên của một số nhỏ hơn chữ số thứ hai thì chữ số thứ ba trong hàng này có thể là ký hiệu có giá trị thậm chí còn nhỏ hơn chữ số đầu tiên. Để tránh nhầm lẫn, hãy đưa ra một ví dụ: CDX - 410 (ở dạng thập phân).
  4. Một số số lớn có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau, đây là một trong những nhược điểm của hệ thống đếm La Mã. Dưới đây là một số ví dụ: MVM (hệ La Mã) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (hệ thập phân) hoặc MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. Và đây không phải là tất cả các phương pháp.

Kỹ thuật số học

Hệ thống số không có vị trí đôi khi là một bộ quy tắc phức tạp để hình thành các số, xử lý chúng (các hành động đối với chúng). Các phép tính số học trong hệ thống số không có vị trí không phải là điều dễ dàng đối với người hiện đại. Chúng tôi không ghen tị với các nhà toán học La Mã cổ đại!

Ví dụ về phép cộng. Hãy thử cộng hai số: XIX + XXVI = XXXV, Nhiệm vụ này được thực hiện theo hai bước:

  1. Đầu tiên, chúng ta lấy và cộng các phân số nhỏ hơn: IX + VI = XV (I đứng sau V và I trước X chúng “tiêu diệt” lẫn nhau).
  2. Thứ hai, chúng ta cộng các phân số lớn của hai số: X + XX = XXX.

Phép trừ phức tạp hơn một chút. Số bị rút gọn phải được chia thành các phần tử thành phần của nó, sau đó phải giảm bớt các ký tự trùng lặp ở phần trừ và phần trừ. Từ số 500 chúng ta trừ 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXVIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Nhân các số La Mã. Nhân tiện, cần phải đề cập rằng người La Mã không có dấu hiệu cho các phép tính số học, họ chỉ đơn giản biểu thị chúng bằng từ ngữ.

Số nhân phải được nhân với từng ký hiệu số nhân riêng lẻ, dẫn đến một số sản phẩm cần được thêm vào. Đây là cách nhân đa thức.

Đối với phép chia, quá trình này trong hệ thống số La Mã đã và vẫn là phức tạp nhất. Bàn tính La Mã cổ đại đã được sử dụng ở đây - bàn tính. Mọi người được đào tạo đặc biệt để làm việc với nó (và không phải ai cũng có thể thành thạo một môn khoa học như vậy).

Về nhược điểm của hệ thống không định vị

Như đã đề cập ở trên, hệ thống số không có vị trí cũng có những nhược điểm và bất tiện riêng trong quá trình sử dụng. Unary đủ đơn giản cho các phép tính đơn giản, nhưng đối với các phép tính số học và phức tạp thì nó không phù hợp chút nào.

Roman không có quy tắc thống nhất để lập số lớn và tạo ra sự nhầm lẫn, đồng thời cũng rất khó thực hiện các phép tính. Ngoài ra, số nhiều nhất mà người La Mã cổ đại có thể viết ra bằng phương pháp của họ là 100.000.

Giới thiệu

Chủ đề của tiểu luận môn học “Tin học-1” là “Hệ thống số”.

Mục đích viết tóm tắt: Làm quen với khái niệm hệ thống số và phân loại; chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác.

Khái niệm về hệ thống số Hệ thống số vị trí và không vị trí

số nguyên đại số nhị phân

Hệ thống số là một hệ thống các kỹ thuật và quy tắc giúp thiết lập sự tương ứng một-một giữa bất kỳ số nào và biểu diễn của nó dưới dạng một tập hợp số hữu hạn các ký hiệu. Tập hợp các ký hiệu được sử dụng để biểu diễn này được gọi là các chữ số.

Ký hiệu:

đưa ra các biểu diễn của một tập hợp số (số nguyên và/hoặc số thực);

cung cấp cho mỗi số một biểu diễn duy nhất (hoặc ít nhất là một biểu diễn tiêu chuẩn);

phản ánh cấu trúc đại số và số học của các con số.

Hệ thống số được chia thành vị trí và không vị trí. Trong các hệ thống không có vị trí, bất kỳ số nào được định nghĩa là một hàm nào đó của các giá trị số của tập hợp các chữ số đại diện cho số này. Các chữ số trong hệ thống số không có vị trí tương ứng với các số cố định nhất định. Một ví dụ về hệ thống phi vị trí là hệ thống chữ số La Mã.

