Meniu
AcasăTehnică

Bracketing factorul comun, regulă, exemple. Bracketing factorul comun: regulă, exemple

În cadrul studiului transformărilor identitare, tema scoaterii din paranteze a factorului comun este foarte importantă. În acest articol vom explica ce este exact o astfel de transformare, vom deriva regula de bază și vom analiza exemple tipice de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de a scoate un factor din paranteze

Pentru a aplica cu succes această transformare, trebuie să știi pentru ce expresii este folosită și ce rezultat ar trebui să se obțină în final. Să clarificăm aceste puncte.

Puteți scoate factorul comun din paranteze în expresiile care reprezintă sume în care fiecare termen este un produs, iar în fiecare produs există un factor care este comun (același) pentru toată lumea. Acesta se numește factorul comun. Acesta este ceea ce vom scoate din paranteze. Deci, dacă avem lucrări 5 3Şi 5 4, atunci putem scoate din paranteze factorul comun 5.

În ce constă această transformare? În timpul acesteia, reprezentăm expresia originală ca produsul unui factor comun și o expresie între paranteze care conține suma tuturor termenilor inițiali, cu excepția factorului comun.

Să luăm exemplul dat mai sus. Să adăugăm un factor comun de 5 la 5 3Şi 5 4și obținem 5 (3 + 4) . Expresia finală este produsul factorului comun 5 cu expresia dintre paranteze, care este suma termenilor inițiali fără 5.

Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii, pe care am studiat-o deja anterior. În formă literală se poate scrie ca a (b + c) = a b + a c. Schimbând partea dreaptă cu stânga, vom vedea o schemă pentru a scoate factorul comun din paranteze.

Regula pentru scoaterea factorului comun din paranteze

Folosind tot ce s-a spus mai sus, derivăm regula de bază pentru o astfel de transformare:

Definiția 1

Pentru a elimina factorul comun din paranteze, trebuie să scrieți expresia originală ca produs dintre factorul comun și parantezele care includ suma inițială fără factorul comun.

Exemplul 1

Să luăm un exemplu simplu de randare. Avem o expresie numerică 3 7 + 3 2 − 3 5, care este suma a trei termeni 3 · 7, 3 · 2 și a unui factor comun 3. Luând ca bază regula pe care am derivat-o, scriem produsul ca 3 (7 + 2 − 5). Acesta este rezultatul transformării noastre. Întreaga soluție arată astfel: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Putem scoate factorul dintre paranteze nu numai în expresii numerice, ci și în expresii literale. De exemplu, în 3 x − 7 x + 2 puteți scoate variabila x și obțineți 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, în expresia (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– factor comun (x2+y) si ajunge pana la urma (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Nu este întotdeauna posibil să se determine imediat ce factor este comun. Uneori, o expresie trebuie mai întâi transformată prin înlocuirea numerelor și expresiilor cu produse identice egale.

Exemplul 2

Deci, de exemplu, în expresie 6 x + 4 y este posibil să se obțină un factor comun 2 care nu este scris în mod explicit. Pentru a-l găsi, trebuie să transformăm expresia originală, reprezentând șase ca 2 · 3 și patru ca 2 · 2. Adică 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Sau în expresie x 3 + x 2 + 3 x putem scoate din paranteze factorul comun x, care se dezvăluie după înlocuire x 3 pe x · x 2 . Această transformare este posibilă datorită proprietăților de bază ale gradului. Ca rezultat, obținem expresia x (x 2 + x + 3).

Un alt caz care ar trebui discutat separat este eliminarea unui minus din paranteze. Apoi scoatem nu semnul în sine, ci minus unu. De exemplu, să transformăm expresia în acest fel − 5 − 12 x + 4 x y. Să rescriem expresia ca (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, astfel încât multiplicatorul general să fie mai clar vizibil. Să o scoatem din paranteze și să obținem − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Acest exemplu arată că între paranteze se obține aceeași cantitate, dar cu semne opuse.

