Tìm ma trận nghịch đảo. Các phép toán cơ bản trên ma trận (cộng, nhân, hoán vị) và các tính chất của chúng
Mục đích của dịch vụ. Máy tính ma trậnđược thiết kế để giải các biểu thức ma trận, chẳng hạn như 3A-CB 2 hoặc A -1 +B T .Hướng dẫn. Đối với giải pháp trực tuyến, bạn cần chỉ định biểu thức ma trận. Ở giai đoạn thứ hai, cần làm rõ thứ nguyên của ma trận.
Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).
Để thực hiện danh sách các thao tác, hãy sử dụng dấu phân cách bằng dấu chấm phẩy (;). Ví dụ: để thực hiện ba thao tác:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bạn sẽ cần phải viết nó như thế này: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ma trận là một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột nên ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật.
Ma trận không (ma trận rỗng) là ma trận có các phần tử đều bằng 0 và ký hiệu là 0.
Ma trận đơn vịđược gọi là ma trận vuông có dạng
Hai ma trận A và B bằng nhau, nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Ma trận số ít là ma trận có định thức bằng 0 (Δ = 0).
Hãy xác định các phép toán cơ bản trên ma trận.
Phép cộng ma trận
Sự định nghĩa . Tổng của hai ma trận cùng kích thước là ma trận có cùng thứ nguyên, các phần tử của ma trận đó được tìm theo công thức
. Ký hiệu là C = A+B. Ví dụ 6. .
Phép cộng ma trận mở rộng cho trường hợp có số hạng bất kỳ. Rõ ràng A+0=A .
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước; Đối với các ma trận có kích thước khác nhau, phép cộng không được xác định.
Phép trừ ma trận
Sự định nghĩa . Hiệu B-A của ma trận B và A cùng cỡ là ma trận C sao cho A+C = B.Phép nhân ma trận
Sự định nghĩa . Tích của ma trận với một số α là ma trận thu được từ A bằng cách nhân tất cả các phần tử của nó với α, .Sự định nghĩa . Cho hai ma trận
và , và số cột của A bằng số hàng của B. Tích của A nhân với B là một ma trận có các phần tử được tìm theo công thức 
.
Ký hiệu là C = A·B.
Về mặt sơ đồ, hoạt động của phép nhân ma trận có thể được mô tả như sau:
và quy tắc tính một phần tử trong tích:
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng tích A·B có ý nghĩa khi và chỉ khi số cột của thừa số thứ nhất bằng số hàng của thừa số thứ hai và tích tạo ra một ma trận có số hàng bằng số hàng của thừa số thứ nhất và số cột bằng số cột của thừa số thứ hai. Bạn có thể kiểm tra kết quả của phép nhân bằng máy tính trực tuyến đặc biệt.
Ví dụ 7. ma trận đã cho 
Và 
. Tìm ma trận C = A·B và D = B·A.
Giải pháp.
Trước hết, lưu ý rằng tích A·B tồn tại vì số cột của A bằng số hàng của B.
Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát A·B≠B·A, tức là tích của ma trận có tính phản giao hoán.
Hãy tìm B·A (có thể nhân).
Ví dụ 8. Cho một ma trận 
. Tìm 3A 2 – 2A.
Giải pháp.
.
; 
.
.
Chúng ta hãy lưu ý sự thật thú vị sau đây.
Như bạn đã biết, tích của hai số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, trường hợp tương tự có thể không xảy ra, tức là tích của các ma trận khác 0 có thể bằng ma trận null.
>> Ma trận
4.1.Ma trận. Các phép toán trên ma trận
Ma trận hình chữ nhật có kích thước mxn là tập hợp các số mxn được sắp xếp dưới dạng một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Chúng ta sẽ viết nó dưới dạng
hoặc viết tắt là A = (a i j) (i = ; j = ), các số a i j gọi là các phần tử của nó; Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, chỉ số thứ hai - số cột. A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là bằng nhau nếu các phần tử của chúng đứng ở cùng một vị trí bằng nhau theo cặp, nghĩa là A = B nếu a i j = b i j.
Ma trận gồm một hàng hoặc một cột tương ứng được gọi là vectơ hàng hoặc vectơ cột. Các vectơ cột và vectơ hàng được gọi đơn giản là vectơ.
