Scoaterea factorului comun din paranteze. Lecție de algebră. Bracketing factorul comun: regulă, exemple

Definiția 1

Mai întâi să ne amintim Reguli pentru înmulțirea unui monom cu un monom:

Pentru a înmulți un monom cu un monom, trebuie mai întâi să înmulțiți coeficienții monomiilor, apoi, folosind regula înmulțirii puterilor cu aceeași bază, să înmulțiți variabilele incluse în monomii.

Exemplul 1

Aflați produsul monomiilor $(2x)^3y^2z$ și $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Soluţie:

Mai întâi, să calculăm produsul coeficienților

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ în această sarcină am folosit regula pentru înmulțirea unui număr cu o fracție - pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie sa se inmulteasca numarul cu numaratorul fractiei, iar numitorul pus fara modificari

Acum să folosim proprietatea principală a unei fracții - numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la același număr, diferit de $0$. Să împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la $2$, adică reducem această fracție cu $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Rezultatul rezultat s-a dovedit a fi o fracție improprie, adică una în care numărătorul este mai mare decât numitorul.

Să transformăm această fracție izolând întreaga parte. Să ne amintim că pentru a izola o parte întreagă, este necesar să notăm câtul incomplet obținut prin împărțirea numărătorului la numitor, ca parte întreagă, restul împărțirii în numărătorul părții fracționale și divizorul în numitorul.

Am găsit coeficientul viitorului produs.

Acum vom înmulți secvențial variabilele $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aici am folosit regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Atunci rezultatul înmulțirii monomiilor va fi:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Apoi, pe baza acestei reguli, puteți efectua următoarea sarcină:

Exemplul 2

Reprezentați un polinom dat ca produsul dintre un polinom și un monom $(4x)^3y+8x^2$

Să reprezentăm fiecare dintre monomiile incluse în polinom ca produsul a două monomii pentru a izola un monomiu comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monomiu.

Mai întâi, să începem cu primul monom $(4x)^3y$. Să factorizăm coeficientul său în factori simpli: $4=2\cdot 2$. La fel vom proceda cu coeficientul celui de-al doilea monom $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Rețineți că doi factori $2\cdot 2$ sunt incluși în primul și al doilea coeficient, ceea ce înseamnă $2\cdot 2=4$ - acest număr va fi inclus în monomiul general ca coeficient

Acum să observăm că în primul monom există $x^3$, iar în al doilea există aceeași variabilă la puterea lui $2:x^2$. Aceasta înseamnă că este convenabil să reprezentați variabila $x^3$ astfel:

Variabila $y$ este inclusă într-un singur termen al polinomului, ceea ce înseamnă că nu poate fi inclusă în monomul general.

Să ne imaginăm primul și al doilea monom inclus în polinom ca produs:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Rețineți că monomul comun, care va fi un factor atât în primul cât și în cel de-al doilea monom, este $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Acum aplicăm legea distributivă a înmulțirii, apoi expresia rezultată poate fi reprezentată ca un produs al doi factori. Unul dintre multiplicatori va fi multiplicatorul total: $4x^2$ iar celălalt va fi suma multiplicatorilor rămași: $xy + 2$. Mijloace:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Această metodă se numește factorizarea folosind un factor comun.

Factorul comun în acest caz a fost monomiul $4x^2$.

Algoritm

Nota 1

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomiilor incluse în polinom - va fi coeficientul factorului-monoim comun, pe care îl vom scoate din paranteze

Un monom alcătuit din coeficientul găsit la paragraful 2 și variabilele găsite la paragraful 3 va fi un factor comun. care poate fi scos din paranteze ca factor comun.

Exemplul 3

Scoateți factorul comun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Soluţie:

Să găsim mcd-ul coeficienților pentru aceasta vom descompune coeficienții în factori simpli

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Și găsim produsul celor incluse în extinderea fiecăruia:

Identificați variabilele care alcătuiesc fiecare monom și selectați variabila cu cel mai mic exponent

$a^3=a^2\cdot a$

Variabila $b$ este inclusă numai în al doilea și al treilea monom, ceea ce înseamnă că nu va fi inclusă în factorul comun.