În concluzii, observăm că transformarea prin plasarea factorului comun din paranteze este foarte des folosită în practică, de exemplu, pentru a calcula valoarea expresiilor raționale. Această metodă este utilă și atunci când trebuie să reprezentați o expresie ca un produs, de exemplu, pentru a factoriza un polinom în factori individuali.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

\(5x+xy\) poate fi reprezentat ca \(x(5+y)\). Acestea sunt într-adevăr expresii identice, putem verifica acest lucru dacă deschidem parantezele: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). După cum puteți vedea, ca rezultat obținem expresia originală. Aceasta înseamnă că \(5x+xy\) este într-adevăr egal cu \(x(5+y)\). Apropo, aceasta este o modalitate fiabilă de a verifica corectitudinea factorilor comuni - deschideți paranteza rezultată și comparați rezultatul cu expresia originală.


Regula principală pentru bracketing:

De exemplu, în expresia \(3ab+5bc-abc\) numai \(b\) poate fi scos din paranteză, deoarece este singurul care este prezent în toți cei trei termeni. Procesul de eliminare a factorilor comuni din paranteze este prezentat în diagrama de mai jos:

Reguli de bracketing

    În matematică, se obișnuiește să scoți toți factorii comuni deodată.

    Exemplu:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Vă rugăm să rețineți că aici am putea extinde astfel: \(3(xy-xz)\) sau astfel: \(x(3y-3z)\). Totuși, acestea ar fi descompuneri incomplete. Atât C, cât și X trebuie scoase.

    Uneori, membrii comuni nu sunt vizibili imediat.

    Exemplu:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    În acest caz, termenul comun (cinci) a fost ascuns. Cu toate acestea, după ce am extins \(10\) ca \(2\) înmulțit cu \(5\) și \(15\) ca \(3\) înmulțit cu \(5\) - am „tras cei cinci în lumina lui Dumnezeu”, după care au putut să o scoată cu ușurință din paranteză.

    Dacă un monom este îndepărtat complet, unul rămâne din el.

    Exemplu: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Punem \(x\) dintre paranteze, iar al treilea monom este format doar din x. De ce rămâne unul din el? Pentru că dacă orice expresie este înmulțită cu una, nu se va schimba. Adică, același \(x\) poate fi reprezentat ca \(1\cdot x\). Atunci avem următorul lanț de transformări:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\)\()\)

    Mai mult, aceasta este singura modalitate corectă de a o extrage, deoarece dacă nu lăsăm una, atunci când deschidem parantezele nu vom reveni la expresia originală. Într-adevăr, dacă facem extracția astfel \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), atunci când am extins, vom obține \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Cel de-al treilea membru lipsește. Aceasta înseamnă că o astfel de afirmație este incorectă.

    Puteți plasa un semn minus în afara parantezei, iar semnele termenilor din paranteză sunt inversate.

    Exemplu:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    În esență, aici scoatem „unul minus”, care poate fi „selectat” în fața oricărui monom, chiar dacă în fața lui nu a existat niciun minus. Folosim aici faptul că unul poate fi scris ca \((-1) \cdot (-1)\). Iată același exemplu, descris în detaliu:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    O paranteză poate fi, de asemenea, un factor comun.

    Exemplu:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Cel mai des întâlnim această situație (eliminarea parantezelor din paranteze) atunci când factorizarea utilizând metoda de grupare sau

În acest articol ne vom concentra asupra scotând factorul comun din paranteze. Mai întâi, să ne dăm seama în ce constă această transformare a expresiei. În continuare, vom prezenta regula pentru plasarea factorului comun din paranteze și vom analiza în detaliu exemple de aplicare a acestuia.

Navigare în pagină.

De exemplu, termenii din expresia 6 x + 4 y au un factor comun 2, care nu este scris în mod explicit. Poate fi văzut numai după ce reprezintă numărul 6 ca produs de 2·3, iar 4 ca produs de 2·2. Aşa, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Un alt exemplu: în expresia x 3 +x 2 +3 x termenii au un factor comun x, care devine clar după înlocuirea x 3 cu x x 2 (în acest caz am folosit) și x 2 cu x x. După ce o scoatem din paranteze, obținem x·(x 2 +x+3) .

