Thực đơn
trang chủAndroid

Tìm phần bù đại số của a23 nếu biết ma trận. Phần bù đại số

MinorM ij yếu tố một ij bản ngã N -thứ tự được gọi là định thức thứ tự ( n-1 ), thu được từ định thức cho trước bằng cách gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử này ( Tôi -dòng thứ và j cột thứ).

Phần bù đại số yếu tố một ij được cho bởi biểu thức:

Các yếu tố quyết định trật tự N>3 được tính bằng cách sử dụng định lý về việc khai triển định thức thành các phần tử của một hàng hoặc cột:

Định lý.Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của một hàng hoặc một cột bất kỳ bằng các phần bù đại số tương ứng với các phần tử này, tức là

Ví dụ.

Tính định thức bằng cách phân tách nó thành các phần tử của một hàng hoặc cột:

Giải pháp

1. Nếu trong một hàng hoặc một cột bất kỳ chỉ có một phần tử khác 0 thì không cần phải biến đổi định thức. Mặt khác, trước khi áp dụng định lý về phân rã định thức, chúng ta biến đổi nó bằng tính chất sau: nếu chúng ta thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột khác), nhân với một hệ số tùy ý, thì giá trị của định thức sẽ không thay đổi.

Từ các phần tử của dòng 3 ta trừ đi các phần tử tương ứng của dòng 2.

Từ các phần tử ở cột 4 trừ đi các phần tử tương ứng ở cột 3 rồi nhân với 2.

Chúng tôi mở rộng định thức thành các phần tử của hàng thứ ba

2. Định thức bậc 3 thu được có thể được tính bằng quy tắc tam giác hoặc quy tắc Sarrus (xem ở trên). Tuy nhiên, các phần tử của định thức có số lượng khá lớn nên trước tiên chúng ta hãy mở rộng định thức bằng cách biến đổi nó:

Từ các phần tử của dòng thứ hai, trừ đi các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với 3.

Từ các phần tử của dòng đầu tiên, chúng ta trừ đi các phần tử tương ứng của dòng thứ ba.

Đối với các phần tử của dòng 1, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng 2

Định thức hàng 0 là 0.

Vì vậy, các yếu tố xác định thứ tự N>3 được tính toán:

· Chuyển định thức sang dạng tam giác bằng cách sử dụng tính chất của định thức;

· phân tách định thức thành các số hạng hoặc phần tử cột, do đó làm giảm thứ tự của nó.

Xếp hạng ma trận.

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất đòi hỏi phải tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính.

Hãy lấy ma trận MỘT đặt hàng P x N . Cho phép k - một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất P Và N , đó là,

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận MỘT được gọi là định thức của ma trận vuông cấp k x k , bao gồm các phần tử ma trận MỘT , được chọn trước k dòng và k cột và cách sắp xếp các phần tử ma trận MỘT được lưu.

Hãy xem xét ma trận:

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận MỘT , thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với det(-4)=-4 bậc một. Nói cách khác, để có được thứ này, chúng ta đã xóa các hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư khỏi ma trận. MỘT , và từ phần tử còn lại chúng tạo thành định thức.

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai
.

Một phần nhỏ khác của bậc hai của ma trận MỘT là thứ yếu

Tương tự, có thể tìm được số thứ cấp bậc ba của ma trận MỘT . Vì trong ma trận MỘT Chỉ có ba dòng, sau đó chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được một cột thứ ba:

Một thứ tự thứ ba khác là:

Đối với một ma trận nhất định MỘT không có thứ bậc thứ ba nào cao hơn thứ ba, vì

Có bao nhiêu trẻ vị thành niên? k -Ồ thứ tự ma trận MỘTđặt hàng P x N ? Khá nhiều!

Số lượng trẻ vị thành niên đặt hàng k có thể được tính bằng công thức:

Xếp hạng ma trậnđược gọi là cấp cao nhất của cấp số khác 0 của ma trận.

Xếp hạng ma trận MỘT ký hiệu là xếp hạng (A). Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên . Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận MỘT đặt hàng P x N .

