Chuyển đổi số từ ddk sang hệ nhị phân. Chuyển đổi số sang hệ nhị phân, thập lục phân, thập phân, bát phân

Lưu ý 1

Nếu bạn muốn chuyển đổi một số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, thì trước tiên bạn nên chuyển đổi nó sang hệ thống số thập phân, sau đó chỉ chuyển đổi nó từ hệ thống số thập phân sang bất kỳ hệ thống số nào khác.

Quy tắc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân

Trong công nghệ điện toán sử dụng số học máy, việc chuyển đổi các số từ hệ số này sang hệ số khác đóng vai trò quan trọng. Dưới đây chúng tôi đưa ra các quy tắc cơ bản cho các phép biến đổi (bản dịch) như vậy.

Khi chuyển đổi một số nhị phân thành số thập phân, bạn cần biểu diễn số nhị phân dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $2$, và sau đó bạn cần tính đa thức bằng cách sử dụng các quy tắc số học thập phân:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Hình 1. Bảng 1

ví dụ 1

Chuyển số $11110101_2$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $1$ của cơ số $2$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Để chuyển một số từ hệ bát phân sang hệ thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của nó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong phần này. trường hợp $8$, thì bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Hình 2. Bảng 2

Ví dụ 2

Chuyển số $75013_8$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $2$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $16$, sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Hình 3. Bảng 3

Ví dụ 3

Chuyển số $FFA2_(16)$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $3$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, số đó phải được chia tuần tự cho $2$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Một số trong hệ nhị phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi gồm kết quả cuối cùng của phép chia và phần dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 4

Chuyển số $22_(10)$ sang hệ nhị phân.

Giải pháp:

Hinh 4.

$22_{10} = 10110_2$

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang bát phân, số đó phải được chia tuần tự cho $8$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $7$. Một số trong hệ bát phân được biểu diễn dưới dạng một dãy các chữ số của phép chia cuối cùng và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 5

Chuyển số $571_(10)$ sang hệ bát phân.

Giải pháp:

Hình 5.

$571_{10} = 1073_8$

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ thập lục phân, số đó phải được chia liên tiếp cho $16$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $15$. Một số trong hệ thập lục phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các chữ số của kết quả phép chia cuối cùng và phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 6

Chuyển số $7467_(10)$ sang hệ thập lục phân.

Giải pháp:

Hình 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Để chuyển đổi một phân số thực sự từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số không thập phân, cần phải nhân tuần tự phần phân số của số được chuyển đổi với cơ số của hệ thống mà nó cần chuyển đổi. Các phân số trong hệ thống mới sẽ được thể hiện dưới dạng toàn bộ các phần của sản phẩm, bắt đầu từ phần đầu tiên.

Ví dụ: $0,3125_((10))$ trong hệ bát phân sẽ có dạng $0,24_((8))$.

Trong trường hợp này, bạn có thể gặp phải sự cố khi phân số thập phân hữu hạn có thể tương ứng với phân số vô hạn (định kỳ) trong hệ thống số không thập phân. Trong trường hợp này, số chữ số trong phân số được biểu thị trong hệ thống mới sẽ phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết. Cũng cần lưu ý rằng số nguyên vẫn là số nguyên và phân số thích hợp vẫn là phân số trong bất kỳ hệ thống số nào.

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang hệ thống số nhị phân khác

Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ bát phân thì phải chia thành các bộ ba (bộ ba chữ số), bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần thì thêm các số 0 vào bộ ba dẫn đầu, sau đó thay mỗi bộ ba bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Hình 7. Bảng 4

Ví dụ 7

Chuyển số $1001011_2$ sang hệ bát phân.