Trong lịch sử, các hệ thống số đầu tiên là các hệ thống không có vị trí. Một trong những nhược điểm chính là khó viết số lớn. Viết số lượng lớn trong các hệ thống như vậy rất cồng kềnh và bảng chữ cái của hệ thống cũng vô cùng lớn.

Các hệ thống phi vị trí không được sử dụng trong điện toán. 3

Một hệ thống số được gọi là vị trí nếu cùng một chữ số có thể mang các giá trị số khác nhau tùy thuộc vào số chữ số của chữ số này trong tập hợp các chữ số biểu thị một số cho trước. Một ví dụ về hệ thống như vậy là hệ thống số thập phân Ả Rập.

Cơ số của hệ thống số vị trí xác định tên của nó. Trong điện toán, hệ thống nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân được sử dụng.

Hiện nay, hệ thống số vị trí phổ biến hơn hệ thống số không có vị trí. Điều này là do chúng cho phép viết số lượng lớn bằng cách sử dụng số lượng ký tự tương đối nhỏ. Một ưu điểm quan trọng hơn nữa của các hệ thống định vị là sự đơn giản và dễ dàng thực hiện các phép tính số học trên các số được viết trong các hệ thống này.

Dưới đây là những ví dụ mà bạn có thể tìm thấy việc sử dụng hệ thống số vị trí:

nhị phân trong toán rời rạc, khoa học máy tính, lập trình;

số thập phân - được sử dụng ở mọi nơi;

thập nhị phân - đếm hàng chục;

thập lục phân - dùng trong lập trình, khoa học máy tính;

lục thập phân - đơn vị thời gian, đo góc và đặc biệt là tọa độ, kinh độ và vĩ độ.

TRUYỀN HÌNH. Sarapulova, I.E. trofimov

KHÔNG VỊ TRÍ VÀ HỖN HỢP
HỆ THỐNG SỐ

hướng dẫn 230700.62 “Tin học ứng dụng” làm hướng dẫn cho công việc độc lập
trong bộ môn “Hệ thống và công nghệ thông tin”

Kemerovo 2012


Người đánh giá:

1. Evgeniya Viktorovna Prokopenko, ứng viên khoa học vật lý và toán học, phó giáo sư khoa công nghệ thông tin ứng dụng.

2. Sokolov Igor Aleksandrovich, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật, Phó Giáo sư, Trưởng Bộ môn Công nghệ Thông tin Ứng dụng, Chủ tịch Ủy ban Giáo dục và Đào tạo chỉ đạo 230700.62 “Tin học ứng dụng”.

Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich. Hệ thống số hỗn hợp và không có vị trí: phương pháp. hướng dẫn công việc độc lập trong ngành “Hệ thống thông tin và công nghệ” [tài nguyên điện tử]: dành cho sinh viên trong lĩnh vực đào tạo cử nhân 230700.62 “Tin học ứng dụng” / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. - Điện tử. Đan. – Kemerovo: KuzGTU, 2012. – 1 electron. bán sỉ đĩa (CD-ROM); âm thanh ; màu sắc ; 12 cm – Hệ thống. yêu cầu: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7 ; (Ổ đĩa CD). - Mũ lưỡi trai. từ màn hình.

Các hướng dẫn này nhằm mục đích nghiên cứu độc lập các hệ thống số hỗn hợp và không có vị trí. Các hướng dẫn bao gồm một khung lý thuyết và các câu hỏi kiểm tra.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.


GIỚI THIỆU.. 4

1. HỆ SỐ KHÔNG VỊ TRÍ... 5

1.1. Hệ thống số La Mã. 6

1.2. Hệ thống lớp dư (RSS) 6

1.3. Hệ thống số Stern-Brocaw số 8

2. HỆ SỐ HỖN HỢP... 9

2.1. Hệ thống số của người Maya. 10

2.2. Hệ thống số giai thừa. 10

2.3. Hệ thống số Fibonacci. mười một


Mục đích của công việc độc lập này là nghiên cứu về các hệ thống số hỗn hợp và không có vị trí.