Să spunem separat despre punerea minusului din paranteze. De fapt, a scoate minusul din paranteze înseamnă a scoate minusul din paranteze. De exemplu, să scoatem minusul din expresia −5−12·x+4·x·y. Expresia originală poate fi rescrisă ca (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, de unde se vede clar factorul comun −1, pe care îl scoatem din paranteze. Ca rezultat, ajungem la expresia (−1)·(5+12·x−4·x·y) în care coeficientul −1 este înlocuit pur și simplu cu un minus înaintea parantezelor, ca rezultat avem −( 5+12·x−4·x· y) . De aici se vede clar că atunci când minusul este scos din paranteze, suma inițială rămâne între paranteze, în care semnele tuturor termenilor săi au fost schimbate la opus.

În concluzia acestui articol, observăm că punerea în paranteze a factorului comun este utilizată pe scară largă. De exemplu, poate fi folosit pentru a calcula mai eficient valorile expresiilor numerice. De asemenea, scoaterea unui factor comun dintre paranteze vă permite să reprezentați expresii sub forma unui produs, în special, una dintre metodele de factorizare a unui polinom se bazează pe paranteze.

Referințe.

  • Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Da. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

Chichaeva Darina clasa a VIII-a

În lucrare, un elev de clasa a VIII-a a descris regula pentru factorizarea unui polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun cu o procedură detaliată pentru rezolvarea multor exemple pe această temă. Pentru fiecare exemplu analizat sunt oferite 2 exemple pentru soluții independente, la care există răspunsuri. Lucrarea va ajuta la studierea acestei teme pentru acei elevi care, din anumite motive, nu l-au stăpânit la promovarea materialului de program de clasa a VII-a și (sau) la repetarea cursului de algebră în clasa a VIII-a după vacanța de vară.

Descărcați:

Previzualizare:

Instituție de învățământ bugetar municipal

gimnaziu nr 32

„Școala Asociată UNESCO „Dezvoltarea Eureka”

Volzhsky, regiunea Volgograd

Lucrare finalizata:

Elev clasa 8B

Chichaeva Darina

Volzhsky

2014

Scoaterea factorului comun din paranteze

  • - O modalitate de a factoriza un polinom estescoaterea din paranteze a factorului comun;
  • - Când se scoate multiplicatorul general din paranteze, se aplicăproprietate distributivă;
  • - Dacă toți termenii unui polinom conțin factor comun atunci acest factor poate fi scos din paranteze.

Când se rezolvă ecuații, în calcule și într-o serie de alte probleme, poate fi utilă înlocuirea unui polinom cu produsul mai multor polinoame (care pot include monomii). Reprezentarea unui polinom ca produs a două sau mai multe polinoame se numește factorizarea polinoamului.

Luați în considerare polinomul 6a 2 b+15b 2 . Fiecare dintre termenii săi poate fi înlocuit cu produsul a doi factori, dintre care unul este egal cu 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b → de aici obținem: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Expresia rezultată bazată pe proprietatea de distribuție a înmulțirii poate fi reprezentată ca un produs al doi factori. Unul dintre ele este multiplicatorul comun 3b , iar celălalt este suma 2a 2 și 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Astfel, am extins polinomul: 6a 2 b+15b 2 în factori, reprezentându-l ca produs al unui monom 3b și polinomul 2a 2 +5b. Această metodă de factorizare a unui polinom se numește scoaterea factorului comun din paranteze.

Exemple:

Luați în considerare:

A) kx-px.

Multiplicatorul x x l-am scos din paranteze.

kx:x=k; px:x=p.

Se obține: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplicatorul 4 există atât în ​​primul termen, cât și în al 2-lea. De aceea 4 l-am scos din paranteze.

4a:4=a; 4b:4=b.

Se obține: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m și -27n sunt divizibile cu -9 . Prin urmare, scoatem factorul numeric din paranteze-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Avem: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5y 2 -15y.

5 și 15 sunt divizibile cu 5; y 2 și y sunt împărțite la y.

Prin urmare, scoatem factorul comun din paranteze 5у.

5y 2 : 5y=y; -15y: 5y=-3.

