Симплексный метод решения задач линейного программирования. Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом

Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств

(2)

Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид

x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)

Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:

F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)

Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.

Алгоритм решения задачи следующий:

1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.

2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.

Таблица 1.

x n

базисные переменные	Свободные члены в ограничениях	Небазисные переменные
базисные переменные	Свободные члены в ограничениях	x 1	x 2	...	x l	...
x n+1	b 1	a 11	a 12	...	a 1l	...	a 1n
x n+2	b 2	a 21	a 22	...	a 2l	...	a 2n
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n+r	b2	a r1	a r2	...	a rl	...	a rn
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n+m	b m	a m1	a m2	...	a ml	...	a mn
F(x) max	F 0	-c 1	-c 2	...	-c 1	...	-c n

Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.

Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия

т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.

Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.

3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:

Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.

Остальные формулы легко записать с помощью .

Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).

4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.

5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.

Рис. 1. Правило прямоугольника

Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:

Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.

6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.

Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.

Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.

Пример 1. Решить задачу

max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}

Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.

Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда

Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.

Рис. 2. Графическое решение задачи

Для упрощения процесса решения исходные данные задачи линейного программирования при решении ее симплекс методом записываются в специальные симплекс-таблицы. Поэтому одна из модификаций симплекс метода получила название табличный симплекс метод. Задача линейного программирования в каноническом виде:

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...a 1,n x n + x n+1 =b 1

Исходная таблица для задачи имеет следующий вид:

	x 1	x 2	...	x n-1	x n	b
F	-a 0,1	-a 0,2	...	-a 0,n-1	-a 0,n	-b 0
x n+1	a 1,1	a 1,2	...	a 1,n-1	a 1,n	b 1
x n+2	a 2,1	a 2,2	...	a 2,n-1	a 2,n	b 2
...	...	...	...	...	...	...
x n+m	a m,1	a m,2	...	a m,n-1	a m,n	b m

x 1 , x 2 , x n - исходные переменные, x n+1 , x n+2 , x n+m - дополнительные переменные. Все дополнительные переменные мы приняли как базисные , а исходные переменные как небазисные (дополнительные записаны в первый столбец симплекс-таблицы а исходные в первую строку). При каждой итерации элементы симплекс-таблицы пересчитывают по определенным .

Алгоритм симплекс-метода.

Подготовительный этап

Приводим задачу ЛП к каноническому виду

F=a 0,1 x 1 +a 0,2 x 2 +...a 0,n x n +b 0 → max

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...a 1,n x n +x n+1 =b 1

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +...a 2,n x n +x n+2 =b 2

.......................................

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +...a m,n x n +x n+m =b m

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a 0,n =-a 0,n . Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" - коэффициенты запишутся без изменений.

Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

	x 1	x 2	...	x n-1	x n	b
F	-a 0,1	-a 0,2	...	-a 0,n-1	-a 0,n	-b 0
x n+1	a 1,1	a 1,2	...	a 1,n-1	a 1,n	b 1
x n+2	a 2,1	a 2,2	...	a 2,n-1	a 2,n	b 2
...	...	...	...	...	...	...
x n+m	a m,1	a m,2	...	a m,n-1	a m,n	b m

Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно .

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строке F (не беря в расчет элемент b 0 - текущее значение целевой функции) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Если в строке F есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю (исключая значение функции b 0)

a 0,l =min{a 0,i }

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

b k /a k,l =min {b i /a i,l } при a i,l >0, b i >0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент a k,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (x k) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (x l) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по . Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы.

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

Вместо базисной переменной x k записываем x l ; вместо небазисной переменной x l записываем x k .
ведущий элемент заменяется на обратную величину a k,l "= 1/a k,l
все элементы ведущего столбца (кроме a k,l) умножаются на -1/a k,l
все элементы ведущей строки (кроме a k,l) умножаются на 1/a k,l
оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a i,j "= a i,j - a i,l x a k,j / a k,l

Схему преобразования элементов симплекс-таблицы (кроме ведущей строки и ведущего столбца) называют схемой ”прямоугольника”.

