Tiểu chính. Tìm thứ hạng của ma trận: phương pháp và ví dụ

Định thức ma trận thường được sử dụng trong giải tích, đại số tuyến tính và hình học giải tích. Bên ngoài thế giới học thuật, định thức ma trận luôn luôn cần thiết đối với các kỹ sư và lập trình viên, đặc biệt là những người làm việc với đồ họa máy tính. Nếu bạn đã biết cách tìm định thức của ma trận 2x2 thì công cụ duy nhất bạn cần để tìm định thức của ma trận 3x3 là phép cộng, phép trừ và phép nhân.

bước

Tìm định thức

Viết ma trận 3 x 3. Chúng ta hãy viết ra một ma trận có kích thước 3 x 3, ký hiệu là M, và tìm định thức |M| của nó. Sau đây là ký hiệu ma trận chung mà chúng tôi sẽ sử dụng và ma trận cho ví dụ của chúng tôi:

M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

Chọn một hàng hoặc cột của ma trận. Hàng (hoặc cột) này sẽ là tham chiếu. Kết quả sẽ giống nhau cho dù bạn chọn hàng hay cột nào. Đối với ví dụ này, hãy lấy dòng đầu tiên. Sau này bạn sẽ tìm thấy một số mẹo về cách chọn hàng hoặc cột để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn.
- Hãy chọn hàng đầu tiên của ma trận M trong ví dụ của chúng tôi. Khoanh tròn các số 1 5 3. Ở dạng tổng quát, khoanh tròn a 11 a 12 a 13 .
Gạch bỏ hàng hoặc cột với mục đầu tiên. Tham khảo hàng tham chiếu (hoặc cột tham chiếu) và chọn phần tử đầu tiên. Vẽ một đường ngang và dọc thông qua phần tử này, do đó gạch bỏ cột và hàng có phần tử này. Sẽ còn lại bốn số. Chúng ta sẽ coi những phần tử này là một ma trận 2 x 2 mới.
- Trong ví dụ của chúng tôi, hàng tham chiếu sẽ là 1 5 3. Phần tử đầu tiên nằm ở giao điểm của cột đầu tiên và hàng đầu tiên. Gạch bỏ hàng và cột có phần tử này, tức là dòng đầu tiên và cột đầu tiên. Viết các phần tử còn lại dưới dạng ma trận 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Tìm định thức của ma trận 2 x 2. Hãy nhớ rằng định thức của ma trận (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix))) tính như ad-bc. Từ đó, bạn có thể tính định thức của ma trận 2 x 2 thu được, mà bạn có thể ký hiệu là X nếu muốn. Nhân hai số của ma trận X, nối theo đường chéo từ trái sang phải (nghĩa là như thế này: \) . Sau đó trừ kết quả của phép nhân chéo hai số còn lại từ phải sang trái (tức là như thế này: /). Hãy sử dụng công thức này để tính định thức của ma trận bạn vừa thu được.

