Meniu
AcasăWindows 10

Scoaterea multiplicatorului general din paranteze - Knowledge Hypermarket. Bracketing factorul comun: regulă, exemple

Continuăm să înțelegem elementele de bază ale algebrei. Astăzi vom lucra cu, și anume, vom lua în considerare o acțiune precum scotând factorul comun din paranteze.

Conținutul lecției

Principiul de bază

Legea distributivă a înmulțirii vă permite să înmulțiți un număr cu o sumă (sau o sumă cu un număr). De exemplu, pentru a găsi valoarea expresiei 3 × (4 + 5), puteți înmulți numărul 3 cu fiecare termen din paranteze și adăugați rezultatele:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Numărul 3 și expresia dintre paranteze pot fi schimbate (aceasta rezultă din legea comutativă a înmulțirii). Apoi fiecare termen din paranteze va fi înmulțit cu numărul 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Deocamdată nu vom calcula construcția 3 × 4 + 3 × 5 și vom adăuga rezultatele obținute 12 și 15. Să lăsăm expresia în formă 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Mai jos vom avea nevoie de el exact în această formă pentru a înțelege esența scoaterii factorului comun din paranteze.

Legea distributivă a înmulțirii este uneori numită plasarea unui factor în paranteze. În expresia 3 × (4 + 5), factorul 3 a fost lăsat în afara parantezei. Înmulțindu-l cu fiecare termen din paranteze, l-am adus în esență între paranteze. Pentru claritate, îl puteți scrie astfel, deși nu este obișnuit să îl scrieți astfel:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Deoarece în expresie 3 × (4 + 5) numărul 3 este înmulțit cu fiecare termen din paranteze, acest număr este un factor comun pentru termenii 4 și 5

După cum am menționat mai devreme, înmulțind acest factor comun cu fiecare termen din paranteze, îl punem în interiorul parantezei. Dar este posibil și procesul invers - factorul comun poate fi scos înapoi din paranteze. În acest caz, în expresia 3×4 + 3×5 multiplicatorul general este clar vizibil - acesta este un multiplicator de 3. Trebuie scos din ecuație. Pentru a face acest lucru, notați mai întâi factorul 3 în sine

iar alaturi intre paranteze se scrie expresia 3×4 + 3×5 dar fără factorul comun 3, deoarece este scos din paranteze

3 (4 + 5)

Ca rezultat al scoaterii factorului comun din paranteze, obținem expresia 3 (4 + 5) . Această expresie este identică cu expresia anterioară 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Dacă calculăm ambele părți ale egalității rezultate, obținem identitatea:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Cum iese factorul comun dintre paranteze?

Plasarea factorului comun în afara parantezelor este, în esență, operația inversă a punerii factorului comun în interiorul parantezelor.

Dacă, la introducerea unui factor comun în paranteze, înmulțim acest factor cu fiecare termen din paranteze, atunci când mutăm acest factor înapoi în afara parantezei, trebuie să împărțim fiecare termen între paranteze cu acest factor.

În exprimare 3×4 + 3×5, despre care s-a discutat mai sus, așa s-a întâmplat. Fiecare termen a fost împărțit cu un factor comun de 3. Produsele 3 × 4 și 3 × 5 sunt termeni pentru că dacă îi calculăm, obținem suma 12 + 15

Acum putem vedea în detaliu cum factorul general este scos din paranteze:

Se poate observa că factorul comun 3 este scos mai întâi din paranteze, apoi între paranteze fiecare termen este împărțit la acest factor comun.

Împărțirea fiecărui termen cu un factor comun se poate face nu numai prin împărțirea numărătorului la numitor, așa cum se arată mai sus, ci și prin reducerea acestor fracții. În ambele cazuri, veți obține același rezultat:

Ne-am uitat la cel mai simplu exemplu de luare a unui factor comun dintre paranteze pentru a înțelege principiul de bază.

Dar nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. După ce numărul este înmulțit cu fiecare termen din paranteze, rezultatele se adună împreună, iar factorul comun este pierdut din vedere.