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các phần tử bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử cấp hai khác 0 thì ta tiến hành liệt kê các phần tử cấp ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý hạng của ma trận không được vượt quá số nhỏ nhất P Và N .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận
.

Giải pháp.

1. Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

2. Một trong những trẻ vị thành niên cấp hai
khác 0, do đó hạng của ma trận MỘT ít nhất là hai.

3. Trẻ vị thành niên cấp ba

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

hạng(A) = 2.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh . Sử dụng phương pháp này, việc tính toán có phần giảm bớt nhưng vẫn còn khá cồng kềnh.

Có một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận - sử dụng các phép biến đổi cơ bản (phương pháp Gaussian).

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là tiểu học :

· sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;

· nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số tùy ý k, khác 0;

· cộng vào các phần tử của hàng (cột) bất kỳ các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số tùy ý k.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, Nếu như TRONG có nguồn gốc từ MỘT sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được biểu thị bằng ký hiệu « ~ » , nghĩa là, được viết A~B.

Việc tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên phát biểu: nếu ma trận TRONG thu được từ ma trận MỘT bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, thì r ang(A) = rang(B) , I E. cấp của các ma trận tương đương bằng nhau .

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản là quy ma trận, thứ hạng mà chúng ta cần tìm, thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Ví dụ.

Dùng phương pháp biến đổi cơ bản, tìm hạng của ma trận

.

Giải pháp.

1. Hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận MỘT , vì phần tử một 11 = 0, và phần tử 21 khác không:

~

Trong ma trận kết quả, phần tử bằng một. Nếu không, bạn phải nhân các phần tử của hàng đầu tiên với . Hãy đặt tất cả các phần tử của cột đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên, bằng 0. Ở dòng thứ hai đã có số 0, đến dòng thứ ba chúng ta thêm số đầu tiên, nhân với 2:


Phần tử trong ma trận kết quả khác 0. Nhân các phần tử của hàng thứ hai với

Cột thứ hai của ma trận kết quả có dạng mong muốn, vì phần tử đã bằng 0.

Bởi vì , MỘT , sau đó hoán đổi cột thứ ba và thứ tư rồi nhân hàng thứ ba của ma trận kết quả với:

Ma trận ban đầu được rút gọn thành hình thang, hạng của nó bằng số hàng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Có ba hàng như vậy nên hạng của ma trận gốc là ba. r ang(A)=3.


Ma trận nghịch đảo.

Chúng ta hãy có một ma trận MỘT .

Ma trận nghịch đảo của ma trận A , được gọi là ma trận A-1 như vậy mà A -1 A = A A -1 = E .

Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông. Hơn nữa, bản thân nó có cùng chiều với ma trận ban đầu.

Để ma trận vuông có ma trận nghịch đảo, nó phải không số ít (tức là Δ ≠0 ). Điều kiện này cũng đủ để tồn tại A-1 đến ma trận MỘT . Vì vậy, mọi ma trận không số ít đều có một ma trận nghịch đảo và hơn nữa là một ma trận duy nhất.

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo sử dụng ví dụ về ma trận MỘT :

1. Tìm định thức của ma trận. Nếu như Δ ≠0 , thì ma trận A-1 tồn tại.

2. Tạo ma trận B gồm các phép cộng đại số các phần tử của ma trận ban đầu MỘT . Những thứ kia. trong ma trận TRONG yếu tố Tôi - ồ dòng và j - cột thứ sẽ là phần bù đại số A ij yếu tố một ij ma trận gốc.

3. Chuyển vị ma trận TRONG và chúng tôi nhận được B t .

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách nhân ma trận thu được B t mỗi số .

Ví dụ.

Với một ma trận đã cho, hãy tìm nghịch đảo và kiểm tra:

Giải pháp

Hãy sử dụng thuật toán được mô tả trước đó để tìm ma trận nghịch đảo.

1. Để tìm ra sự tồn tại của ma trận nghịch đảo, cần tính định thức của ma trận này. Hãy sử dụng quy tắc tam giác:

Ma trận không phải là số ít nên nó khả nghịch.