Giải pháp. Sử dụng Bảng 4, chúng tôi chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang bát phân:

$001 001 011_2 = 113_8$

Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, cần chia thành bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần, thêm số 0 vào chữ số bốn có nghĩa nhất, sau đó thay từng chữ số bốn bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Lưu ý 1

Quy tắc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Hình 1. Bảng 1

ví dụ 1

Chuyển số $11110101_2$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $1$ của cơ số $2$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Hình 2. Bảng 2

Ví dụ 2

Chuyển số $75013_8$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $2$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Hình 3. Bảng 3

Ví dụ 3

Chuyển số $FFA2_(16)$ sang hệ thập phân.

Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $3$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, số đó phải được chia tuần tự cho $2$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Một số trong hệ nhị phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi gồm kết quả cuối cùng của phép chia và phần dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 4

Chuyển số $22_(10)$ sang hệ nhị phân.

Giải pháp:

Hinh 4.

$22_{10} = 10110_2$

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang bát phân, số đó phải được chia tuần tự cho $8$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $7$. Một số trong hệ bát phân được biểu diễn dưới dạng một dãy các chữ số của phép chia cuối cùng và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 5

Chuyển số $571_(10)$ sang hệ bát phân.

Giải pháp:

Hình 5.

$571_{10} = 1073_8$

Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ thập lục phân, số đó phải được chia liên tiếp cho $16$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $15$. Một số trong hệ thập lục phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các chữ số của kết quả phép chia cuối cùng và phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ 6

Chuyển số $7467_(10)$ sang hệ thập lục phân.

Giải pháp:

Hình 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Ví dụ: $0,3125_((10))$ trong hệ bát phân sẽ có dạng $0,24_((8))$.

Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang hệ thống số nhị phân khác

Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ bát phân thì phải chia thành các bộ ba (bộ ba chữ số), bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần thì thêm các số 0 vào bộ ba dẫn đầu, sau đó thay mỗi bộ ba bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

Hình 7. Bảng 4

Ví dụ 7

Chuyển số $1001011_2$ sang hệ bát phân.

Giải pháp. Sử dụng Bảng 4, chúng tôi chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang bát phân:

$001 001 011_2 = 113_8$

Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, cần chia thành bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần, thêm số 0 vào chữ số bốn có nghĩa nhất, sau đó thay từng chữ số bốn bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.

1. Đếm thứ tự trong các hệ đếm khác nhau.

Trong cuộc sống hiện đại, chúng ta sử dụng các hệ thống số vị trí, tức là các hệ thống trong đó số được biểu thị bằng một chữ số phụ thuộc vào vị trí của chữ số trong ký hiệu của số. Vì vậy, trong tương lai chúng ta sẽ chỉ nói về họ mà bỏ qua thuật ngữ “vị trí”.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ hệ này sang hệ khác, chúng ta sẽ hiểu cách ghi tuần tự các số xảy ra bằng ví dụ về hệ thập phân.

Vì chúng ta có hệ thống số thập phân nên chúng ta có 10 ký hiệu (chữ số) để cấu tạo nên số. Chúng ta bắt đầu đếm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hết số. Chúng ta tăng độ sâu bit của số và đặt lại chữ số bậc thấp: 10. Sau đó, chúng ta lại tăng chữ số bậc thấp cho đến khi hết các chữ số: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Ta tăng chữ số bậc cao lên 1 và đặt lại chữ số bậc thấp: 20. Khi sử dụng hết chữ số cho cả hai chữ số (ta được số 99), ta lại tăng dung lượng chữ số của số đó và đặt lại chữ số hiện có: 100. Và cứ thế.

Hãy thử làm tương tự ở hệ thống thứ 2, thứ 3 và thứ 5 (chúng tôi giới thiệu ký hiệu cho hệ thống thứ 2, cho hệ thống thứ 3, v.v.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Nếu hệ thống số có cơ số lớn hơn 10 thì chúng ta sẽ phải nhập thêm các ký tự; thông lệ là nhập các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh. Ví dụ, đối với hệ thập phân, ngoài mười chữ số, chúng ta cần hai chữ cái ( và ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Chuyển đổi từ hệ thống số thập phân sang hệ thống số thập phân khác.