GIỚI THIỆU

Một trong những yêu cầu bắt buộc đối với một chuyên gia trong lĩnh vực công nghệ thông tin là kiến ​​thức về nguyên tắc làm việc với các con số. Ở giai đoạn đầu phát triển của xã hội, con người hầu như chưa biết đếm. Họ phân biệt giữa các nhóm gồm hai và ba đồ vật; bất kỳ bộ sưu tập nào chứa số lượng đối tượng lớn hơn đều được hợp nhất thành khái niệm “nhiều”. Khi đếm, đồ vật thường được so sánh với ngón tay và ngón chân. Khi nền văn minh phát triển, nhu cầu đếm của con người trở nên cần thiết. Ban đầu, các số tự nhiên được mô tả bằng một số dấu gạch ngang hoặc dấu que nhất định, sau đó các chữ cái hoặc dấu hiệu đặc biệt bắt đầu được sử dụng để mô tả chúng.

Hãy vẽ một đường thẳng giữa số và hình. Một con số là một thực thể trừu tượng nào đó để mô tả số lượng. Chữ số là ký hiệu dùng để viết số. Có nhiều con số khác nhau, phổ biến nhất là số Ả Rập, được biểu thị bằng các dấu hiệu chúng ta biết từ 0 (0) đến chín (9); Chữ số La Mã ít phổ biến hơn; đôi khi chúng ta có thể tìm thấy chúng trên mặt số đồng hồ hoặc trong ký hiệu thế kỷ (thế kỷ XIX).

Vì vậy, chúng ta hãy nhớ: con số – đây là một loại thước đo trừu tượng về số lượng, con số – đây là một dấu hiệu (hình vẽ) để viết một số.

Tất cả nhiều cách viết số bằng chữ số có thể được chia thành ba phần:

1. hệ thống số vị trí;

2. hệ thống số hỗn hợp;

3. hệ thống số không có vị trí.

Tiền giấy là một ví dụ nổi bật của hệ thống số hỗn hợp. Hiện nay ở Nga, tiền xu và tiền giấy có các mệnh giá sau được sử dụng: 1 kopeck, 5 kopeck, 10 kopeck, 50 kopeck, 1 rúp, 2 rúp, 5 rúp, 10 rúp, 50 rúp, 100 rúp, 500 rúp, 1000 rúp. . và 5000 chà. Để có được một số tiền nhất định bằng rúp, chúng ta cần sử dụng một số lượng tiền giấy nhất định có mệnh giá khác nhau. Giả sử rằng chúng ta mua một chiếc máy hút bụi có giá 6.379 rúp. Để thanh toán, chúng tôi cần sáu tờ một nghìn rúp, ba tờ một trăm rúp, một tờ năm mươi rúp, hai tờ chục, một đồng năm rúp và hai đồng xu hai rúp. Nếu chúng ta viết ra số lượng tờ tiền hoặc đồng xu bắt đầu từ 1000 rúp. và kết thúc bằng một kopeck, thay thế các mệnh giá còn thiếu bằng số 0, chúng ta được một số được biểu thị trong hệ số hỗn hợp; trong trường hợp của chúng tôi – 603121200000.

Trong hệ thống số không có vị trí, kích thước của một số không phụ thuộc vào vị trí của chữ số trong cách biểu diễn số đó. Một ví dụ nổi bật về hệ thống số không theo vị trí là hệ thống La Mã. Bất chấp tuổi đời đáng kính của nó, hệ thống này vẫn được sử dụng, mặc dù nó không được sử dụng rộng rãi.

HỆ SỐ KHÔNG VỊ TRÍ

Trong các hệ thống số không có vị trígiá trị mà một chữ số biểu thị không phụ thuộc vào vị trí của nó trong số. Trong trường hợp này, hệ thống có thể áp đặt các hạn chế về vị trí của các con số.

Từ xa xưa, con người đã sử dụng rộng rãi các hệ thống số không theo vị trí. Để đếm động vật, dân số và vật tư, nhiều chữ cái, chữ tượng hình và các hình dạng hình học khác đã được sử dụng. Theo thời gian, các hệ thống phi vị trí trở nên ít phổ biến hơn và trong thế giới hiện đại, chúng ta tìm thấy một đại diện điển hình của các hệ thống phi vị trí - hệ thống số La Mã, giống một chữ cái kỳ lạ hơn là một hệ thống thực sự hoạt động. Lý do từ bỏ hệ thống số không vị trí là sự xuất hiện của các hệ thống vị trí, cho phép sử dụng các bảng chữ cái kỹ thuật số nhỏ hơn đáng kể để chỉ định các số rất lớn và quan trọng hơn là đảm bảo thực hiện đơn giản các phép tính số học trên các số.