Nhân câu trả lời thu được với phần tử ma trận đã chọn M. Hãy nhớ phần tử nào từ hàng (hoặc cột) tham chiếu mà chúng ta đã sử dụng khi gạch bỏ các phần tử khác trong hàng và cột để có ma trận mới. Nhân phần tử này với phần tử thu được (định thức của ma trận 2x2, mà chúng ta ký hiệu là X).
- Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đã chọn phần tử a 11, bằng 1. Nhân nó với -34 (định thức của ma trận 2x2) và chúng tôi nhận được 1*-34 = -34 .
Xác định dấu của kết quả thu được. Tiếp theo, bạn sẽ cần nhân kết quả với 1 hoặc -1 để có được phần bù đại số (đồng yếu tố) phần tử đã chọn. Dấu của cofactor sẽ phụ thuộc vào vị trí của phần tử trong ma trận 3x3. Hãy nhớ sơ đồ ký hiệu đơn giản này để biết dấu hiệu của đồng yếu tố:
Lặp lại tất cả các bước trên với phần tử thứ hai của hàng (hoặc cột) tham chiếu. Quay trở lại ma trận 3x3 ban đầu và hàng chúng ta đã khoanh tròn ở đầu phép tính. Lặp lại tất cả các hành động với phần tử này:
- Gạch bỏ hàng và cột có phần tử này. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi phải chọn phần tử a 12 (bằng 5). Gạch bỏ hàng đầu tiên (1 5 3) và cột thứ hai (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) ma trận.
- Viết các phần tử còn lại dưới dạng ma trận 2x2. Trong ví dụ của chúng tôi, ma trận sẽ trông giống như (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
- Tìm định thức của ma trận 2x2 mới này. Sử dụng công thức ad - bc ở trên. (2*2 - 7*4 = -24)
- Nhân định thức thu được với phần tử đã chọn của ma trận 3x3. -24 * 5 = -120
- Kiểm tra xem bạn có cần nhân kết quả với -1 không. Hãy sử dụng công thức (-1) ij để xác định dấu của phần bù đại số. Đối với phần tử a 12 mà chúng tôi đã chọn, dấu “-” được biểu thị trong bảng; công thức cho kết quả tương tự. Tức là chúng ta phải đổi dấu: (-1)*(-120) = 120 .
Lặp lại với phần tử thứ ba. Tiếp theo, bạn sẽ cần tìm thêm một phần bù đại số nữa. Tính toán nó cho phần tử cuối cùng của hàng tham chiếu hoặc cột tham chiếu. Sau đây là mô tả ngắn gọn về cách tính phần bù đại số của 13 trong ví dụ của chúng tôi:
- Gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ ba để có được ma trận (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
- Định thức của nó là 2*6 - 4*4 = -4.
- Nhân kết quả với phần tử a 13: -4 * 3 = -12.
- Phần tử a 13 có dấu + ở bảng trên nên đáp án sẽ là -12 .
Cộng các kết quả lại.Đây là bước cuối cùng. Bạn cần thêm phần bù đại số thu được của các phần tử của hàng tham chiếu (hoặc cột tham chiếu). Cộng chúng lại với nhau và bạn sẽ nhận được giá trị của định thức của ma trận 3x3.
- Trong ví dụ của chúng tôi, định thức bằng -34 + 120 + -12 = 74 .
Làm thế nào để đơn giản hóa nhiệm vụ
1. Chọn hàng (hoặc cột) tham chiếu có nhiều số 0 hơn. Hãy nhớ rằng bạn có thể chọn làm tài liệu tham khảo bất kì hàng hoặc cột. Việc lựa chọn hàng hoặc cột tham chiếu không ảnh hưởng đến kết quả. Nếu bạn chọn hàng có nhiều số 0 nhất, bạn sẽ phải thực hiện ít phép tính hơn vì bạn sẽ chỉ cần tính phần bù đại số cho các phần tử khác 0. Đó là lý do tại sao:
  - Giả sử bạn đã chọn hàng 2 có các phần tử a 21 , a 22 và a 23 . Để tìm định thức, bạn sẽ cần tìm định thức của ba ma trận 2x2 khác nhau. Hãy gọi chúng là A 21, A 22 và A 23.
  - Nghĩa là định thức của ma trận 3x3 bằng 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
  - Nếu cả 22 và 23 đều bằng 0 thì công thức của chúng ta sẽ ngắn hơn nhiều 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. Nghĩa là, chỉ cần tính phần bù đại số của một phần tử.
2. Sử dụng phép cộng hàng để đơn giản hóa ma trận. Nếu bạn lấy một hàng và thêm một hàng khác vào đó thì định thức của ma trận sẽ không thay đổi. Điều này cũng đúng với các cột. Bạn có thể thực hiện việc này nhiều lần hoặc có thể nhân các giá trị chuỗi với một hằng số (trước khi cộng) để nhận được nhiều số 0 nhất có thể. Làm điều này có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian.
  - Ví dụ: chúng ta có một ma trận gồm ba hàng: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
  - Để loại bỏ số 9 thay cho phần tử a 11 , chúng ta có thể nhân dòng thứ hai với -3 và cộng kết quả vào dòng đầu tiên. Dòng đầu tiên mới sẽ là + [-9 -3 0] = .
  - Tức là ta được một ma trận mới (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))) Hãy thử làm tương tự với các cột để lấy số 0 thay cho phần tử a 12.
3. Hãy nhớ rằng việc tính định thức của ma trận tam giác dễ dàng hơn nhiều.Định thức của ma trận tam giác được tính bằng tích các phần tử trên đường chéo chính, từ 11 ở góc trên bên trái đến 33 ở góc dưới bên phải. Trong trường hợp này chúng ta đang nói về ma trận tam giác có kích thước 3x3. Ma trận tam giác có thể có các loại sau, tùy thuộc vào vị trí khác không giá trị:
  - Ma trận tam giác trên: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm trên và trên đường chéo chính. Tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0.
  - Ma trận tam giác dưới: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm bên dưới và trên đường chéo chính.
  - Ma trận đường chéo: Tất cả các phần tử khác 0 đều nằm trên đường chéo chính. Đây là trường hợp đặc biệt của ma trận được mô tả ở trên.
  - Phương pháp được mô tả áp dụng cho ma trận vuông ở cấp bất kỳ. Ví dụ: nếu bạn sử dụng nó cho ma trận 4x4, thì sau khi “gạch bỏ” sẽ còn lại các ma trận 3x3, định thức sẽ được tính theo cách trên. Hãy chuẩn bị cho thực tế rằng việc tính toán định thức cho các ma trận có kích thước như vậy theo cách thủ công là một công việc tốn rất nhiều công sức!
  - Nếu tất cả các phần tử của một hàng hoặc cột đều bằng 0 thì định thức của ma trận cũng bằng 0.

