Hệ thống nhị phân trực tuyến. Tổ hợp giáo dục thứ ba
Các phương pháp chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác.
Chuyển đổi số từ hệ thống số vị trí này sang hệ thống số vị trí khác: chuyển đổi số nguyên.
Để chuyển đổi một số nguyên từ một hệ thống số có cơ số d1 sang hệ thống số khác có cơ số d2, bạn phải chia tuần tự số này và thương số thu được cho cơ số d2 của hệ thống mới cho đến khi bạn nhận được thương số nhỏ hơn cơ số d2. Thương số cuối cùng là chữ số có ý nghĩa nhất của một số trong hệ thống số mới có cơ số d2 và các chữ số theo sau nó là số dư của phép chia, được viết theo thứ tự ngược lại khi nhận. Thực hiện các phép tính số học trong hệ thống số mà số được dịch được viết.
Ví dụ 1. Chuyển số 11(10) sang hệ nhị phân.
Đáp án: 11(10)=1011(2).
Ví dụ 2. Chuyển số 122(10) sang hệ bát phân.
Đáp án: 122(10)=172(8).
Ví dụ 3. Chuyển số 500(10) sang hệ thập lục phân.
Đáp án: 500(10)=1F4(16).
Chuyển đổi số từ hệ thống số vị trí này sang hệ thống số vị trí khác: chuyển đổi phân số thích hợp.
Để chuyển đổi một phân số thực sự từ hệ số có cơ số d1 sang hệ có cơ số d2, cần phải nhân tuần tự phân số ban đầu và các phần phân số của tích thu được với cơ số của hệ số mới d2. Phân số chính xác của một số trong hệ số mới có cơ số d2 được hình thành dưới dạng phần nguyên của các tích thu được, bắt đầu từ phần đầu tiên.
Nếu phép dịch dẫn đến một phân số ở dạng chuỗi vô hạn hoặc phân kỳ thì quy trình có thể được hoàn thành khi đạt được độ chính xác cần thiết.
Khi dịch hỗn số cần dịch riêng phần nguyên và phần phân số sang hệ thống mới theo quy tắc dịch số nguyên và phân số riêng, sau đó gộp cả hai kết quả đó thành một hỗn số trong hệ thống số mới.
Ví dụ 1. Chuyển số 0,625(10) sang hệ nhị phân.
Đáp án: 0,625(10)=0,101(2).
Ví dụ 2. Chuyển số 0,6(10) sang hệ bát phân.
Đáp án: 0,6(10)=0,463(8).
Ví dụ 2. Chuyển số 0,7(10) sang hệ thập lục phân.
Đáp án: 0,7(10)=0,B333(16).
Chuyển đổi số nhị phân, số bát phân và số thập lục phân sang hệ thống số thập phân.
Để chuyển đổi một số từ hệ thống P-ary sang số thập phân, bạn phải sử dụng công thức khai triển sau:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Ví dụ 1. Chuyển số 101,11(2) sang hệ thập phân.
Đáp án: 101,11(2)= 5,75(10) .
Ví dụ 2. Chuyển số 57,24(8) sang hệ thập phân.
Đáp án: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Ví dụ 3. Chuyển số 7A,84(16) sang hệ thập phân.
Đáp án: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Chuyển đổi số bát phân, số thập lục phân sang hệ số nhị phân và ngược lại.
Để chuyển một số từ hệ bát phân sang hệ nhị phân, mỗi chữ số của số này phải được viết dưới dạng số nhị phân có ba chữ số (bộ ba).
Ví dụ: viết số 16,24(8) vào hệ nhị phân.
Đáp án: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Để chuyển một số nhị phân trở lại hệ bát phân, bạn cần chia số ban đầu thành các bộ ba ở bên trái và bên phải dấu thập phân và biểu thị mỗi nhóm bằng một chữ số trong hệ bát phân. Bộ ba cực kỳ không hoàn chỉnh được bổ sung bằng số không.
Ví dụ: viết số 1110.0101(2) trong hệ bát phân.
Đáp án: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang hệ nhị phân, bạn cần viết từng chữ số của số này dưới dạng số nhị phân có bốn chữ số (tetrad).
Ví dụ: viết số 7A,7E(16) vào hệ nhị phân. 
Đáp án: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Lưu ý: các số 0 đứng đầu bên trái cho số nguyên và bên phải cho phân số không được viết.
Để chuyển một số nhị phân trở lại hệ thập lục phân, bạn cần chia số ban đầu thành các tứ giác ở bên trái và bên phải dấu thập phân và biểu thị mỗi nhóm bằng một chữ số trong hệ thập lục phân. Bộ ba cực kỳ không hoàn chỉnh được bổ sung bằng số không.