Hệ thống số La Mã

Ví dụ kinh điển về hệ thống số hầu như không có vị trí là hệ thống La Mã, sử dụng các chữ cái Latinh làm số:

I là viết tắt của 1, V là 5, X là 10, L là 50, C là 100, D là 500, M là 1000.

Ví dụ: II = 1 + 1 = 2, ở đây ký hiệu I là viết tắt của 1 bất kể vị trí của nó trong số.

Xin lưu ý rằng ký hiệu số 0 trong hệ thống số này, cũng như trong các hệ thống không có vị trí khác, vắng mặt là không cần thiết.

Không có thông tin đáng tin cậy về nguồn gốc của chữ số La Mã. Số V ban đầu có thể đóng vai trò là hình ảnh của một bàn tay và số X có thể được tạo thành từ hai số năm. Trong cách đánh số La Mã rõ ràng có dấu vết của hệ thống số gấp năm.

Trong thực tế, hệ thống La Mã không hoàn toàn phi vị trí, vì chữ số nhỏ hơn đứng trước chữ số lớn hơn sẽ bị trừ khỏi nó, ví dụ:

VI = 6, tức là 5 + 1, trong khi IV = 4, tức là 5 – 1;

XL = 40, tức là 50 – 10, trong khi LX = 60, tức là 50 + 10.

Số tương tự trong hệ thống La Mã được đặt không quá ba lần liên tiếp: LXX = 70; LXXX = 80; số 90 được viết là XC (không phải LXXXX).

12 số đầu tiên được viết bằng chữ số La Mã như sau: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Các số khác được viết chẳng hạn như: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Khi tự hỏi có thể viết được bao nhiêu số trong hệ thống La Mã, chúng ta nhanh chóng phát hiện ra rằng phạm vi của chúng kéo dài từ 1 (I) đến 3999 (MMMCMXCIX). Phạm vi số hẹp như vậy hạn chế nghiêm trọng việc sử dụng hệ thống trong cuộc sống hiện đại, nơi số lượng lên tới hàng triệu.

Ngày nay, hệ thống số La Mã được sử dụng để chỉ các ngày kỷ niệm, đánh số một số trang của một cuốn sách (ví dụ: các trang của lời nói đầu), các chương trong sách, khổ thơ trong thơ, v.v.


Thông tin liên quan.


Phòng thí nghiệm số 16

Hệ thống số

Phần lý thuyết

TRONG nền tảng

<10 используют n первых арабских цифр, а при n>

Căn cứ Tên Bảng chữ cái
n=2 nhị phân 0 1
n=3 ba loài 0 1 2
n=4 bậc bốn 0 1 2 3
n=5 gấp năm lần 0 1 2 3 4
n=6 gấp sáu lần 0 1 2 3 4 5
n=7 có bảy tháng 0 1 2 3 4 5 6
n=8 bát phân 0 1 2 3 4 5 6 7
n=10 số thập phân 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16 thập lục phân
Cơ số
IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40

Chúng ta hãy nhìn vào những con số:

Chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống khác

Ví dụ: Hãy chuyển đổi số 75 từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, bát phân và thập lục phân:

Trả lời: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Chuyển đổi sang hệ thập phân

Việc chuyển đổi các số nguyên từ hệ số có cơ số q (hệ không thập phân) sang hệ số thập phân được thực hiện theo quy tắc: nếu tất cả các số hạng ở dạng mở rộng của số không thập phân đều được biểu diễn trong hệ thập phân và biểu thức thu được được tính theo các quy tắc số học thập phân thì sẽ thu được một số trong hệ thập phân bằng với số đã cho. Hãy xem xét các ví dụ:

112 3 = 1 3 2 + 1 3 1 + 2 3 0 = 9 + 3 + 2 = 14 10

101101 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45 10

15FC 16= 1 16 3 + 5 16 2 + 15(F) 16 1 + 12(C) 16 0 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10

Dạng mở rộng của số

Dạng viết mở rộng của số– đây là bản ghi dưới dạng thuật ngữ chữ số được viết bằng cấp của chữ số tương ứng và cơ số của cấp.