Hãy tìm phần bù đại số của tất cả các phần tử ma trận:



Từ các phép cộng đại số tìm được, ma trận được biên soạn:

và được chuyển đổi

Chia từng phần tử của ma trận kết quả cho định thức của nó, chúng ta thu được ma trận nghịch đảo với ma trận ban đầu:

Việc kiểm tra được thực hiện bằng cách nhân ma trận kết quả với ma trận ban đầu. Nếu tìm đúng ma trận nghịch đảo thì kết quả của phép nhân là ma trận đẳng thức.

Để tìm ma trận nghịch đảo cho một ma trận nhất định, bạn có thể sử dụng phương pháp Gaussian (tất nhiên, trước tiên bạn phải đảm bảo rằng ma trận nghịch đảo), tôi để công việc độc lập.


©2015-2019 trang web
Tất cả các quyền thuộc về tác giả của họ. Trang web này không yêu cầu quyền tác giả nhưng cung cấp quyền sử dụng miễn phí.
Ngày tạo trang: 2017-10-12

    Phần bù đại số- khái niệm đại số ma trận; liên quan đến phần tử aij của ma trận vuông A được hình thành bằng cách nhân phần tử thứ của phần tử aij với (1)i+j; được ký hiệu là Аij: Aij=(1)i+jMij, trong đó Mij là phần tử thứ của phần tử aij của ma trận A=, tức là. bản ngã... ... Từ điển toán kinh tế

    phần bù đại số- Khái niệm đại số ma trận; liên quan đến phần tử aij của ma trận vuông A được hình thành bằng cách nhân phần tử thứ của phần tử aij với (1)i+j; được ký hiệu là Аij: Aij=(1)i+jMij, trong đó Mij là phần tử thứ của phần tử aij của ma trận A=, tức là. định thức ma trận,... ... Hướng dẫn dịch thuật kỹ thuật

    Phần bù đại số- xem nghệ thuật. Bản ngã... Bách khoa toàn thư vĩ đại của Liên Xô

    BỘ PHẬN ĐẠI SỐ- đối với M thứ là số bằng trong đó M là số thứ tự k, nằm trong các hàng chứa số và cột chứa các số của một ma trận vuông A nào đó có cấp n; định thức của ma trận cấp n k thu được từ ma trận A bằng cách xóa các hàng và cột của M thứ;... ... Bách khoa toàn thư toán học

    Phép cộng- Wiktionary có mục "bổ sung" Bổ sung có thể có nghĩa là... Wikipedia

    PHÉP CỘNG- một thao tác đặt một tập con của một tập X đã cho tương ứng với một tập con khác sao cho nếu biết Mi N thì tập X có thể được khôi phục bằng cách này hay cách khác. Tùy thuộc vào cấu trúc mà tập X được ban tặng,. .. ... Bách khoa toàn thư toán học

    BẢN NGÃ- hoặc định thức, trong toán học, ghi các số dưới dạng bảng vuông, tương ứng với một số khác (giá trị của định thức) được đặt. Rất thường xuyên, khái niệm định thức có nghĩa là cả ý nghĩa của định thức và hình thức ghi lại nó.… … Bách khoa toàn thư của Collier

    Định lý Laplace- Về một định lý từ lý thuyết xác suất, xem bài Định lý địa phương của Moivre-Laplace. Định lý Laplace là một trong những định lý của đại số tuyến tính. Được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Pierre Simon Laplace (1749 1827), người được cho là đã xây dựng ... ... Wikipedia

    Ma trận Kirchhoff- (Ma trận Laplacian) một trong các biểu diễn của đồ thị sử dụng ma trận. Ma trận Kirchhoff được dùng để đếm các cây khung của một đồ thị cho trước (định lý cây ma trận) và cũng được dùng trong lý thuyết đồ thị phổ. Mục lục 1... ...Wikipedia

    PHƯƠNG TIỆN- Phương trình là mối quan hệ toán học biểu diễn sự bằng nhau của hai biểu thức đại số. Nếu một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị chấp nhận được nào của ẩn số có trong nó, thì nó được gọi là danh tính; ví dụ, một tỷ lệ có dạng... ... Bách khoa toàn thư của Collier

Sách

  • Toán rời rạc, A. V. Chashkin. 352 trang. Sách giáo khoa gồm 17 chương về các phần chính của toán học rời rạc: giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, hàm Boolean, độ phức tạp tính toán và lý thuyết mã hóa. Chứa...

