Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo. Giải ma trận. Giải thích cách giải ma trận

Ma trận toán học là một bảng gồm các phần tử có thứ tự. Kích thước của bảng này được xác định bởi số hàng và cột trong đó. Đối với việc giải ma trận, nó đề cập đến số lượng lớn các phép toán được thực hiện trên cùng các ma trận đó. Các nhà toán học phân biệt một số loại ma trận. Đối với một số người trong số họ, các quy tắc quyết định chung được áp dụng, trong khi đối với những người khác thì không. Ví dụ: nếu các ma trận có cùng thứ nguyên thì chúng có thể được thêm vào và nếu chúng nhất quán với nhau thì chúng có thể được nhân lên. Để giải bất kỳ ma trận nào, cần phải tìm định thức. Ngoài ra, ma trận còn có thể chuyển vị và tìm các ma trận thứ yếu trong đó. Vì vậy, chúng ta hãy xem làm thế nào để giải quyết ma trận.

Thứ tự giải ma trận

Đầu tiên chúng ta viết ra các ma trận đã cho. Chúng tôi đếm xem họ có bao nhiêu hàng và cột. Nếu số hàng và số cột bằng nhau thì ma trận đó được gọi là ma trận vuông. Nếu mọi phần tử của ma trận đều bằng 0 thì ma trận đó bằng 0. Việc tiếp theo chúng ta làm là tìm đường chéo chính của ma trận. Các phần tử của ma trận như vậy nằm từ góc dưới bên phải đến góc trên bên trái. Đường chéo thứ hai trong ma trận là đường chéo phụ. Bây giờ chúng ta cần chuyển đổi ma trận. Để làm được điều này, cần phải thay thế các phần tử hàng trong mỗi ma trận bằng các phần tử cột tương ứng. Ví dụ phần tử dưới a21 sẽ là phần tử a12 hoặc ngược lại. Vì vậy, sau thủ tục này, một ma trận hoàn toàn khác sẽ xuất hiện.

Nếu các ma trận có cùng kích thước thì chúng có thể được cộng dễ dàng. Để làm điều này, chúng ta lấy phần tử đầu tiên của ma trận thứ nhất a11 và thêm nó với phần tử tương tự của ma trận thứ hai b11. Chúng ta viết kết quả xảy ra ở cùng một vị trí, chỉ trong một ma trận mới. Bây giờ chúng ta cộng tất cả các phần tử khác của ma trận theo cách tương tự cho đến khi chúng ta có được một ma trận mới hoàn toàn khác. Hãy xem xét một số cách khác để giải ma trận.

Các tùy chọn để làm việc với ma trận

Chúng ta cũng có thể xác định liệu các ma trận có nhất quán hay không. Để làm điều này, chúng ta cần so sánh số hàng trong ma trận thứ nhất với số cột trong ma trận thứ hai. Nếu chúng bằng nhau, bạn có thể nhân chúng lên. Để làm điều này, chúng ta nhân từng cặp phần tử hàng của một ma trận với phần tử cột tương tự của ma trận khác. Chỉ sau đó mới có thể tính tổng các sản phẩm thu được. Dựa trên điều này, phần tử ban đầu của ma trận cần thu được sẽ bằng g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1. Khi tất cả các sản phẩm đã được cộng và nhân, bạn có thể điền vào ma trận cuối cùng.

Khi giải ma trận, bạn cũng có thể tìm định thức và định thức của chúng cho từng ma trận. Nếu ma trận là hình vuông và có kích thước 2 x 2 thì định thức có thể được tìm thấy dưới dạng hiệu của tất cả tích của các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ. Nếu ma trận đã là ba chiều thì có thể tìm được định thức bằng cách áp dụng công thức sau. D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

Để tìm phần tử thứ của một phần tử nhất định, bạn cần gạch bỏ cột và hàng nơi phần tử này nằm. Sau đó, tìm định thức của ma trận này. Anh ấy sẽ là trẻ vị thành niên tương ứng. Một phương pháp ma trận quyết định tương tự đã được phát triển cách đây vài thập kỷ nhằm tăng độ tin cậy của kết quả bằng cách chia bài toán thành các bài toán con. Vì vậy, việc giải ma trận không hề khó nếu bạn biết các phép tính cơ bản.