Một ma trận bao gồm một số được xác định bằng số này. A có kích thước mxn, tất cả các phần tử đều bằng 0, được gọi là 0 và được ký hiệu là 0. Các phần tử có cùng chỉ số được gọi là các phần tử của đường chéo chính. Nếu số hàng bằng số cột, tức là m = n thì ma trận đó được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông trong đó chỉ có các phần tử của đường chéo chính khác 0 được gọi là đường chéo và được viết như sau:
Nếu tất cả các phần tử a i i của đường chéo đều bằng 1 thì nó được gọi là đơn vị và được ký hiệu là chữ E:
.
Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác nếu tất cả các phần tử trên (hoặc dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Chuyển vị là một phép biến đổi trong đó các hàng và cột được hoán đổi trong khi vẫn duy trì số lượng của chúng. Chuyển vị được biểu thị bằng chữ T ở trên cùng.
Nếu chúng ta sắp xếp lại các hàng và cột trong (4.1), chúng ta nhận được
,
sẽ được hoán vị đối với A. Cụ thể, khi hoán vị một vectơ cột sẽ thu được một vectơ hàng và ngược lại.
Tích của A và số b là một ma trận mà các phần tử của nó được lấy từ các phần tử tương ứng của A bằng cách nhân với số b: b A = (b a i j).
Tổng A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là C = (c i j) có cùng kích thước, các phần tử của chúng được xác định theo công thức c i j = a i j + b i j.
Tích AB được xác định theo giả định số cột của A bằng số hàng của B.
Tích AB, trong đó A = (a i j) và B = (b j k), trong đó i = , j= , k= , cho theo một thứ tự AB nhất định, được gọi là C = (c i k), các phần tử của nó được xác định bởi quy tắc sau:
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)
Nói cách khác, phần tử của tích AB được xác định như sau: phần tử của hàng thứ i và cột thứ k C bằng tổng tích các phần tử của hàng thứ i A và các phần tử tương ứng của cột thứ k B.
Ví dụ 2.1. Tìm tích của AB và .
Giải pháp. Ta có: A kích thước 2x3, B kích thước 3x3 thì tồn tại tích AB = C và các phần tử của C bằng nhau
Từ 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, từ 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, từ 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,
s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .
, và tích BA không tồn tại.
Ví dụ 2.2. Bảng này cho thấy số lượng đơn vị sản phẩm được vận chuyển hàng ngày từ nhà máy sữa 1 và 2 đến cửa hàng M 1, M 2 và M 3, và việc vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ mỗi nhà máy sữa đến cửa hàng M 1 tốn 50 den. đơn vị, đến cửa hàng M 2 - 70 và đến M 3 - 130 den. các đơn vị Tính chi phí vận chuyển hàng ngày của mỗi nhà máy.
| Nhà máy sữa |
|||
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện và bởi
B - ma trận mô tả chi phí phân phối một đơn vị sản phẩm tới cửa hàng, tức là
,
Khi đó ma trận chi phí vận chuyển sẽ có dạng:
.
Vì vậy, nhà máy đầu tiên chi 4.750 deniers cho việc vận chuyển hàng ngày. đơn vị, thứ hai - 3680 đơn vị tiền tệ.
Ví dụ 2.3. Công ty may sản xuất áo khoác mùa đông, áo khoác mùa demi và áo mưa. Sản lượng dự kiến cho một thập kỷ được đặc trưng bởi vectơ X = (10, 15, 23). Bốn loại vải được sử dụng: T 1, T 2, T 3, T 4. Bảng thể hiện mức tiêu thụ vải (tính bằng mét) cho từng sản phẩm. Vector C = (40, 35, 24, 16) mô tả chi phí cho một mét vải từng loại và vector P = (5, 3, 2, 2) mô tả chi phí vận chuyển một mét vải từng loại.
| Tiêu thụ vải |
||||
| Áo lạnh |
||||
| Áo khoác mùa Demi |
||||
1. Cần bao nhiêu mét mỗi loại vải để hoàn thành phương án?
2. Tìm chi phí vải dùng để may từng loại sản phẩm.
3. Xác định chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch.
Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện, tức là,
thì để tìm số mét vải cần thiết để hoàn thành phương án, bạn cần nhân vectơ X với ma trận A:
Ta tính chi phí vải dùng để may sản phẩm từng loại bằng cách nhân ma trận A và vectơ C T:
.
Chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch sẽ được xác định theo công thức:
Cuối cùng, tính đến chi phí vận chuyển, toàn bộ số tiền sẽ bằng giá thành vải, tức là 9472 den. đơn vị, cộng giá trị
X A P T = 
.
Vì vậy, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (đơn vị tiền).
Ma trận trong toán học là một trong những đối tượng quan trọng nhất có tầm quan trọng thực tiễn. Thông thường, chuyến tham quan lý thuyết ma trận bắt đầu bằng dòng chữ: “Ma trận là một cái bàn hình chữ nhật…”. Chúng ta sẽ bắt đầu chuyến tham quan này từ một hướng hơi khác.
Danh bạ điện thoại ở bất kỳ kích thước nào và với bất kỳ lượng dữ liệu thuê bao nào đều không khác gì ma trận. Những ma trận như vậy trông gần giống như thế này:
Rõ ràng là tất cả chúng ta đều sử dụng những ma trận như vậy hầu như hàng ngày. Các ma trận này có số lượng hàng khác nhau (chúng giống như một danh bạ do công ty điện thoại phát hành, có thể có hàng nghìn, hàng trăm nghìn và thậm chí hàng triệu dòng, và một cuốn sổ tay mới mà bạn vừa mới bắt đầu, có ít hơn 10 dòng) và các cột (một danh mục các quan chức thuộc loại nào đó). một tổ chức nào đó trong đó có thể có các cột như chức vụ, số văn phòng và cùng sổ địa chỉ của bạn, nơi có thể không có bất kỳ dữ liệu nào ngoại trừ tên, và do đó chỉ có hai cột trong đó - tên và số điện thoại).
Tất cả các loại ma trận đều có thể được cộng và nhân, cũng như có thể thực hiện các thao tác khác trên chúng, nhưng không cần phải cộng và nhân danh bạ điện thoại, việc này không mang lại lợi ích gì, ngoài ra, bạn có thể sử dụng trí óc của mình.
Nhưng nhiều ma trận có thể và nên được cộng và nhân và do đó giải quyết được nhiều vấn đề cấp bách khác nhau. Dưới đây là ví dụ về các ma trận như vậy.
Ma trận trong đó các cột là số lượng đơn vị sản xuất của một loại sản phẩm cụ thể và các hàng là số năm mà việc sản xuất sản phẩm này được ghi lại:
Bạn có thể thêm các ma trận loại này, có tính đến đầu ra của các sản phẩm tương tự của các doanh nghiệp khác nhau, để có được dữ liệu tóm tắt cho ngành.
Hoặc ma trận bao gồm, chẳng hạn như một cột, trong đó các hàng là giá trung bình của một loại sản phẩm cụ thể:
Hai loại ma trận cuối cùng có thể được nhân lên và kết quả là một ma trận hàng chứa giá thành của tất cả các loại sản phẩm theo năm.
Ma trận, định nghĩa cơ bản
Một bảng hình chữ nhật gồm các số được sắp xếp theo thứ tự tôi dòng và N cột được gọi là ma trận mn (hoặc đơn giản ma trận ) và được viết như thế này:
(1)
Trong ma trận (1) các số được gọi là số của nó yếu tố (như trong định thức, chỉ số đầu tiên có nghĩa là số hàng, chỉ số thứ hai - cột tại giao điểm của phần tử đó; Tôi = 1, 2, ..., tôi; j = 1, 2, N).
Ma trận được gọi là hình hộp chữ nhật , Nếu như .
Nếu như tôi = N, khi đó ma trận được gọi quảng trường , và số n là của nó theo thứ tự .
Định thức của ma trận vuông A là định thức mà các phần tử của nó là các phần tử của ma trận MỘT. Nó được biểu thị bằng ký hiệu | MỘT|.
Ma trận vuông được gọi là không đặc biệt (hoặc không thoái hóa , không số ít ), nếu định thức của nó khác 0, và đặc biệt (hoặc thoái hóa , số ít ) nếu định thức của nó bằng 0.
Các ma trận được gọi bình đẳng , nếu chúng có cùng số hàng và cột và tất cả các phần tử tương ứng đều khớp nhau.
Ma trận được gọi là vô giá trị , nếu tất cả các phần tử của nó bằng 0. Chúng ta sẽ biểu thị ma trận 0 bằng ký hiệu 0 hoặc .