Преобразуемый элемент a i,j и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами ”прямоугольника”.

Наша симплекс-таблица представляет собой расширенную матрицу системы ограничений с некоторыми дополнительными столбцами и строками. Рассмотрим пример симплекс таблицы для следующей задачи:

Найти значения переменных x 1 ...x 5 , при которых функция:

Q =

x 1

x 2

принимает максимальное значение, при условии следующих ограничений:

x 1

x 2

x 3

(1)

x 1

x 2

x 4

(2)

x 2

x 5

(3)

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

Симплекс таблица имеет следующий вид:

БП

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

Решение

Отношение

x 3

x 4

x 5

-1

-2

Самая верхняя строка - чисто информационная, в ней указывается назначение столбцов. Столбец "БП" также информационный, каждая клетка этого столбца содержит имя переменной, являющейся в соответствующем уравнении системы ограничений. В нашем примере, в первом уравнении, переменная X 3 , во втором X 4 , в третьем X 5 .

Столбцы X 1...X 5 содержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях системы ограничений (каждому уравнению соответствует отдельная строка). В столбец "Решение" изначально записываются свободные члены соответствующих уравнений. Они же показывают значения для текущегого решения, отображаемого симплекс-таблицей, на некотором шаге (итерации) решения задачи.

Коэффициенты целевой функции отражаются в симплекс-таблице в строке "Q", свободный член, как и в случае с уравнениями системы ограничений, изначально записывается в столбец "Решение". Он же одновременно является значением целевой функции, но записанный с противоположным знаком (это удобно для симплекс-метода). В нашем примере показанная симплекс-таблица соответствует некоторому решению при котором переменные X 3 , X 4 , X 5 равны соответственно 64, 70, 18 (см. столбец "Решение"), а остальные перемнные равны нулю. Значение целевой функции "Q" при этом равно двум (что несложно проверить подставив значения переменных в выражение для целевой функции).

В нашем примере свободный член равен -2 (минус два) т.к. в записи целевой функции он записан вместе с переменными по одну сторону от знака равенства, а свободные члены в уравнениях системы ограничений по другую. Поэтому перед записью в таблицу его необходимо перенести вправо от знака равенства.

Строка "Q" в данном примере выделена желтым цветом, это значит, что по ней будет приниматься решение относительно выбора разрешающего столбца (иногда его называют направляющим). Разрешающий столбец соответствует переменной, которая будет введена в базис (в список) на следующей итерации решения задачи. Цель подобной замены базиса - улучшение значения целевой функции. Критерием выбора разрешающего столбца является максимальный положительный коэффициент в строке "Q", при решении задачи на максимум, или минимальный отрицательный, при решении задачи на минимум. Если после очередной итерации в строке не окажется положительных (при максимизации), или отрицательных (при минимизации) коэффициентов, то оптимальное решение достигнуто. В нашем примере разрешающий столбец выбран по коэффициенту 7 (максимальный положительный т.к. задача на максимум), он соответствует переменной X 2 , именно она будет введена в базис на следующей итерации. Числа стоящие в направляющем столбце окрашиваются красным цветом.

Красным цветом также окрашивается и разрешающая (направляющая) строка, она соответствует переменной которая будет выведена из базиса (списка) на следующей итерации. Для ее определения рассчитывается и заполняется столбец "Отношение". Его элементы представляют собой отношения элементов столбца "Решение" к соответсвующим элементам направляющего столбца (кроме строки "Q"). Выбор разрешающей строки производится по минимальному значению из всех отношений. Важно то, что данные отношения рассчитываются только для положительных элементов направляющего столбца. Если на некоторой итерации в направляющем столбце положительных коэффициентов не окажется, то целевая функция исходной задачи неограничена, задача не имеет решения.
В нашем примере направляющая строка выбрана по минимальному отношению 16, она соответствует X 3 , именно она будет выведена из базиса на следующей итерации (ее место займет X 2).