Să revenim la exemplul nostru 3 (4 + 5). Să aplicăm legea distributivă a înmulțirii, adică să înmulțim numărul 3 cu fiecare termen din paranteze și să adunăm rezultatele:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

După ce se calculează construcția 3 × 4 + 3 × 5, obținem noua expresie 12 + 15. Vedem că factorul comun 3 a dispărut din vedere. Acum, în expresia rezultată 12 + 15, să încercăm să scoatem factorul comun din paranteze, dar pentru a elimina acest factor comun, trebuie mai întâi să-l găsim.

De obicei, atunci când rezolvăm probleme, întâlnim tocmai astfel de expresii în care trebuie găsit mai întâi factorul comun înainte de a putea fi scos.

Pentru a scoate divisorul comun din paranteze în expresia 12 + 15, trebuie să găsiți cel mai mare divisor comun (MCD) al termenilor 12 și 15. MCD găsit va fi factorul comun.

Deci, să găsim GCD pentru numerele 12 și 15. Amintiți-vă că pentru a găsi GCD, trebuie să descompuneți numerele originale în factori primi, apoi să scrieți prima descompunere și să eliminați din ea factorii care nu sunt incluși în descompunere. a celui de-al doilea număr. Factorii rămași trebuie înmulțiți pentru a obține mcd-ul dorit. Dacă aveți dificultăți în acest moment, asigurați-vă că repetați.

GCD pentru 12 și 15 este numărul 3. Acest număr este un factor comun pentru termenii 12 și 15. Trebuie scos din paranteze. Pentru a face acest lucru, notăm mai întâi factorul 3 în sine și alături de el scriem în paranteze o nouă expresie în care fiecare termen al expresiei 12 + 15 este împărțit la un factor comun 3

Ei bine, calculul suplimentar nu este dificil. Expresia din paranteze este ușor de calculat - doisprezece împărțit la trei este patru, A cincisprezece împărțit la trei este cinci:

Astfel, la scoaterea din paranteze a factorului comun din expresia 12 + 15, se obține expresia 3(4 + 5). Soluția detaliată este următoarea:

Soluția scurtă omite notația care arată modul în care fiecare termen este împărțit de un factor comun:

Exemplul 2. 15 + 20

Să găsim mcd-ul pentru termenii 15 și 20

GCD pentru 15 și 20 este numărul 5. Acest număr este factorul comun pentru termenii 15 și 20. Să-l scoatem din paranteze:

Am obținut expresia 5(3 + 4). Expresia rezultată poate fi verificată. Pentru a face acest lucru, doar înmulțiți cei cinci cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 15 + 20

Exemplul 3. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 18+24+36

Să găsim mcd pentru termenii 18, 24 și 36. Pentru a găsi , trebuie să descompuneți aceste numere în factori primi, apoi să găsiți produsul factorilor comuni:

GCD pentru 18, 24 și 36 este numărul 6. Acest număr este factorul comun pentru termenii 18, 24 și 36. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărul 6 cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 18+24+36

Exemplul 4. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 13 + 5

Termenii 13 și 5 sunt numere prime. Se descompun doar într-unul și în ei înșiși:

Aceasta înseamnă că termenii 13 și 5 nu au alți factori comuni decât unul. În consecință, nu are rost să scoți această unitate din paranteze, deoarece nu va da nimic. Să arătăm asta:

Exemplul 5. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 195+156+260

Să găsim mcd pentru termenii 195, 156 și 260

GCD pentru 195, 156 și 260 este numărul 13. Acest număr este factorul comun pentru termenii 195, 156 și 260. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 13 cu fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 195+156+260

O expresie în care trebuie să scoateți factorul comun din paranteze poate fi nu numai o sumă de numere, ci și o diferență. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze în expresia 16 − 12 − 4. Cel mai mare factor comun pentru numerele 16, 12 și 4 este numărul 4. Să scoatem acest număr din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți patru cu fiecare număr din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 16 − 12 − 4