Ví dụ,
Hàng ma trận (hoặc chữ thường ) được gọi là 1 N-ma trận, và cột ma trận (hoặc cột ) – tôi 1-ma trận.
Ma trận MỘT", được lấy từ ma trận MỘT hoán đổi hàng và cột trong đó được gọi là chuyển đổi liên quan đến ma trận MỘT. Do đó, đối với ma trận (1), ma trận chuyển vị là
Hoạt động chuyển đổi ma trận MỘT" chuyển đổi đối với ma trận MỘT, được gọi là chuyển vị ma trận MỘT. Vì tôi-ma trận chuyển vị là bước sóng-ma trận.
Ma trận hoán vị đối với ma trận là MỘT, đó là
(MỘT")" = MỘT .
Ví dụ 1. Tìm ma trận MỘT" , được chuyển đổi theo ma trận
và tìm hiểu xem định thức của ma trận gốc và ma trận chuyển vị có bằng nhau hay không.
Đường chéo chính Ma trận vuông là một đường tưởng tượng nối các phần tử của nó mà cả hai chỉ số đều giống nhau. Những phần tử này được gọi là đường chéo .
Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là đường chéo . Không phải tất cả các phần tử đường chéo của ma trận đường chéo đều khác 0. Một số trong số chúng có thể bằng không.
Ma trận vuông trong đó các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau, khác 0 và các phần tử khác đều bằng 0, được gọi là ma trận vô hướng .
Ma trận đơn vị được gọi là ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo đều bằng một. Ví dụ: ma trận nhận dạng bậc ba là ma trận
Ví dụ 2. Cho ma trận:
Giải pháp. Hãy tính các định thức của các ma trận này. Áp dụng quy tắc tam giác, ta tìm được
Định thức ma trận B hãy tính toán bằng công thức 
Chúng ta dễ dàng có được điều đó 
Vì vậy, các ma trận MỘT và không số ít (không suy biến, không số ít) và ma trận B– đặc biệt (suy thoái, số ít).
Định thức của ma trận đồng nhất của bất kỳ cấp nào rõ ràng bằng một.
Hãy tự mình giải bài toán ma trận rồi xem cách giải
Ví dụ 3. ma trận đã cho
,
,
Xác định cái nào trong số chúng là không số ít (không suy biến, không số ít).
Ứng dụng ma trận trong mô hình toán học và kinh tế
Dữ liệu có cấu trúc về một đối tượng cụ thể được ghi lại một cách đơn giản và thuận tiện dưới dạng ma trận. Các mô hình ma trận được tạo ra không chỉ để lưu trữ dữ liệu có cấu trúc này mà còn để giải quyết các vấn đề khác nhau với dữ liệu này bằng đại số tuyến tính.
Như vậy, mô hình ma trận nổi tiếng của nền kinh tế là mô hình đầu vào-đầu ra do nhà kinh tế học người Mỹ gốc Nga Vasily Leontiev đưa ra. Mô hình này dựa trên giả định rằng toàn bộ khu vực sản xuất của nền kinh tế được chia thành N các ngành công nghiệp sạch. Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại sản phẩm và các ngành khác nhau sản xuất những sản phẩm khác nhau. Do sự phân công lao động giữa các ngành nên có sự kết nối giữa các ngành, ý nghĩa của nó là một phần sản phẩm của ngành này được chuyển sang ngành khác làm nguồn lực sản xuất.
khối lượng sản phẩm Tôi- Ngành thứ (được đo bằng một đơn vị đo lường cụ thể) được sản xuất trong kỳ báo cáo, được ký hiệu là và gọi là sản lượng toàn phần Tôi-ngành công nghiệp thứ. Các vấn đề có thể được đặt một cách thuận tiện trong N- dòng thành phần của ma trận.
Số lượng đơn vị Tôi-ngành công nghiệp cần chi tiêu j- Ngành sản xuất một đơn vị sản phẩm của nó được chỉ định và gọi là hệ số chi phí trực tiếp.
Định nghĩa 1. Ma trận cỡ Atôi N là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột, gồm các số hoặc biểu thức toán học khác (gọi là phần tử ma trận), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, hoặc
Định nghĩa 2.
