Các phương pháp tích phân hàm số vô tỷ (gốc). Tích hợp của sự bất hợp lý tuyến tính phân đoạn
Lớp các hàm vô tỷ rất rộng, do đó đơn giản là không thể có một cách phổ biến để tích hợp chúng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng xác định các loại hàm tích phân vô tỷ đặc trưng nhất và liên kết phương pháp tích phân với chúng.
Có những trường hợp sử dụng phương pháp đăng ký dấu vi phân là thích hợp. Ví dụ: khi tìm tích phân không xác định có dạng, trong đó P- phân số hợp lý.
Ví dụ.
Tìm tích phân không xác định 
.
Giải pháp.
Không khó để nhận ra điều đó. Do đó, chúng ta đặt nó dưới dấu vi phân và sử dụng bảng nguyên hàm: 
Trả lời:
.
13. Thay thế tuyến tính phân số
Tích phân loại trong đó a, b, c, d là số thực, a, b,..., d, g là số tự nhiên, được quy giản thành tích phân của hàm số hữu tỉ bằng cách thay thế, trong đó K là bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của các phân số
Thật vậy, từ sự thay thế suy ra rằng
tức là x và dx được biểu thị thông qua các hàm hữu tỷ của t. Hơn nữa, mỗi bậc của phân số được biểu diễn thông qua hàm hữu tỉ của t.
Ví dụ 33.4. Tìm tích phân 
Giải: bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của phân số 2/3 và 1/2 là 6.
Do đó, chúng ta đặt x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Do đó,
Ví dụ 33.5. Chỉ định sự thay thế để tìm tích phân:
Giải: Với sự thay thế I 1 x=t 2, với sự thay thế I 2
14. Thay thế lượng giác
Tích phân loại được rút gọn thành tích phân của các hàm phụ thuộc hợp lý vào các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các phép thay thế lượng giác sau: x = a sint cho tích phân thứ nhất; x=a tgt đối với tích phân thứ hai, đối với tích phân thứ ba.
Ví dụ 33.6. Tìm tích phân 
Giải: Đặt x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Sau đó
Ở đây tích phân là một hàm hữu tỷ đối với x và 
Bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh dưới căn thức và thực hiện phép thay thế, các tích phân của loại đã chỉ định sẽ được rút gọn thành tích phân của loại đã được xem xét, tức là thành tích phân của loại 
Những tích phân này có thể được tính bằng cách sử dụng phép thay thế lượng giác thích hợp.
Ví dụ 33.7. Tìm tích phân 
Giải: Vì x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, nên x+1=t, x=t-1, dx=dt. Đó là lý do tại sao 
Chúng ta hãy đặt 
Lưu ý: Kiểu tích phân 
Sẽ tốt hơn nếu tìm bằng cách thay thế x=1/t.
15. Tích phân xác định
Giả sử một hàm được xác định trên một đoạn và có nguyên hàm trên đó. Sự khác biệt được gọi là tích phân xác định chức năng dọc theo phân khúc và biểu thị. Vì thế,
Sự khác biệt được viết dưới dạng, sau đó 
. Các số được gọi giới hạn hội nhập
.
Ví dụ, một trong những nguyên hàm của một hàm số. Đó là lý do tại sao
16 . Nếu c là một số không đổi và hàm ƒ(x) có thể tích phân trên , thì
nghĩa là, hằng số c có thể được lấy ra khỏi dấu của tích phân xác định.
▼Hãy tính tổng tích phân của hàm với ƒ(x). Chúng ta có:
Khi đó, hàm c ƒ(x) khả tích trên [a; b] và công thức (38.1) là hợp lệ.▲
2. Nếu các hàm ƒ 1 (x) và ƒ 2 (x) khả tích trên [a;b] thì khả tích trên [a; b] tổng của họ u
nghĩa là tích phân của tổng bằng tổng của các tích phân.
▼ 
▲
Tính chất 2 áp dụng cho tổng của một số hữu hạn số hạng bất kỳ.
3.
Thuộc tính này có thể được chấp nhận theo định nghĩa. Tính chất này cũng được xác nhận bởi công thức Newton-Leibniz.
4. Nếu hàm ƒ(x) khả tích trên [a; b] và a< с < b, то
nghĩa là tích phân trên toàn bộ đoạn bằng tổng các tích phân trên các phần của đoạn này. Tính chất này được gọi là tính cộng của một tích phân xác định (hoặc tính chất cộng).
Khi chia đoạn [a;b] thành nhiều phần, ta gộp điểm c vào số điểm chia (điều này có thể thực hiện được do tính độc lập của giới hạn của tổng tích phân với phương pháp chia đoạn [a;b] thành từng phần). Nếu c = x m thì tổng tích phân có thể chia thành hai tổng:
Mỗi tổng được viết lần lượt là tích phân cho các phân đoạn [a; ba; s] và [s; b]. Chuyển đến giới hạn ở đẳng thức cuối cùng là n → ∞ (λ → 0), ta thu được đẳng thức (38.3).
Thuộc tính 4 có giá trị cho bất kỳ vị trí nào của các điểm a, b, c (chúng tôi giả sử rằng hàm ƒ (x) có thể tích phân trên phân đoạn lớn hơn trong kết quả).
Vì vậy, ví dụ, nếu một< b < с, то
(thuộc tính 4 và 3 đã được sử dụng).