Hãy để ma trận làm nổi bật
bất kỳ k hàng và k cột, k và k. Các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột này tạo thành ma trận vuông A¢ có bậc k ( ma trận con ma trận A).
Định thức của nó được gọi là định thức thứ k của ma trận A cho trước. Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát có thể có một số định thức thứ k của ma trận A. Trong trường hợp này, bậc tối đa của các số trẻ bằng giá trị nhỏ nhất của các số m và n, tức là. . Từ tất cả các phần tử nhỏ có thể có của ma trận A, chúng ta chọn những phần tử khác 0. Đổi lại, trong số những trẻ vị thành niên này, người ta có thể tìm thấy ít nhất một trẻ vị thành niên có thứ tự cao nhất.

Sự định nghĩa. Bậc cao nhất của số thứ khác 0 được gọi là hạng của ma trận.

Sự định nghĩa. Một phần nhỏ khác 0 của ma trận có cấp bằng với hạng của ma trận được gọi là phần cơ sở của ma trận này.

Hàng và cột tại giao nhau có phần cơ sở được gọi là nền tảng.

Nói chung, một ma trận có thể có nhiều ma trận cơ sở.

Định lý chính sau đây, mà chúng tôi trình bày mà không cần chứng minh, đóng một vai trò quan trọng.

Định lý 3.6.(về tiểu cơ bản). Các hàng cơ sở (cột cơ sở) của ma trận độc lập tuyến tính. Bất kỳ hàng (cột bất kỳ) nào của ma trận A đều là tổ hợp tuyến tính của các hàng cơ bản (cột cơ bản).

Vì vậy, nếu hạng của ma trận A là r, thì ma trận này phải có phần tử phụ r thứ tự, khác 0, và tất cả các thứ cấp có thứ tự lớn hơn r, đều bằng không.

Trước đây, thứ hạng của ma trận được định nghĩa là số lượng lớn nhất các hàng vectơ độc lập tuyến tính (cột). Trong một khóa học đại số, người ta đã chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương nhau. Điều này giúp tính được hạng của ma trận và do đó có thể tính được hạng của hệ vectơ.

Ví dụ. Tìm tất cả các cơ số thứ của ma trận

A= .

○ Bất kỳ thứ nào của ma trận bậc ba A đều bằng 0, vì nó chứa một hàng bằng 0. Chúng ta sẽ tìm được các số hạng bậc hai khác 0.

, , , , .

Trong số các phần tử bậc hai có những phần tử khác 0, nghĩa là hạng của ma trận A là 2 và các phần tử cơ sở là . ●

Định lý 3.7.Để định thức bậc n bằng 0, điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

□ 1) Giả sử định thức của ma trận vuông cấp A N bằng không. Khi đó cấp tối đa của các số bé khác 0 phải nhỏ hơn N; do đó, hạng của ma trận A nhỏ hơn N. Điều này có nghĩa là hệ thống tất cả các hàng của ma trận phụ thuộc tuyến tính.

2) Nếu các đường thẳng A 1, A 2,…, A m của định thức phụ thuộc tuyến tính,
thì theo tính chất phụ thuộc tuyến tính 6° một đường thẳng A Tôi là tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại của định thức, tức là

Thêm vào dòng A Tôi Sự kết hợp tuyến tính này, nhân với (–1), sẽ tạo ra một dòng bao gồm toàn số 0 và dựa trên tính chất 7° của định thức, giá trị của định thức sẽ không thay đổi. Nhưng khi đó, theo tính chất 2°, định thức bằng 0. ■

Ví dụ. Chứng minh rằng vectơ Một 1 =(2;–1;3), Một 2 =(–1;1;0), Một 3 =(1;1;6) là đồng phẳng.

○ Ba vectơ ba chiều khác 0 là đồng phẳng nếu chúng phụ thuộc tuyến tính. Hãy soạn một định thức từ tọa độ của các vectơ này

Vì định thức bằng 0 nên các hàng của nó phụ thuộc tuyến tính, có nghĩa là các vectơ phụ thuộc tuyến tính Một 1 =(2;–1;3), Một 2 =(–1;1;0), Một 3 =(1;1;6), do đó chúng đồng phẳng. ●

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm về phần bù đại số và phần phụ. Việc trình bày tài liệu dựa trên các thuật ngữ được giải thích trong chủ đề "Ma trận. Các loại ma trận. Thuật ngữ cơ bản". Chúng ta cũng sẽ cần một số công thức để tính định thức. Vì chủ đề này chứa rất nhiều thuật ngữ liên quan đến phần bù thứ và đại số nên tôi sẽ thêm một bản tóm tắt ngắn gọn để giúp bạn dễ dàng điều hướng tài liệu hơn.

$M_(ij)$ thứ của phần tử $a_(ij)$

$M_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ ma trận $A_(n\times n)$ đặt tên cho định thức của ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j (tức là hàng và cột tại giao điểm trong đó phần tử nằm ở vị trí $a_(ij)$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc bốn: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$. Hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(32)$, tức là hãy tìm $M_(32)$. Đầu tiên, hãy viết $M_(32)$ nhỏ rồi tính giá trị của nó. Để soạn $M_(32)$, chúng ta xóa hàng thứ ba và cột thứ hai khỏi ma trận $A$ (chính tại giao điểm của hàng thứ ba và cột thứ hai mà phần tử $a_(32)$ nằm ). Chúng ta sẽ thu được một ma trận mới, định thức của ma trận này là cần số $M_(32)$:

Phần nhỏ này dễ dàng tính toán bằng công thức số 2 từ chủ đề tính toán:

$$ M_(32)=\left| \begin(mảng) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(mảng) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(32)$ là 579, tức là $M_(32)=579$.