Để chuyển đổi một số thập phân nguyên dương sang một hệ thống số có cơ số khác, bạn cần chia số này cho cơ số. Chia thương số thu được cho cơ số một lần nữa và chia tiếp cho đến khi thương nhỏ hơn cơ số. Kết quả là, viết thương số cuối cùng và tất cả số dư vào một dòng, bắt đầu từ số cuối cùng.

Ví dụ 1. Hãy chuyển đổi số thập phân 46 sang hệ thống số nhị phân.

Ví dụ 2. Hãy chuyển số thập phân 672 sang hệ bát phân.

Ví dụ 3. Hãy chuyển đổi số thập phân 934 sang hệ thập lục phân.

3. Chuyển đổi từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân.

Để tìm hiểu cách chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống nào khác sang số thập phân, hãy phân tích ký hiệu thông thường cho số thập phân.
Ví dụ: số thập phân 325 có 5 đơn vị, 2 chục và 3 trăm, tức là

Tình hình hoàn toàn giống nhau trong các hệ thống số khác, chỉ có điều chúng ta sẽ nhân không phải với 10, 100, v.v. mà với lũy thừa của cơ số của hệ thống số. Ví dụ: hãy lấy số 1201 trong hệ thống số ba. Hãy đánh số các chữ số từ phải sang trái bắt đầu từ 0 và tưởng tượng số của chúng ta là tổng của tích của một chữ số và ba lũy thừa của chữ số của số đó:

Đây là ký hiệu thập phân của số của chúng tôi, tức là

Ví dụ 4. Hãy chuyển đổi số bát phân 511 sang hệ thống số thập phân.

Ví dụ 5. Hãy chuyển đổi số thập lục phân 1151 sang hệ thống số thập phân.

4. Chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ có cơ số “lũy thừa hai” (4, 8, 16, v.v.).

Để chuyển một số nhị phân thành số có lũy thừa hai cơ số, cần chia dãy nhị phân thành các nhóm theo số chữ số lũy thừa từ phải sang trái và thay mỗi nhóm bằng chữ số tương ứng của số mới. hệ thống số.

Ví dụ: Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 sang hệ bát phân. Để làm điều này, chúng ta sẽ chia nó thành các nhóm gồm 3 ký tự bắt đầu từ bên phải (kể từ ), sau đó sử dụng bảng tương ứng và thay thế mỗi nhóm bằng một số mới:

Chúng ta đã học cách xây dựng bảng tương ứng ở bước 1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Những thứ kia.

Ví dụ 6. Hãy chuyển đổi số nhị phân 1100001111010110 thành thập lục phân.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	MỘT
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Chuyển đổi từ một hệ thống có “sức mạnh của hai” cơ bản (4, 8, 16, v.v.) sang hệ nhị phân.

Bản dịch này tương tự như bản dịch trước, được thực hiện theo hướng ngược lại: chúng ta thay thế mỗi chữ số bằng một nhóm chữ số trong hệ nhị phân từ bảng tương ứng.

Ví dụ 7. Hãy chuyển đổi số thập lục phân C3A6 sang hệ thống số nhị phân.

Để thực hiện việc này, hãy thay thế từng chữ số của số bằng một nhóm gồm 4 chữ số (vì ) từ bảng tương ứng, bổ sung cho nhóm các số 0 ở đầu nếu cần:

Trong một trong những tài liệu của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét định nghĩa. Nó có bảng chữ cái ngắn nhất. Chỉ có hai chữ số: 0 và 1. Ví dụ về bảng chữ cái của hệ thống số vị trí được đưa ra trong bảng.