Exemplul 6. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia 72+96−120

Să găsim GCD pentru numerele 72, 96 și 120

MCD pentru 72, 96 și 120 este numărul 24. Acest număr este factorul comun pentru termenii 195, 156 și 260. Să-l scoatem din paranteze:

Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 24 cu fiecare număr din paranteze. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem expresia 72+96−120

Factorul general scos din paranteze poate fi, de asemenea, negativ. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze în expresia −6−3. Există două moduri de a scoate factorul comun din paranteze în această expresie. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Metoda 1.

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

−6 + (−3)

Acum găsim factorul comun. Factorul comun al acestei expresii va fi cel mai mare divizor comun al termenilor −6 și −3.

Modulul primului termen este 6. Iar modulul celui de-al doilea termen este 3. GCD(6 și 3) este egal cu 3. Acest număr este un factor comun pentru termenii 6 și 3. Să-l scoatem din paranteze:

Expresia obţinută în acest fel nu era foarte exactă. Multe paranteze și numere negative nu fac expresia simplă. Prin urmare, puteți utiliza a doua metodă, a cărei esență este să scoateți dintre paranteze nu 3, ci -3.

Metoda 2.

La fel ca data trecută, înlocuim scăderea cu adunarea.

−6 + (−3)

De data aceasta vom scoate din paranteze nu 3, ci −3

Expresia obtinuta de data aceasta pare mult mai simpla. Să scriem soluția mai scurtă pentru a o face și mai simplă:

Permiterea scoaterii unui factor negativ din paranteze se datorează faptului că extinderea numerelor −6 și (−3) poate fi scrisă în două moduri: mai întâi faceți multiplicandul negativ și multiplicatorul pozitiv:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

în al doilea caz, multiplicatorul poate fi făcut pozitiv și multiplicatorul negativ:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Aceasta înseamnă că suntem liberi să scoatem din paranteze factorul pe care îl dorim.

Exemplul 8. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia −20−16−2

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Cel mai mare factor comun pentru termenii −20, −16 și −2 este numărul 2. Acest număr este factorul comun pentru acești termeni. Să vedem cum arată:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Dar expansiunile date pot fi înlocuite cu expansiuni identice egale. Diferența va fi că factorul comun nu va fi 2, ci −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Prin urmare, pentru comoditate, putem scoate din paranteze nu 2, ci −2

Să scriem pe scurt soluția de mai sus:

Și dacă am scoate 2 dintre paranteze, am obține o expresie nu complet exactă:

Exemplul 9. Scoateți factorul comun din paranteze în expresia −30−36−42

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

−30 + (−36) + (−42)

Cel mai mare divizor comun al termenilor −30, −36 și −42 este numărul 6. Acest număr este factorul comun pentru acești termeni. Dar vom scoate din paranteze nu 6, ci −6, deoarece numerele −30, −36 și −42 pot fi reprezentate astfel:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Scoaterea minusului din paranteze

Când rezolvați probleme, uneori poate fi util să scoateți semnul minus dintre paranteze. Acest lucru vă permite să simplificați expresia și să o puneți în ordine.

Luați în considerare următorul exemplu. Scoateți minusul din paranteze în expresia −15+(−5)+(−3)

Pentru claritate, să includem această expresie între paranteze, pentru că vorbim despre eliminarea minusului din aceste paranteze

(−15 + (−5) + (−3))

Deci, pentru a scoate minusul din paranteze, trebuie să scrieți minusul înainte de paranteze și să scrieți toți termenii între paranteze, dar cu semne opuse

Am scos minusul din paranteze în expresia −15+(−5)+(−3) și am obținut −(15+5+3). Ambele expresii sunt egale cu aceeași valoare -23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Prin urmare, putem pune un semn egal între expresiile −15+(−5)+(−3) și −(15+5+3), deoarece au același sens:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

De fapt, când minusul este scos din paranteze, legea distributivă a înmulțirii funcționează din nou:

a(b+c) = ab + ac

Dacă schimbăm părțile din stânga și din dreapta acestei identități, se dovedește că factorul oîntre paranteze

ab + ac = a(b+c)

Același lucru se întâmplă atunci când scoatem factorul comun din alte expresii și când scoatem minusul dintre paranteze.