Deci: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Comentariu: Din două grade cu aceeași bază, scoatem gradul cu exponentul mai mic.

e) 16у 3 +12у 2.

16 și 12 sunt divizibile cu 4; y 3 și y 2 sunt împărțite la y 2.

Deci factorul comun 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Ca rezultat obținem: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

f) Factorizați polinomul 8b(7y+a)+n(7y+a).

În această expresie vedem că același factor este prezent(7a+a) , care poate fi scos din paranteze. Deci, obținem:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Expresiile b-c și c-b sunt opuse. Prin urmare, să le facă la fel, înainte d schimbați semnul „+” în „-”:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Exemple de soluții independente:

  1. mx+my;
  2. ah+da;
  3. 5x+5y ;
  4. 12x+48y;
  5. 7ax+7bx;
  6. 14x+21y;
  7. –ma-a;
  8. 8mn-4m2;
  9. -12y 4 -16y;
  10. 15y 3 -30y 2 ;
  11. 5c(y-2c)+y2 (y-2c);
  12. 8m(a-3)+n(a-3);
  13. x(y-5)-y(5-y);
  14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Răspunsuri.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7x(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -a(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y3+4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Continuăm să înțelegem elementele de bază ale algebrei. Astăzi vom lucra cu, și anume, vom lua în considerare o acțiune precum scotând factorul comun din paranteze.

Conținutul lecției

Principiul de bază

Legea distributivă a înmulțirii vă permite să înmulțiți un număr cu o sumă (sau o sumă cu un număr). De exemplu, pentru a găsi valoarea expresiei 3 × (4 + 5), puteți înmulți numărul 3 cu fiecare termen din paranteze și adăugați rezultatele:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Numărul 3 și expresia dintre paranteze pot fi schimbate (aceasta rezultă din legea comutativă a înmulțirii). Apoi fiecare termen care este în paranteză va fi înmulțit cu numărul 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Deocamdată nu vom calcula construcția 3 × 4 + 3 × 5 și vom adăuga rezultatele obținute 12 și 15. Să lăsăm expresia în formă 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Mai jos vom avea nevoie de el exact în această formă pentru a înțelege esența scoaterii factorului comun din paranteze.

Legea distributivă a înmulțirii este uneori numită plasarea unui factor în paranteze. În expresia 3 × (4 + 5), factorul 3 a fost lăsat în afara parantezei. Înmulțindu-l cu fiecare termen din paranteze, l-am adus în esență între paranteze. Pentru claritate, îl puteți scrie astfel, deși nu este obișnuit să îl scrieți astfel:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Deoarece în expresie 3 × (4 + 5) numărul 3 este înmulțit cu fiecare termen din paranteze, acest număr este un factor comun pentru termenii 4 și 5

După cum am menționat mai devreme, înmulțind acest factor comun cu fiecare termen din paranteze, îl punem în interiorul parantezei. Dar este posibil și procesul invers - factorul comun poate fi scos înapoi din paranteze. În acest caz, în expresia 3×4 + 3×5 multiplicatorul general este clar vizibil - acesta este un multiplicator de 3. Trebuie scos din ecuație. Pentru a face acest lucru, notați mai întâi factorul 3 în sine

iar alaturi intre paranteze se scrie expresia 3×4 + 3×5 dar fără factorul comun 3, deoarece este scos din paranteze

3 (4 + 5)

Ca urmare a scoaterii factorului comun din paranteze, obținem expresia 3 (4 + 5) . Această expresie este identică cu expresia anterioară 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Dacă calculăm ambele părți ale egalității rezultate, obținem identitatea:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Cum iese factorul comun dintre paranteze?

Plasarea factorului comun în afara parantezelor este, în esență, operația inversă a punerii factorului comun în interiorul parantezelor.

Dacă, la introducerea unui factor comun în paranteze, înmulțim acest factor cu fiecare termen din paranteze, atunci când mutăm acest factor înapoi în afara parantezei, trebuie să împărțim fiecare termen între paranteze cu acest factor.