Să compunem un monom format din coeficientul găsit la pasul 2, variabilele găsite la pasul 3, obținem: $3a$ - acesta va fi factorul comun. Apoi:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

În această lecție, ne vom familiariza cu regulile de inserare a factorului comun și vom învăța cum să-l găsim în diverse exemple și expresii. Să vorbim despre modul în care o operație simplă, scoțând factorul comun din paranteze, ne permite să simplificăm calculele. Vom consolida cunoștințele și abilitățile dobândite, analizând exemple de diferite complexități.

Care este un factor comun, de ce să-l căutați și în ce scop este scos din paranteze? Să răspundem la aceste întrebări privind un exemplu simplu.

Să rezolvăm ecuația. Partea stângă a ecuației este un polinom format din termeni similari. Partea cu scrisoare este comună acestor termeni, ceea ce înseamnă că va fi factorul comun. Să-l scoatem din paranteze:

În acest caz, scoaterea factorului comun din paranteze ne-a ajutat să transformăm polinomul într-un monom. Astfel, am putut simplifica polinomul și transformarea lui ne-a ajutat să rezolvăm ecuația.

În exemplul luat în considerare, factorul comun era evident, dar ar fi atât de ușor să-l găsim într-un polinom arbitrar?

Să găsim sensul expresiei: .

În acest exemplu, scoaterea factorului comun dintre paranteze a simplificat foarte mult calculul.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm divizibilitatea în expresii.

Expresia rezultată este divizibilă cu , așa cum este necesar pentru a fi demonstrat. Încă o dată, luarea factorului comun ne-a permis să rezolvăm problema.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm că expresia este divizibilă cu pentru orice număr natural: .

Expresia este produsul a două numere naturale adiacente. Unul dintre cele două numere va fi cu siguranță par, ceea ce înseamnă că expresia va fi divizibilă cu .

Ne-am uitat la exemple diferite, dar am folosit aceeași metodă de soluție: am scos factorul comun din paranteze. Vedem că această operațiune simplă simplifică foarte mult calculele. A fost ușor să găsești un factor comun pentru aceste cazuri speciale, dar ce să faci în cazul general, pentru un polinom arbitrar?

Amintiți-vă că un polinom este o sumă de monomii.

Luați în considerare polinomul . Acest polinom este suma a două monomii. Un monom este produsul unui număr, un coeficient și o parte de litere. Astfel, în polinomul nostru, fiecare monom este reprezentat de produsul unui număr și al puterilor, produsul factorilor. Factorii pot fi aceiași pentru toate monomiile. Acești factori trebuie să fie determinați și scoși din paranteză. În primul rând, găsim factorul comun pentru coeficienți, care sunt întregi.

A fost ușor să găsiți factorul comun, dar să definim mcd-ul coeficienților: .

Să ne uităm la un alt exemplu: .

Să găsim , ceea ce ne va permite să determinăm factorul comun pentru această expresie: .

Am derivat o regulă pentru coeficienții întregi. Trebuie să găsiți gcd-ul lor și să-l scoateți din paranteză. Să consolidăm această regulă rezolvând încă un exemplu.

Ne-am uitat la regula de atribuire a unui factor comun pentru coeficienții întregi, să trecem la partea cu litere. În primul rând, căutăm acele litere care sunt incluse în toate monomiile și apoi determinăm cel mai înalt grad al literei care este inclusă în toate monomiile: .

În acest exemplu, a existat o singură variabilă de literă comună, dar pot fi mai multe, ca în exemplul următor:

Să complicăm exemplul prin creșterea numărului de monomii:

După ce am scos factorul comun, am convertit suma algebrică într-un produs.

Ne-am uitat la regulile de scădere pentru coeficienții întregi și variabilele cu litere separat, dar cel mai adesea trebuie să le aplicați împreună pentru a rezolva exemplul. Să ne uităm la un exemplu:

Uneori poate fi dificil să determinați ce expresie este lăsată în paranteze, să ne uităm la un truc ușor care vă va permite să rezolvați rapid această problemă.

Factorul comun poate fi și valoarea dorită:

Factorul comun poate fi nu numai un număr sau un monom, ci și orice expresie, cum ar fi în ecuația următoare.

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul $12a^2b - 7b$ are al treilea grad, iar trinomul $2b^2 -7b + 6$ are al doilea.

În mod obișnuit, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților gradului acesteia. De exemplu:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ și $a^2 - b^2 $, adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, $(a + b)^2 $ este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;

Expresiile $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja această sarcină la înmulțirea polinoamelor:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

$5x+xy$ poate fi reprezentat ca $x(5+y)$. Acestea sunt într-adevăr expresii identice, putem verifica acest lucru dacă deschidem parantezele: $x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy$. După cum puteți vedea, ca rezultat obținem expresia originală. Aceasta înseamnă că $5x+xy$ este într-adevăr egal cu $x(5+y)$. Apropo, aceasta este o modalitate fiabilă de a verifica corectitudinea factorilor comuni - deschideți paranteza rezultată și comparați rezultatul cu expresia originală.

Regula principală pentru bracketing:

De exemplu, în expresia $3ab+5bc-abc$ numai $b$ poate fi scos din paranteză, deoarece este singurul care este prezent în toți cei trei termeni. Procesul de eliminare a factorilor comuni din paranteze este prezentat în diagrama de mai jos:

Reguli de bracketing

În matematică, se obișnuiește să scoți toți factorii comuni deodată.

Exemplu:$3xy-3xz=3x(y-z)$
Vă rugăm să rețineți că aici am putea extinde astfel: $3(xy-xz)$ sau astfel: $x(3y-3z)$. Totuși, acestea ar fi descompuneri incomplete. Atât C, cât și X trebuie scoase.

Uneori, membrii comuni nu sunt vizibili imediat.

Exemplu:$10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)$
În acest caz, termenul comun (cinci) a fost ascuns. Cu toate acestea, după ce am extins $10$ ca $2$ înmulțit cu $5$ și $15$ ca $3$ înmulțit cu $5$ - am „tras cei cinci în lumina lui Dumnezeu”, după care au putut să o scoată cu ușurință din paranteză.

Dacă un monom este îndepărtat complet, unul rămâne din el.

Exemplu: $5xy+axy-x=x(5y+ay-1)$
Punem $x$ din paranteze, iar al treilea monom este format doar din x. De ce rămâne unul din el? Pentru că dacă orice expresie este înmulțită cu una, nu se va schimba. Adică, același $x$ poate fi reprezentat ca $1\cdot x$. Apoi avem următorul lanț de transformări:

$5xy+axy-$$x$ $=5xy+axy-$$1 \cdot x$ $=$$x$ $(5y+ay-$\ (1\) $)$

Mai mult, aceasta este singura modalitate corectă de a o extrage, deoarece dacă nu lăsăm una, atunci când deschidem parantezele nu vom reveni la expresia originală. Într-adevăr, dacă facem extracția astfel $5xy+axy-x=x(5y+ay)$, atunci când am extins, vom obține $x(5y+ay)=5xy+axy$. Cel de-al treilea membru lipsește. Aceasta înseamnă că o astfel de afirmație este incorectă.

Puteți plasa un semn minus în afara parantezei, iar semnele termenilor din paranteză sunt inversate.

Exemplu:$x-y=-(-x+y)=-(y-x)$
În esență, aici scoatem „unul minus”, care poate fi „selectat” în fața oricărui monom, chiar dacă în fața lui nu a existat niciun minus. Folosim aici faptul că unul poate fi scris ca $(-1) \cdot (-1)$. Iată același exemplu, descris în detaliu:

$x-y=$
$=1·x+(-1)·y=$
$=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=$
$=(-1)·((-1)·x+y)=$
$=-(-x+y)=$
$-(y-x)$

O paranteză poate fi, de asemenea, un factor comun.

Exemplu:$3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)$
Cel mai des întâlnim această situație (eliminarea parantezelor din paranteze) atunci când factorizarea utilizând metoda de grupare sau