Hai ma trận 
Và 
cùng kích thước được gọi là bình đẳng, nếu chúng trùng khớp với từng phần tử, tức là 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
Sử dụng ma trận, có thể dễ dàng ghi lại một số phụ thuộc kinh tế, chẳng hạn như bảng phân bổ nguồn lực cho một số lĩnh vực nhất định của nền kinh tế.
Định nghĩa 3. Nếu số hàng của ma trận trùng với số cột của nó, tức là m = n thì ma trận được gọi thứ tự vuôngN, nếu không thì hình hộp chữ nhật.
Định nghĩa 4. Phép chuyển từ ma trận A sang ma trận A m, trong đó các hàng và cột được hoán đổi cho nhau mà vẫn giữ nguyên thứ tự, được gọi là chuyển vị ma trận.
Các loại ma trận: hình vuông (kích thước 33) - 
,
hình chữ nhật (kích thước 25) - 
,
đường chéo - 
, đơn - 
, số không - 
,
hàng ma trận - 
, cột ma trận -.
Định nghĩa 5.
Các phần tử của ma trận vuông cấp n có cùng chỉ số được gọi là các phần tử của đường chéo chính, tức là đây là những yếu tố: 
.
Định nghĩa 6. Các phần tử của ma trận vuông cấp n được gọi là các phần tử của đường chéo phụ nếu tổng các chỉ số của chúng bằng n + 1, tức là đây là các phần tử: .
1.2. Các phép toán trên ma trận.
1
0
.
Số lượng
hai ma trận 
Và 
có cùng kích thước gọi là ma trận C = (với ij), các phần tử của ma trận này được xác định bởi đẳng thức với ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).
Tính chất của phép cộng ma trận.
Đối với mọi ma trận A, B, C có cùng kích thước, các đẳng thức sau có giá trị:
1) A + B = B + A (giao hoán),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (tính kết hợp).
2
0
.
Công việc
ma trận
mỗi số
gọi là ma trận 
có cùng kích thước với ma trận A và b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Tính chất của phép nhân ma trận với một số.
(A) = ()A (tính kết hợp của phép nhân);
(A+B) = A+B (phân phối của phép nhân so với phép cộng ma trận);
(+)A = A+A (phân phối của phép nhân so với phép cộng các số).
Định nghĩa 7.
Tổ hợp tuyến tính của ma trận 
Và 
có cùng kích thước được gọi là biểu thức có dạng A+B, trong đó và là các số tùy ý.
3 0 . Sản phẩm A Trong ma trận A và B lần lượt có kích thước mn và nk, được gọi là ma trận C có kích thước mk, sao cho phần tử có ij bằng tổng tích các phần tử của hàng thứ i của ma trận A và cột thứ j của ma trận B, tức là với ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Tích AB chỉ tồn tại nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.
Tính chất của phép nhân ma trận:
(AB)C = A(BC) (tính kết hợp);
(A+B)C = AC+BC (phân phối đối với phép cộng ma trận);
A(B+C) = AB+AC (phân phối đối với phép cộng ma trận);
AB BA (không giao hoán).
Định nghĩa 8. Ma trận A và B có AB = BA được gọi là ma trận đi lại hoặc đi lại.
Nhân một ma trận vuông có bậc bất kỳ với ma trận đơn vị tương ứng không làm thay đổi ma trận.
Định nghĩa 9. Các phép biến đổi cơ bản Các phép toán sau đây được gọi là ma trận:
Hoán đổi hai hàng (cột).
Nhân mỗi phần tử của một hàng (cột) với một số khác 0.
Thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác.
Định nghĩa 10. Ma trận B thu được từ ma trận A sử dụng các phép biến đổi cơ bản được gọi là tương đương(ký hiệu là BA).
Ví dụ 1.1. Tìm tổ hợp tuyến tính của các ma trận 2A–3B nếu
,
.
,
,
.
Ví dụ
1.2.
Tìm tích của ma trận 
, Nếu như
.
Lời giải: Vì số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai nên tồn tại tích của các ma trận. Kết quả là chúng ta thu được một ma trận mới 
, Ở đâu
Kết quả là chúng tôi nhận được 
.
Bài giảng 2. Định thức. Tính toán các định thức bậc hai và bậc ba. Tính chất của định thứcN-thứ tự.