Hệ thống số vị trí

Tên hệ thống	Căn cứ	Bảng chữ cái
nhị phân
Chúa Ba Ngôi
Đệ tứ
gấp năm lần
bát phân
Số thập phân		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
thập nhị phân		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
thập lục phân		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Ba mươi sáu		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Để chuyển đổi một số nhỏ từ thập phân sang nhị phân và ngược lại, tốt hơn nên sử dụng bảng sau.

Bảng chuyển đổi số thập phân từ 0 đến 20 sang hệ nhị phân.

số thập phân con số	Số nhị phân	số thập phân con số	Số nhị phân

Tuy nhiên, bảng sẽ rất lớn nếu bạn viết tất cả các số vào đó. Việc tìm đúng số trong số đó sẽ khó khăn hơn. Việc ghi nhớ một số thuật toán để chuyển đổi số từ hệ thống số vị trí này sang hệ thống số vị trí khác sẽ dễ dàng hơn nhiều.

Làm thế nào để chuyển đổi từ hệ thống số này sang hệ thống số khác? Trong khoa học máy tính, có một số cách đơn giản để chuyển đổi số thập phân thành số nhị phân. Chúng ta hãy nhìn vào hai trong số họ.

Phương pháp số 1.

Giả sử bạn cần chuyển đổi một số 637 hệ thập phân sang hệ nhị phân.

Điều này được thực hiện như sau: lũy thừa cực đại của hai được tìm sao cho hai trong lũy thừa này nhỏ hơn hoặc bằng số ban đầu.

Trong trường hợp của chúng tôi là 9, bởi vì 2 9 =512 , MỘT 2 10 =1024 , lớn hơn số bắt đầu của chúng tôi. Như vậy, chúng ta đã nhận được số chữ số của kết quả. Nó bằng 9+1=10. Điều này có nghĩa là kết quả sẽ có dạng 1ххххххххх, trong đó x có thể được thay thế bằng 1 hoặc 0.

Hãy tìm chữ số thứ hai của kết quả. Hãy nâng hai lên lũy thừa 9 và trừ đi số ban đầu: 637-2 9 =125. Sau đó so sánh với số 2 8 =256 . Vì 125 nhỏ hơn 256 nên chữ số thứ chín sẽ là 0, tức là kết quả sẽ có dạng 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , có nghĩa là chữ số thứ tám cũng sẽ bằng 0.

2 6 =64 , thì chữ số thứ bảy bằng 1. 125-64=61 Như vậy, chúng ta đã nhận được bốn chữ số cao cấp và số này sẽ có dạng 10011ххххх.

2 5 =32 và chúng ta thấy điều đó 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - chữ số thứ năm 1 => 1001111xxx. Số dư 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, dư 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, dư 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Đây sẽ là kết quả cuối cùng.

Phương pháp số 2.

Quy tắc chuyển đổi số thập phân nguyên sang hệ thống số nhị phân nêu rõ:

Hãy chia a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 x 2.
Tỉ số sẽ bằng an−1⋅2n−2+...+a1, số dư sẽ bằng
Chúng ta lại chia thương số thu được cho 2, phần dư của phép chia sẽ bằng a1.
Nếu chúng ta tiếp tục quá trình chia này thì ở bước thứ n chúng ta sẽ nhận được một bộ số: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1, được bao gồm trong biểu diễn nhị phân của số ban đầu và trùng với số dư khi nó được chia tuần tự cho 2.
Do đó, để chuyển đổi một số thập phân nguyên sang hệ số nhị phân, bạn cần chia tuần tự số đã cho và thương số nguyên thu được cho 2 cho đến khi được thương số bằng 0.

Số gốc trong hệ thống số nhị phân được biên soạn bằng cách ghi tuần tự các số dư thu được. Chúng tôi bắt đầu ghi lại nó với cái cuối cùng được tìm thấy.

Hãy chuyển đổi số thập phân 11 vào hệ thống số nhị phân. Chuỗi hành động được thảo luận ở trên (thuật toán dịch) có thể được mô tả như sau:

Lấy 11 10 =1011 2 .