Evident, atunci când scoateți un minus din paranteze, nu se scoate minusul, ci un minus. Am spus deja că se obișnuiește să nu se noteze coeficientul 1.

Prin urmare, în fața parantezelor se formează un minus, iar semnele termenilor care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus, deoarece fiecare termen este împărțit cu minus unu.

Să revenim la exemplul anterior și să vedem în detaliu cum a fost de fapt scos minusul dintre paranteze

Exemplul 2. Puneți minusul dintre paranteze în expresia −3 + 5 + 11

Punem minus și în paranteză în dreptul lui scriem expresia −3 + 5 + 11 cu semnul opus pentru fiecare termen:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

La fel ca în exemplul precedent, aici nu minus este scos din paranteze, ci minus unu. Soluția detaliată este următoarea:

La început am obținut expresia −1(3 + (−5) + (−11)), dar am deschis parantezele interioare în ea și am obținut expresia −(3 − 5 − 11) . Extinderea parantezelor este subiectul lecției următoare, așa că dacă acest exemplu este dificil pentru tine, poți sări peste el pentru moment.

Scoaterea factorului comun din paranteze în expresia literală

Scoaterea factorului comun din paranteze în termeni literali este mult mai interesant.

Mai întâi, să ne uităm la un exemplu simplu. Să existe o expresie 3 a + 2 a. Să scoatem factorul comun din paranteze.

În acest caz, multiplicatorul total este vizibil cu ochiul liber - acesta este multiplicatorul o. Să-l scoatem din paranteze. Pentru a face acest lucru, notăm multiplicatorul în sine o iar alaturi intre paranteze scriem expresia 3a + 2a, dar fără multiplicator o deoarece este scos din paranteze:

Ca și în cazul unei expresii numerice, aici fiecare termen este împărțit la factorul comun scos. Arata cam asa:

Variabile în ambele fracții o au fost reduse cu o. oÎn schimb, numărătorul și numitorul au unități. Unitățile au fost obținute datorită faptului că în loc de o variabilă

poate fi orice număr. Această variabilă a fost localizată atât la numărător, cât și la numitor. Și dacă numărătorul și numitorul au aceleași numere, atunci cel mai mare divizor comun pentru ele va fi acest număr însuși. o De exemplu, dacă în loc de o variabilă 4 înlocuiți numărul , atunci construcția va lua următoarea formă:

. Atunci cei patru din ambele fracții pot fi reduse cu 4: o .

Se dovedește la fel ca înainte, când în loc de patru era o variabilă

Prin urmare, nu ar trebui să vă alarmați reducerea variabilelor. O variabilă este un multiplicator cu drepturi depline, chiar dacă este exprimată printr-o literă. Un astfel de multiplicator poate fi scos din paranteze, redus și alte acțiuni care sunt permise pentru numerele obișnuite.

O expresie literală conține nu numai numere, ci și litere (variabile). Prin urmare, factorul comun care este scos dintre paranteze este adesea un factor de litere, format dintr-un număr și o literă (coeficient și variabilă). De exemplu, următoarele expresii sunt factori literali:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Înainte de a scoate un astfel de factor din paranteze, trebuie să decideți ce număr va fi în partea numerică a factorului comun și ce variabilă va fi în partea cu litere a factorului comun. Cu alte cuvinte, trebuie să aflați ce coeficient va avea factorul comun și ce variabilă va fi inclusă în el. Luați în considerare expresia 10 15o. Să încercăm să scoatem factorul comun din paranteze. Mai întâi, să decidem în ce va consta factorul comun, adică vom afla coeficientul său și ce variabilă va fi inclusă în el.