Các thao tác trên ma trận
1. Phép cộng và phép trừ ma trận:
Phép cộng và phép trừ ma trận- một trong những hành động đơn giản nhất đối với họ, bởi vì cần thực hiện phép cộng hoặc trừ các phần tử tương ứng của hai ma trận. Điều quan trọng cần nhớ là chỉ có thể cộng và trừ ma trận cùng kích cỡ, I E. những cái có cùng số hàng và cùng số cột.
Ví dụ: cho hai ma trận có kích thước bằng nhau 2x3, tức là với hai hàng và ba cột:
Tổng của hai ma trận:
Sự khác biệt của hai ma trận:
2. Nhân một ma trận với một số:
Nhân một ma trận với một số - quá trình nhân một số với mỗi phần tử của ma trận.
Ví dụ: Cho ma trận A:
Hãy nhân số 3 với ma trận A:
3. Nhân hai ma trận:
Nhân hai ma trận chỉ có thể thực hiện được với điều kiện số cột của ma trận thứ nhất phải bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ma trận mới thu được bằng cách nhân các ma trận sẽ bao gồm một số hàng bằng số cột của ma trận thứ nhất và một số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai.
Giả sử có hai ma trận có kích thước 3x4 và 4x2, tức là ma trận thứ nhất có 3 hàng và 4 cột, ma trận thứ hai có 4 hàng và 2 cột. Bởi vì số cột của ma trận thứ nhất (4) bằng số hàng của ma trận thứ hai (4), khi đó các ma trận có thể được nhân lên, ma trận mới sẽ có kích thước 3x2, tức là. 3 hàng và 2 cột.
Bạn có thể tưởng tượng tất cả điều này dưới dạng sơ đồ:
Khi bạn đã quyết định kích thước của ma trận mới sẽ thu được bằng cách nhân hai ma trận, bạn có thể bắt đầu điền các phần tử vào ma trận này. Nếu bạn cần điền vào hàng đầu tiên của cột đầu tiên của ma trận này, thì bạn cần nhân từng phần tử của hàng đầu tiên của ma trận đầu tiên với mỗi phần tử của cột đầu tiên của ma trận thứ hai, nếu chúng ta điền vào hàng thứ hai của cột đầu tiên, sau đó lấy từng phần tử của hàng thứ hai của ma trận thứ nhất nhân với cột đầu tiên của ma trận thứ hai, v.v.
Chúng ta hãy xem nó trông như thế nào trong sơ đồ:
Hãy xem nó trông như thế nào với một ví dụ:
Hai ma trận được cho:
Hãy tìm tích của các ma trận này:
4. Phép chia ma trận:
Phép chia ma trận- một hành động trên ma trận, khái niệm này không thể tìm thấy trong sách giáo khoa. Nhưng nếu cần chia ma trận A thành ma trận B, thì trong trường hợp này, một trong các tính chất của độ sẽ được sử dụng:
Theo tính chất này, chúng ta chia ma trận A cho ma trận B:
Nhờ đó bài toán chia ma trận được rút gọn thành phép nhân ma trận nghịch đảo ma trận B thành ma trận A.
ma trận nghịch đảo
Giả sử có ma trận vuông cấp n
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo liên quan đến ma trận A, nếu A*A -1 = E, trong đó E là ma trận đơn vị bậc n.
Ma trận đơn vị- một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử dọc theo đường chéo chính, đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải, là những phần tử và phần còn lại là số 0, ví dụ:
ma trận nghịch đảo có thể tồn tại chỉ dành cho ma trận vuông những thứ kia. cho các ma trận có số hàng và số cột trùng nhau.
Định lý về điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo
Để một ma trận có ma trận nghịch đảo thì điều cần và đủ là ma trận đó không phải là ma trận số ít.
Ma trận A = (A1, A2,...A n) được gọi là không thoái hóa, nếu các vectơ cột độc lập tuyến tính. Số vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận được gọi là hạng của ma trận. Do đó, chúng ta có thể nói rằng để tồn tại một ma trận nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là hạng của ma trận bằng chiều của nó, tức là. r = n.
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
Viết ma trận A vào bảng giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian và gán ma trận E ở bên phải (thay cho vế phải của phương trình).
Sử dụng các phép biến đổi Jordan, rút gọn ma trận A thành ma trận gồm các cột đơn vị; trong trường hợp này cần phải biến đổi đồng thời ma trận E.