Chủ đề này sẽ bao gồm các phép toán như cộng và trừ ma trận, nhân một ma trận với một số, nhân một ma trận với một ma trận và hoán vị một ma trận. Tất cả các ký hiệu được sử dụng trên trang này được lấy từ chủ đề trước.

Phép cộng và phép trừ ma trận.

Tổng $A+B$ của các ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ được gọi là ma trận $C_(m \times n) =(c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline( 1, n) $.

Một định nghĩa tương tự được đưa ra cho sự khác biệt của ma trận:

Sự khác biệt giữa ma trận $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ và $B_(m\times n)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times n)=( c_(ij))$, trong đó $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1, n)$.

Giải thích về mục $i=\overline(1,m)$: hiện an

Ký hiệu "$i=\overline(1,m)$" có nghĩa là tham số $i$ thay đổi từ 1 đến m. Ví dụ: mục $i=\overline(1,5)$ chỉ ra rằng tham số $i$ lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5.

Điều đáng chú ý là các phép tính cộng và trừ chỉ được xác định cho các ma trận có cùng kích thước. Nói chung, phép cộng và phép trừ ma trận là các phép toán rõ ràng bằng trực giác, vì về cơ bản chúng chỉ có nghĩa là tổng hoặc trừ các phần tử tương ứng.

Ví dụ số 1

Ba ma trận được đưa ra:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Có thể tìm được ma trận $A+F$ không? Tìm ma trận $C$ và $D$ nếu $C=A+B$ và $D=A-B$.

Ma trận $A$ chứa 2 hàng và 3 cột (nói cách khác, kích thước của ma trận $A$ là $2\times 3$) và ma trận $F$ chứa 2 hàng và 2 cột. Kích thước của ma trận $A$ và $F$ không khớp nhau nên chúng ta không thể cộng chúng, tức là. thao tác $A+F$ không được xác định cho các ma trận này.

Kích thước của ma trận $A$ và $B$ là như nhau, tức là Dữ liệu ma trận chứa số hàng và số cột bằng nhau nên phép toán cộng có thể áp dụng cho chúng.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(mảng) \right) $$

Hãy tìm ma trận $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(mảng) \right) $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Nhân một ma trận với một số.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ với số $\alpha$ là ma trận $B_(m\times n)=(b_(ij))$, trong đó $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ cho tất cả $i=\overline(1,m)$ và $j=\overline(1,n)$.

Nói một cách đơn giản, nhân một ma trận với một số nhất định có nghĩa là nhân từng phần tử của ma trận đã cho với số đó.

Ví dụ số 2

Ma trận được cho: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Tìm các ma trận $3\cdot A$, $-5\cdot A$ và $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( mảng) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (mảng) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(mảng) \right) =\left(\begin(mảng) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(mảng) \right). $$

Ký hiệu $-A$ là ký hiệu viết tắt của $-1\cdot A$. Nghĩa là, để tìm $-A$ bạn cần nhân tất cả các phần tử của ma trận $A$ với (-1). Về cơ bản, điều này có nghĩa là dấu của tất cả các phần tử của ma trận $A$ sẽ thay đổi ngược lại:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Trả lời: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Tích của hai ma trận.

Định nghĩa của hoạt động này rất phức tạp và thoạt nhìn có vẻ không rõ ràng. Do đó, trước tiên tôi sẽ chỉ ra một định nghĩa chung, sau đó chúng ta sẽ phân tích chi tiết ý nghĩa của nó và cách làm việc với nó.

Tích của ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ của ma trận $B_(n\times k)=(b_(ij))$ là ma trận $C_(m\times k )=(c_( ij))$, trong đó mỗi phần tử $c_(ij)$ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng thứ i của ma trận $A$ với các phần tử của j - cột thứ của ma trận $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Chúng ta hãy xem xét phép nhân ma trận từng bước bằng một ví dụ. Tuy nhiên, bạn cần lưu ý ngay rằng không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân được. Nếu muốn nhân ma trận $A$ với ma trận $B$ thì trước tiên chúng ta cần đảm bảo rằng số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $B$ (các ma trận như vậy thường được gọi là đã đồng ý). Ví dụ: ma trận $A_(5\times 4)$ (ma trận chứa 5 hàng và 4 cột) không thể nhân với ma trận $F_(9\times 8)$ (9 hàng và 8 cột), vì số số cột của ma trận $A $ không bằng số hàng của ma trận $F$, tức là. $4\neq 9$. Nhưng bạn có thể nhân ma trận $A_(5\times 4)$ với ma trận $B_(4\times 9)$, vì số cột của ma trận $A$ bằng số hàng của ma trận $ B$. Trong trường hợp này, kết quả của phép nhân các ma trận $A_(5\times 4)$ và $B_(4\times 9)$ sẽ là ma trận $C_(5\times 9)$, chứa 5 hàng và 9 cột:

Ví dụ số 3

Các ma trận đã cho: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (mảng) \right)$ và $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Tìm ma trận $C=A\cdot B$.

Đầu tiên, hãy xác định ngay kích thước của ma trận $C$. Vì ma trận $A$ có kích thước $3\times 4$ và ma trận $B$ có kích thước $4\times 2$, nên kích thước của ma trận $C$ là: $3\times 2$:

Vì vậy, nhờ tích các ma trận $A$ và $B$, chúng ta sẽ thu được một ma trận $C$, bao gồm ba hàng và hai cột: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Nếu việc chỉ định các phần tử đặt ra câu hỏi, thì bạn có thể xem chủ đề trước: "Ma trận. Các loại ma trận. Thuật ngữ cơ bản", ở phần đầu giải thích việc chỉ định các phần tử ma trận. Mục tiêu của chúng ta: tìm giá trị của tất cả các phần tử của ma trận $C$.

Hãy bắt đầu với phần tử $c_(11)$. Để thu được phần tử $c_(11)$, bạn cần tìm tổng các tích của các phần tử ở hàng đầu tiên của ma trận $A$ và cột đầu tiên của ma trận $B$:

Để tìm chính phần tử $c_(11)$, bạn cần nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột đầu tiên của ma trận $B$, tức là. phần tử thứ nhất đến phần thứ nhất, phần tử thứ hai đến phần thứ hai, phần tử thứ ba đến phần thứ ba, phần tử thứ tư đến phần thứ tư. Chúng tôi tóm tắt các kết quả thu được:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Hãy tiếp tục giải và tìm $c_(12)$. Để làm điều này, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $A$ với cột thứ hai của ma trận $B$:

Tương tự như phần trước, ta có:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Tất cả các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận $C$ đã được tìm thấy. Hãy chuyển sang dòng thứ hai, bắt đầu bằng phần tử $c_(21)$. Để tìm nó, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Chúng ta tìm phần tử tiếp theo $c_(22)$ bằng cách nhân các phần tử của hàng thứ hai của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Để tìm $c_(31)$, hãy nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử của cột đầu tiên của ma trận $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Và cuối cùng, để tìm phần tử $c_(32)$, bạn sẽ phải nhân các phần tử của hàng thứ ba của ma trận $A$ với các phần tử tương ứng của cột thứ hai của ma trận $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Tất cả các phần tử của ma trận $C$ đã được tìm thấy, tất cả những gì còn lại là viết $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( mảng) \right)$ . Hoặc viết đầy đủ:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Trả lời: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Nhân tiện, thường không có lý do gì để mô tả chi tiết vị trí của từng phần tử trong ma trận kết quả. Đối với ma trận có kích thước nhỏ, bạn có thể thực hiện việc này:

Cũng cần lưu ý rằng phép nhân ma trận là không giao hoán. Điều này có nghĩa là trong trường hợp tổng quát $A\cdot B\neq B\cdot A$. Chỉ dành cho một số loại ma trận, được gọi là có thể hoán đổi(hoặc đi lại), đẳng thức $A\cdot B=B\cdot A$ là đúng. Chính xác là dựa trên tính không giao hoán của phép nhân mà chúng ta cần chỉ ra chính xác cách chúng ta nhân biểu thức với một ma trận cụ thể: ở bên phải hoặc bên trái. Ví dụ: cụm từ “nhân cả hai vế của đẳng thức $3E-F=Y$ với ma trận $A$ ở bên phải” có nghĩa là bạn muốn nhận đẳng thức sau: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Một đô la.

Chuyển đổi đối với ma trận $A_(m\times n)=(a_(ij))$ là ma trận $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, cho các phần tử $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Nói một cách đơn giản, để có được ma trận chuyển vị $A^T$, bạn cần thay thế các cột trong ma trận ban đầu $A$ bằng các hàng tương ứng theo nguyên tắc sau: có hàng đầu tiên - sẽ có cột đầu tiên ; có hàng thứ hai - sẽ có cột thứ hai; đã có hàng thứ ba - sẽ có cột thứ ba, v.v. Ví dụ: hãy tìm ma trận được chuyển đổi thành ma trận $A_(3\times 5)$:

Theo đó, nếu ma trận ban đầu có kích thước $3\times 5$, thì ma trận chuyển đổi có kích thước $5\times 3$.

Một số tính chất của phép toán trên ma trận.

Ở đây giả định rằng $\alpha$, $\beta$ là một số số và $A$, $B$, $C$ là ma trận. Đối với bốn thuộc tính đầu tiên, tôi đã chỉ ra tên; phần còn lại có thể được đặt tên theo cách tương tự với bốn thuộc tính đầu tiên.

$A+B=B+A$ (tính giao hoán của phép cộng)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (tính kết hợp của phép cộng)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (phân phối của phép nhân với ma trận đối với phép cộng các số)
$\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (phân phối của phép nhân với một số so với phép cộng ma trận)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị của thứ tự tương ứng.
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, trong đó $O$ là ma trận 0 có kích thước phù hợp.
$\left(A^T \right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phép toán nâng ma trận lên lũy thừa nguyên không âm, đồng thời giải các ví dụ trong đó cần thực hiện một số phép toán trên ma trận.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính ma trậnđược thiết kế để giải các biểu thức ma trận, chẳng hạn như 3A-CB 2 hoặc A -1 +B T .

Hướng dẫn. Đối với giải pháp trực tuyến, bạn cần chỉ định biểu thức ma trận. Ở giai đoạn thứ hai, cần làm rõ thứ nguyên của ma trận.

Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).

Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).
Để thực hiện danh sách các thao tác, hãy sử dụng dấu phân cách bằng dấu chấm phẩy (;). Ví dụ: để thực hiện ba thao tác:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bạn sẽ cần phải viết nó như thế này: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Ma trận là một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột nên ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật.
Ma trận không (ma trận rỗng) là ma trận có các phần tử đều bằng 0 và ký hiệu là 0.
Ma trận đơn vịđược gọi là ma trận vuông có dạng

Hai ma trận A và B bằng nhau, nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Ma trận số ít là ma trận có định thức bằng 0 (Δ = 0).

Hãy xác định các phép toán cơ bản trên ma trận.

Phép cộng ma trận

Sự định nghĩa . Tổng của hai ma trận cùng kích thước là ma trận có cùng thứ nguyên, các phần tử của ma trận đó được tìm theo công thức

. Ký hiệu là C = A+B.