Hãy xem xét các ví dụ:

32478 10 = 3 10000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 =

3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0

112 3 = 1·3 2 + 1·3 1 + 2·3 0

101101 2 = 1·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0

15FC 16 = 1 16 3 + 5 16 2 + 15 16 1 + 12 16 0

Phép cộng

Dễ dàng tạo bảng cộng bằng Quy tắc đếm.

Phép tính

Ví dụ 4. Trừ một từ các số 10 2, 10 8 và 10 16

Ví dụ 5. Trừ một từ các số 100 2, 100 8 và 100 16.


Ví dụ 6. Trừ số 59,75 cho số 201,25.

Trả lời: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D.8 16.

Bài kiểm tra. Hãy chuyển đổi sự khác biệt kết quả sang dạng thập phân:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Phép nhân

Khi nhân các số có nhiều chữ số trong các hệ số vị trí khác nhau, bạn có thể sử dụng thuật toán nhân các số trong một cột thông thường, tuy nhiên kết quả nhân, cộng các số có một chữ số phải mượn từ bảng nhân, bảng cộng tương ứng với hệ trong câu hỏi.

PHÂN CÔNG

Phép chia trong bất kỳ hệ thống số vị trí nào cũng được thực hiện theo các quy tắc tương tự như chia cho góc trong hệ thập phân. Trong hệ nhị phân, phép chia đặc biệt đơn giản vì chữ số tiếp theo của thương chỉ có thể bằng 0 hoặc một.
Ví dụ 9. Chia số 30 cho số 6.


Trả lời: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Ví dụ 10. Chia số 5865 cho số 115.

Bát phân: 13351 8:163 8


Trả lời: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
Bài kiểm tra.
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

Ví dụ 11. Chia số 35 cho số 14.

Bát phân: 43 8: 16 8

Trả lời: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Bài kiểm tra. Hãy chuyển đổi thương số kết quả sang dạng thập phân:

10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;

2,4 8 = 2 . 8 0 + 4 .

Hệ thống số bát phân và thập lục phân

Hệ thống nhị phân, thuận tiện cho máy tính, nhưng lại bất tiện cho con người do tính cồng kềnh và ký hiệu khác thường của nó.

Việc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân và ngược lại được thực hiện bằng máy. Tuy nhiên, để sử dụng máy tính một cách chuyên nghiệp, bạn phải học cách hiểu từ máy. Đây là lý do tại sao hệ bát phân và thập lục phân được phát triển.

Các số trong các hệ thống này hầu như dễ đọc như số thập phân; chúng yêu cầu số chữ số tương ứng ít hơn ba (bát phân) và bốn (thập lục phân) lần so với trong hệ nhị phân (xét cho cùng, các số 8 và 16 lần lượt là số lũy thừa thứ ba và thứ tư của số 2).

Ví dụ:

Ví dụ,

Làm cách nào để chuyển đổi một phần thập phân thích hợp sang bất kỳ hệ thống số vị trí nào khác?

Để chuyển đổi phân số thập phân chính xác F thành một hệ thống số có cơ số q cần thiết F nhân với q, được viết trong cùng một hệ thập phân, sau đó nhân lại phần phân số của kết quả với q, v.v., cho đến khi phần phân số của sản phẩm tiếp theo trở thành bằng 0 hoặc đạt được độ chính xác cần thiết của việc biểu thị số F V. q-ic hệ thống. Biểu diễn phần phân số của một số F trong hệ thống số mới sẽ có một chuỗi toàn bộ các phần của tác phẩm được tạo ra, được viết theo thứ tự chúng được nhận và mô tả trong một q chữ số -ary. Nếu yêu cầu dịch số chính xác F lên tới k số thập phân thì sai số tuyệt đối lớn nhất bằng q -(k+1) / 2.

Ví dụ. Hãy chuyển đổi số 0,36 từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, bát phân và thập lục phân:

Công việc thực tế.