Coeficientul multiplicatorului comun trebuie să fie cel mai mare divizor comun al coeficienților expresiei literale 10 Luați în considerare expresia 10 15o.

10 și 15, iar cel mai mare divizor comun al lor este numărul 5. Aceasta înseamnă că numărul 5 va fi coeficientul factorului comun scos dintre paranteze. Luați în considerare expresia 10 15o Acum să decidem ce variabilă va fi inclusă în factorul comun. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă uitați la expresia 10 oși găsiți factorul literă care este inclus în toți termenii. În acest caz, este un factor Luați în considerare expresia 10 15o. Acest factor este inclus în fiecare termen al expresiei 10 o. Deci variabila

vor fi incluse în partea literală a factorului comun scos din paranteze: Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun 5a din paranteze. Pentru a face acest lucru, împărțim fiecare termen al expresiei 10a + 15a Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun pe

. Pentru claritate, vom separa coeficienții și numerele cu un semn de înmulțire (×) Acum nu mai rămâne decât să calculăm factorul comun Să verificăm expresia rezultată. Pentru a face acest lucru, să ne înmulțim din paranteze. Pentru a face acest lucru, împărțim fiecare termen al expresiei

pentru fiecare termen din paranteze. Dacă am făcut totul corect, vom obține expresia

Factorul de litere nu poate fi scos întotdeauna dintre paranteze. Uneori, factorul comun constă doar dintr-un număr, deoarece nu există nimic potrivit pentru partea cu literă din expresie. De exemplu, să scoatem factorul comun din paranteze din expresie 2a−2b 2 . Aici factorul comun va fi doar numărul 2

Exemplul 2., iar printre factorii de literă nu există factori comuni în expresie. Prin urmare, în acest caz va fi scos doar multiplicatorul Extrageți factorul comun din expresie

3x + 9y + 12 3, 9 Coeficienții acestei expresii sunt numere 12, Şi 3 3 Gcd-ul lor este egal 3

Exemplul 3.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este Puneți factorul comun dintre paranteze în expresie

3x + 9y + 12 8, 6, 4, 10 Coeficienții acestei expresii sunt numere 2, Şi 2 8x + 6y + 4z + 10 + 2 2 . Aceasta înseamnă că coeficientul factorului comun scos dintre paranteze va fi numărul 2

Exemplul 4.. Și printre factorii de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este Scoateți factorul comun

3x + 9y + 12 6ab + 18ab + 3abcŞi 3 8x + 6y + 4z + 10 + 2 3 6, 18 și 3, o. Partea literală a factorului comun va include variabile Şi b, întrucât în ​​expresie 6ab + 18ab + 3abc aceste două variabile sunt incluse în fiecare termen. Prin urmare, factorul comun final este

Cu o soluție detaliată, expresia devine greoaie și chiar de neînțeles. În acest exemplu, acest lucru este mai mult decât vizibil. Acest lucru se datorează faptului că anulăm factorii din numărător și numitor. Cel mai bine este să faci asta în cap și să notezi imediat rezultatele diviziunii. Apoi expresia devine scurtă și ordonată:

Ca și în cazul unei expresii numerice, într-o expresie literală factorul comun poate fi negativ.

De exemplu, să scoatem generalul din paranteze în expresie −3a − 2a.

Pentru comoditate, înlocuim scăderea cu adunarea

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Factorul comun în această expresie este factorul o. Dar dincolo de paranteze pot fi luate nu numai o, dar de asemenea −a. Să-l scoatem din paranteze:

S-a dovedit a fi o expresie îngrijită −a (3+2). Nu trebuie uitat că multiplicatorul −a arăta de fapt −1a iar după reducerea ambelor fracţii de variabile o, minus unu rămâne în numitori. Prin urmare, în final primim răspunsuri pozitive între paranteze

Exemplul 6.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este −6x − 6y

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−6x−6y = −6x+(−6y)

Să-l scoatem din paranteze −6

Să scriem soluția pe scurt:

−6x − 6y = −6(x + y)

Exemplul 7.. Și printre factorii (variabile) de litere nu există un factor comun. Prin urmare, factorul comun final este −2a − 4b − 6c

Înlocuiește scăderea cu adunarea

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Să-l scoatem din paranteze −2

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

În această lecție, ne vom familiariza cu regulile de inserare a factorului comun și vom învăța cum să-l găsim în diverse exemple și expresii. Să vorbim despre modul în care o operație simplă, scoțând factorul comun din paranteze, vă permite să simplificați calculele. Vom consolida cunoștințele și abilitățile dobândite, analizând exemple de diferite complexități.

Care este un factor comun, de ce să-l căutați și în ce scop este scos dintre paranteze? Să răspundem la aceste întrebări privind un exemplu simplu.

Să rezolvăm ecuația. Partea stângă a ecuației este un polinom format din termeni similari. Partea cu scrisoare este comună acestor termeni, ceea ce înseamnă că va fi factorul comun. Să-l scoatem din paranteze:

În acest caz, scoaterea factorului comun din paranteze ne-a ajutat să transformăm polinomul într-un monom. Astfel, am putut simplifica polinomul și transformarea lui ne-a ajutat să rezolvăm ecuația.

În exemplul luat în considerare, factorul comun era evident, dar ar fi atât de ușor să-l găsim într-un polinom arbitrar?

Să găsim sensul expresiei: .

În acest exemplu, scoaterea factorului comun dintre paranteze a simplificat foarte mult calculul.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm divizibilitatea în expresii.

Expresia rezultată este divizibilă cu , așa cum este necesar pentru a fi demonstrat. Încă o dată, luarea factorului comun ne-a permis să rezolvăm problema.

Să mai rezolvăm un exemplu. Să demonstrăm că expresia este divizibilă cu pentru orice număr natural: .

Expresia este produsul a două numere naturale adiacente. Unul dintre cele două numere va fi cu siguranță par, ceea ce înseamnă că expresia va fi divizibilă cu .

Ne-am uitat la exemple diferite, dar am folosit aceeași metodă de soluție: am scos factorul comun din paranteze. Vedem că această operațiune simplă simplifică foarte mult calculele. A fost ușor să găsești un factor comun pentru aceste cazuri speciale, dar ce să faci în cazul general, pentru un polinom arbitrar?

Amintiți-vă că un polinom este o sumă de monomii.

Luați în considerare polinomul . Acest polinom este suma a două monomii. Un monom este produsul unui număr, un coeficient și o parte de litere. Astfel, în polinomul nostru, fiecare monom este reprezentat de produsul unui număr și al puterilor, produsul factorilor. Factorii pot fi aceiași pentru toate monomiile. Acești factori trebuie să fie determinați și scoși din paranteză. În primul rând, găsim factorul comun pentru coeficienți, care sunt întregi.

A fost ușor să găsiți factorul comun, dar să definim mcd-ul coeficienților: .

Să ne uităm la un alt exemplu: .

Să găsim , ceea ce ne va permite să determinăm factorul comun pentru această expresie: .

Am derivat o regulă pentru coeficienții întregi. Trebuie să le găsiți gcd-ul și să-l scoateți din paranteză. Să consolidăm această regulă rezolvând încă un exemplu.

Ne-am uitat la regula de atribuire a unui factor comun pentru coeficienții întregi, să trecem la partea cu litere. În primul rând, căutăm acele litere care sunt incluse în toate monomiile și apoi determinăm cel mai înalt grad al literei care este inclusă în toate monomiile: .

În acest exemplu, a existat o singură variabilă de literă comună, dar pot fi mai multe, ca în exemplul următor:

Să complicăm exemplul prin creșterea numărului de monomii:

După ce am scos factorul comun, am convertit suma algebrică într-un produs.

Ne-am uitat la regulile de scădere pentru coeficienții întregi și variabilele cu litere separat, dar cel mai adesea trebuie să le aplicați împreună pentru a rezolva exemplul. Să ne uităm la un exemplu:

Uneori poate fi dificil să determinați ce expresie este lăsată în paranteze, să ne uităm la un truc ușor care vă va permite să rezolvați rapid această problemă.

Factorul comun poate fi și valoarea dorită:

Factorul comun poate fi nu numai un număr sau un monom, ci și orice expresie, cum ar fi în ecuația următoare.

\(5x+xy\) poate fi reprezentat ca \(x(5+y)\). Acestea sunt într-adevăr expresii identice, putem verifica acest lucru dacă deschidem parantezele: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). După cum puteți vedea, ca rezultat obținem expresia originală. Aceasta înseamnă că \(5x+xy\) este într-adevăr egal cu \(x(5+y)\). Apropo, aceasta este o modalitate fiabilă de a verifica corectitudinea factorilor comuni - deschideți paranteza rezultată și comparați rezultatul cu expresia originală.


Regula principală pentru bracketing:

De exemplu, în expresia \(3ab+5bc-abc\) numai \(b\) poate fi scos din paranteză, deoarece este singurul care este prezent în toți cei trei termeni. Procesul de eliminare a factorilor comuni din paranteze este prezentat în diagrama de mai jos:

Reguli de bracketing

    În matematică, se obișnuiește să scoți toți factorii comuni deodată.

    Exemplu:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Vă rugăm să rețineți că aici am putea extinde astfel: \(3(xy-xz)\) sau astfel: \(x(3y-3z)\). Totuși, acestea ar fi descompuneri incomplete. Atât C, cât și X trebuie scoase.

    Uneori, membrii comuni nu sunt vizibili imediat.

    Exemplu:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    În acest caz, termenul comun (cinci) a fost ascuns. Cu toate acestea, după ce am extins \(10\) ca \(2\) înmulțit cu \(5\) și \(15\) ca \(3\) înmulțit cu \(5\) - am „tras cei cinci în lumina lui Dumnezeu”, după care au putut să o scoată cu ușurință din paranteză.

    Dacă un monom este îndepărtat complet, unul rămâne din el.

    Exemplu: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Punem \(x\) dintre paranteze, iar al treilea monom este format doar din x. De ce rămâne unul din el? Pentru că dacă orice expresie este înmulțită cu una, nu se va schimba. Adică, același \(x\) poate fi reprezentat ca \(1\cdot x\). Atunci avem următorul lanț de transformări:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\)\()\)

    Mai mult, aceasta este singura modalitate corectă de a o extrage, deoarece dacă nu lăsăm una, atunci când deschidem parantezele nu vom reveni la expresia originală. Într-adevăr, dacă facem extracția astfel \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), atunci când am extins, vom obține \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Cel de-al treilea membru lipsește. Aceasta înseamnă că o astfel de afirmație este incorectă.

    Puteți plasa un semn minus în afara parantezei, iar semnele termenilor din paranteză sunt inversate.

    Exemplu:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    În esență, aici scoatem „unul minus”, care poate fi „selectat” în fața oricărui monom, chiar dacă în fața lui nu a existat niciun minus. Folosim aici faptul că unul poate fi scris ca \((-1) \cdot (-1)\). Iată același exemplu, descris în detaliu:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    O paranteză poate fi, de asemenea, un factor comun.

    Exemplu:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Cel mai des întâlnim această situație (eliminarea parantezelor) atunci când factorizarea utilizând metoda de grupare sau

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pentru gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților gradului acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja această sarcină la înmulțirea polinoamelor:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Definiția 1

Mai întâi să ne amintim Reguli pentru înmulțirea unui monom cu un monom:

Pentru a înmulți un monom cu un monom, trebuie mai întâi să înmulțiți coeficienții monomiilor, apoi, folosind regula înmulțirii puterilor cu aceeași bază, să înmulțiți variabilele incluse în monomii.

Exemplul 1

Aflați produsul monomiilor $(2x)^3y^2z$ și $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Soluţie:

Mai întâi, să calculăm produsul coeficienților

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ în această sarcină am folosit regula pentru înmulțirea unui număr cu o fracție - pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie sa se inmulteasca numarul cu numaratorul fractiei, iar numitorul pus fara modificari

Acum să folosim proprietatea principală a unei fracții - numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la același număr, diferit de $0$. Să împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la $2$, adică reducem această fracție cu $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Rezultatul rezultat s-a dovedit a fi o fracție improprie, adică una în care numărătorul este mai mare decât numitorul.

Să transformăm această fracție izolând întreaga parte. Să ne amintim că pentru a izola o parte întreagă, este necesar să notăm câtul incomplet obținut prin împărțirea numărătorului la numitor, ca parte întreagă, restul împărțirii în numărătorul părții fracționale și divizorul în numitorul.

Am găsit coeficientul viitorului produs.

Acum vom înmulți secvențial variabilele $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Aici am folosit regula pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Atunci rezultatul înmulțirii monomiilor va fi:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Apoi, pe baza acestei reguli, puteți efectua următoarea sarcină:

Exemplul 2

Reprezentați un polinom dat ca produsul dintre un polinom și un monom $(4x)^3y+8x^2$

Să reprezentăm fiecare dintre monomiile incluse în polinom ca produsul a două monomii pentru a izola un monomiu comun, care va fi un factor atât în ​​primul cât și în cel de-al doilea monomiu.

Mai întâi, să începem cu primul monom $(4x)^3y$. Să factorizăm coeficientul său în factori simpli: $4=2\cdot 2$. La fel vom proceda cu coeficientul celui de-al doilea monom $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Rețineți că doi factori $2\cdot 2$ sunt incluși în primul și al doilea coeficient, ceea ce înseamnă $2\cdot 2=4$ - acest număr va fi inclus în monomiul general ca coeficient

Acum să observăm că în primul monom există $x^3$, iar în al doilea există aceeași variabilă la puterea lui $2:x^2$. Aceasta înseamnă că este convenabil să reprezentați variabila $x^3$ astfel:

Variabila $y$ este inclusă într-un singur termen al polinomului, ceea ce înseamnă că nu poate fi inclusă în monomul general.

Să ne imaginăm primul și al doilea monom inclus în polinom ca produs:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Rețineți că monomul comun, care va fi un factor atât în ​​primul cât și în cel de-al doilea monom, este $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Acum aplicăm legea distributivă a înmulțirii, apoi expresia rezultată poate fi reprezentată ca un produs al doi factori. Unul dintre multiplicatori va fi multiplicatorul total: $4x^2$ iar celălalt va fi suma multiplicatorilor rămași: $xy + 2$. Mijloace:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Această metodă se numește factorizarea prin scoaterea unui factor comun.

Factorul comun în acest caz a fost monomiul $4x^2$.

Algoritm

Nota 1

    Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților tuturor monomiilor incluse în polinom - va fi coeficientul factorului-monoim comun, pe care îl vom scoate din paranteze

    Un monom alcătuit din coeficientul găsit la paragraful 2 și variabilele găsite la paragraful 3 va fi un factor comun. care poate fi scos din paranteze ca factor comun.

Exemplul 3

Scoateți factorul comun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Soluţie:

    Să găsim mcd-ul coeficienților pentru aceasta vom descompune coeficienții în factori simpli

    $45=3\cdot 3\cdot 5$

    Și găsim produsul celor care sunt incluse în extinderea fiecăruia:

    Identificați variabilele care alcătuiesc fiecare monom și selectați variabila cu cel mai mic exponent

    $a^3=a^2\cdot a$

    Variabila $b$ este inclusă numai în al doilea și al treilea monom, ceea ce înseamnă că nu va fi inclusă în factorul comun.

    Să compunem un monom format din coeficientul găsit la pasul 2, variabilele găsite la pasul 3, obținem: $3a$ - acesta va fi factorul comun. Apoi:

    $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$