5. “Định lý về giá trị trung bình.” Nếu hàm ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], thì có tonka với є [a; b] như vậy
▼Theo công thức Newton-Leibniz ta có
trong đó F"(x) = ƒ(x). Áp dụng định lý Lagrange (định lý về mức tăng hữu hạn của hàm số) cho hiệu F(b)-F(a), chúng ta thu được
F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲
Thuộc tính 5 (“định lý giá trị trung bình”) cho ƒ (x) ≥ 0 có ý nghĩa hình học đơn giản: giá trị của tích phân xác định bằng, đối với một số c є (a; b), bằng diện tích của hình chữ nhật với chiều cao ƒ (c) và đáy b-a ( xem Hình 170). Con số 
được gọi là giá trị trung bình của hàm ƒ(x) trên khoảng [a; b].
6. Nếu hàm ƒ (x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b], trong đó a< b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼Theo “định lý giá trị trung bình” (thuộc tính 5)
trong đó c є [a; b]. Và vì ƒ(x) ≥ 0 với mọi x О [a; b] thì
ƒ(с) ≥0, b-а>0.
Do đó ƒ(с) (b-а) ≥ 0, tức là 
▲
7. Bất đẳng thức giữa các hàm số liên tục trên đoạn [a; ba
▼Vì ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥0 nên khi a< b, согласно свойству 6, имеем
Hoặc theo tính chất 2,
Lưu ý rằng không thể phân biệt được các bất đẳng thức.
8. Ước tính tích phân. Nếu m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm y = ƒ(x) trên đoạn [a; ba< b), то
▼Vì với mọi x є [a;b] chúng ta có m Áp dụng Tính chất 5 cho tích phân cực trị, ta thu được Nếu ƒ(x) ≥0, thì tính chất 8 được minh họa bằng hình học: diện tích của một hình thang cong được bao bọc giữa các diện tích của các hình chữ nhật có đáy là , và có chiều cao là m và M (xem Hình 171). 9. Mô đun của tích phân xác định không vượt quá tích phân mô đun của tích phân: ▼Áp dụng tính chất 7 cho các bất đẳng thức hiển nhiên -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, ta thu được Nó theo sau đó 10. Đạo hàm của tích phân xác định đối với giới hạn trên thay đổi bằng tích phân trong đó biến tích phân được thay thế bằng giới hạn này, tức là. Tính diện tích của một hình là một trong những bài toán khó nhất trong lý thuyết diện tích. Trong môn hình học ở trường, chúng ta đã học cách tìm diện tích của các hình hình học cơ bản, ví dụ như hình tròn, hình tam giác, hình thoi, v.v. Tuy nhiên, bạn thường phải đối mặt với việc tính diện tích của những hình phức tạp hơn. Khi giải những bài toán như vậy người ta phải dùng đến phép tính tích phân. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét vấn đề tính diện tích của một hình thang cong và chúng ta sẽ tiếp cận nó theo nghĩa hình học. Điều này sẽ cho phép chúng ta tìm ra mối liên hệ trực tiếp giữa tích phân xác định và diện tích của hình thang cong. Trước đây, với một hàm nhất định, được hướng dẫn bởi các công thức và quy tắc khác nhau, chúng ta đã tìm được đạo hàm của nó. Đạo hàm có nhiều công dụng: đó là tốc độ chuyển động (hay nói chung hơn là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số; bằng cách sử dụng đạo hàm, bạn có thể kiểm tra tính đơn điệu và cực trị của hàm; nó giúp giải quyết các vấn đề tối ưu hóa. Nhưng cùng với bài toán tìm vận tốc theo một quy luật chuyển động đã biết còn có một bài toán nghịch đảo - bài toán khôi phục quy luật chuyển động theo một vận tốc đã biết. Hãy xem xét một trong những vấn đề này. Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động thẳng đều thì vận tốc của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức v=gt. Tìm định luật chuyển động. Hãy để chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải quyết chính xác, nhưng không đầy đủ. Chúng ta có \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Trong thực tế, bài toán có vô số nghiệm: bất kỳ hàm nào có dạng \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), trong đó C là hằng số tùy ý, có thể đóng vai trò là định luật của chuyển động, vì \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \) Để làm cho bài toán cụ thể hơn, chúng ta phải khắc phục tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ tại thời điểm t = 0. Nếu, giả sử, s(0) = s 0, thì từ đẳng thức s(t) = (gt 2)/2 + C ta được: s(0) = 0 + C, tức là C = s 0. Bây giờ định luật chuyển động được xác định duy nhất: s(t) = (gt 2)/2 + s 0. Trong toán học, các phép toán nghịch đảo lẫn nhau được đặt tên khác nhau, các ký hiệu đặc biệt được phát minh, ví dụ: bình phương (x 2) và căn bậc hai (\(\sqrt(x) \)), sin (sin x) và arcsine (arcsin x) v.v... Quá trình tìm đạo hàm của một hàm số cho trước được gọi là sự khác biệt và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm hàm từ một đạo hàm đã cho, là hội nhập. Bản thân thuật ngữ “đạo hàm” có thể được giải thích “theo cách hiểu thông thường”: hàm y = f(x) “sinh ra” một hàm mới y" = f"(x). Hàm y = f(x) đóng vai trò là “mẹ”, nhưng các nhà toán học, một cách tự nhiên, không gọi nó là “mẹ” hay “nhà sản xuất”; họ nói rằng nó đúng như vậy, liên quan đến hàm y" = f"( x), hình ảnh chính hoặc nguyên thủy. Sự định nghĩa. Hàm y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X nếu đẳng thức F"(x) = f(x) đúng với \(x \in X\) Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định cụ thể mà được ngụ ý (như miền tự nhiên của định nghĩa hàm số). Hãy đưa ra ví dụ. Khi tìm nguyên hàm cũng như đạo hàm, không chỉ sử dụng công thức mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tương ứng để tính đạo hàm. Ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm của nó. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm. Quy tắc 1. Nguyên hàm của một tổng bằng tổng của các nguyên hàm. Chúng ta biết rằng hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm. Quy tắc này tạo ra quy tắc tương ứng để tìm nguyên hàm. Quy tắc 2. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì kF(x) là nguyên hàm của kf(x). Định lý 1. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x), thì nguyên hàm của hàm y = f(kx + m) là hàm \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \) Định lý 2. Nếu y = F(x) là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng X, thì hàm y = f(x) có vô số nguyên hàm và chúng đều có dạng y = F(x) + C Phương pháp thay thế biến (phương pháp thay thế) Phương pháp tích phân bằng cách thay thế liên quan đến việc đưa ra một biến tích hợp mới (nghĩa là thay thế). Trong trường hợp này, tích phân đã cho được rút gọn thành tích phân mới, dạng tích phân dạng bảng hoặc có thể rút gọn về tích phân đó. Không có phương pháp chung để lựa chọn người thay thế. Khả năng xác định chính xác sự thay thế có được thông qua thực hành. Tích hợp các biểu thức có dạng \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) Nếu m lẻ, m > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế sin x = t. Tích hợp theo bộ phận Tích phân từng phần - áp dụng công thức tích phân sau: Phần này sẽ thảo luận về phương pháp tích hợp các hàm hữu tỉ. 7.1. Thông tin tóm tắt về hàm số hữu tỉ Hàm số hữu tỉ đơn giản nhất là đa thức bậc 10, tức là. một hàm có dạng trong đó là các hằng số thực và a0 Ф 0. Đa thức Qn(x) có hệ số a0 = 1 được gọi là rút gọn. Số thực b được gọi là nghiệm của đa thức Qn(z) nếu Q(b) = 0. Biết rằng mỗi đa thức Qn(x) với hệ số thực được phân tích duy nhất thành thừa số thực có dạng p, q là các hệ số thực và các thừa số bậc hai không có nghiệm thực và do đó không thể phân tách thành các thừa số tuyến tính thực. Bằng cách kết hợp các thừa số giống nhau (nếu có) và giả sử, để đơn giản, đa thức Qn(x) rút gọn, chúng ta có thể viết hệ số của nó dưới dạng số tự nhiên. Vì bậc của đa thức Qn(x) bằng n nên tổng của tất cả các số mũ a, /3,..., A, cộng với tổng kép của tất cả các số mũ ω,..., q, bằng nhau tới n: Căn a của đa thức được gọi là đơn hoặc đơn nếu a = 1 và bội số nếu a > 1; số a được gọi là bội số của nghiệm a. Điều tương tự cũng áp dụng cho các nghiệm khác của đa thức. Hàm hữu tỉ f(x) hay phân số hữu tỉ là tỉ số của hai đa thức và giả sử rằng đa thức Pm(x) và Qn(x) không có thừa số chung. Một phân số hữu tỷ được gọi là đúng nếu bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số, tức là Nếu m n thì phân số hữu tỷ được gọi là phân số không thực sự, và trong trường hợp này, chia tử số cho mẫu số theo quy tắc chia đa thức, nó có thể được biểu diễn dưới dạng một số đa thức và ^^ là một phân số đúng phân số hợp lý. Ví dụ 1. Phân số hữu tỉ là phân số không đúng. Chia cho một “góc”, ta có Do đó. Đây. và đó là một phân số thích hợp. Sự định nghĩa. Các phân số đơn giản nhất (hoặc cơ bản) là các phân số hữu tỉ thuộc bốn loại sau: trong đó là số thực, k là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 và tam thức vuông x2 + px + q không có nghiệm thực, vì vậy -2 _2 là phân biệt của nó Trong đại số, định lý sau được chứng minh. Định lý 3. Một phân số hữu tỉ thực sự có hệ số thực, mẫu số có dạng Qn(x) phân rã một cách duy nhất thành tổng các phân số đơn giản theo quy tắc Tích phân các hàm hữu tỷ Thông tin tóm tắt về hàm hữu tỷ Tích phân các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân các hàm vô tỷ Phép thay thế Euler thứ nhất Phép thay thế Euler thứ hai Phép thay thế Euler thứ ba Trong khai triển này có một số hằng số thực, một số trong đó có thể bằng 0. Để tìm các hằng số này, vế phải của đẳng thức (I) được đưa về mẫu số chung, sau đó các hệ số có cùng lũy thừa của x trong tử số của vế trái và vế phải được bằng nhau. Điều này đưa ra một hệ phương trình tuyến tính từ đó tìm được các hằng số cần thiết. . Phương pháp tìm hằng số chưa biết này được gọi là phương pháp hệ số không xác định. Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một phương pháp khác để tìm các hằng số chưa biết, đó là sau khi đánh đồng các tử số, ta thu được một đẳng thức đối với x, trong đó đối số x được cho một số giá trị, chẳng hạn như các giá trị của các nghiệm, dẫn đến phương trình tìm các hằng số. Nó đặc biệt thuận tiện nếu mẫu số Q”(x) chỉ có nghiệm thực đơn giản. Ví dụ 2. Phân tích phân số hữu tỉ thành các phân số đơn giản hơn, phân số này đúng. Ta phân tích mẫu số thành bội số: Vì nghiệm của mẫu số là số thực và khác nhau nên dựa vào công thức (1), việc phân tích phân số thành đơn giản nhất sẽ có dạng: Quy giản quyền danh dự “của đẳng thức đó về mẫu số chung và đánh đồng các tử số ở vế trái và phải của nó, ta thu được đẳng thức hoặc Ta tìm hệ số chưa biết A. 2?, C bằng hai cách. Cách đầu tiên Đánh đồng các hệ số của cùng lũy thừa của x, t.v. với (thuật ngữ tự do) và vế trái, vế phải của đẳng thức, ta thu được hệ phương trình tuyến tính tìm các hệ số chưa biết A, B, C: Hệ này có nghiệm duy nhất C. Phương pháp thứ hai. Vì nghiệm của mẫu số bị xé ở i 0 nên ta được 2 = 2A, từ đó A * 1; g i 1, ta được -1 * -B, từ đó 5 * 1; x i 2, ta được 2 = 2C. từ đó C» 1, và khai triển cần thiết có dạng 3. Rehlozhnt không phải là phân số đơn giản nhất, phân số hữu tỷ 4 Chúng ta phân tích đa thức theo hướng ngược lại thành thừa số: . Mẫu số có hai nghiệm thực khác nhau: x\ = 0 bội số của bội số 3. Do đó, việc phân tích phân số này không phải là đơn giản nhất: Rút gọn vế phải về mẫu số chung, ta tìm hoặc Phương pháp thứ nhất. Đánh đồng các hệ số cho cùng lũy thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức cuối cùng. ta thu được hệ phương trình tuyến tính, hệ này có nghiệm duy nhất và phép khai triển cần thiết sẽ là phương pháp thứ hai. Trong đẳng thức thu được, đặt x = 0, ta thu được 1 a A2, hay A2 = 1; trường* gay x = -1, ta được -3 i B), hay Bj i -3. Khi thay giá trị tìm được của các hệ số A\ và B) và đẳng thức sẽ có dạng hoặc Đặt x = 0, rồi x = -I. ta tìm được = 0, B2 = 0 và. điều này có nghĩa là B\ = 0. Do đó, chúng ta lại thu được Ví dụ 4. Khai triển phân số hữu tỷ 4 thành các phân số đơn giản hơn. Mẫu số của phân số không có nghiệm thực, vì hàm x2 + 1 không triệt tiêu đối với bất kỳ giá trị thực nào của x. Do đó, việc phân tích thành các phân số đơn giản phải có dạng Từ đây chúng ta nhận được hoặc. Đánh đồng các hệ số lũy thừa synax của x ở vế trái và vế phải của đẳng thức cuối cùng, chúng ta sẽ có nơi chúng ta tìm thấy và do đó, cần lưu ý rằng trong một số trường hợp, việc phân tách thành các phân số đơn giản có thể thu được nhanh hơn và dễ dàng hơn bằng cách hành động theo một cách khác mà không sử dụng phương pháp hệ số không xác định Ví dụ, để có được sự phân rã của phân số trong ví dụ 3, bạn có thể cộng và trừ ở tử số 3x2 và chia như được chỉ ra bên dưới. 7.2. Tích hợp các phân số đơn giản, Như đã đề cập ở trên, bất kỳ phân số hữu tỷ không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số đa thức và một phân số hữu tỷ thực sự (§7), và cách biểu diễn này là duy nhất. Việc tích phân một đa thức không khó, vì vậy hãy xem xét vấn đề tích phân một phân số hữu tỉ. Vì bất kỳ phân số hữu tỷ thực sự nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản, nên phép tích phân của nó bị giảm xuống thành tích phân của các phân số đơn giản. Bây giờ chúng ta hãy xem xét vấn đề về sự tích hợp của chúng. III. Để tìm tích phân của phân số đơn giản nhất của loại thứ ba, chúng ta tách bình phương đầy đủ của nhị thức khỏi tam thức bình phương: Vì số hạng thứ hai bằng a2, nên chúng ta thực hiện phép thay thế ở đâu và sau đó. Sau đó, xét đến các tính chất tuyến tính của tích phân, chúng ta tìm thấy: Ví dụ 5. Tìm tích phân 4 Hàm tích phân là phân số đơn giản nhất của loại thứ ba, vì tam thức bình phương x1 + Ax + 6 không có nghiệm thực (phân biệt của nó là âm: , và tử số chứa đa thức bậc 1. Do đó, chúng ta tiến hành như sau: 1) chọn một bình phương hoàn hảo ở mẫu số 2) thay thế (ở đây 3) bằng * một tích phân Để tìm tích phân của phân số đơn giản nhất của loại thứ tư, chúng ta đặt, như trên, . Khi đó ta lấy Tích phân ở vế phải ký hiệu là A và biến đổi nó như sau: Tích phân ở vế phải được tích phân từng phần, giả sử từ đâu hoặc Tích phân của các hàm hữu tỉ Thông tin tóm tắt về các hàm hữu tỉ Tích phân của các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân của vô tỉ các hàm Euler Phép thay thế đầu tiên Phép thay thế Euler thứ hai Phép thay thế Euler thứ ba Euler Chúng ta đã thu được cái gọi là công thức truy hồi, công thức này cho phép chúng ta tìm tích phân Jk với mọi k = 2, 3,. .. . Thật vậy, tích phân J\ có dạng bảng: Đưa công thức truy hồi vào, ta tìm Biết và đặt A = 3, ta dễ dàng tìm được Jj, v.v. Trong kết quả cuối cùng, thay thế mọi nơi thay cho t và a các biểu thức của chúng theo x và các hệ số p và q, chúng ta thu được tích phân ban đầu biểu thức của nó theo x và các số đã cho M, LG, p, q. Ví dụ 8. Tích phân mới “Hàm tích phân là phân số đơn giản nhất của loại thứ tư, vì phân biệt của một tam thức vuông là âm, tức là Điều này có nghĩa là mẫu số không có nghiệm thực và tử số là đa thức bậc 1. 1) Ta chọn một bình phương đầy đủ ở mẫu số 2) Ta thực hiện phép thay thế: Tích phân sẽ có dạng: Điền công thức truy hồi * = 2, a3 = 1. Ta sẽ có, và do đó, tích phân cần tìm bằng Trở lại biến x, cuối cùng chúng ta thu được 7.3. Trường hợp tổng quát Từ kết quả của đoạn văn. 1 và 2 của phần này tuân theo một định lý quan trọng. Định lý! 4. Tích phân bất định của bất kỳ hàm hữu tỉ nào cũng luôn tồn tại (trên các khoảng trong đó mẫu số của phân số Q(x) φ 0) và được biểu thị thông qua một số hữu hạn các hàm cơ bản, cụ thể là nó là tổng đại số, các số hạng trong đó chỉ có thể nhân với các phân số hữu tỷ, logarit tự nhiên và arctang. Vì vậy, để tìm tích phân không xác định của hàm hữu tỷ, người ta nên tiến hành theo cách sau: 1) nếu phân số hữu tỷ không đúng, thì bằng cách chia tử số cho mẫu số, toàn bộ phần bị cô lập, tức là hàm này được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức và một phân số hữu tỉ; 2) sau đó mẫu số của phân số thích hợp thu được được phân tách thành tích của các thừa số tuyến tính và bậc hai; 3) phân số riêng này được phân tách thành tổng các phân số đơn giản; 4) sử dụng tính tuyến tính của tích phân và các công thức ở bước 2, tích phân của từng số hạng được tìm riêng biệt. Ví dụ 7. Tìm tích phân M Vì mẫu số là đa thức bậc ba nên hàm tích phân là một phân số không đúng. Chúng tôi nhấn mạnh toàn bộ phần trong đó: Vì vậy, chúng tôi sẽ có. Mẫu số của một phân số thực sự có các nghiệm thực khác nhau: và do đó sự phân rã của nó thành các phân số đơn giản có dạng Do đó chúng ta tìm thấy. Cho các giá trị của đối số x bằng các nghiệm của mẫu số, từ đẳng thức này ta thấy: Do đó, tích phân cần tìm sẽ bằng Ví dụ 8. Tìm tích phân 4 Tích phân là một phân số thực sự, mẫu số của nó có hai nghiệm thực khác nhau: x - O bội số của 1 và x = 1 của bội số 3, Do đó, việc khai triển tích phân thành các phân số đơn giản có dạng Đưa vế phải của đẳng thức này về mẫu số chung và rút gọn cả hai vế của đẳng thức theo mẫu số này, chúng ta thu được hoặc. Chúng ta đánh đồng các hệ số của cùng lũy thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức này: Từ đây chúng ta tìm thấy. Thay các giá trị tìm được của các hệ số vào khai triển ta sẽ có Tích phân ta tìm được: Ví dụ 9. Tìm tích phân 4 Mẫu số của phân số không có nghiệm thực. Do đó, việc khai triển tích phân thành các phân số đơn giản có dạng Do đó hoặc Phương trình các hệ số cho cùng lũy thừa của x ở vế trái và phải của đẳng thức này, chúng ta sẽ có từ nơi chúng ta tìm thấy và do đó, Nhận xét. Trong ví dụ đã cho, hàm tích phân có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản theo cách đơn giản hơn, cụ thể là trong tử số của phân số, chúng ta chọn nhị phân nằm trong mẫu số, sau đó chúng ta thực hiện phép chia từng số hạng : §số 8. Tích hợp các hàm vô tỉ Một hàm có dạng trong đó Pm và £?� lần lượt là các đa thức có loại bậc trong các biến uub2,... được gọi là hàm hữu tỉ của ubu2j... Ví dụ, đa thức bậc hai trong hai biến u\ và u2 có dạng trong đó - một số hằng số thực, và Ví dụ 1, Hàm số là hàm hữu tỷ của các biến r và y, vì nó biểu thị tỉ số của một đa thức bậc ba và một đa thức của bậc năm, nhưng không phải là hàm thủy tùng. Trong trường hợp các biến lần lượt là hàm của biến w: thì hàm ] được gọi là hàm hữu tỉ của các hàm trong Ví dụ. Hàm là hàm hữu tỉ của r và rvdikvlv Pryaivr 3. Hàm có dạng không phải là hàm hữu tỉ của x và căn thức y/r1 + 1, nhưng nó là hàm hữu tỉ của các hàm. các hàm không phải lúc nào cũng được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản. Ví dụ, tích phân thường gặp trong ứng dụng không được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản; những tích phân này lần lượt được gọi là tích phân elip loại một và loại hai. Chúng ta hãy xem xét những trường hợp khi sự tích hợp của các hàm số vô tỷ có thể được giảm bớt, với sự trợ giúp của một số phép thay thế, thành tích phân của các hàm hữu tỉ. 1. Cần tìm tích phân trong đó R(x, y) là hàm hữu tỷ của các đối số x và y của nó; m £ 2 - số tự nhiên; a, 6, c, d là các hằng số thực thỏa mãn điều kiện ad - bc ^ O (với ad - be = 0 thì các hệ số a và b tỷ lệ thuận với các hệ số c và d nên mối quan hệ không phụ thuộc vào x ; điều này có nghĩa là trong trường hợp này hàm tích phân sẽ là hàm hữu tỷ của biến x, phép tích phân của nó đã được thảo luận trước đó). Hãy thực hiện một phép đổi biến trong tích phân này, đặt Do đó chúng ta biểu diễn biến x thông qua một biến mới, ta có x = - hàm hữu tỉ của t. Tiếp theo, chúng ta tìm hoặc, sau khi đơn giản hóa, Do đó, trong đó A1 (t) là hàm hữu tỉ của *, vì funadia hữu tỉ của hàm hữu tỉ, cũng như tích của các hàm hữu tỉ, là các hàm hữu tỉ. Chúng tôi biết cách tích hợp các hàm hợp lý. Giả sử tích phân cần tìm bằng At. Tích phân IvYti 4 Hàm integrand* là hàm hữu tỉ của. Do đó, ta đặt t = Then Tích phân các hàm hữu tỉ Thông tin tóm tắt về các hàm hữu tỉ Tích phân các phân số đơn giản Trường hợp tổng quát Tích phân các hàm vô tỷ Phép thay thế thứ nhất của Euler Phép thay thế thứ hai của Euler Phép thay thế thứ ba của Euler Như vậy, ta thu được Nguyên mẫu 5. Tìm tích phân Mẫu số chung của phân số số mũ của x bằng 12 nên tích phân của hàm số có thể biểu diễn dưới dạng 1 _ 1_ chứng tỏ đó là hàm hữu tỉ của: Xét điều này, ta đặt. Do đó, 2. Xét các inteph có dạng trong đó hàm dưới nội tạng sao cho bằng cách thay thế căn thức \/ax2 + bx + c trong đó bằng y, chúng ta thu được hàm R(x) y) - hữu tỷ đối với cả hai đối số x và y. Tích phân này được rút gọn thành tích phân của hàm hữu tỉ của một biến khác bằng cách sử dụng phép thế Euler. 8.1. Phép thay thế đầu tiên của Euler Cho hệ số a > 0. Chúng ta đặt hoặc Do đó chúng ta tìm thấy x là hàm hữu tỷ của u, nghĩa là Do đó, phép thay thế được chỉ định biểu thị một cách hợp lý theo *. Vì vậy, chúng tôi sẽ có một nhận xét. Phép thế Euler thứ nhất cũng có thể có dạng Ví dụ 6. Hãy tìm tích phân Do đó ta sẽ có phép thế Euler dx, chứng tỏ Y 8.2. Phép thay thế thứ hai của Euler Giả sử tam thức ax2 + bx + c có nghiệm thực R] và x2 khác nhau (hệ số có thể có bất kỳ dấu nào). Trong trường hợp này, chúng ta giả sử Từ đó chúng ta thu được Vì x,dxn y/ax2 + be + c được biểu diễn một cách hữu tỉ theo t, nên tích phân ban đầu được rút gọn thành tích phân của một hàm hữu tỉ, tức là trong đó Bài toán. Sử dụng phép thế Euler thứ nhất, chứng tỏ rằng đó là hàm số hữu tỷ của t. Ví dụ 7. Tìm hàm số dx M] - x1 có nghiệm thực khác nhau. Do đó, chúng ta áp dụng phép thế Euler thứ 2. Từ đây chúng ta tìm thấy. Thay các biểu thức tìm được vào Given?v*gyvl; chúng tôi nhận được 8,3. Substascom Euler thứ ba Cho hệ số c > 0. Chúng ta thực hiện phép đổi biến bằng cách đặt. Lưu ý rằng để quy tích phân thành tích phân của hàm hữu tỷ, phép thay thế Euler thứ nhất và thứ hai là đủ. Trong thực tế, nếu biệt thức b2 -4ac > 0 thì nghiệm của tam thức bậc hai ax + bx + c là số thực, và trong trường hợp này phép thế Euler thứ hai được áp dụng. Nếu thì dấu của tam thức ax2 + bx + c trùng với dấu của hệ số a, và vì tam thức phải dương nên a > 0. Trong trường hợp này, phép thay thế Euler đầu tiên được áp dụng. Để tìm tích phân thuộc loại đã chỉ ra ở trên, không phải lúc nào cũng nên sử dụng phép thay thế Euler, vì đối với chúng, có thể tìm các phương pháp tích phân khác dẫn đến mục tiêu nhanh hơn. Chúng ta hãy xem xét một số tích phân này. 1. Để tìm tích phân dạng, hãy tách bình phương hoàn hảo khỏi bình phương của tam thức thứ: trong đó Sau đó, thực hiện thay thế và nhận được hệ số a và P có dấu khác nhau hoặc cả hai đều dương. Với và cả với a > 0, tích phân sẽ được rút gọn thành logarit, và nếu vậy, thành arcsine. Tại. Tìm tích phân 4 Sokak rồi. Giả sử chúng ta nhận được Prmmar 9. Tìm. Giả sử x - thì ta sẽ có 2. Tích phân dạng tích phân được quy về tích phân y từ bước 1 như sau. Xét đạo hàm ()" = 2, ta đánh dấu ở tử số: 4 Ta xác định đạo hàm của biểu thức căn thức ở tử số. Vì (x nên ta sẽ có, xét đến kết quả của ví dụ 9, 3. Tích phân có dạng trong đó P(x) là đa thức bậc n, có thể được tìm bằng phương pháp hệ số không xác định, bao gồm: Giả sử đẳng thức đúng. Ví dụ 10. Tích phân lớn trong đó Qn-i (s) là đa thức bậc (n - 1) có hệ số không xác định: Để tìm các hệ số chưa biết | ta lấy vi phân cả hai vế của (1): Sau đó quy gọn vế phải của đẳng thức (2) về mẫu số chung bằng mẫu số của vế trái, tức là y/ax2 + bx + c, rút gọn cả hai vế của (2), nhờ đó, ta thu được đẳng thức hai vế chứa đa thức bậc n. bên trái và bên phải của (3), ta thu được phương trình n + 1, từ đó tìm được các hệ số cần tìm j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Thay giá trị của chúng vào vế phải của (1) và tìm tích phân + c ta được đáp án cho tích phân này. Ví dụ 11. Tìm tích phân Hãy đặt Vi phân cả hai bộ đẳng thức, ta sẽ có Đưa vế phải về mẫu số chung và rút gọn cả hai vế, ta được đẳng thức hoặc. Đánh đồng các hệ số có cùng lũy thừa của x, ta thu được hệ phương trình từ đó tìm được = Khi đó ta tìm tích phân ở vế phải của đẳng thức (4): Do đó, tích phân cần tìm sẽ bằng Đáp án soạn sẵn về hàm tích phân được lấy từ bài kiểm tra dành cho sinh viên năm 1, năm 2 khoa Toán. Để đảm bảo rằng các công thức trong bài toán và đáp án không lặp lại các điều kiện của bài tập, chúng ta sẽ không viết ra các điều kiện. Bạn đã biết rằng trong các bài toán bạn cần phải “Tìm tích phân” hoặc “Tính tích phân”. Vì vậy, nếu bạn cần câu trả lời về tích hợp thì hãy bắt đầu nghiên cứu các ví dụ sau. Ví dụ 18. Chúng ta thực hiện phép đổi biến theo tích phân. Để đơn giản hóa các phép tính, chúng ta không chỉ chọn gốc mà còn chọn toàn bộ mẫu số cho biến mới. Sau khi thay thế như vậy, tích phân được chuyển thành tổng của hai tích phân bảng, không cần đơn giản hóa Sau khi tích hợp, chúng tôi thay thế cho biến. Ví dụ 20. Chúng ta cần tìm tích phân của sin lũy thừa 7. Theo quy tắc, một sin cần được đưa vào vi phân (ta được vi phân của cosin), và sin lũy thừa 6 phải được viết thông qua cosin. Do đó, chúng ta đi đến tích phân từ hàm của biến mới t = cos (x). Trong trường hợp này, bạn sẽ phải mang lại sự khác biệt cho khối lập phương, sau đó tích phân Định nghĩa 1 Tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm $y=f(x)$, được xác định trên một phân đoạn nhất định, được gọi là tích phân bất định của một hàm $y=f(x)$ đã cho. Tích phân không xác định được ký hiệu bằng ký hiệu $\int f(x)dx $. Bình luận Định nghĩa 2 có thể được viết như sau: \[\int f(x)dx =F(x)+C.\] Không phải mọi hàm số vô tỷ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân thông qua các hàm cơ bản. Tuy nhiên, hầu hết các tích phân này có thể được rút gọn bằng cách thay thế các tích phân của các hàm hữu tỷ, có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản. $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $; $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $; $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $. Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ cần thực hiện phép thay thế sau: Với sự thay thế này, mỗi lũy thừa phân số của biến $x$ được biểu thị thông qua lũy thừa nguyên của biến $t$. Kết quả là hàm tích phân được chuyển thành hàm hữu tỷ của biến $t$. ví dụ 1 Thực hiện tích hợp: \[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\] Giải pháp: $k=4$ là mẫu số chung của các phân số $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $. \ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(mảng)\] \[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\] Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ cần phải thực hiện phép thay thế sau: trong đó $k$ là mẫu số chung của các phân số $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $. Kết quả của sự thay thế này là hàm số nguyên được chuyển thành hàm hữu tỉ của biến $t$. Ví dụ 2 Thực hiện tích hợp: \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\] Giải pháp: Hãy thực hiện phép thay thế sau: \ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\] Sau khi thực hiện thay thế ngược lại, chúng ta nhận được kết quả cuối cùng: \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\] Khi tìm tích phân có dạng $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, cái gọi là phép thay thế Euler được thực hiện (một trong ba phép thay thế có thể là đã sử dụng). Euler thay người đầu tiên
Đối với trường hợp $a> Lấy dấu “+” trước $\sqrt(a) $, ta có Ví dụ 3 Thực hiện tích hợp: \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\] Giải pháp: Hãy thực hiện phép thay thế sau (trường hợp $a=1>0$): \[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \] Sau khi thực hiện thay thế ngược lại, chúng ta nhận được kết quả cuối cùng: \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\] Euler thay người thứ hai
Đối với trường hợp $c>0$ cần thực hiện phép thay thế sau: Lấy dấu “+” đứng trước $\sqrt(c) $, ta có Ví dụ 4 Thực hiện tích hợp: \[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\] Giải pháp: Hãy thực hiện phép thay thế sau: \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\] \ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \ $\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Đã làm ngược lại thay thế, chúng tôi nhận được kết quả cuối cùng: \[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( mảng)\] Euler thay người thứ ba
(x)
▲
▲
Giải pháp. Đặt s = s(t) là quy luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s"(t) = v(t). Nghĩa là để giải bài toán cần chọn hàm số s = s(t), đạo hàm của hàm này bằng gt. Không khó đoán rằng \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Trên thực tế
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Trả lời: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
1) Hàm số y = x 2 là nguyên hàm của hàm y = 2x, vì với mọi x đẳng thức (x 2)" = 2x đều đúng
2) Hàm số y = x 3 là nguyên hàm của hàm số y = 3x 2, vì với mọi x đẳng thức (x 3)" = 3x 2 đều đúng
3) Hàm số y = sin(x) là nguyên hàm của hàm y = cos(x), vì với mọi x đẳng thức (sin(x))" = cos(x) đều đúng Phương pháp tích hợp
Cần phải tính tích phân \(\textstyle \int F(x)dx \). Hãy thay thế \(x= \varphi(t) \) trong đó \(\varphi(t) \) là một hàm có đạo hàm liên tục.
Khi đó \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) và dựa trên tính chất bất biến của công thức tích phân cho tích phân không xác định, chúng ta thu được công thức tích phân bằng cách thay thế:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Nếu n lẻ, n > 0 thì sẽ thuận tiện hơn khi thay thế cos x = t.
Nếu n và m chẵn thì việc thay thế tg x = t sẽ thuận tiện hơn.
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
hoặc:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)Bảng tích phân bất định (nguyên hàm) của một số hàm số
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$ Tích hợp các chức năng vô tỷ
Ví dụ 19. Rất nhiều thời gian và không gian đã được dành cho việc tích hợp hàm vô tỷ phân số này và chúng tôi thậm chí không biết liệu bạn có thể tìm ra nó từ máy tính bảng hay điện thoại hay không. Để loại bỏ tính vô tỷ, và ở đây chúng ta đang xử lý căn bậc ba, chúng ta chọn hàm gốc lũy thừa ba cho biến mới. Tiếp theo, chúng ta tìm vi phân và thay thế hàm trước bằng tích phân 
Phần tốn thời gian nhất là lập kế hoạch cho một hàm mới cho quan hệ lũy thừa và phân số. 
Sau khi biến đổi, chúng ta tìm ngay một số tích phân và viết tích phân cuối cùng thành hai, chúng ta biến đổi theo công thức tích phân dạng bảng 
Sau khi tính toán xong, đừng quên quay lại việc thay thế đã thực hiện lúc đầu 
Tích hợp các hàm lượng giác
Kết quả là chúng ta thu được đa thức bậc 7 tính bằng cosin.
Ví dụ 21. Trong tích phân này, cần viết cosin bậc 4 trong công thức lượng giác thông qua sự phụ thuộc vào cosin bậc một. Tiếp theo, chúng ta áp dụng công thức dạng bảng để tích phân cosine. 
Ví dụ 22. Theo tích phân ta có tích sin và cos. Theo công thức lượng giác, chúng ta viết tích thông qua hiệu của các sin. Làm thế nào mà cây cung này có được có thể được hiểu từ việc phân tích các hệ số cho “x”. Tiếp theo chúng ta tích phân các sin 
Ví dụ 23. Ở đây chúng ta có cả hàm sin và hàm cosin ở mẫu số. Hơn nữa, các công thức lượng giác sẽ không giúp đơn giản hóa sự phụ thuộc. Để tìm tích phân, chúng ta áp dụng phép thay thế lượng giác phổ quát t=tan(x/2)
Từ bản ghi, rõ ràng là các mẫu số sẽ triệt tiêu và chúng ta sẽ nhận được một tam thức bình phương ở mẫu số của phân số. Trong đó chúng tôi chọn một hình vuông hoàn chỉnh và một phần miễn phí. Sau khi tích phân, chúng ta thu được logarit của hiệu giữa các thừa số nguyên tố của mẫu số. Để đơn giản hóa ký hiệu, cả tử số và mẫu số theo logarit đều được nhân với hai. 
Khi kết thúc phép tính, thay vì biến, chúng ta thay tang của một nửa đối số.
Ví dụ 24. Để tích phân hàm số, chúng ta lấy bình phương của cosin ra khỏi ngoặc, rồi trừ và cộng 1 trong ngoặc để có cotang. 
Tiếp theo, chúng ta chọn cotang u = ctg(x) cho biến mới, vi phân của nó sẽ cho ta hệ số cần đơn giản hóa. Sau khi thay thế, chúng ta thu được một hàm mà khi lấy tích phân sẽ cho ra arctang. 
Vâng, đừng quên đổi u thành cotang.
Ví dụ 25. Trong nhiệm vụ cuối cùng của bài kiểm tra, bạn cần tích phân cotang của một góc đôi với bậc 4. 
Tại thời điểm này, bài kiểm tra về tích hợp đã được giải quyết và không một giáo viên nào sẽ tìm ra lỗi trong câu trả lời và biện minh cho các phép biến đổi.
Nếu bạn học cách tích phân như thế này, thì các bài kiểm tra hoặc phần về chủ đề tích phân sẽ không đáng sợ đối với bạn. Mọi người khác đều có cơ hội tìm hiểu hoặc đặt hàng các giải pháp tích phân từ chúng tôi (hoặc đối thủ cạnh tranh của chúng tôi :)))).TÔI
II
III