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент

РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:





(0)-(2 * (-2+2M)):1	(-1-M)-(-2 * (-2+2M)):1	(-2+2M)-(1 * (-2+2M)):1	(-M)-(-1 * (-2+2M)):1	(-M)-(0 * (-2+2M)):1	(0)-(0 * (-2+2M)):1	(0)-(1 * (-2+2M)):1	(0)-(0 * (-2+2M)):1

Получаем новую симплекс-таблицу

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент.
3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее:

min (-, 1: 3, -) = 1/3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x7 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы





(0)-(1 * (-5+3M)):3	(-5+3M)-(3 * (-5+3M)):3	(0)-(0 * (-5+3M)):3	(-2+M)-(1 * (-5+3M)):3	(-M)-(-1 * (-5+3M)):3	(0)-(0 * (-5+3M)):3	(2-2M)-(-1 * (-5+3M)):3	(0)-(1 * (-5+3M)):3

Получаем новую симплекс-таблицу:

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6. Пример(1) решения задачи ЛП методом симплекс-таблиц
3.7. Пример(2) решения задачи ЛП методом симплекс-таблиц

Идея метода симплекс-таблиц заключается в целенаправленном переборе вершин симплекса. Для начало перебора необходимо выбрать опорную вершину с которой начнется перебор. Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, (перебирая симплекс вершины) при котором значение целевой функции возрастает (убывает). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Для составления такого плана необходимо произвести векторный анализ, на основе которого определить опорную вершину, с которой начнется перебор. Система неравенств приводится к каноническому виду:

x 1 + a 1,m+1* x m+1 + ... + a 1s* x s +...+ a 1n * x n = b 1 ;

x 2 + a 2,m +1* x m+1 + ... + a 2s * x s +...+ a 2n* x n = b 2 ;

x m + a m,m+1* x m+1 + ... + a ms* x s +...+ a mn* x n = b m .

Переменные x 1 , x 2 ,...,x m , входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы и с нулевыми - в остальные, называются базисными . В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Остальные n-m переменных (x m+1 , ...,x n) называются небазисными переменными.

3.1. Приведение математической модели к каноническому виду

Приведем математическую модель задачи к каноническому виду. Для этого избавимся от знаков неравенств посредством ввода дополнительных переменных и замены знака неравенства на знак равенства. Дополнительная переменная добавляется для каждого неравенства эксклюзивно, причем эта переменная указывается в целевой функции с нулевым коэффициентом. Правило ввода дополнительных переменых: при ">=" - переменная вводится в неравенство с коэффициентом +1; при "<=" - с коэффициентом (-1).

Причем иногда, когда в уравнении нет базисной переменной, чтобы сделать отрицательную дополнительную переменную базисной можно умножить все уравнение на (-1).

Также можно переориентировать целевую функцию с минимума на максимум или наоборот умножив все коэффициенты при переменных в этой функции на (-1).

3.2. Векторный анализ

При векторном анализе строятся вектора для каждой переменной: составляющими координатами n-мерного (n-количество уравнений системы) вектора будут коэффициенты этой переменной в соответствующих уравнениях.

Как было сказано выше вектор в котором единичный коэффициент только в одном уравнении и нулеые коэффициенты в других - называется базисным. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. После проверки всех ограничений получается система в каноническом виде и появляется возможность заполнить начальную симплексную таблицу.

3.3. Метод искусственных переменных

Зачастую случается так, что базисных векторов меньше чем количество уравнений, т.е. несколько уравнений не содерджат базисных переменных. В таком случае используют метод искусственных переменных для добавления базисных переменных.

Так как введенные переменные не имеют отношения к существу задачи ЛП в исходной постановке, то необходимо добиться обращения в нуль искусственных переменных. Этого можно сделать с помощью двухэтапного симплекс-метода.