Ví dụ: viết số 1111010.0111111(2) theo hệ thập lục phân.
Lưu ý 1
Nếu bạn muốn chuyển đổi một số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác, thì trước tiên bạn nên chuyển đổi nó sang hệ thống số thập phân, sau đó chỉ chuyển đổi nó từ hệ thống số thập phân sang bất kỳ hệ thống số nào khác.
Quy tắc chuyển đổi số từ bất kỳ hệ thống số nào sang số thập phân
Trong công nghệ điện toán sử dụng số học máy, việc chuyển đổi các số từ hệ số này sang hệ số khác đóng vai trò quan trọng. Dưới đây chúng tôi đưa ra các quy tắc cơ bản cho các phép biến đổi (bản dịch) như vậy.
Khi chuyển số nhị phân sang số thập phân cần biểu diễn số nhị phân dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của nó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $2$, và sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Hình 1. Bảng 1
ví dụ 1
Chuyển số $11110101_2$ sang hệ thập phân.
Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $1$ của cơ số $2$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Để chuyển đổi một số từ hệ bát phân sang số thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của nó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $8$, sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số thập phân:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Hình 2. Bảng 2
Ví dụ 2
Chuyển số $75013_8$ sang hệ thập phân.
Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $2$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang thập phân, bạn cần biểu diễn nó dưới dạng đa thức, mỗi phần tử của số đó được biểu diễn dưới dạng tích của một chữ số của số đó và lũy thừa tương ứng của số cơ sở, trong trường hợp này là $16$, sau đó bạn cần tính đa thức theo quy tắc số học thập phân:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Hình 3. Bảng 3
Ví dụ 3
Chuyển số $FFA2_(16)$ sang hệ thập phân.
Giải pháp. Sử dụng bảng lũy thừa $3$ của cơ số $8$, chúng ta biểu diễn số này dưới dạng đa thức:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thập phân sang hệ thập phân khác
- Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ nhị phân, số đó phải được chia tuần tự cho $2$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Một số trong hệ nhị phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi gồm kết quả cuối cùng của phép chia và phần dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.
Ví dụ 4
Chuyển số $22_(10)$ sang hệ nhị phân.
Giải pháp:
Hinh 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Để chuyển một số từ hệ thập phân sang bát phân, số đó phải được chia tuần tự cho $8$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $7$. Một số trong hệ bát phân được biểu diễn dưới dạng một dãy các chữ số của phép chia cuối cùng và số dư của phép chia theo thứ tự ngược lại.
Ví dụ 5
Chuyển số $571_(10)$ sang hệ bát phân.
Giải pháp:
Hình 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Để chuyển một số từ hệ thập phân sang hệ thập lục phân, số đó phải được chia liên tiếp cho $16$ cho đến khi có số dư nhỏ hơn hoặc bằng $15$. Một số trong hệ thập lục phân được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các chữ số của kết quả phép chia cuối cùng và phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại.
Ví dụ 6
Chuyển số $7467_(10)$ sang hệ thập lục phân.
Giải pháp:
Hình 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Để dịch phân số đúng từ hệ số thập phân sang hệ số không thập phân cần phải nhân tuần tự phần phân số của số cần chuyển với cơ số của hệ cần chuyển. Các phân số trong hệ thống mới sẽ được thể hiện dưới dạng toàn bộ các phần của sản phẩm, bắt đầu từ phần đầu tiên.
Ví dụ: $0,3125_((10))$ trong hệ bát phân sẽ có dạng $0,24_((8))$.
Trong trường hợp này, bạn có thể gặp phải sự cố khi phân số thập phân hữu hạn có thể tương ứng với phân số vô hạn (định kỳ) trong hệ thống số không thập phân. Trong trường hợp này, số chữ số trong phân số được biểu thị trong hệ thống mới sẽ phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết. Cũng cần lưu ý rằng số nguyên vẫn là số nguyên và phân số thích hợp vẫn là phân số trong bất kỳ hệ thống số nào.
Quy tắc chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang hệ thống số nhị phân khác
- Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ bát phân thì phải chia thành các bộ ba (bộ ba chữ số), bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần thì thêm các số 0 vào bộ ba dẫn đầu, sau đó thay mỗi bộ ba bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.
Hình 7. Bảng 4
Ví dụ 7
Chuyển số $1001011_2$ sang hệ bát phân.
Giải pháp. Sử dụng Bảng 4, chúng tôi chuyển đổi số từ hệ thống số nhị phân sang bát phân:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, cần chia thành bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số có nghĩa nhỏ nhất, nếu cần, thêm số 0 vào chữ số bốn có nghĩa nhất, sau đó thay từng chữ số bốn bằng chữ số bát phân tương ứng. theo Bảng 4.