định thức bởi các phần tử của một hàng hoặc cột

Các tính chất khác liên quan đến khái niệm phần bù thứ và phần bù đại số

Sự định nghĩa. Người vị thành niên phần tử được gọi là định thức gồm các phần tử còn lại sau khi bị gạch bỏTôi-th cống vàjcột thứ tại giao điểm của phần tử này. Yếu tố thứ yếu của định thức N-thứ tự có thứ tự ( N- 1). Chúng ta sẽ ký hiệu nó bằng .

Ví dụ 1. Cho phép , Sau đó .

Phần nhỏ này có được từ A bằng cách gạch bỏ hàng thứ hai và cột thứ ba.

Sự định nghĩa. Phần bù đại số phần tử được gọi là phần tử thứ tương ứng, nhân với nat.e , Ở đâuTôi–số dòng vàj-cột tại giao điểm của phần tử này.

V.ІІІ. (Phân tích định thức thành các phần tử của một chuỗi nhất định). Định thức bằng tổng tích các phần tử của một hàng nhất định và phần bù đại số tương ứng của chúng.

.

Ví dụ 2. Vậy thì cứ để vậy đi

.

Ví dụ 3. Hãy tìm định thức của ma trận bằng cách khai triển nó thành các phần tử của hàng đầu tiên.

Về mặt hình thức, định lý này và các tính chất khác của định thức chỉ có thể áp dụng cho định thức của ma trận cấp không lớn hơn cấp ba, vì chúng ta chưa xem xét các định thức khác. Định nghĩa sau đây sẽ cho phép chúng ta mở rộng các tính chất này cho các định thức có cấp bất kỳ.

Sự định nghĩa. Bản ngã ma trận MỘT Bậc thứ n là số được tính bằng cách áp dụng tuần tự định lý khai triển và các tính chất khác của định thức.

Bạn có thể kiểm tra xem kết quả của các phép tính không phụ thuộc vào thứ tự áp dụng các thuộc tính trên cũng như cho hàng và cột nào. Sử dụng định nghĩa này, định thức được tìm thấy duy nhất.

Mặc dù định nghĩa này không chứa một công thức rõ ràng để tìm định thức, nhưng nó cho phép người ta tìm định thức đó bằng cách quy giản nó thành định thức của ma trận cấp thấp hơn. Những định nghĩa như vậy được gọi là tái phát.

Ví dụ 4. Tính định thức: .

Mặc dù định lý nhân tử hóa có thể được áp dụng cho bất kỳ hàng hoặc cột nào của một ma trận nhất định, nhưng sẽ thu được ít phép tính hơn nếu phân tích nhân tử dọc theo cột chứa càng nhiều số 0 càng tốt.

Vì ma trận không có phần tử bằng 0 nên chúng ta thu được chúng bằng tính chất 7). Nhân tuần tự dòng đầu tiên với các số (–5), (–3) và (–2) rồi cộng vào dòng thứ 2, 3, 4 và được:

Hãy khai triển định thức kết quả dọc theo cột đầu tiên và nhận được:

(ta lấy (–4) ở dòng thứ 1, (–2) ở dòng thứ 2, (–1) ở dòng thứ 3 theo tính chất 4)

(vì định thức chứa hai cột tỉ lệ).

§ 1.3. Một số loại ma trận và định thức của chúng

Sự định nghĩa. vuông m một ma trận không có phần tử nào ở dưới hoặc trên đường chéo chính(=0 lúc Tôij, hoặc = 0 tại Tôij) gọi điệnhình tam giác .

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm về phần bù đại số và phần phụ. Việc trình bày tài liệu dựa trên các thuật ngữ được giải thích trong chủ đề "Ma trận. Các loại ma trận. Thuật ngữ cơ bản". Chúng ta cũng sẽ cần một số công thức để tính định thức. Vì chủ đề này chứa rất nhiều thuật ngữ liên quan đến phần bù thứ và đại số nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.

$M_(ij)$ thứ của phần tử $a_(ij)$

$M_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ ma trận $A_(n\times n)$ đặt tên cho định thức của ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j (tức là hàng và cột tại giao điểm trong đó phần tử nằm ở vị trí $a_(ij)$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc 4: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$. Hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(32)$, tức là hãy tìm $M_(32)$. Đầu tiên, hãy viết $M_(32)$ nhỏ rồi tính giá trị của nó. Để soạn $M_(32)$, chúng ta xóa hàng thứ ba và cột thứ hai khỏi ma trận $A$ (chính tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai mà phần tử $a_(32)$ nằm ). Chúng ta sẽ thu được một ma trận mới, định thức của ma trận này là cần số $M_(32)$:

Phần nhỏ này dễ dàng tính toán bằng công thức số 2 từ chủ đề tính toán:

$$ M_(32)=\left| \begin(mảng) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(mảng) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(32)$ là 579, tức là $M_(32)=579$.

Thông thường, thay vì cụm từ “phần tử ma trận thứ yếu” trong tài liệu, người ta lại tìm thấy “yếu tố thứ yếu xác định”. Bản chất vẫn giữ nguyên: để thu được phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$, bạn cần gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j khỏi định thức ban đầu. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức mới, là định thức thứ của phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(12)$ của định thức $\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(mảng) \right|$. Để viết ra $M_(12)$ thứ cần thiết, chúng ta cần xóa hàng đầu tiên và cột thứ hai khỏi định thức đã cho:

Để tìm giá trị của phần này, chúng ta sử dụng công thức số 1 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M_(12)=\left| \begin(mảng) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(mảng) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(12)$ là 83, tức là $M_(12)=83$.

Phần bù đại số $A_(ij)$ của phần tử $a_(ij)$

Cho một ma trận vuông $A_(n\times n)$ (tức là một ma trận vuông cấp n).

Phần bù đại số$A_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ của ma trận $A_(n\times n)$ được tìm thấy theo công thức sau: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

trong đó $M_(ij)$ là phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$.

Chúng ta hãy tìm phần bù đại số của phần tử $a_(32)$ của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, tức là hãy tìm $A_(32)$. Trước đây chúng tôi đã tìm thấy $M_(32)=579$ nhỏ, vì vậy chúng tôi sử dụng kết quả thu được:

Thông thường, khi tìm phần bù đại số, phần bù nhỏ không được tính riêng mà chỉ sau đó phần bù đó mới được tính. Ghi chú nhỏ bị bỏ qua. Ví dụ: hãy tìm $A_(12)$ nếu $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end ( mảng) \right)$. Theo công thức $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Tuy nhiên, để có được $M_(12)$ chỉ cần gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ hai của ma trận $A$ là đủ, vậy tại sao lại đưa ra một ký hiệu bổ sung cho số thứ? Chúng ta hãy viết ngay biểu thức của phần bù đại số $A_(12)$:

Thứ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$

Nếu ở hai đoạn trước chúng ta chỉ nói về ma trận vuông thì ở đây chúng ta cũng sẽ nói về ma trận hình chữ nhật, trong đó số hàng không nhất thiết phải bằng số cột. Vì vậy, hãy cho ma trận $A_(m\times n)$, tức là. một ma trận gồm m hàng và n cột.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận $A_(m\times n)$ là định thức có các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột của ma trận $A$ (giả sử $k< m$ và $k< n$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ và viết ra cái gì -hoặc thứ ba nhỏ. Để viết số thứ ba bậc ba, chúng ta cần chọn ba hàng và ba cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ: lấy các hàng được đánh số 2, 4, 6 và các cột được đánh số 1, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ đặt các phần tử của phần tử phụ được yêu cầu. Trong hình, các phần tử phụ được hiển thị bằng màu xanh lam:

Thứ tự thứ nhất được tìm thấy ở giao điểm của một hàng và một cột, tức là. cấp số thứ nhất bằng các phần tử của ma trận đã cho.

Bậc thứ k của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ được gọi chủ yếu, nếu trên đường chéo chính của một phần tử cho trước chỉ có các phần tử đường chéo chính của ma trận $A$.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phần tử đường chéo chính là các phần tử của ma trận có chỉ số bằng nhau: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$, v.v. Ví dụ: đối với ma trận $A$ được xem xét ở trên, các phần tử như vậy sẽ là $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8 đô la. Chúng được đánh dấu bằng màu hồng trong hình:

Ví dụ: nếu trong ma trận $A$ chúng ta gạch bỏ các hàng và cột được đánh số 1 và 3, thì tại giao điểm của chúng sẽ có các phần tử cấp hai, trên đường chéo chính sẽ chỉ có các phần tử đường chéo của ma trận $A$ (các phần tử $a_(11) =-1$ và $a_(33)=18$ của ma trận $A$). Do đó, chúng ta có được một thứ chính thứ hai:

Đương nhiên, chúng ta có thể lấy các hàng và cột khác, chẳng hạn như số 2 và 4, từ đó thu được một thứ chính khác của thứ tự thứ hai.

Giả sử một số $M$ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$ không bằng 0, tức là. $M\neq 0$. Trong trường hợp này, tất cả các trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn k đều bằng 0. Khi đó $M$ nhỏ được gọi nền tảng, và các hàng và cột chứa các phần tử của phần tử cơ bản được gọi là chuỗi cơ sở Và cột cơ sở.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Chúng ta hãy viết số thứ của ma trận này, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của các hàng đánh số 1, 2, 3 và các cột đánh số 1, 3, 4. Ta được một số thứ ba:

Chúng ta hãy tìm giá trị của thứ này bằng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M=\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(mảng) \right|=4+3+6-2=11. $$

Vì vậy, $M=11\neq 0$. Bây giờ chúng ta hãy thử soạn bất kỳ trẻ vị thành niên nào có thứ tự cao hơn ba. Để tạo thứ bậc bốn, chúng ta phải sử dụng hàng thứ tư, nhưng tất cả các phần tử của hàng này đều bằng 0. Do đó, bất kỳ trẻ vị thành niên bậc bốn nào cũng sẽ có một hàng bằng 0, có nghĩa là tất cả các trẻ vị thành niên bậc bốn đều bằng 0. Chúng ta không thể tạo cấp thứ năm trở lên vì ma trận $A$ chỉ có 4 hàng.

Chúng tôi đã tìm thấy cấp độ thứ ba không bằng 0. Trong trường hợp này, tất cả các số thứ cấp cao hơn đều bằng 0, do đó, số thứ mà chúng ta đang xem xét là cơ bản. Các hàng của ma trận $A$ chứa các phần tử của phần tử thứ này (hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba) là các hàng cơ bản và các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư của ma trận $A$ là các cột cơ bản.

Tất nhiên, ví dụ này không quan trọng vì mục đích của nó là thể hiện rõ ràng bản chất của thể thứ cơ bản. Nói chung, có thể có một số trẻ vị thành niên cơ bản và thông thường quá trình tìm kiếm trẻ vị thành niên như vậy phức tạp và sâu rộng hơn nhiều.

Hãy giới thiệu một khái niệm khác - giáp ranh.

Cho bậc thứ k $M$ của ma trận $A_(m\times n)$ nằm ở giao điểm của k hàng và k cột. Hãy thêm một hàng và cột khác vào tập hợp các hàng và cột này. Cấp thứ (k+1)th kết quả được gọi là cạnh nhỏ với giá $M$ nhỏ.

Ví dụ: chúng ta hãy nhìn vào ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (mảng) \right)$. Hãy viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2 và số 5, cũng như cột số 2 và số 4.