Nếu cần, hãy sắp xếp lại các hàng (phương trình) của bảng cuối cùng sao cho dưới ma trận A của bảng ban đầu, bạn sẽ nhận được ma trận nhận dạng E.
Viết ma trận nghịch đảo A -1 nằm ở bảng cuối cùng dưới ma trận E của bảng gốc.
ví dụ 1
Cho ma trận A tìm ma trận nghịch đảo A -1
Giải: Viết ma trận A và gán ma trận đẳng thức E sang phải. Sử dụng phép biến đổi Jordan, ta rút gọn ma trận A về ma trận đẳng thức E. Kết quả tính toán được cho ở Bảng 31.1. 
Hãy kiểm tra tính đúng đắn của phép tính bằng cách nhân ma trận gốc A với ma trận nghịch đảo A -1.
Kết quả của phép nhân ma trận là thu được ma trận đồng nhất. Do đó, các tính toán đã được thực hiện chính xác.
Trả lời: 
Định thức của ma trận (Định thức) Định thức của ma trận (Định thức)
Định thức ma trận, phương pháp số 1:
Định thức của ma trận vuông(det A) là một số có thể được tính từ các phần tử của nó ma trận theo công thức:
Ở đâu M 1k - định thức ma trận(xác định) thu được từ bản gốc ma trận bằng cách gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ k. Cần lưu ý rằng vòng loại chỉ có hình vuông ma trận, I E. ma trận trong đó số hàng bằng số cột. Công thức đầu tiên cho phép bạn tính toán định thức ma trận theo dòng đầu tiên thì công thức tính cũng đúng định thức của ma trận cho cột đầu tiên: 
Nói chung, định thức ma trận có thể được tính trên bất kỳ hàng hoặc cột nào ma trận, I E. công thức là đúng:
Rõ ràng là khác ma trận có thể có cùng vòng loại. Định thức của ma trận nhận dạng bằng 1. Đối với quy định ma trận Và số M 1k gọi là số thứ bổ sung của phần tử ma trận 1k. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng mỗi phần tử ma trận có phần phụ bổ sung của riêng nó. Trẻ vị thành niên bổ sung chỉ tồn tại trong hình vuông ma trận.
Phần bổ sung của phần tử hình vuông tùy ý ma trận a ij bằng định thức của ma trận, thu được từ bản gốc ma trận bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j.
Định thức ma trận, phương pháp số 2:
Định thức ma trậnđơn hàng đầu tiên, hoặc bản ngã Thứ tự đầu tiên, phần tử a 11 được gọi là:
Định thức ma trận lệnh thứ hai, hoặc bản ngã bậc 2 là số được tính theo công thức:
Định thức ma trận lệnh thứ ba, hoặc bản ngã bậc 3 là số được tính theo công thức:
Con số này đại diện cho một tổng đại số bao gồm sáu số hạng. Mỗi thuật ngữ chứa chính xác một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột ma trận. Mỗi số hạng bao gồm tích của ba yếu tố.
Dấu hiệu với thành viên nào định thức của ma trận có trong công thức tìm định thức của ma trận bậc ba có thể được xác định bằng cách sử dụng sơ đồ đã cho, được gọi là quy tắc tam giác hoặc quy tắc Sarrus. Ba số hạng đầu tiên được lấy bằng dấu cộng và được xác định từ hình bên trái, ba số hạng tiếp theo được lấy bằng dấu trừ và được xác định từ hình bên phải.
Bình luận:
Phép tính định thức ma trận bậc 4 trở lên dẫn đến tính toán lớn vì:
Vì ở cấp độ đầu tiên chúng ta tìm thấy một số hạng gồm một thừa số;
Vì tìm định thức của ma trậnở bậc thứ hai, bạn cần tính tổng đại số của hai số hạng, trong đó mỗi số hạng gồm tích của hai thừa số;
Vì tìm định thức của ma trận bậc ba, bạn cần tính tổng đại số của sáu số hạng, trong đó mỗi số hạng gồm tích của ba thừa số;
Vì tìm định thức của ma trận thứ tự thứ tư, bạn cần tính tổng đại số của 24 số hạng, trong đó mỗi số hạng bao gồm tích của bốn thừa số, v.v.
Xác định số số hạng cần tìm định thức của ma trận, trong một tổng đại số, bạn có thể tính giai thừa: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1×2×3×4×5 = 120...