1. Chuyển đổi số này từ hệ số thập phân sang hệ số nhị phân, bát phân, thập lục phân.

c) 712,25 (10);

d) 670,25 (10);

2. Chuyển số này sang hệ thập phân.

a) 1001110011 (2);

b) 1001000 (2);

c) 1111100111.01 (2);

d) 1010001100.101101 (2);

đ) 413.41 (8) ;

e) 118,8C (16) .

3. Cộng các số.

a) 1100001100 (2) +1100011001 (2) ;

b) 110010001 (2) +1001101 (2) ;

c) 111111111.001 (2) +1111111110.0101 (2) ;

d) 1443,1 (8) +242,44 (8) ;

e) 2B4,C (16) +EA,4 (16) .

Phòng thí nghiệm số 16

Hệ thống số

Phần lý thuyết

Hệ thống số vị trí

TRONG hệ thống số vị trí giá trị được biểu thị bằng một chữ số trong ký hiệu số phụ thuộc vào vị trí của nó. Số chữ số được sử dụng được gọi là nền tảng hệ thống số vị trí.

Hệ thống số được sử dụng trong toán học hiện đại là hệ thập phân vị trí. Cơ số của nó là 10, vì Các số được viết bằng 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bản chất vị trí của hệ thống này rất dễ hiểu khi sử dụng ví dụ về bất kỳ số có nhiều chữ số nào. Ví dụ, trong số 333, 3 số đầu tiên có nghĩa là 3 trăm, số thứ hai – 3 chục, số thứ ba – 3 đơn vị (ý nghĩa của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí mà chữ số này chiếm giữ).

Để viết các số trong hệ vị trí cơ số n, bạn cần phải có một bảng chữ cái gồm n chữ số. Thông thường vì mục đích này khi n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 chữ cái được thêm vào mười chữ số Ả Rập. Dưới đây là ví dụ về bảng chữ cái của một số hệ thống:

Căn cứ Tên Bảng chữ cái
n=2 nhị phân 0 1
n=3 ba loài 0 1 2
n=4 bậc bốn 0 1 2 3
n=5 gấp năm lần 0 1 2 3 4
n=6 gấp sáu lần 0 1 2 3 4 5
n=7 có bảy tháng 0 1 2 3 4 5 6
n=8 bát phân 0 1 2 3 4 5 6 7
n=10 số thập phân 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16 thập lục phân 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Nếu bạn cần chỉ ra cơ sở của hệ thống mà một số thuộc về, thì nó được gán chỉ số dưới cho số này: 101101 2, 3671 8, 3B8F 16

Hãy viết 17 số đầu tiên trong hệ nhị phân và số bát phân:

Cơ số

Hệ thống số không theo vị trí

Ngoài các hệ thống vị trí, còn có những hệ thống khác - hệ thống số không có vị trí, được xây dựng trên các nguyên tắc khác.

Trong hệ thống số không có vị trí, vị trí của chữ số trong ký hiệu số không phụ thuộc vào giá trị mà nó đại diện. Một ví dụ nổi tiếng về hệ thống như vậy là hệ thống La Mã (chữ số La Mã). Trong hệ thống La Mã, các chữ cái Latinh được sử dụng làm số:

Nếu một số nhỏ hơn được viết ở bên trái và số lớn hơn ở bên phải thì giá trị của chúng sẽ bị trừ:

IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40

Chúng ta hãy nhìn vào những con số:

a) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. Trong ví dụ này, số X, tham gia 3 lần, mỗi lần có giá trị như nhau - 10 đơn vị.

b) MCMXCVI = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 + 1) = 1996

Chúng ta thường thấy các chữ số La Mã ngay cả bây giờ, chẳng hạn như trên trên mặt đồng hồ, trong sách khi đánh số chương, trong ký hiệu thế kỷ. Tuy nhiên, chúng không được sử dụng trong thực hành toán học. Hệ thống vị trí thuận tiện vì chúng cho phép bạn viết số lượng lớn bằng cách sử dụng số lượng ký tự tương đối nhỏ. Một ưu điểm quan trọng hơn nữa của hệ thống vị trí là sự đơn giản và dễ dàng thực hiện các phép tính số học trên các con số. Để so sánh, hãy thử nhân hai số có ba chữ số bằng cách viết chúng bằng chữ số La Mã.