În exprimare 3×4 + 3×5, despre care s-a discutat mai sus, așa s-a întâmplat. Fiecare termen a fost împărțit cu un factor comun de 3. Produsele 3 × 4 și 3 × 5 sunt termeni, deoarece dacă îi calculăm, obținem suma 12 + 15

Acum putem vedea în detaliu cum factorul general este scos din paranteze:

Se poate observa că factorul comun 3 este scos mai întâi din paranteze, apoi între paranteze fiecare termen este împărțit la acest factor comun.

Împărțirea fiecărui termen cu un factor comun se poate face nu numai prin împărțirea numărătorului la numitor, așa cum se arată mai sus, ci și prin reducerea acestor fracții. În ambele cazuri, veți obține același rezultat:

Ne-am uitat la cel mai simplu exemplu de luare a unui factor comun dintre paranteze pentru a înțelege principiul de bază.

Dar nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. După ce numărul este înmulțit cu fiecare termen din paranteze, rezultatele se adună împreună, iar factorul comun este pierdut din vedere.

Să revenim la exemplul nostru 3 (4 + 5). Să aplicăm legea distributivă a înmulțirii, adică să înmulțim numărul 3 cu fiecare termen din paranteze și să adunăm rezultatele:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

După ce se calculează construcția 3 × 4 + 3 × 5, obținem noua expresie 12 + 15. Vedem că factorul comun 3 a dispărut din vedere. Acum, în expresia rezultată 12 + 15, să încercăm să scoatem factorul comun din paranteze, dar pentru a elimina acest factor comun, trebuie mai întâi să-l găsim.

De obicei, atunci când rezolvăm probleme, întâlnim tocmai astfel de expresii în care trebuie găsit mai întâi factorul comun înainte de a putea fi scos.

Pentru a scoate divisorul comun din paranteze în expresia 12 + 15, trebuie să găsiți cel mai mare divisor comun (MCD) al termenilor 12 și 15. MCD găsit va fi factorul comun.

Deci, să găsim GCD pentru numerele 12 și 15. Amintiți-vă că pentru a găsi GCD, trebuie să descompuneți numerele originale în factori primi, apoi să scrieți prima descompunere și să eliminați din ea factorii care nu sunt incluși în descompunere. a celui de-al doilea număr. Factorii rămași trebuie înmulțiți pentru a obține mcd-ul dorit. Dacă aveți dificultăți în acest moment, asigurați-vă că repetați.

GCD pentru 12 și 15 este numărul 3. Acest număr este un factor comun pentru termenii 12 și 15. Trebuie scos din paranteze. Pentru a face acest lucru, notăm mai întâi factorul 3 în sine și alături de el scriem în paranteze o nouă expresie în care fiecare termen al expresiei 12 + 15 este împărțit la un factor comun 3

Ei bine, calculul suplimentar nu este dificil. Expresia din paranteze este ușor de calculat - doisprezece împărțit la trei este patru, A cincisprezece împărțit la trei este cinci:

Astfel, la scoaterea din paranteze a factorului comun din expresia 12 + 15, se obține expresia 3(4 + 5). Soluția detaliată este următoarea:

Soluția scurtă omite notația care arată modul în care fiecare termen este împărțit de un factor comun:

Exemplul 2. 15 + 20

Să găsim mcd-ul pentru termenii 15 și 20

GCD pentru 15 și 20 este numărul 5. Acest număr este factorul comun pentru termenii 15 și 20. Să-l scoatem din paranteze:

Am obținut expresia 5(3 + 4). Expresia rezultată poate fi verificată. Pentru a face acest lucru, doar înmulțiți cei cinci cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 15 + 20

Exemplul 3. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 18+24+36

Să găsim mcd pentru termenii 18, 24 și 36. Pentru a găsi , trebuie să descompuneți aceste numere în factori primi, apoi să găsiți produsul factorilor comuni:

GCD pentru 18, 24 și 36 este numărul 6. Acest număr este factorul comun pentru termenii 18, 24 și 36. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul 6 cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 18+24+36

Exemplul 4. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 13 + 5

Termenii 13 și 5 sunt numere prime. Se descompun doar într-unul și în ei înșiși:

Aceasta înseamnă că termenii 13 și 5 nu au alți factori comuni decât unul. În consecință, nu are rost să scoți această unitate din paranteze, deoarece nu va da nimic. Să arătăm asta:

Exemplul 5. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 195+156+260

Să găsim mcd pentru termenii 195, 156 și 260

GCD pentru 195, 156 și 260 este numărul 13. Acest număr este factorul comun pentru termenii 195, 156 și 260. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 13 cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 195+156+260

O expresie în care trebuie să scoateți factorul comun din paranteze poate fi nu numai o sumă de numere, ci și o diferență. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze în expresia 16 − 12 − 4. Cel mai mare factor comun pentru numerele 16, 12 și 4 este numărul 4. Să scoatem acest număr din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți patru cu fiecare număr din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 16 − 12 − 4

Exemplul 6. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 72+96−120

Să găsim GCD pentru numerele 72, 96 și 120

MCD pentru 72, 96 și 120 este numărul 24. Acest număr este factorul comun pentru termenii 195, 156 și 260. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 24 cu fiecare număr din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 72+96−120

Factorul general scos din paranteze poate fi, de asemenea, negativ. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze în expresia −6−3. Există două moduri de a scoate factorul comun din paranteze în această expresie. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Metoda 1.

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

−6 + (−3)

Acum găsim factorul comun. Factorul comun al acestei expresii va fi cel mai mare divizor comun al termenilor −6 și −3.

Modulul primului termen este 6. Iar modulul celui de-al doilea termen este 3. GCD(6 și 3) este egal cu 3. Acest număr este un factor comun pentru termenii 6 și 3. Să-l scoatem din paranteze:

Expresia obţinută în acest fel nu era foarte exactă. Multe paranteze și numere negative nu fac expresia simplă. Prin urmare, puteți utiliza a doua metodă, a cărei esență este să scoateți dintre paranteze nu 3, ci -3.

Metoda 2.

La fel ca data trecută, înlocuim scăderea cu adunarea.

−6 + (−3)

De data aceasta vom scoate din paranteze nu 3, ci −3

Expresia obtinuta de data aceasta pare mult mai simpla. Să scriem soluția mai scurtă pentru a o face și mai simplă:

Permiterea scoaterii unui factor negativ din paranteze se datorează faptului că extinderea numerelor −6 și (−3) poate fi scrisă în două moduri: mai întâi faceți multiplicandul negativ și multiplicatorul pozitiv:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

în al doilea caz, multiplicatorul poate fi făcut pozitiv și multiplicatorul negativ:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Aceasta înseamnă că suntem liberi să scoatem din paranteze factorul pe care îl dorim.

Exemplul 8. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia −20−16−2

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Cel mai mare factor comun pentru termenii −20, −16 și −2 este numărul 2. Acest număr este factorul comun pentru acești termeni. Să vedem cum arată:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Dar expansiunile date pot fi înlocuite cu expansiuni identice egale. Diferența va fi că factorul comun nu va fi 2, ci −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Prin urmare, pentru comoditate, putem scoate din paranteze nu 2, ci −2

Să scriem pe scurt soluția de mai sus:

Și dacă am scoate 2 dintre paranteze, am obține o expresie nu complet exactă:

Exemplul 9. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia −30−36−42

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

−30 + (−36) + (−42)

Cel mai mare divizor comun al termenilor −30, −36 și −42 este numărul 6. Acest număr este factorul comun pentru acești termeni. Dar vom scoate din paranteze nu 6, ci −6, deoarece numerele −30, −36 și −42 pot fi reprezentate astfel:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Scoaterea minusului din paranteze

Când rezolvați probleme, uneori poate fi util să scoateți semnul minus dintre paranteze. Acest lucru vă permite să simplificați expresia și să o puneți în ordine.