Thông thường, thay vì cụm từ “phần tử ma trận thứ yếu” trong tài liệu, người ta lại tìm thấy “yếu tố thứ yếu xác định”. Bản chất vẫn giữ nguyên: để thu được phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$, bạn cần gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j khỏi định thức ban đầu. Các phần tử còn lại được viết thành một định thức mới, là định thức thứ của phần tử $a_(ij)$. Ví dụ: hãy tìm phần tử thứ của phần tử $a_(12)$ của định thức $\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(mảng) \right|$. Để viết ra $M_(12)$ thứ cần thiết, chúng ta cần xóa hàng đầu tiên và cột thứ hai khỏi định thức đã cho:

Để tìm giá trị của phần này, chúng ta sử dụng công thức số 1 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M_(12)=\left| \begin(mảng) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(mảng) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Vì vậy, số thứ của phần tử $a_(12)$ là 83, tức là $M_(12)=83$.

Phần bù đại số $A_(ij)$ của phần tử $a_(ij)$

Cho một ma trận vuông $A_(n\times n)$ (tức là một ma trận vuông cấp n).

Phần bù đại số$A_(ij)$ yếu tố$a_(ij)$ của ma trận $A_(n\times n)$ được tìm thấy theo công thức sau: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

trong đó $M_(ij)$ là phần tử thứ của phần tử $a_(ij)$.

Chúng ta hãy tìm phần bù đại số của phần tử $a_(32)$ của ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, tức là hãy tìm $A_(32)$. Trước đây chúng tôi đã tìm thấy $M_(32)=579$ nhỏ, vì vậy chúng tôi sử dụng kết quả thu được:

Thông thường, khi tìm phần bù đại số, phần bù đại số không được tính riêng mà chỉ sau đó phần bù đó mới được tính. Ghi chú nhỏ bị bỏ qua. Ví dụ: hãy tìm $A_(12)$ nếu $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end ( mảng) \right)$. Theo công thức $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Tuy nhiên, để có được $M_(12)$ chỉ cần gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ hai của ma trận $A$ là đủ, vậy tại sao lại đưa ra một ký hiệu bổ sung cho số thứ? Chúng ta hãy viết ngay biểu thức của phần bù đại số $A_(12)$:

Thứ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$

Nếu ở hai đoạn trước chúng ta chỉ nói về ma trận vuông thì ở đây chúng ta cũng sẽ nói về ma trận hình chữ nhật, trong đó số hàng không nhất thiết phải bằng số cột. Vì vậy, hãy cho ma trận $A_(m\times n)$, tức là. một ma trận gồm m hàng và n cột.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận $A_(m\times n)$ là định thức có các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng và k cột của ma trận $A$ (giả sử $k< m$ và $k< n$).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ và viết ra cái gì -hoặc thứ ba nhỏ. Để viết số thứ ba bậc ba, chúng ta cần chọn ba hàng và ba cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ: lấy các hàng được đánh số 2, 4, 6 và các cột được đánh số 1, 2, 4. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ đặt các phần tử của phần tử phụ được yêu cầu. Trong hình, các phần tử phụ được hiển thị bằng màu xanh lam:

Thứ tự thứ nhất được tìm thấy ở giao điểm của một hàng và một cột, tức là. cấp số thứ nhất bằng các phần tử của ma trận đã cho.

Bậc thứ k của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ được gọi chủ yếu, nếu trên đường chéo chính của một phần tử cho trước chỉ có các phần tử đường chéo chính của ma trận $A$.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phần tử đường chéo chính là các phần tử của ma trận có chỉ số bằng nhau: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$, v.v. Ví dụ: đối với ma trận $A$ được xem xét ở trên, các phần tử như vậy sẽ là $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8 đô la. Chúng được đánh dấu bằng màu hồng trong hình:

Ví dụ: nếu trong ma trận $A$, chúng ta gạch bỏ các hàng và cột được đánh số 1 và 3, thì tại giao điểm của chúng sẽ có các phần tử cấp hai, trên đường chéo chính sẽ chỉ có các phần tử đường chéo của ma trận $A$ (các phần tử $a_(11) =-1$ và $a_(33)=18$ của ma trận $A$). Do đó, chúng ta có được một thứ chính thứ hai:

Đương nhiên, chúng ta có thể lấy các hàng và cột khác, chẳng hạn như số 2 và 4, từ đó thu được một thứ chính khác của thứ tự thứ hai.

Giả sử một số $M$ thứ k của ma trận $A_(m\times n)$ không bằng 0, tức là. $M\neq 0$. Trong trường hợp này, tất cả các trẻ vị thành niên có thứ tự cao hơn k đều bằng 0. Khi đó $M$ nhỏ được gọi nền tảng, và các hàng và cột chứa các phần tử của phần tử cơ bản được gọi là chuỗi cơ sở Và cột cơ sở.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Chúng ta hãy viết số thứ của ma trận này, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của các hàng đánh số 1, 2, 3 và các cột đánh số 1, 3, 4. Ta được một số thứ ba:

Chúng ta hãy tìm giá trị của thứ này bằng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M=\left| \begin(mảng) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(mảng) \right|=4+3+6-2=11. $$

Vì vậy, $M=11\neq 0$. Bây giờ chúng ta hãy thử soạn bất kỳ trẻ vị thành niên nào có thứ tự cao hơn ba. Để tạo một thứ bậc bốn, chúng ta phải sử dụng hàng thứ tư, nhưng tất cả các phần tử của hàng này đều bằng 0. Do đó, bất kỳ trẻ vị thành niên bậc bốn nào cũng sẽ có một hàng bằng 0, có nghĩa là tất cả các trẻ vị thành niên bậc bốn đều bằng 0. Chúng ta không thể tạo cấp thứ năm trở lên vì ma trận $A$ chỉ có 4 hàng.

Chúng tôi đã tìm thấy cấp độ thứ ba không bằng 0. Trong trường hợp này, tất cả các số thứ cấp cao hơn đều bằng 0, do đó, số thứ mà chúng ta đang xem xét là cơ bản. Các hàng của ma trận $A$ chứa các phần tử của phần tử thứ này (hàng thứ nhất, thứ hai và thứ ba) là các hàng cơ bản và các cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư của ma trận $A$ là các cột cơ bản.

Tất nhiên, ví dụ này không quan trọng vì mục đích của nó là thể hiện rõ ràng bản chất của thể thứ cơ bản. Nói chung, có thể có một số trẻ vị thành niên cơ bản và thông thường quá trình tìm kiếm trẻ vị thành niên như vậy phức tạp và sâu rộng hơn nhiều.

Hãy giới thiệu một khái niệm khác - giáp ranh.

Cho bậc thứ k $M$ của ma trận $A_(m\times n)$ nằm ở giao điểm của k hàng và k cột. Hãy thêm một hàng và cột khác vào tập hợp các hàng và cột này. Cấp thứ (k+1)th kết quả được gọi là cạnh nhỏ với giá $M$ nhỏ.

Ví dụ: chúng ta hãy nhìn vào ma trận $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (mảng) \right)$. Hãy viết một số thứ tự thứ hai, các phần tử của chúng nằm ở giao điểm của hàng số 2 và số 5, cũng như cột số 2 và số 4.

Hãy thêm một hàng số 1 khác vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ phụ và cột số 5 vào tập hợp các cột. Chúng ta thu được một $M"$ thứ mới (đã thuộc bậc thứ ba), các phần tử của nó nằm ở giao điểm của các hàng số 1, số 2, số 5 và cột số 2, số 4, số 5. Các phần tử của $M$ thứ trong hình được đánh dấu bằng màu hồng và Các phần tử chúng ta thêm vào $M$ thứ có màu xanh lục:

$M"$ thứ là thứ tiếp giáp với $M$ thứ. Tương tự, thêm hàng số 4 vào tập hợp các hàng chứa các phần tử của $M$ thứ và cột số 3 vào tập hợp các các cột, chúng ta thu được $M""$ thứ (bậc thứ ba):

Âm thứ $M""$ cũng là âm thứ giáp với $M$ thứ.

Thứ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Bổ sung trẻ vị thành niên. Phần bù đại số của ma trận vuông.

Hãy quay trở lại ma trận vuông một lần nữa. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một trẻ vị thành niên bổ sung.

Cho một số $M$ thứ k của ma trận $A_(n\times n)$. Định thức bậc (n-k), các phần tử của nó thu được từ ma trận $A$ sau khi xóa các hàng và cột chứa $M$ thứ, được gọi là định thức thứ, bổ sung cho thứ yếu$M$.

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc năm: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Hãy chọn hàng số 1 và số 3, cũng như cột số 2 và số 5. Tại giao điểm của các hàng và cột này sẽ có các phần tử $M$ thứ cấp thứ hai:

Bây giờ, hãy xóa khỏi ma trận $A$ hàng số 1, số 3 và cột số 2 và số 5, tại giao điểm của chúng có các phần tử của $M$ phụ (các hàng và cột bị loại bỏ được hiển thị trong màu đỏ trong hình dưới đây). Các phần tử còn lại tạo thành $M"$ thứ:

$M"$ thứ, có thứ tự là $5-2=3$, là thứ bổ sung cho $M$ thứ.

Phần bù đại số cho trẻ vị thành niên$M$ của ma trận vuông $A_(n\times n)$ được gọi là biểu thức $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, trong đó $\alpha$ là tổng của số hàng và số cột của ma trận $A$, trên đó chứa các phần tử của $M$ thứ, và $M"$ là phần phụ của $M$ thứ.

Cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ” thường được thay thế bằng cụm từ “phần bù đại số của $M$ thứ”.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận $A$, trong đó chúng ta đã tìm thấy ma trận cấp hai $ M=\left| \begin(mảng) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ và thứ thứ ba bổ sung của nó: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (mảng) \right|$ Hãy ký hiệu phần bù đại số của $M$ thứ là $M^*$ Khi đó, theo định nghĩa:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Tham số $\alpha$ bằng tổng số hàng và số cột chứa $M$ phụ. Tiểu khu này nằm ở giao điểm của hàng số 1, số 3 và cột số 2, số 5. Do đó, $\alpha=1+3+2+5=11$. Vì thế:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$

Về nguyên tắc, sử dụng công thức số 2 từ chủ đề tính định thức bậc hai và bậc ba, bạn có thể hoàn thành phép tính, thu được giá trị $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin(mảng) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(mảng) \right|=-30. $$

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính số quan trọng. Bài toán điển hình nhất yêu cầu tìm hạng của ma trận là kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình đại số tuyến tính. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm về thứ hạng ma trận và xem xét các phương pháp tìm nó. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các giải pháp cho một số ví dụ.

Điều hướng trang.

Xác định thứ hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết.

Trước khi đưa ra định nghĩa về hạng của ma trận, bạn nên hiểu rõ về khái niệm số thứ, và việc tìm các số hạng của ma trận hàm ý khả năng tính định thức. Vì vậy, nếu cần thiết, chúng tôi khuyên bạn nên nhớ lại lý thuyết của bài viết các phương pháp tìm định thức của ma trận, tính chất của định thức.

Hãy lấy một ma trận A có thứ tự . Cho k là một số tự nhiên không vượt quá số nhỏ nhất trong các số m và n, nghĩa là: .

Sự định nghĩa.

Thứ tự thứ k nhỏ ma trận A là định thức của ma trận vuông cấp bậc, gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột đã chọn trước và giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A.

Nói cách khác, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p–k) hàng và (n–k) cột và từ các phần tử còn lại chúng ta tạo ra một ma trận, giữ nguyên cách sắp xếp các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận thu được là ma trận thứ cấp k của ma trận A.

Chúng ta hãy xem định nghĩa của ma trận thứ bằng một ví dụ.

Hãy xem xét ma trận .

Hãy viết ra một số trẻ vị thành niên bậc nhất của ma trận này. Ví dụ: nếu chúng ta chọn hàng thứ ba và cột thứ hai của ma trận A thì lựa chọn của chúng ta tương ứng với thứ tự thứ nhất . Nói cách khác, để có được thứ này, chúng ta đã gạch bỏ hàng thứ nhất và thứ hai, cũng như cột thứ nhất, thứ ba và thứ tư từ ma trận A và tạo thành định thức từ phần tử còn lại. Nếu chúng ta chọn hàng đầu tiên và cột thứ ba của ma trận A thì chúng ta sẽ nhận được một số nhỏ .

Hãy để chúng tôi minh họa thủ tục để có được trẻ vị thành niên cấp một được coi là
Và .

Vì vậy, các phần tử cấp một của ma trận chính là các phần tử ma trận.

Hãy chỉ ra một số trẻ vị thành niên bậc hai. Chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ: lấy hàng thứ nhất và thứ hai cũng như cột thứ ba và thứ tư. Với sự lựa chọn này, chúng ta có một thứ thứ hai . Phần này cũng có thể được tạo bằng cách xóa hàng thứ ba, cột thứ nhất và cột thứ hai khỏi ma trận A.

Một thứ cấp hai khác của ma trận A là .

Hãy để chúng tôi minh họa việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp hai này
Và .

Tương tự, có thể tìm được các số hạng bậc ba của ma trận A. Vì chỉ có ba hàng trong ma trận A nên chúng tôi chọn tất cả. Nếu chúng ta chọn ba cột đầu tiên của các hàng này, chúng ta sẽ nhận được cột thứ ba

Nó cũng có thể được xây dựng bằng cách gạch bỏ cột cuối cùng của ma trận A.

Một thứ thứ ba khác là

thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A.

Dưới đây là hình ảnh cho thấy việc xây dựng các trẻ vị thành niên cấp ba này
Và .

Đối với ma trận A cho trước, không có cấp thứ nào lớn hơn thứ ba, vì .

Có bao nhiêu cấp số thứ k của ma trận cấp A?

Số lượng thứ tự k có thể được tính bằng , trong đó Và - số cách kết hợp tương ứng từ p đến k và từ n đến k.

Làm thế nào chúng ta có thể xây dựng tất cả các cấp số thứ k của ma trận A cấp p theo n?

Chúng ta sẽ cần nhiều số hàng ma trận và nhiều số cột. Chúng tôi viết ra mọi thứ sự kết hợp của các phần tử p bởi k(chúng sẽ tương ứng với các hàng của ma trận A đã chọn khi xây dựng cấp thứ k). Đối với mỗi tổ hợp số hàng, chúng ta thêm tuần tự tất cả các tổ hợp n phần tử của k số cột. Những tập hợp số hàng và số cột của ma trận A này sẽ giúp tạo ra tất cả các số thứ tự k.

Hãy xem xét nó với một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tất cả các số hạng thứ hai của ma trận.

Giải pháp.

Vì bậc của ma trận ban đầu là 3 x 3 nên tổng số bậc hai sẽ là .

Hãy viết tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 hàng của ma trận A: 1, 2; 1, 3 và 2, 3. Tất cả các tổ hợp số từ 3 đến 2 cột là 1, 2; 1, 3 và 2, 3.

Hãy lấy hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận A. Bằng cách chọn cột thứ nhất và thứ hai, cột thứ nhất và thứ ba, cột thứ hai và thứ ba cho các hàng này, chúng ta thu được các cột phụ tương ứng

Đối với hàng thứ nhất và thứ ba, với cách chọn cột tương tự, chúng ta có

Vẫn còn phải thêm cột thứ nhất và thứ hai, thứ nhất và thứ ba, thứ hai và thứ ba vào hàng thứ hai và thứ ba:

Như vậy đã tìm được tất cả 9 số hạng bậc hai của ma trận A.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành xác định thứ hạng của ma trận.

Sự định nghĩa.

Xếp hạng ma trận là bậc cao nhất của phần nhỏ khác 0 của ma trận.

Thứ hạng của ma trận A được ký hiệu là Rank(A). Bạn cũng có thể tìm thấy các ký hiệu Rg(A) hoặc Rang(A) .

Từ các định nghĩa về hạng ma trận và ma trận nhỏ, chúng ta có thể kết luận rằng hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 không nhỏ hơn một.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa.

Vì vậy, phương pháp đầu tiên để tìm thứ hạng của ma trận là phương pháp liệt kê người chưa thành niên. Phương pháp này dựa trên việc xác định thứ hạng của ma trận.

Ta cần tìm hạng của ma trận A có bậc .

Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên.

Nếu có ít nhất một phần tử của ma trận khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất bằng một (vì có một phần tử bậc nhất không bằng 0).

Tiếp theo chúng ta nhìn vào trẻ vị thành niên thứ hai. Nếu tất cả các phần tử bậc hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một phần tử thứ hai khác 0 thì chúng ta tiến hành liệt kê các phần tử thứ cấp của bậc ba và hạng của ma trận ít nhất bằng hai.

Tương tự, nếu tất cả các phần tử bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên bậc ba khác 0 thì hạng của ma trận ít nhất là ba và chúng ta chuyển sang liệt kê các trẻ vị thành niên bậc bốn.

Lưu ý rằng hạng của ma trận không được vượt quá giá trị nhỏ nhất trong các số p và n.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận .

Giải pháp.

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó không nhỏ hơn một.

Thứ tự thứ hai khác 0 nên hạng của ma trận A ít nhất là hai. Chúng tôi chuyển sang liệt kê trẻ vị thành niên bậc ba. Tổng số trong số họ đồ đạc.

Tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận là hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp thứ.

Có các phương pháp khác để tìm thứ hạng của ma trận cho phép bạn thu được kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Một phương pháp như vậy là phương pháp nhỏ cạnh.

Hãy giải quyết khái niệm về cạnh nhỏ.

Người ta nói rằng M ok thứ cấp (k+1) của ma trận A giáp M thứ thứ k của ma trận A nếu ma trận tương ứng với thứ M ok “chứa” ma trận tương ứng với thứ đó M.

Nói cách khác, ma trận tương ứng với phần tử giáp M được lấy từ ma trận tương ứng với phần tử giáp M ok bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ, hãy xem xét ma trận và nhận đơn thứ hai. Hãy viết ra tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh:

Phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên được chứng minh bằng định lý sau (chúng tôi trình bày công thức của nó mà không chứng minh).

Định lý.

Nếu tất cả các phân số giáp cấp thứ k của ma trận A cấp p x n đều bằng 0, thì tất cả các cấp số thứ k+1 của ma trận A đều bằng 0.

Vì vậy, để tìm hạng của một ma trận không nhất thiết phải đi qua tất cả các phần tử con đủ giáp. Số lượng con giáp thứ k của ma trận cấp A được tìm theo công thức . Lưu ý rằng không có số bé nào giáp cấp thứ k của ma trận A nhiều hơn số cấp (k + 1) của ma trận A. Vì vậy, trong hầu hết các trường hợp, sử dụng phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên sẽ có lợi hơn là chỉ liệt kê tất cả các trẻ vị thành niên.

Chúng ta hãy chuyển sang tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp giáp ranh giới thứ. Hãy mô tả ngắn gọn thuật toán phương pháp này.

Nếu ma trận A khác 0 thì với tư cách là phần tử bậc nhất, chúng ta lấy bất kỳ phần tử nào của ma trận A khác 0. Chúng ta hãy nhìn vào trẻ vị thành niên giáp ranh của nó. Nếu tất cả chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng một. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên giáp khác 0 (thứ tự của nó là hai), thì chúng ta tiến hành xem xét các trẻ vị thành niên giáp của nó. Nếu tất cả đều bằng 0 thì Hạng(A) = 2. Nếu ít nhất một phần phụ tiếp giáp khác 0 (thứ tự của nó là ba), thì chúng ta xem xét các phần phụ tiếp giáp của nó. Và như thế. Kết quả là, Hạng(A) = k nếu tất cả các số phụ giáp của bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0, hoặc Hạng(A) = min(p, n) nếu không có số không thứ bao quanh thứ tự thứ (min( p, n) – 1) .

Chúng ta hãy xem phương pháp bao quanh trẻ vị thành niên để tìm thứ hạng của ma trận bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp giáp trẻ vị thành niên.

Giải pháp.

Vì phần tử a 1 1 của ma trận A khác 0 nên chúng ta coi nó là phần tử thứ nhất. Hãy bắt đầu tìm kiếm một số nhỏ giáp ranh khác 0:

Một cạnh nhỏ bậc hai, khác 0, được tìm thấy. Chúng ta hãy nhìn vào các trẻ vị thành niên giáp ranh của nó (của chúng đồ đạc):

Tất cả các phần tử giáp với phần tử bậc hai đều bằng 0, do đó hạng của ma trận A bằng hai.

Trả lời:

Hạng(A) = 2 .

Ví dụ.

Tìm hạng của ma trận sử dụng trẻ vị thành niên giáp ranh.

Giải pháp.

Là phần tử thứ nhất khác 0, ta lấy phần tử a 1 1 = 1 của ma trận A. Trẻ vị thành niên xung quanh thuộc cấp độ thứ hai không bằng không. Trẻ vị thành niên này giáp với trẻ vị thành niên cấp ba
. Vì nó không bằng 0 và không có một phần nhỏ giáp nào cho nó nên hạng của ma trận A bằng ba.

Trả lời:

Hạng(A) = 3 .

Tìm thứ hạng bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản (phương pháp Gauss).

Hãy xem xét một cách khác để tìm thứ hạng của ma trận.

Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là phép biến đổi cơ bản:

sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận;
nhân tất cả các phần tử của hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý, khác 0;
thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k tùy ý.

Ma trận B được gọi là tương đương với ma trận A, nếu B thu được từ A bằng cách sử dụng hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Sự tương đương của ma trận được ký hiệu bằng ký hiệu “~”, nghĩa là được viết là A ~ B.

Việc tìm thứ hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản dựa trên câu lệnh: nếu ma trận B thu được từ ma trận A bằng cách sử dụng số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản thì Rank(A) = Rank(B) .

Giá trị của tuyên bố này xuất phát từ các tính chất của định thức của ma trận:

Khi sắp xếp lại các hàng (hoặc cột) của ma trận, định thức của nó đổi dấu. Nếu nó bằng 0 thì khi sắp xếp lại các hàng (cột) vẫn bằng 0.
Khi nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) bất kỳ của ma trận với một số k tùy ý khác 0, định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận gốc nhân với k. Nếu định thức của ma trận gốc bằng 0 thì sau khi nhân tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bất kỳ với số k, định thức của ma trận thu được cũng sẽ bằng 0.
Việc thêm vào các phần tử của một hàng (cột) nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của ma trận, nhân với một số k nhất định, không làm thay đổi định thức của nó.

Bản chất của phương pháp biến đổi cơ bản bao gồm việc giảm ma trận có hạng mà chúng ta cần tìm thành ma trận hình thang (trong trường hợp cụ thể là ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Tại sao việc này lại được thực hiện? Thứ hạng của ma trận loại này rất dễ tìm. Nó bằng số dòng chứa ít nhất một phần tử khác 0. Và vì hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản nên giá trị thu được sẽ là hạng của ma trận ban đầu.

Chúng tôi đưa ra các minh họa về ma trận, một trong số đó sẽ thu được sau khi biến đổi. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào thứ tự của ma trận.

Những hình minh họa này là các mẫu mà chúng ta sẽ chuyển đổi ma trận A.

Hãy mô tả thuật toán phương pháp.

Chúng ta cần tìm thứ hạng của ma trận A khác 0 có cấp độ (p có thể bằng n).

Vì thế, . Hãy nhân tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với . Trong trường hợp này, chúng ta thu được một ma trận tương đương, ký hiệu là A (1):

Đối với các phần tử của hàng thứ hai của ma trận kết quả A (1), chúng ta cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên, nhân với . Đối với các phần tử của dòng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên, nhân với . Và cứ như vậy cho đến dòng thứ p. Hãy lấy một ma trận tương đương, ký hiệu là A (2):

Nếu tất cả các phần tử của ma trận kết quả nằm trong các hàng từ thứ hai đến thứ p đều bằng 0 thì thứ hạng của ma trận này bằng một và do đó, thứ hạng của ma trận ban đầu bằng 0 đến một.

Nếu trong các dòng từ thứ hai đến thứ p có ít nhất một phần tử khác 0 thì chúng ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi. Hơn nữa, chúng ta hành động theo cách tương tự, nhưng chỉ với phần ma trận A (2) được đánh dấu trong hình.