Hãy thêm một hàng số 1 khác vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ phụ và cột số 5 vào tập hợp các cột. Chúng ta thu được một $M"$ thứ mới (đã thuộc bậc thứ ba), các phần tử của nó nằm ở giao điểm của các hàng số 1, số 2, số 5 và cột số 2, số 4, số 5. Các phần tử của $M$ thứ trong hình được đánh dấu bằng màu hồng và Các phần tử chúng ta thêm vào $M$ thứ có màu xanh lục:

$M"$ thứ là thứ tiếp giáp với $M$ thứ. Tương tự, thêm hàng số 4 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ thứ và cột số 3 vào tập hợp các các cột, chúng ta thu được $M""$ thứ (bậc thứ ba):

Âm thứ $M""$ cũng là âm thứ giáp với $M$ thứ.

Thứ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Bổ sung trẻ vị thành niên. Phần bù đại số của ma trận vuông.

Hãy quay trở lại ma trận vuông một lần nữa. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một trẻ vị thành niên bổ sung.

Cho một số $M$ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Định thức bậc (n-k), các phần tử của nó thu được từ ma trận $A$ sau khi xóa các hàng và cột chứa $M$ thứ, được gọi là định thức thứ, bổ sung cho thứ yếu$M$.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc năm: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Hãy chọn hàng số 1 và số 3, cũng như cột số 2 và số 5. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có các phần tử $M$ thứ hai:

Bây giờ, hãy xóa khỏi ma trận $A$ hàng số 1, số 3 và cột số 2 và số 5, tại giao điểm của chúng có các phần tử của $M$ phụ (các hàng và cột bị loại bỏ được hiển thị trong màu đỏ trong hình dưới đây). Các phần tử còn lại tạo thành $M"$ thứ:

$M"$ thứ, có thứ tự là $5-2=3$, là thứ bổ sung cho $M$ thứ.

Phần bù đại số cho trẻ vị thành niên$M$ của ma trận vuông $A_(n\times n)$ được gọi là biểu thức $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, trong đó $\alpha$ là tổng của số hàng và số cột của ma trận $A$, trên đó chứa các phần tử của $M$ thứ, và $M"$ là phần phụ của $M$ thứ.

Cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ” thường được thay thế bằng cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ”.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận $A$, trong đó chúng ta đã tìm thấy ma trận cấp hai $ M=\left| \begin(mảng) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ và thứ thứ ba bổ sung của nó: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (mảng) \right|$ Hãy ký hiệu phần bù đại số của $M$ thứ là $M^*$ Khi đó, theo định nghĩa:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Tham số $\alpha$ bằng tổng số hàng và số cột chứa $M$ phụ. Tiểu khu này nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3 và cột số 2, số 5. Do đó, $\alpha=1+3+2+5=11$. Vì thế:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$

Về nguyên tắc, sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba, bạn có thể hoàn thành phép tính, thu được giá trị $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin(mảng) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(mảng) \right|=-30. $$

Sự định nghĩa. Nếu trong định thức bậc n ta chọn tùy ý k hàng và k cột thì các phần tử giao nhau giữa các hàng và cột này tạo thành ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông như vậy được gọi là bậc thứ k .

Ký hiệu là Mk. Nếu k=1 thì bậc thứ nhất là một phần tử của định thức.

Các phần tử tại giao điểm của (n-k) hàng và (n-k) cột còn lại tạo thành một ma trận vuông có cấp độ (n-k). Định thức của ma trận như vậy được gọi là thứ yếu, thêm vàođến trẻ vị thành niên M k . Ký hiệu là Mn-k.

Phần bù đại số của M k thứ chúng ta sẽ gọi nó là một số phụ bổ sung, được ký hiệu bằng dấu “+” hoặc “-”, tùy thuộc vào tổng số của tất cả các hàng và cột chứa M k phụ là chẵn hay lẻ.

Nếu k=1 thì phần bù đại số của phần tử một ý kiến tính theo công thức

MỘT ik =(-1) i+k M tôi,ở đâu M tôi- thứ tự nhỏ (n-1).

Định lý. Tích của bậc thứ k và phần bù đại số của nó bằng tổng của một số số hạng nhất định của định thức D n.

Bằng chứng

1. Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Cho M k thứ chiếm góc trên bên trái của định thức, tức là nằm trên các dòng đánh số 1, 2, ..., k thì M n-k thứ sẽ chiếm các dòng k+1, k+2, ... , N.

Chúng ta hãy tính phần bù đại số của M k thứ. A-tu viện,

MỘT n-k =(-1) s M n-k, trong đó s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), thì

(-1) giây=1 và A n-k = M n-k. Chúng tôi nhận được

M k MỘT n-k = M k M n-k. (*)

Chúng ta lấy một số hạng tùy ý của M k thứ

, (1)

trong đó s là số lần đảo ngược trong sự thay thế

và một số hạng tùy ý M n-k

trong đó s * là số lần đảo ngược trong thay thế

(4)

Nhân (1) và (3), ta được

Tích gồm n phần tử nằm ở các hàng và cột khác nhau của định thức D. Do đó, tích này là thành phần của định thức D. Dấu của tích (5) được xác định bằng tổng các nghịch đảo của các phép thay thế (2) và (4), còn dấu của tích tương tự trong định thức D được xác định bằng số nghịch đảo s k trong phép thế

Rõ ràng là s k =s+s * .

Do đó, trở về đẳng thức (*), ta thu được tích M k MỘT n-k chỉ bao gồm các số hạng của định thức.

2. Đặt M nhỏ k nằm trong hàng có số tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và trong các cột có số j 1, j 2, ..., j k, Và tôi 1< i 2 < ...< i k Và j 1< j 2 < ...< j k .

Sử dụng tính chất của định thức, sử dụng chuyển vị, chúng ta sẽ di chuyển số thứ sang góc trên bên trái. Chúng ta thu được định thức D ¢, trong đó M thứ k chiếm góc trên bên trái và M¢ phụ bổ sung n-k là góc dưới bên phải thì theo chứng minh ở điểm 1, ta thu được tích M k M¢ n-k là tổng của một số phần tử nhất định của định thức D ¢, lấy dấu riêng của chúng. Nhưng D¢ thu được từ D bằng cách sử dụng ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) chuyển vị chuỗi và ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) chuyển vị cột. Tức là mọi việc đã xong


(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Do đó, số hạng của định thức D và D ¢ khác nhau về dấu (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, do đó tích (-1) s M k M¢ n-k sẽ bao gồm một số số hạng nhất định của định thức D, được lấy cùng dấu như chúng có trong định thức này.

Định lý Laplace. Nếu trong định thức bậc n, chúng ta chọn tùy ý k hàng (hoặc k cột) 1£k£n-1, thì tổng các tích của tất cả các phân số thứ k có trong các hàng đã chọn và phần bù đại số của chúng bằng định thức D .

Bằng chứng

Hãy chọn các dòng ngẫu nhiên tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và chúng tôi sẽ chứng minh điều đó

Trước đây người ta đã chứng minh rằng tất cả các phần tử ở vế trái của đẳng thức đều được chứa dưới dạng các phần tử trong định thức D. Chúng ta hãy chứng minh rằng mỗi phần tử trong định thức D chỉ thuộc một trong các phần tử đó. Quả thực, mọi thứ ts giống như t s =. nếu trong sản phẩm này chúng ta lưu ý đến các yếu tố có chỉ số đầu tiên tôi 1 , tôi 2 , ..., tôi k và soạn tích của chúng, khi đó bạn có thể nhận thấy rằng sản phẩm thu được thuộc cấp thứ k. Do đó, các số hạng còn lại, được lấy từ n-k hàng và n-k cột còn lại, tạo thành một phần tử thuộc phần bổ sung nhỏ, và do đó, có tính đến dấu, thuộc phần bù đại số, bất kỳ ts chỉ rơi vào một trong các tích, điều này chứng tỏ định lý.

Kết quả(định lý về khai triển định thức liên tiếp) . Tổng các tích các phần tử của một hàng nhất định của định thức và các phần bù đại số tương ứng bằng định thức.

(Chứng minh như một bài tập.)

Định lý. Tổng tích các phần tử của hàng thứ i của định thức bằng các phần bù đại số tương ứng với các phần tử của hàng thứ j (i¹j) bằng 0.