Luați în considerare următorul exemplu. Scoateți minusul din paranteze în expresia −15+(−5)+(−3)

Pentru claritate, să includem această expresie între paranteze, pentru că vorbim despre eliminarea minusului din aceste paranteze

(−15 + (−5) + (−3))

Deci, pentru a scoate minusul din paranteze, trebuie să scrieți minusul înainte de paranteze și să scrieți toți termenii între paranteze, dar cu semne opuse

Am scos minusul din paranteze în expresia −15+(−5)+(−3) și am obținut −(15+5+3). Ambele expresii sunt egale cu aceeași valoare -23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Prin urmare, putem pune un semn egal între expresiile −15+(−5)+(−3) și −(15+5+3), deoarece au același sens:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

De fapt, când minusul este scos din paranteze, legea distributivă a înmulțirii funcționează din nou:

a(b+c) = ab + ac

Dacă schimbăm părțile din stânga și din dreapta acestei identități, se dovedește că factorul oîntre paranteze

ab + ac = a(b+c)

Același lucru se întâmplă atunci când scoatem factorul comun din alte expresii și când scoatem minusul dintre paranteze.

Evident, atunci când scoateți un minus din paranteze, nu se scoate un minus, ci unul în minus. Am spus deja că se obișnuiește să nu se noteze coeficientul 1.

Prin urmare, în fața parantezelor se formează un minus, iar semnele termenilor care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus, deoarece fiecare termen este împărțit cu minus unu.

Să revenim la exemplul anterior și să vedem în detaliu cum a fost de fapt scos minusul dintre paranteze

Exemplul 2. Puneți minusul dintre paranteze în expresia −3 + 5 + 11

Punem un minus si langa el in paranteze scriem expresia −3 + 5 + 11 cu semnul opus pentru fiecare termen:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

La fel ca în exemplul precedent, aici nu minus este scos din paranteze, ci minus unu. Soluția detaliată este următoarea:

La început am obținut expresia −1(3 + (−5) + (−11)), dar am deschis parantezele interioare în ea și am obținut expresia −(3 − 5 − 11) . Extinderea parantezelor este subiectul următoarei lecții, așa că dacă acest exemplu este dificil pentru tine, poți sări peste el pentru moment.

Scoaterea factorului comun din paranteze în expresia literală

Scoaterea factorului comun din paranteze în termeni literali este mult mai interesant.

Mai întâi, să ne uităm la un exemplu simplu. Să existe o expresie 3 a + 2 a. Să scoatem factorul comun din paranteze.

În acest caz, multiplicatorul total este vizibil cu ochiul liber - acesta este multiplicatorul o. Să-l scoatem din paranteze. Pentru a face acest lucru, notăm multiplicatorul în sine o iar alaturi intre paranteze scriem expresia 3a + 2a, dar fără multiplicator o deoarece este scos din paranteze:

Ca și în cazul unei expresii numerice, aici fiecare termen este împărțit la factorul comun scos. Arata cam asa:

Variabile în ambele fracții o au fost reduse cu o. oÎn schimb, numărătorul și numitorul au unități. Unitățile au fost obținute datorită faptului că în loc de o variabilă

poate fi orice număr. Această variabilă a fost localizată atât la numărător, cât și la numitor. Și dacă numărătorul și numitorul au aceleași numere, atunci cel mai mare divizor comun pentru ele va fi acest număr însuși. o De exemplu, dacă în loc de o variabilă 4 înlocuiți numărul , atunci construcția va lua următoarea formă:

. Atunci cei patru din ambele fracții pot fi reduse cu 4: o .

Se dovedește la fel ca înainte, când în loc de patru a fost o variabilă

Prin urmare, nu ar trebui să vă alarmați reducerea variabilelor. O variabilă este un multiplicator cu drepturi depline, chiar dacă este exprimată printr-o literă. Un astfel de multiplicator poate fi scos din paranteze, redus și alte acțiuni care sunt permise pentru numerele obișnuite.

O expresie literală conține nu numai numere, ci și litere (variabile). Prin urmare, factorul comun care este scos dintre paranteze este adesea un factor de litere, format dintr-un număr și o literă (coeficient și variabilă). De exemplu, următoarele expresii sunt factori literali:

Înainte de a scoate un astfel de factor dintre paranteze, trebuie să decideți ce număr va fi în partea numerică a factorului comun și ce variabilă va fi în partea cu litere a factorului comun. Cu alte cuvinte, trebuie să aflați ce coeficient va avea factorul comun și ce variabilă va fi inclusă în el.