Ví dụ 6. .
Phép cộng ma trận mở rộng cho trường hợp có số hạng bất kỳ. Rõ ràng A+0=A .
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước; Đối với các ma trận có kích thước khác nhau, phép cộng không được xác định.

Phép trừ ma trận

Sự định nghĩa . Hiệu B-A của ma trận B và A cùng cỡ là ma trận C sao cho A+C = B.

Phép nhân ma trận

Sự định nghĩa . Tích của ma trận với một số α là ma trận thu được từ A bằng cách nhân tất cả các phần tử của nó với α, .
Sự định nghĩa . Cho hai ma trận

và , và số cột của A bằng số hàng của B. Tích của A nhân với B là một ma trận có các phần tử được tìm theo công thức

.
Ký hiệu là C = A·B.
Về mặt sơ đồ, hoạt động của phép nhân ma trận có thể được mô tả như sau:

và quy tắc tính một phần tử trong tích:

Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng tích A·B có ý nghĩa khi và chỉ khi số cột của thừa số thứ nhất bằng số hàng của thừa số thứ hai và tích tạo ra một ma trận có số hàng bằng số hàng của thừa số thứ nhất và số cột bằng số cột của thừa số thứ hai. Bạn có thể kiểm tra kết quả của phép nhân bằng máy tính trực tuyến đặc biệt.

Ví dụ 7. ma trận đã cho Và . Tìm ma trận C = A·B và D = B·A.
Giải pháp. Trước hết, lưu ý rằng tích A·B tồn tại vì số cột của A bằng số hàng của B.

Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát A·B≠B·A, tức là tích của ma trận có tính phản giao hoán.
Hãy tìm B·A (có thể nhân).

Ví dụ 8. Cho một ma trận . Tìm 3A 2 – 2A.
Giải pháp.

.
; .
.
Chúng ta hãy lưu ý sự thật thú vị sau đây.
Như bạn đã biết, tích của hai số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, trường hợp tương tự có thể không xảy ra, tức là tích của các ma trận khác 0 có thể bằng ma trận null.

>> Ma trận

4.1.Ma trận. Các phép toán trên ma trận

Ma trận hình chữ nhật có kích thước mxn là tập hợp các số mxn được sắp xếp dưới dạng một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Chúng ta sẽ viết nó dưới dạng

hoặc viết tắt là A = (a i j) (i = ; j = ), các số a i j gọi là các phần tử của nó; Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, chỉ số thứ hai - số cột. A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là bằng nhau nếu các phần tử của chúng đứng ở cùng một vị trí bằng nhau theo cặp, nghĩa là A = B nếu a i j = b i j.

Ma trận gồm một hàng hoặc một cột tương ứng được gọi là vectơ hàng hoặc vectơ cột. Các vectơ cột và vectơ hàng được gọi đơn giản là vectơ.

Một ma trận bao gồm một số được xác định bằng số này. A có kích thước mxn, tất cả các phần tử đều bằng 0, được gọi là 0 và được ký hiệu là 0. Các phần tử có cùng chỉ số được gọi là các phần tử của đường chéo chính. Nếu số hàng bằng số cột, tức là m = n thì ma trận đó gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông trong đó chỉ có các phần tử của đường chéo chính khác 0 được gọi là đường chéo và được viết như sau:

Nếu tất cả các phần tử a i i của đường chéo đều bằng 1 thì nó được gọi là đơn vị và được ký hiệu là chữ E:

Một ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác nếu tất cả các phần tử trên (hoặc dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Chuyển vị là một phép biến đổi trong đó các hàng và cột được hoán đổi trong khi vẫn duy trì số lượng của chúng. Chuyển vị được biểu thị bằng chữ T ở trên cùng.

Nếu chúng ta sắp xếp lại các hàng và cột trong (4.1), chúng ta nhận được

sẽ được hoán vị đối với A. Cụ thể, khi hoán vị một vectơ cột sẽ thu được một vectơ hàng và ngược lại.

Tích của A và số b là một ma trận mà các phần tử của nó được lấy từ các phần tử tương ứng của A bằng cách nhân với số b: b A = (b a i j).

Tổng A = (a i j) và B = (b i j) có cùng kích thước được gọi là C = (c i j) có cùng kích thước, các phần tử của chúng được xác định theo công thức c i j = a i j + b i j.

Tích AB được xác định theo giả định số cột của A bằng số hàng của B.

Tích AB, trong đó A = (a i j) và B = (b j k), trong đó i = , j= , k= , cho theo một thứ tự AB nhất định, được gọi là C = (c i k), các phần tử của nó được xác định bởi quy tắc sau:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Nói cách khác, phần tử của tích AB được xác định như sau: phần tử của hàng thứ i và cột thứ k C bằng tổng tích các phần tử của hàng thứ i A và phần tử của tích AB. các phần tử tương ứng của cột thứ k B.

Ví dụ 2.1. Tìm tích của AB và .

Giải pháp. Ta có: A kích thước 2x3, B kích thước 3x3 thì tồn tại tích AB = C và các phần tử của C bằng nhau

Từ 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, từ 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, từ 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, và tích BA không tồn tại.

Ví dụ 2.2. Bảng này cho thấy số lượng đơn vị sản phẩm được vận chuyển hàng ngày từ nhà máy sữa 1 và 2 đến cửa hàng M 1, M 2 và M 3, và việc vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ mỗi nhà máy sữa đến cửa hàng M 1 tốn 50 den. đơn vị, đến cửa hàng M 2 - 70 và đến M 3 - 130 den. các đơn vị Tính chi phí vận chuyển hàng ngày của mỗi nhà máy.

Nhà máy sữa

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện và bởi
B - ma trận mô tả chi phí phân phối một đơn vị sản phẩm tới cửa hàng, tức là

Khi đó ma trận chi phí vận chuyển sẽ có dạng:

Vì vậy, nhà máy đầu tiên chi 4.750 deniers cho việc vận chuyển hàng ngày. đơn vị, thứ hai - 3680 đơn vị tiền tệ.

Ví dụ 2.3. Công ty may sản xuất áo khoác mùa đông, áo khoác mùa demi và áo mưa. Sản lượng dự kiến cho một thập kỷ được đặc trưng bởi vectơ X = (10, 15, 23). Bốn loại vải được sử dụng: T 1, T 2, T 3, T 4. Bảng thể hiện mức tiêu thụ vải (tính bằng mét) cho từng sản phẩm. Vector C = (40, 35, 24, 16) mô tả chi phí cho một mét vải từng loại và vector P = (5, 3, 2, 2) mô tả chi phí vận chuyển một mét vải từng loại.

	Tiêu thụ vải

Áo lạnh
Áo khoác mùa Demi

1. Cần bao nhiêu mét mỗi loại vải để hoàn thành phương án?

2. Tìm chi phí vải dùng để may từng loại sản phẩm.

3. Xác định chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch.

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng A ma trận được cung cấp cho chúng ta trong điều kiện, tức là,

thì để tìm số mét vải cần thiết để hoàn thành phương án, bạn cần nhân vectơ X với ma trận A:

Ta tính chi phí vải dùng để may sản phẩm từng loại bằng cách nhân ma trận A và vectơ C T:

Chi phí của toàn bộ số vải cần thiết để hoàn thành kế hoạch sẽ được xác định theo công thức:

Cuối cùng, tính đến chi phí vận chuyển, toàn bộ số tiền sẽ bằng giá thành của vải, tức là 9472 den. đơn vị, cộng giá trị

X A P T =
.

Vì vậy, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (đơn vị tiền).