Этап 1. Рассматривается искусственная целевая функция, равная сумме искусственных переменных, которая минимизируется при помощи симплекс-метода. Другими словами, производится исключение искусственных переменных. Если минимальное значение вспомогательной задачи равно нулю, то все искусственные переменные обращаются в нуль и получается допустимое базисное решение начальной задачи. Далее реализуется этап 2. Если минимальное значение вспомогательной задачи положительное, то по крайней мере одна из искусственных переменных также положительная, что свидетельствует о противоречивости начальной задачи, и вычисления прекращаются.

Этап 2. Допустимое базисное решение, найденное на первом этапе, улучшается в соответствии с целевой функцией исходной задачи ЛП на основе симплекс-метода, т.е. оптимальная таблица 1 этапа превращается в начальную таблицу этапа 2 и изменяется целевая функция.

3.4. Построение симплекс-таблицы

Выбираем начальное допустимое базисное решение. Базисным решением называется решение, полученное при нулевых значениях небазисных переменных, т.е. x i =0, i=m+1,...,n. Базисное решение называется допустимым базисным решением , если значения входящих в него базисных переменных неотрицательны, т.е. x j = b j >=0, j=1,2,...,m. В этом случае целевая функция примет следующий вид: S = c b* x b = c 1* b 1 + c 2* b 2 +...+c m* b m . Заполняем первоначальную таблицу симплекс - метода:

Таблица 2.3

c b x b c 1 c 2 ... c m c m+1 ... c n b i
базис x 1 x 2 ... x m x m+1 ... x n
с 1 x 1 1 0 ... 0 a 1,m+1 ... a n b 1
с 2 x 2 0 1 ... 0 a 2,m+1 ... a 2 n b 2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
c m x m 0 0 ... 1 a m,m+1 ... a m n b m
S

3.5. Анализ симплекс-таблицы

Вычисляем вектор относительных оценок c при помощи правила скалярного произведения

c j = c j - c b* S j ,

где

с b - вектор оценок базисных переменных;

S j - j-тый столбец в канонической системе, соответствующей рассматриваемому базису.

Дополняем первоначальную таблицу c - строкой.

Таблица 2.4

базис x 1 x 2 ... x m x m+1 ... x n с 1 x 1 1 0 ... 0 a 1,m+1 ... a 1 n b 1 с 2 x 2 0 1 ... 0 a 2,m+1 ... a 2 n b 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... c m x m 0 0 ... 1 a m,m+1 ... a m n b m 0 0 ... 0 ... W

c b	x b	c 1	c 2	...	c m	c m+1	...	c n	b i

c- строка

3. Если все оценки c j <=0 (c j >= 0), i=1,...,n, то текущее допускаемое решение - максимальное (минимальное). Решение найдено.

4. Впротивном случае в базис необходимо ввести небазисную переменную x r с наибольшим значением c j вместо одной из базисных переменных (табл. 2.5).

При помощи правила минимального отношения min(b i /a ir) определяем переменную x p , выводимую из базиса. Если коэффициент a ir отрицателен, то b i /a ir = бесконечность. В результате пересечение столбца, где находится вводимая небазисная переменная x r и строки, где находится выводимая базисная переменная x p определит положение ведущего элемента таблицы (табл. 2.6).

Таблица 2.5

		c m+1			b i
	базис	x m+1
с 1		a 1,m+1	a 1 r	a 1 n
с 2		a 2,m+1	a 2 r	a 2 n

		a m,m+1	a m r	a m n	b m
c - строка

Таблица 2.6

c m+1

b i

b i /

a ir

x m+1

с 1

a 1,m+1

a 1 r

a 1 n

b 1 /a 1r

с 2

a 2,m+1

a 2 r

a 2 n

b 2 /a 2r

с p

a p,m+1

a pr

a pn

b p /a pr

a m,m+1

a m r

a m n

b m

b m /a nr

c - стро - ка

6. Применяем элементарные преобразования для получения нового допускаемого базового решения и новой таблицы. В результате ведущий элемент должен равняться 1, а остальные элементы столбца ведущего элемента принять нулевое значение.

Вычисляем новые относительные оценки с использованием правила скалярного преобразования и переходим к шагу 4.