Luați în considerare expresia 10 un + 15o. Să încercăm să scoatem factorul comun din paranteze. Mai întâi, să decidem în ce va consta factorul comun, adică vom afla coeficientul său și ce variabilă va fi inclusă în el.

Coeficientul multiplicatorului comun trebuie să fie cel mai mare divizor comun al coeficienților expresiei literale 10 un + 15o.

10 și 15, iar cel mai mare divizor comun al lor este numărul 5. Aceasta înseamnă că numărul 5 va fi coeficientul factorului comun scos dintre paranteze. un + 15o Acum să decidem ce variabilă va fi inclusă în factorul comun. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă uitați la expresia 10 oși găsiți factorul literă care este inclus în toți termenii. În acest caz, este un factor un + 15o. Acest factor este inclus în fiecare termen al expresiei 10 o. Deci variabila

vor fi incluse în partea literală a factorului comun scos din paranteze: Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun 5a din paranteze. Pentru a face acest lucru, împărțim fiecare termen al expresiei 10a + 15a Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun pe

. Pentru claritate, vom separa coeficienții și numerele cu un semn de înmulțire (×) Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, să ne înmulțim din paranteze. Pentru a face acest lucru, împărțim fiecare termen al expresiei

pentru fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, vom obține expresia

Factorul de litere nu poate fi scos întotdeauna dintre paranteze. Uneori, factorul comun constă doar dintr-un număr, deoarece nu există nimic potrivit pentru partea cu literă din expresie. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze în expresie 2a−2b 2 . Aici factorul comun va fi doar numărul 2

Exemplul 2., iar printre factorii de literă nu există factori comuni în expresie. Prin urmare, în acest caz va fi scos doar multiplicatorul Extrageți factorul comun din expresie

3x + 9y + 12 3, 9 Şi 12, Coeficienții acestei expresii sunt numere 3 3 Gcd-ul lor este egal 3

Exemplul 3.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este Puneți factorul comun dintre paranteze în expresie

3x + 9y + 12 8, 6, 4, 10 Şi 2, Coeficienții acestei expresii sunt numere 2 8x + 6y + 4z + 10 + 2 2 . Aceasta înseamnă că coeficientul factorului comun scos dintre paranteze va fi numărul 2

Exemplul 4.. Și printre factorii de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este Scoateți factorul comun

3x + 9y + 12 6ab + 18ab + 3abc Coeficienții acestei expresii sunt numere 3 8x + 6y + 4z + 10 + 2 3 6, 18 și 3, o. Partea literală a factorului comun va include variabile Şi b, întrucât în ​​expresie aceste două variabile sunt incluse în fiecare termen. Prin urmare, factorul comun final este 3ab

Cu o soluție detaliată, expresia devine greoaie și chiar de neînțeles. În acest exemplu, acest lucru este mai mult decât vizibil. Acest lucru se datorează faptului că anulăm factorii din numărător și numitor. Cel mai bine este să faci asta în cap și să notezi imediat rezultatele diviziunii. Apoi expresia devine scurtă și ordonată:

Ca și în cazul unei expresii numerice, într-o expresie literală factorul comun poate fi negativ.

De exemplu, să scoatem generalul din paranteze în expresie −3a − 2a.

Pentru comoditate, înlocuim scăderea cu adunarea

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Factorul comun în această expresie este factorul o. Dar dincolo de paranteze pot fi luate nu numai o, dar de asemenea −a. Să-l scoatem din paranteze:

S-a dovedit a fi o expresie îngrijită −a (3+2). Nu trebuie uitat că multiplicatorul −a arăta de fapt −1a iar după reducerea ambelor fracţii de variabile o, minus unu rămâne în numitori. Prin urmare, în final primim răspunsuri pozitive între paranteze

Exemplul 6.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este −6x − 6y

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−6x−6y = −6x+(−6y)

Să-l scoatem din paranteze −6

Să scriem soluția pe scurt:

−6x − 6y = −6(x + y)

Exemplul 7.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este −2a − 4b − 6c

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Să-l scoatem din paranteze −2

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții